Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer les vitesses de certains objets par rapport à d’autres objets.
La vitesse d’un objet peut faire référence à deux notions différentes. À savoir :
- sa vitesse absolue,
- sa vitesse relative.
Voyons d’abord la vitesse absolue. Celle-ci est souvent simplement appelée la vitesse. Dans cette fiche explicative, où « vitesse » est écrite sans préciser s’il s’agit de la vitesse absolue ou relative, cela signifie par défaut « vitesse absolue ».
La vitesse d’un objet est égale à la distance parcourue par un objet en un certain temps.
Un objet se déplace d’une position particulière à une autre. Par exemple on peut citer un coureur se déplaçant de la ligne de départ à la ligne d’arrivée d’une piste de course. Ceci est illustré par la figure suivante.
Pour l’exemple d’un coureur partant de la ligne de départ jusqu’à la ligne d’arrivée d’une piste de course, on voit que
- la position initiale du coureur correspond à la position d’un objet, la ligne de départ,
- la position finale du coureur correspond à la position d’un objet, la ligne d’arrivée.
Ces positions initiale et finale sont indiquées sur la figure suivante.
Une vitesse ne dépend pas des positions des objets, qui peuvent être les positions de n’importe quels objets. On pourrait simplement appeler la position initiale « position A » et la position finale « position B ».
Les facteurs qui déterminent la vitesse sont
- La distance qu’un objet parcourt d’une position à une autre,
- L’intervalle de temps pendant que l’objet se déplace.
La vitesse peut être représentée par la formule
Cette formule suppose que les positions initiale et finale de l’objet ne changent pas lors du déplacement de l’objet. Cela signifie que la distance entre un objet et sa position initiale ou finale change uniquement à cause du mouvement de l’objet.
On a maintenant défini ce que l’on entend par vitesse absolue.
Voyons à présent la vitesse relative d’un objet.
Pour la vitesse relative, les positions initiale et finale d’un objet peuvent changer pendant que l’objet se déplace.
On peut étudier deux exemples pour montrer comment la vitesse relative se compare à la vitesse absolue.
Dans le premier exemple, la vitesse relative est égale à la vitesse absolue.
Voyons ce premier exemple.
Pour cet exemple, la figure suivante illustre deux voitures se trouvant initialement l’une à côté de l’autre.
On voit que la voiture rouge ne bouge pas. Sa position est la même à 0 seconde et à 1 seconde.
En revanche, la voiture verte se déplace, donc la distance entre les voitures augmente. L’augmentation de la distance entre la voiture verte et la voiture rouge en un temps de 1 seconde est indiqué par la flèche noire.
Étudions la vitesse de la voiture verte par rapport à la voiture rouge.
On va s’intéresser à l’évolution de la distance entre la voiture rouge et la voiture verte sur un temps de 1 seconde.
En utilisant la formule on voit que la vitesse de la voiture verte par rapport à la voiture rouge est donnée par
L’augmentation de la distance entre les voitures est égale à la distance parcourue par la voiture verte. En effet, l’augmentation de la distance entre les voitures est uniquement due au mouvement de la voiture verte.
On voit que dans ce cas, la vitesse de la voiture verte par rapport à la voiture rouge est la même que la vitesse absolue de la voiture verte.
Voyons maintenant le deuxième exemple où la vitesse relative est différente de la vitesse absolue.
Dans cet exemple, la voiture rouge se déplace. Ceci est illustré par la figure suivante.
Les voitures sont à nouveau initialement l’une à côté de l’autre. La variation de distance entre les voitures dans cet exemple est due au mouvement des deux voitures, et non plus uniquement au mouvement de la voiture verte.
La vitesse de la voiture verte par rapport à la voiture rouge est toujours donnée par mais la variation de la distance entre les voitures est cette fois beaucoup moins importante que dans le premier exemple. La flèche noire indiquant cette distance est plus courte que celle du premier exemple.
La variation de distance est différente dans cet exemple car les mouvements de la voiture verte et de la voiture rouge affectent le changement de distance, pas seulement le mouvement de la voiture verte.
On voit alors que la vitesse de la voiture verte par rapport à la voiture rouge est différente de la vitesse absolue de la voiture verte lorsque la voiture rouge se déplace.
Regardons maintenant un exemple étudiant la variation de la distance entre des objets en mouvement.
Exemple 1: Déterminer la variation de la distance entre deux objets en mouvement
Un objet bleu et un objet orange se déplacent à travers une grille dont les graduations sont espacées de 1 mètre. Chaque objet se déplace pendant 2 secondes. Les flèches indiquent les distances dont les objets se déplacent en une seconde. Quelle est la variation de la distance entre les objets seconde ? 
- 0 m
- 1 m
- 2 m
Réponse
Voyons ce qu’il est possible de déduire au sujet de ces objets à partir du schéma de leur mouvement.
Les flèches qui représentent le mouvement des objets pointent dans la même direction.
On peut voir que les deux objets se déplacent dans la même direction, vers la droite.
Les flèches représentent la distance parcourue par un objet vers la droite en un temps de 1 seconde.
On peut voir que les flèches pour chaque objet sont de même longueur. On peut voir que la longueur des flèches est égale à la distance entre deux graduations adjacentes. La question indique que les graduations de la grille sont espacées de 1 mètre .
On voit alors que chaque objet se déplace de 1 mètre en 1 seconde. La vitesse absolue de chaque objet est alors de 1 mètre par seconde.
La question nous demande cependant, de qualifier la variation de la distance entre les objets à chaque seconde.
Cela nous indique qu’il n’est pas nécessaire de trouver les vitesses absolues des objets. Il est cependant utile d’avoir déduit que chaque objet a la même vitesse absolue.
Le schéma suivant illustre les positions des deux objets sur chaque intervalle de temps de 1 seconde.
On voit qu’à chaque seconde , la distance entre les objets augmente de 1 mètre en raison du mouvement de l’objet bleu et la distance entre les objets diminue de 1 mètre en raison du mouvement de l’objet orange.
La variation de distance, , à chaque seconde est alors donnée par
Pour répondre à la question demandant de qualifier la variation de la distance entre les objets à chaque seconde , la réponse est de .
Considérons à nouveau l’exemple des deux voitures en mouvement. Ceci est illustré par le schéma suivant.
Rappelons que, dans cet exemple, on a déterminé la vitesse de la voiture verte par rapport à la voiture rouge.
Autrement dit, on a trouvé la vitesse avec laquelle la voiture verte s’est éloignée de la voiture rouge.
On pourrait tout aussi bien dire que l’on a trouvé la vitesse avec laquelle la voiture rouge s’est éloignée de la voiture verte.
Cela semble un peu étrange, car on sait que la voiture rouge s’est déplacée dans la même direction que la voiture verte.
Il semble logique de dire que si la voiture verte parcourt une plus grande distance depuis sa position initiale que la voiture rouge, alors cela signifie que la voiture verte s’éloigne de la voiture rouge.
Cela ne semble pas logique de dire que si la voiture rouge parcourt une distance inférieure depuis sa position initiale que la voiture verte, alors cela signifie que la voiture rouge s’éloigne de la voiture verte.
Il nous faut bien comprendre que « s’éloigner de » signifie seulement « augmenter la distance entre ».
On sait que la distance entre les voitures augmente.
On sait aussi que la distance entre les voitures est la même indépendamment de la façon dont on choisit de l’appeler : soit « la distance entre la voiture verte et la voiture rouge » soit « la distance entre la voiture rouge et la voiture verte ».
La longueur de la ligne indiquant la distance entre les voitures est la même, qu’on la mesure de gauche à droite ou de droite à gauche.
Cela signifie que la vitesse de la voiture verte par rapport à la voiture rouge est égale à la vitesse de la voiture rouge par rapport à la voiture verte.
On peut dire que la vitesse de chaque voiture par rapport à l’autre voiture est la même.
Regardons maintenant un exemple étudiant la vitesse relative des objets en mouvement.
Exemple 2: Déterminer la vitesse relative de deux objets en mouvement
Un objet bleu et un objet orange se déplacent à travers une grille dont les graduations sont espacées de 1 mètre. Chaque objet se déplace pendant 2 secondes. Les flèches indiquent les distances dont les objets se déplacent à chaque seconde. Quelle est la vitesse de l’un des objets par rapport à l’autre ? 
- 0 m/s
- 1 m/s
- 2 m/s
Réponse
Voyons ce que l’on peut déduire au sujet de ces objets à partir du diagramme de leur mouvement.
Les flèches qui représentent le mouvement des objets pointent dans la même direction.
On peut voir que les deux objets se déplacent dans la même direction, vers la droite.
Les flèches représentent la distance parcourue par un objet vers la droite en 1 seconde.
On peut voir que les flèches pour chaque objet sont de même longueur. On peut voir que la longueur des flèches est égale à la distance entre des graduations adjacentes. La question indique que les lignes de la grille sont espacées de 1 mètre.
On voit alors que chaque objet se déplace de 1 mètre en 1 seconde. La vitesse absolue de chaque objet est alors de 1 mètre par seconde.
La question ne nous demande pas quelles étaient les vitesses absolues des objets, mais quelle était la vitesse de l’un des objets par rapport à l’autre.
La figure suivante montre les positions des deux objets sur chaque intervalle de 1 seconde.
On voit qu’à chaque seconde , la distance entre les objets augmente de 1 mètre en raison du mouvement de l’objet bleu et la distance entre les objets diminue de 1 mètre en raison du mouvement de l’objet orange.
La variation de distance, , à chaque seconde est alors donnée par
La vitesse est calculée à l’aide de la formule
La vitesse de l’objet bleu par rapport à l’objet orange correspond à la distance en mètres par laquelle l’objet bleu s’éloigne de l’objet orange en 1 seconde.
La distance entre les objets change de à chaque seconde. La vitesse de l’objet bleu par rapport à l’objet orange est alors nulle.
On peut dire la même chose de la vitesse de l’objet orange par rapport à l’objet bleu.
La vitesse de l’objet orange par rapport à l’objet bleu est la distance en mètres par laquelle l’objet orange s’éloigne de l’objet bleu en 1 seconde. La distance entre les objets change de à chaque seconde. La vitesse de l’objet orange par rapport à l’objet bleu est alors nulle.
Pour répondre à la question demandant de trouver la vitesse de l’un des objets par rapport à l’autre, la réponse est de .
On voit ainsi que deux objets qui se déplacent dans le même sens à la même vitesse ont une vitesse nulle l’un par rapport à l’autre. Cela serait vrai quelle que soit la vitesse absolue des objets, à condition que la vitesse absolue soit la même pour les deux objets.
On a vu comment déterminer la vitesse relative des objets se déplaçant dans les mêmes directions.
On peut maintenant s’intéresser à comment déterminer la vitesse relative des objets se déplaçant dans des directions opposées.
La figure suivante illustre un exemple où les objets se déplacent l’un vers l’autre.
La figure suivante illustre un autre exemple où les objets s’éloignent l’un de l’autre.
Dans les deux cas, ce qui est important est de déterminer comment la distance entre les objets varie à chaque seconde.
La vitesse d’un objet par rapport à l’autre correspond à la distance en mètres variant entre les deux objets en une seconde.
Étudions maintenant un exemple s’intéressant à la vitesse relative des objets en mouvement.
Exemple 3: Trouver la vitesse relative de deux objets se déplaçant l’un vers l’autre
Un objet bleu et un objet orange se déplacent à travers une grille dont les graduations sont espacées de 1 mètre. Chaque objet se déplace pendant 2 secondes. Les flèches indiquent les distances dont les objets se déplacent à chaque seconde. À quelle vitesse relative les objets se rapprochent-ils l’un de l’autre ? 
- 2 m/s
- 1 m/s
- 4 m/s
Réponse
Voyons ce que l’on peut déduire au sujet de ces objets à partir du diagramme de leur mouvement.
Les flèches qui représentent le mouvement des objets pointent dans des directions opposées.
On peut voir que les deux objets se déplacent dans des directions opposées.
Les flèches représentent la distance parcourue par un objet vers la droite en un temps de 1 seconde.
On peut voir que les flèches pour chaque objet sont de même longueur. On peut voir que la longueur des flèches est égale à la distance entre des graduations adjacentes. La question indique que les lignes de la grille sont espacées de 1 mètre.
On voit alors que chaque objet se déplace de 1 mètre en 1 seconde. La vitesse absolue de chaque objet est alors de 1 mètre par seconde.
La question ne nous demandait pas quelles étaient les vitesses absolues des objets, mais à quelle vitesse relative les objets se sont rapprochés l’un de l’autre.
La figure suivante montre les positions des deux objets pour chaque intervalle de 1 seconde.
On voit que à chaque seconde , la distance entre les objets diminue de 1 mètre en raison du mouvement de l’objet bleu et la distance entre les objets diminue de 1 mètre en raison du mouvement de l’objet orange.
Le changement de distance, , à chaque seconde est alors donnée par
La vitesse est calculée à l’aide de la formule
La vitesse de l’un des objets par rapport à l’autre objet correspond à la variation de la distance en mètres entre les objets en 1 seconde.
La vitesse relative à laquelle les objets se rapprochent est alors donnée par
Voyons un autre exemple.
Exemple 4: Déterminer la vitesse relative de deux objets s’éloignant l’un de l’autre
Un objet bleu et un objet orange se déplacent à travers une grille dont les graduations sont espacées de 1 mètre. Chaque objet se déplace pendant 2 secondes. Les flèches indiquent les distances dont les objets se déplacent à chaque seconde. Quelle est la vitesse relative à laquelle les objets s’éloignent l’un de l’autre ? 
- 2 m/s
- 1 m/s
- 4 m/s
Réponse
Voyons ce que l’on peut déduire au sujet de ces objets à partir du diagramme de leur mouvement.
Les flèches qui représentent le mouvement des objets pointent dans des directions opposées.
On peut voir que les deux objets se déplacent dans des directions opposées.
Les flèches représentent la distance parcourue par un objet vers la droite en un temps de 1 seconde.
On peut voir que les flèches pour chaque objet sont de même longueur. On peut voir que la longueur des flèches est égale à la distance entre des graduations adjacentes. La question indique que les lignes de la grille sont espacées de 1 mètre .
On voit alors que chaque objet se déplace de 1 mètre en 1 seconde. La vitesse absolue de chaque objet est alors de 1 mètre par seconde.
La question ne nous demandait pas quelles étaient les vitesses absolues des objets, mais à quelle vitesse relative les objets se sont rapprochés.
La figure suivante montre les positions des deux objets pour chaque intervalle de 1 seconde.
On voit qu’à chaque seconde , la distance entre les objets augmente de 1 mètre en raison du mouvement de l’objet bleu et la distance entre les objets augmente de 1 mètre en raison du mouvement de l’objet orange.
Le changement de distance, , à chaque seconde est alors donnée par
La vitesse est calculée à l’aide de la formule
La vitesse de l’un des objets par rapport à l’autre correspond à la variation de la distance en mètres entre les objets 1 seconde.
La vitesse relative à laquelle les objets s’éloignent l’un de l’autre est alors donnée par
Voyons maintenant un exemple impliquant des objets familiers.
Exemple 5: Comparer la vitesse absolue de deux objets en utilisant le mouvement relatif
Un bateau passe devant une petite île sur laquelle une personne se tient debout. Une personne sur le bateau passe à travers une porte puis marche le long du pont dans la direction opposée au mouvement du bateau. La personne sur l’île voit la personne sur le bateau se déplacer dans la direction du mouvement du bateau. Quelle est la vitesse la plus grande : celle du bateau ou celle de la personne qui marche ? 
- La vitesse du bateau est supérieure à la vitesse de la personne qui marche.
- La vitesse de la personne qui marche est supérieure à la vitesse du bateau.
Réponse
On peut répondre à cette question en regardant les positions initiale et finale de la personne sur le bateau par rapport à la personne sur l’île.
Au départ, la personne sur le bateau est à droite de la personne sur l’île. La personne sur le bateau se déplace également vers l’extrémité droite du bateau.
Il est important de noter que la question nous indique que la personne sur l’île voit la personne sur le bateau se déplacer dans la direction du mouvement du bateau.
Le diagramme dans la question montre que le bateau se déplace vers la gauche. C’est aussi la direction dans laquelle la personne sur l’île voit la personne sur le bateau se déplacer.
Après un certain temps, la personne sur le bateau sera vue par la personne sur l’île comme étant à sa gauche.
La figure suivante montre l’île et la personne sur le bateau à un instant initial et à un instant final, lorsque la personne sur le bateau est vue par la personne sur l’île comme étant à sa gauche.
À l’instant initial, la personne sur le bateau est à droite de la personne sur l’île.
À l’instant final, la personne sur le bateau est à gauche de la personne sur l’île.
On peut voir que la personne sur le bateau s’est davantage déplacée vers la gauche que vers la droite.
Cela nous indique que la vitesse à laquelle la personne sur le bateau se déplace vers la gauche doit être supérieure à la vitesse avec laquelle elle se déplace vers la droite.
Le mouvement vers la gauche de la personne sur le bateau est dû au mouvement du bateau.
On voit alors que le bateau doit avoir une vitesse supérieure à celle de la personne qui marche.
Résumons maintenant ce que l’on a appris dans cette fiche explicative.
Points Clés
- La vitesse absolue est la distance parcourue par un objet en une seconde.
- La vitesse d’un objet par rapport à un autre objet est la variation de la distance entre ces objets en une seconde.
- Deux objets qui se déplacent l’un par rapport à l’autre ont la même vitesse l’un par rapport à l’autre.
- Deux objets qui se déplacent dans la même direction à la même vitesse sont au repos l’un par rapport à l’autre.
