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Fiche explicative de la leçon : Théorème de Lami Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous apprendrons à résoudre des problèmes concernant l’équilibre d’une particule sous l’action de trois forces coplanaires en utilisant le théorème de Lami.

Lorsqu’une particule est en équilibre, la première loi de Newton nous dit que la somme des forces qui agissent sur la particule est nulle. Si la particule en équilibre est soumise à seulement trois forces coplanaires, concourantes et non colinéaires, alors les vecteurs représentant les trois forces sont dans une géométrie particulière, décrite par le théorème de Lami.

Pour comprendre le théorème de Lami, nous devons d’abord réarranger les trois vecteurs représentant les trois forces 𝐹, 𝐹 et 𝐹. Puisque 𝐹+𝐹+𝐹=0, les trois vecteurs représentant les trois forces forment un triangle lorsqu’ils sont reliés pointe à queue, appelé triangle des forces.

Rappelons maintenant la loi des sinus.

Définition : La loi des sinus

Pour un triangle 𝐴𝐵𝐶, 𝑎 est la longueur du côté opposé à l’angle 𝐴, 𝑏 est la longueur du côté opposé à l’angle 𝐵 et 𝑐 est la longueur du côté opposé à l’angle 𝐶, on a la relation 𝑎𝐴=𝑏𝐵=𝑐𝐶.sinsinsin

Nous voyons que la loi des sinus nous donne une relation entre les intensités des trois forces et les angles dans le triangle des forces. Cependant, nous connaissons en général les angles entre les vecteurs représentant les forces, c’est-à-dire lorsque les queues des forces se rencontrent en la particule. Ces angles sont notés 𝛼, 𝛽 et 𝛾 dans la première figure de cette fiche explicative.

Explorons donc le lien entre ces angles, 𝛼, 𝛽 et 𝛾, et les angles 𝐴, 𝐵 et 𝐶 dans le triangle des forces.

Les angles externes du triangle 𝐴𝐵𝐶 sont représentés sur la figure suivante. Chacun d’entre eux est un angle supplémentaire de l’angle interne adjacent du triangle.

Nous voyons que chaque angle externe est l’angle entre les deux vecteurs qui se joignent au sommet correspondant. Ainsi, par exemple, l’angle extérieur en 𝐴 est l’angle entre 𝐹 et 𝐹, c’est-à-dire l’angle 𝛼. Par conséquent, nous avons 𝛼=180𝐴, qui peut être réarrangé comme 𝐴=180𝛼.

De la même manière, on constate que 𝐵=180𝛽,𝐶=180𝛾.

Puisque sinsin(180𝜃)=𝜃, pour tout 𝜃, on voit que l’on peut remplacer sin𝐴, sin𝐵 et sin𝐶 par sin𝛼, sin𝛽 et sin𝛾 lors de l’application de la loi des sinus dans le triangle des forces. Cela conduit au théorème de Lami.

Définition : Théorème de Lami

Pour trois forces coplanaires, concourantes et non colinéaires 𝐹, 𝐹 et 𝐹 agissant sur une particule en équilibre, on a la relation 𝐹𝛼=𝐹𝛽=𝐹𝛾,sinsinsin𝛼 est l’angle entre 𝐹 et 𝐹, 𝛽 est l’angle entre 𝐹 et 𝐹 et 𝛾 est l’angle entre 𝐹 et 𝐹.

Regardons maintenant un exemple d’application du théorème de Lami.

Exemple 1: Déterminer une force manquante à l’aide du théorème de Lami

Sur la figure donnée, la particule 𝐴 est en équilibre sous l’effet des forces indiquées, qui sont en newtons. Déterminez la force 𝐹.

Réponse

Selon le théorème de Lami, 𝐹(𝐴)=31(150).sinsin

Nous pouvons déterminer 𝐴 comme suit:𝐴=3602(150)=60.

Nous avons alors que 𝐹(60)=31(150)𝐹=31(60)(150)𝐹=31=313.sinsinsinsinN

Voyons maintenant une application du théorème de Lami avec une force et un angle inconnus.

Exemple 2: Déterminer une force et un angle manquants en utilisant le théorème de Lami

Un poids de 90 gp est suspendu par deux cordes inextensibles. La première est inclinée d’un angle 𝜃 par rapport à la verticale et la seconde est à 30 de la verticale. Si l’intensité de la tension dans la première corde est de 45 gp, trouvez 𝜃 et l’intensité de la tension 𝑇 dans la deuxième corde.

Réponse

Le système de forces agissant sur le corps est illustré sur la figure suivante.

L’angle 𝛼 est donnée par 𝛼=18030=150.

On voit aussi que 𝜙=180𝜃.

Selon le théorème de Lami, 45(150)=90(30+𝜃)=𝐹(180𝜃).sinsinsin

Un seul des termes de l’expression ne contient pas d’inconnues, c’est 45(150)=45=90.sin

On a alors que 90=90(30+𝜃).sin

Pour que ce soit le cas, il faut que sin(30+𝜃)=1.

Sachant que sin(90)=1, on a 30+𝜃=90; donc 𝜃=60.

Nous pouvons maintenant voir que 90=𝐹(18060).sin

Réarranger pour isoler 𝐹 donne 𝐹=90(120)=90×32=453.sinkgp

Voyons maintenant une application du théorème de Lami à des forces sur un corps sphérique.

Exemple 3: Déterminer les forces de réactions sur une sphère au repos en équilibre entre deux planches inclinées

Une sphère repose sur deux planches. La distance entre les deux points de contact est égale au rayon de la sphère. Déterminez la force de réaction de chaque planche sur la sphère, sachant que le poids de la sphère est de 261 N.

Réponse

D’après la figure, la ligne d’action du poids de la sphère passe par le point de rencontre des deux planches. Nous savons que si deux tangentes sur un cercle se coupent, alors les distances entre le point où elles touchent le cercle et le point où elles se croisent sont identiques. Cela signifie que la ligne d’action du poids est un axe de symétrie du système. Par conséquent, nous savons déjà que 𝑅=𝑅.

En outre, le centre du cercle et les deux points de contact avec les planches sont équidistants, formant ainsi un triangle équilatéral avec des angles internes de 60. Comme la ligne d’action du poids est un axe de symétrie, les angles entre le poids et la force de réaction de chaque planche sont donc égaux et donnés par 12(36060)=150.

Le système de forces agissant sur le corps est illustré sur la figure suivante.

Appliquer le théorème de Lami donne 𝑊60=𝑅150=𝑅150.sinsinsin

Par conséquent, 𝑅=𝑅=𝑊60150=261=2613=26133=873.sinsinN

La norme de la force de réaction de chaque planche est de 873N.

Voyons maintenant un exemple dans lequel le théorème de Lami est appliqué à un système de forces qui correspond à un triangle rectangle.

Exemple 4: Déterminer les forces manquantes en utilisant le théorème de Lami dans un problème concret

Un corps de poids 12 N est attaché à l’extrémité d’une corde légère et inextensible. L’autre extrémité de la corde est fixée à un mur vertical. Une force horizontale 𝐹 maintient le corps en équilibre lorsque la mesure de l’angle entre le mur et la corde est de 30. Trouvez 𝑇, la tension dans la corde et 𝐹, la force horizontale.

Réponse

Nous pouvons résoudre cette question en appliquant le théorème de Lami. Pour cela, nous devons déterminer les angles entre les forces. On sait déjà que l’angle entre le poids et 𝐹 est de 90. Puisque 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en 𝐵 et que l’angle 𝐴 mesure 30, on en conclut que l’angle 𝐶 mesure 60. L’angle entre 𝑇 et le poids vaut donc 90+60=150. Cela peut aussi être trouvé en considérant les angles alternes internes entre les deux droites verticales (et donc parallèles) 𝐴𝐵 et la ligne d’action du poids.

Enfin, l’angle entre 𝐹 et 𝑇 vaut 36090150=120.

En appliquant le théorème de Lami, nous trouvons que 𝑊120=𝑇90=𝐹150.sinsinsin

En substituant les valeurs de 𝑊 et les sinus, on trouve 12=𝑇=𝐹, ce qui donne 243=𝑇=2𝐹.

Par conséquent, 𝑇=2𝐹=2433=83,N et 𝐹=43.N

Voyons maintenant un exemple d’application du théorème de Lami à un système en équilibre.

Exemple 5: Déterminer une force et un angle manquants en utilisant le théorème de Lami dans un problème concret

Comme le montre la figure, un bloc de poids 𝑊N est suspendu à une corde reliée à deux autres morceaux de corde, chacun passant sur une poulie lisse. Sachant que deux corps 𝐴 et 𝐵, de poids 50 et 48 newtons respectivement, sont attachés aux autres extrémités des cordes et que le système est en équilibre, déterminez 𝜃 à la minute près et 𝑊 au centième près.

Réponse

Le système de forces agissant sur le bloc est illustré sur la figure suivante. Les tensions dans chaque corde, 𝑇 et 𝑇, sont égales aux poids de 𝐴 et 𝐵 respectivement.

L’angle entre le vecteur du poids du bloc et le vecteur du poids du corps 𝐴 est donné par 45+90=135.

En appliquant le théorème de Lami, nous trouvons que 48135=𝑊𝜙=50(90+𝜃).sinsinsin

Trouvons d’abord 𝜃.

En réarrangeant 48135=50(90+𝜃),sinsin on constate que sinsinsinsin(90+𝜃)=5048135504813547,44.

90+𝜃 est l’angle dans le deuxième quadrant ayant la même valeur de sinus que 47,44.

Par conséquent, nous avons 90+𝜃18047,44132,56, et comme 90+𝜃132,56, on obtient 𝜃42,56.

À la minute près, cela donne 4234.

On en déduit que 𝜙1804542,5692,44.

En appliquant le théorème de Lami, nous avons alors 48135𝑊92,44.sinsin

En réarranger pour isoler 𝑊, nous avons 𝑊48×92,44135.sinsin

À deux décimales près, on obtient 67,82 N.

Résumons maintenant ce que nous avons appris dans ces exemples.

Points clés

  • Pour trois forces coplanaires, concourantes et non colinéaires 𝐹, 𝐹 et 𝐹 agissant sur une particule en équilibre, on a 𝐹𝛼=𝐹𝛽=𝐹𝛾,sinsinsin𝛼 est l’angle entre 𝐹 et 𝐹, 𝛽 est l’angle entre 𝐹 et 𝐹 et 𝛾 est l’angle entre 𝐹 et 𝐹.

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