Dans cette fiche explicative, nous apprendrons à résoudre des problèmes concernant l’équilibre d’une particule sous l’action de trois forces coplanaires en utilisant le théorème de Lami.
Lorsqu’une particule est en équilibre, la première loi de Newton nous dit que la somme des forces qui agissent sur la particule est nulle. Si la particule en équilibre est soumise à seulement trois forces coplanaires, concourantes et non colinéaires, alors les vecteurs représentant les trois forces sont dans une géométrie particulière, décrite par le théorème de Lami.
Pour comprendre le théorème de Lami, nous devons d’abord réarranger les trois vecteurs représentant les trois forces , et . Puisque , les trois vecteurs représentant les trois forces forment un triangle lorsqu’ils sont reliés pointe à queue, appelé triangle des forces.
Rappelons maintenant la loi des sinus.
Définition : La loi des sinus
Pour un triangle , où est la longueur du côté opposé à l’angle , est la longueur du côté opposé à l’angle et est la longueur du côté opposé à l’angle , on a la relation
Nous voyons que la loi des sinus nous donne une relation entre les intensités des trois forces et les angles dans le triangle des forces. Cependant, nous connaissons en général les angles entre les vecteurs représentant les forces, c’est-à-dire lorsque les queues des forces se rencontrent en la particule. Ces angles sont notés , et dans la première figure de cette fiche explicative.
Explorons donc le lien entre ces angles, , et , et les angles , et dans le triangle des forces.
Les angles externes du triangle sont représentés sur la figure suivante. Chacun d’entre eux est un angle supplémentaire de l’angle interne adjacent du triangle.
Nous voyons que chaque angle externe est l’angle entre les deux vecteurs qui se joignent au sommet correspondant. Ainsi, par exemple, l’angle extérieur en est l’angle entre et , c’est-à-dire l’angle . Par conséquent, nous avons qui peut être réarrangé comme
De la même manière, on constate que
Puisque , pour tout , on voit que l’on peut remplacer , et par , et lors de l’application de la loi des sinus dans le triangle des forces. Cela conduit au théorème de Lami.
Définition : Théorème de Lami
Pour trois forces coplanaires, concourantes et non colinéaires , et agissant sur une particule en équilibre, on a la relation où est l’angle entre et , est l’angle entre et et est l’angle entre et .
Regardons maintenant un exemple d’application du théorème de Lami.
Exemple 1: Déterminer une force manquante à l’aide du théorème de Lami
Sur la figure donnée, la particule est en équilibre sous l’effet des forces indiquées, qui sont en newtons. Déterminez la force .
Réponse
Selon le théorème de Lami,
Nous pouvons déterminer comme suit :
Nous avons alors que
Voyons maintenant une application du théorème de Lami avec une force et un angle inconnus.
Exemple 2: Déterminer une force et un angle manquants en utilisant le théorème de Lami
Un poids de 90 gp est suspendu par deux cordes inextensibles. La première est inclinée d’un angle par rapport à la verticale et la seconde est à de la verticale. Si l’intensité de la tension dans la première corde est de 45 gp, trouvez et l’intensité de la tension dans la deuxième corde.
Réponse
Le système de forces agissant sur le corps est illustré sur la figure suivante.
L’angle est donnée par
On voit aussi que
Selon le théorème de Lami,
Un seul des termes de l’expression ne contient pas d’inconnues, c’est
On a alors que
Pour que ce soit le cas, il faut que
Sachant que on a donc
Nous pouvons maintenant voir que
Réarranger pour isoler donne
Voyons maintenant une application du théorème de Lami à des forces sur un corps sphérique.
Exemple 3: Déterminer les forces de réactions sur une sphère au repos en équilibre entre deux planches inclinées
Une sphère repose sur deux planches. La distance entre les deux points de contact est égale au rayon de la sphère. Déterminez la force de réaction de chaque planche sur la sphère, sachant que le poids de la sphère est de 261 N.
Réponse
D’après la figure, la ligne d’action du poids de la sphère passe par le point de rencontre des deux planches. Nous savons que si deux tangentes sur un cercle se coupent, alors les distances entre le point où elles touchent le cercle et le point où elles se croisent sont identiques. Cela signifie que la ligne d’action du poids est un axe de symétrie du système. Par conséquent, nous savons déjà que
En outre, le centre du cercle et les deux points de contact avec les planches sont équidistants, formant ainsi un triangle équilatéral avec des angles internes de . Comme la ligne d’action du poids est un axe de symétrie, les angles entre le poids et la force de réaction de chaque planche sont donc égaux et donnés par
Le système de forces agissant sur le corps est illustré sur la figure suivante.
Appliquer le théorème de Lami donne
Par conséquent,
La norme de la force de réaction de chaque planche est de .
Voyons maintenant un exemple dans lequel le théorème de Lami est appliqué à un système de forces qui correspond à un triangle rectangle.
Exemple 4: Déterminer les forces manquantes en utilisant le théorème de Lami dans un problème concret
Un corps de poids 12 N est attaché à l’extrémité d’une corde légère et inextensible. L’autre extrémité de la corde est fixée à un mur vertical. Une force horizontale maintient le corps en équilibre lorsque la mesure de l’angle entre le mur et la corde est de . Trouvez , la tension dans la corde et , la force horizontale.
Réponse
Nous pouvons résoudre cette question en appliquant le théorème de Lami. Pour cela, nous devons déterminer les angles entre les forces. On sait déjà que l’angle entre le poids et est de . Puisque est un triangle rectangle en et que l’angle mesure , on en conclut que l’angle mesure . L’angle entre et le poids vaut donc . Cela peut aussi être trouvé en considérant les angles alternes internes entre les deux droites verticales (et donc parallèles) et la ligne d’action du poids.
Enfin, l’angle entre et vaut .
En appliquant le théorème de Lami, nous trouvons que
En substituant les valeurs de et les sinus, on trouve ce qui donne
Par conséquent, et
Voyons maintenant un exemple d’application du théorème de Lami à un système en équilibre.
Exemple 5: Déterminer une force et un angle manquants en utilisant le théorème de Lami dans un problème concret
Comme le montre la figure, un bloc de poids est suspendu à une corde reliée à deux autres morceaux de corde, chacun passant sur une poulie lisse. Sachant que deux corps et , de poids 50 et 48 newtons respectivement, sont attachés aux autres extrémités des cordes et que le système est en équilibre, déterminez à la minute près et au centième près.
Réponse
Le système de forces agissant sur le bloc est illustré sur la figure suivante. Les tensions dans chaque corde, et , sont égales aux poids de et respectivement.
L’angle entre le vecteur du poids du bloc et le vecteur du poids du corps est donné par
En appliquant le théorème de Lami, nous trouvons que
Trouvons d’abord .
En réarrangeant on constate que
est l’angle dans le deuxième quadrant ayant la même valeur de sinus que .
Par conséquent, nous avons et comme , on obtient
À la minute près, cela donne .
On en déduit que
En appliquant le théorème de Lami, nous avons alors
En réarranger pour isoler , nous avons
À deux décimales près, on obtient 67,82 N.
Résumons maintenant ce que nous avons appris dans ces exemples.
Points clés
- Pour trois forces coplanaires, concourantes et non colinéaires , et agissant sur une particule en équilibre, on a où est l’angle entre et , est l’angle entre et et est l’angle entre et .
