Fiche explicative de la leçon : Propriétés d’un gaz parfait Physique

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer la relation entre les variations de pression, de volume et de température d’un gaz parfait.

Un gaz est un ensemble de particules qui disposent d’un plus grand espace entre elles à la différence des autres états de la matière. Lorsqu’on décrit un gaz, il est très difficile de le faire pour chaque molécule individuellement, car chacune d’elles se déplace dans sa propre direction avec sa propre vitesse.

Plutôt que d’essayer vainement de décrire chaque molécule, les gaz sont définis par leur propriétés physiques à l’échelle macroscopique. Cela signifie qu’on considère le gaz dans sa globalité, plutôt que l’assemblage de particules microscopiques qui le composent.

La représentation de gauche indique comment nous allons considérer les propriétés d’un gaz, c’est-à-dire dans son ensemble, contrairement à la représentation de droite montrant des particules individuelles. Les propriétés macroscopiques sont des moyennes des propriétés de toutes les molécules d’un ensemble. Les trois propriétés physiques que nous allons examiner dans cette fiche explicative sont la pression, le volume et la température.

La pression est la force exercée par le gaz sur l'aire de la surface du récipient dans lequel il est enfermé. C’est-à-dire pressionforceaire=.

Dans le cas d’un gaz, la force est exercée par les molécules qui entrent en collision avec les parois du récipient, et l'aire de la surface est celle mesurée. Il est possible d’avoir un gaz non confiné, tel que les nuages, dont les formes sont très irrégulières et difficiles à mesurer.

Pour les gaz, la pression est généralement mesurée en pascals (Pa), c’est-à-dire newtons par mètre carré (N/m2).

Le volume est le volume total que le gaz occupe. Comme les gaz se dilatent de manière à occuper tout le volume du récipient dans lequel ils se trouvent, le volume du gaz est souvent assimilé au volume du récipient. Pour les gaz, l’unité est généralement le mètre cube (m3).

La température est la température moyenne du gaz. Pour les gaz, la température doit toujours être exprimée en kelvins. Rappelons que les kelvins peut être obtenu à partir des degrés Celsius en ajoutant 273,15:𝑇=𝑇+273,15.KC

Lorsqu’elle est utilisée dans une équation, la température doit être en kelvins, sinon les équations ne fonctionneront pas.

Réunies, ces grandeurs forment l’équation des gaz parfaits.

L’équation des gaz parfaits

Pour un gaz parfait, 𝑃𝑉=𝑘𝑇,𝑃 est la pression, 𝑉 est le volume, 𝑇 est la température en kelvins, et 𝑘 est une constante de proportionnalité.

Cette constante de proportionnalité 𝑘 dépend du nombre de molécules et du type de gaz. Elle reste constante tant que la masse du gaz ne change pas, c’est-à-dire tant que l’on n’ajoute ou ne retire pas de gaz à un ensemble considéré.

Il convient de noter que cette équation ne fonctionne que pour les gaz parfaits. Un gaz parfait est un gaz dont les molécules de taille négligeable n’interagissent pas entre elles. Naturellement, les molécules dans un gaz se heurtent entre elles, mais il est plus facile mathématiquement de supposer qu’elles ne le font pas, et ce qui en résulte reste toujours valable.

Regardons un exemple.

Exemple 1: Relations entre les propriétés physiques d’un gaz parfait

Laquelle des formules suivantes présente la relation entre la pression, le volume et la température absolue d’un gaz parfait?

  1. 𝑉𝑇𝑃
  2. 𝑃𝑉𝑇
  3. 𝑃𝑉𝑇
  4. 𝑉𝑃𝑇
  5. 𝑃𝑇𝑉

Réponse

Le symbole veut dire « proportionnel à ». Il est utilisé pour montrer que lorsqu’une valeur augmente, une autre augmente en conséquence.

En regardant l’équation des gaz parfaits, on voit que 𝑃𝑉 est dans un membre, et 𝑘𝑇 est dans l’autre:𝑃𝑉=𝑘𝑇.

On peut dire que 𝑃𝑉 est proportionnel à 𝑘𝑇, car lorsque l’un des membres augmente, l’autre le fait également afin de maintenir l’égalité. Cependant, 𝑘 reste inchangé sauf si le nombre de molécules dans le gaz change, il peut être supposé constant.

Lorsqu’on considère une relation de proportionnalité, les constantes sont généralement ignorées, car nous nous intéressons uniquement à l’évolution des variables et nous savons que la constante ne varie pas. Ainsi, nous pouvons écrire l’équation des gaz parfaits comme une proportionnalité en ignorant 𝑘, on a:𝑃𝑉𝑇.

Par conséquent, la réponse correcte est C, soit 𝑃𝑉𝑇.

Utiliser des valeurs numériques dans cette relation de proportionnalité permettrait d’observer l’évolution des grandeurs étudiées.

Regardons un exemple.

Exemple 2: Modifications proportionnelles des propriétés physiques macroscopiques

Un gaz parfait ayant un volume de 40 m3 est chauffé de sorte que sa température augmente de 23C à 60C. À ce moment, son volume est égal à 34 m3;cela implique que .

  1. sa masse volumique a diminué
  2. sa pression n’a pas changé
  3. sa pression a augmenté
  4. sa masse volumique n’a pas changé

Réponse

Regardons à nouveau l’équation des gaz parfaits:𝑃𝑉=𝑘𝑇.

Les grandeurs qui ont changé sont le volume 𝑉 et la température 𝑇. Le volume a diminué de 40 m3 à 34 m3, tandis que la température a augmenté de 23C à 60C. Dans l’équation, la valeur de 𝑉 devient plus petite, et celle de 𝑇 devient plus grande:𝑃𝑉=𝑘𝑇.

La constante 𝑘 étant une constante, n’est pas affectée par les changements.

Normalement, si 𝑇 augmente, on s’attend à ce que 𝑃𝑉 augmente aussi. Dans ce cas, cependant, 𝑉 a diminué. Pour compenser, l’augmentation de la pression 𝑃 doit augmenter en conséquence non seulement de l’augmentation de la température, mais aussi de la diminution du volume.

Par conséquent, la pression 𝑃 a augmenté. La bonne réponse est C.

Pour utiliser l’équation des gaz parfaits, encore une fois, nous devons supposer que le gaz avec lequel nous travaillons est parfait. Les molécules n’interagissent pas entre elles, et leur taille est négligeable. Pour la plupart des problèmes (et les calculs en pratique), on fait toujours l’hypothèse que le gaz est parfait, sauf mention contraire explicite.

Regardons l’équation des gaz parfaits avec des valeurs numériques qui varient et voyons comment la résoudre pour le cas d’une canette d’air comprimé.

Initialement dans une chambre froide, cette canette d’air ayant un volume de 2 m3 est comprimée jusqu’à 1 m3. Au cours de cette compression, sa température diminue de 2C à 6C. Si la pression initiale est 110 kPa, quelle est la pression après la compression?

L’équation des gaz parfaits s’écrit 𝑃𝑉=𝑘𝑇.

Commençons par écrire cette l’équation avant et après la compression:avec les indices 1 pour avant la compression, et les indices 2 pour après la compression:𝑃𝑉=𝑘𝑇,𝑃𝑉=𝑘𝑇.

Notez que le nombre de molécules de gaz reste inchangé, de sorte que 𝑘 est identique dans les deux équations. C’est ce qui va nous permettre de relier les deux équations. Pour ce faire, commençons par diviser chaque équation par leur température pour isoler 𝑘.

Pour la première équation, 𝑃𝑉𝑇=𝑘𝑇𝑇.

En simplifiant 𝑇 on a 𝑃𝑉𝑇=𝑘.

Pour la deuxième équation, c’est la même chose:𝑃𝑉𝑇=𝑘𝑇𝑇𝑃𝑉𝑇=𝑘.

On obtient deux égalités pour 𝑘, que l’on peut relier entre elles:𝑘=𝑘,𝑃𝑉𝑇=𝑃𝑉𝑇.

Nous souhaitons déterminer la pression de la canette après la compression, à savoir 𝑃. Pour isoler cette valeur, nous pouvons utiliser l’équation ci-dessus. Commençons par multiplier les deux membres par 𝑇:𝑃𝑉𝑇×𝑇=𝑃𝑉𝑇×𝑇.

En simplifiant 𝑇 à droite, on obtient 𝑃𝑉𝑇𝑇=𝑃𝑉.

On divise les deux membres par 𝑉 pour l’éléminer du membre de droite, 𝑃𝑉𝑇𝑇𝑉=𝑃𝑉𝑉.

En simplifiant, on obtient 𝑃𝑉𝑇𝑇𝑉=𝑃.

Il ne reste plus qu’à remplacer par les valeurs numériques, que nous connaissons:𝑃 est 110 kPa, 𝑉 est 2 m3, 𝑇 est 6C, 𝑇 est 2C et 𝑉 est 1 m3.

Cela nous donne (110)2(6)(2)(1)=𝑃.kPamCCm

Les mètres cubes et les degrés Celsius se simplifient, en laissant seulement les kilopascals. Après calcul et en arrondissant au kPa près, cela donne 𝑃=660.kPa

Cependant, ceci n’est pas correct!La compression d’un gaz est censée augmenter la pression et non la rendre négative. L’erreur vient de la température utilisée en degrés Celsius, au lieu de kelvins. L’équation des gaz parfaits et ses autres formes exigent d’utiliser exclusivement les kelvins.

Pour obtenir la bonne réponse, nous devons convertir en kelvins. 𝑇 est 2C, et 𝑇 est 6C. L’addition de 273,15 à chacune des valeurs nous donne les températures en kelvins que nous devons utiliser dans l’équation des gaz parfaits:𝑇=2+273,15,𝑇=6+273,15.KK

Donc, 𝑇 est 275,15 K et 𝑇 est 267,15 K. En utilisant ces valeurs dans l’équation, on obtient (110)2(267,15)(275,15)(1)=𝑃.kPamKKm

En faisant le calcul avec les bonnes valeurs et en arrondissant, on obtient 𝑃=214.kPa

Voyons quelques exemples supplémentaires.

Exemple 3: Refroidissement et compression d’un nuage

Un nuage a un volume de 3‎ ‎560 m3 lorsqu’il est dans l’air avec une pression de 106 kPa et une température de 290 K. La température de l’air chute ensuite à 275 K et la pression de l’air chute à 101 kPa, provoquant la compression du nuage, comme le montre l’illustation. Quel est le nouveau volume du nuage?Répondez à la question au mètre cube près.

Réponse

La masse du gaz reste inchangée, de sorte que 𝑘 est constant. Ceci nous permet de relier l’état du nuage avant et après la compression, 𝑃𝑉𝑇=𝑃𝑉𝑇.

Nous connaissons toutes les valeurs, à l’exception de celle de 𝑉, le volume du nuage après compression. Nous devons trouver 𝑉, alors isolons-le. Commençons par multiplier les deux membres par 𝑇:𝑃𝑉𝑇×𝑇=𝑃𝑉𝑇×𝑇, qui devient 𝑃𝑉𝑇𝑇=𝑃𝑉.

On peut alors diviser les deux membres par 𝑃:𝑃𝑉𝑇𝑇𝑃=𝑃𝑉𝑃.

En simplifiant, on obtient 𝑃𝑉𝑇𝑇𝑃=𝑉.

𝑃 est 106 kPa, 𝑉 est 3‎ ‎560 m3 et 𝑇 est en kelvins, il est donc inutile convertir la valeur de 290 K. De même, 𝑇 est 275 K et 𝑃 est 101 kPa. En mettant toutes ces valeurs dans l’équation ci-dessus, on obtient (106)3560(275)(290)(101)=𝑉.kPamKKkPa

Les kilopascals et kelvins se simplifient, en laissant les unités de volume, mètres cubes. Après application numérique, on obtient 𝑉=3543.m

Ainsi, le volume total du nuage est passé de 3‎ ‎560 m3 à 3‎ ‎543 m3.

Exemple 4: Transfert d’air entre ballons

Un ballon contient 0,012 m3 d’air à une pression de 101 kPa et à une température de 300 K. L’air de ce ballon est transféré vers un autre ballon dont le volume sera la moitié du volume du premier. Une pression externe de 125 kPa est nécessaire pour réaliser le transfert de l’air. Quelle est la température de l’air dans le nouveau ballon?Donnez la réponse au kelvin près.

Réponse

Les ballons contiennent exactement le même air, qui vient d’être transféré, donc 𝑘 est inchangé. Ceci qui nous permet d’identifier l’équation relative à l’ancien ballon (indice 1) à celle du nouveau ballon (indice 2):𝑃𝑉𝑇=𝑃𝑉𝑇.

Assurons-nous d’abord que nous avons toutes les valeurs numériques dont nous avons besoin. Le volume du nouveau ballon vers lequel l’air est transféré est égal à la moitié du volume du premier ballon. Le volume du premier ballon 𝑉 est 0,012 m3, donc la moitié sera égal à 𝑉:0,0122=0,006.mm

Donc, 𝑉 est 0,0006 m3.

La question indique également que 125 kPa sont nécessaires pour transférer l’air, mais ceci n’est pas 𝑃. Cela signifie que 125 kPa sont requis pour mettre tout l’air dans ce nouveau ballon, de sorte que cette pression s’ajoute à l’ancienne;𝑃 est ainsi la somme des deux:101+125=226.kPakPakPa

Ainsi, 226 kPa est la valeur de 𝑃.

Nous cherchons la température finale 𝑇 dans le nouveau ballon, nous commençons par le mettre au numérateur. Inversons les deux membres de l’équation d’équivalence:𝑃𝑉𝑇=𝑃𝑉𝑇,𝑇𝑃𝑉=𝑇𝑃𝑉.

Pour isoler 𝑇, on multiplie les deux membres par (𝑃𝑉):𝑇𝑃𝑉×(𝑃𝑉)=𝑇𝑃𝑉×(𝑃𝑉).

(𝑃𝑉) se simplifie dans le membre de droite, 𝑇𝑃𝑉𝑃𝑉=𝑇.

𝑇est 300 K, 𝑃 est 226 kPa, 𝑉 est 0,006 m3, 𝑃 est 101 kPa, et 𝑉 est 0,012 m3. En remplaçant toutes ces valeurs dans l’équation, on obtient (300)(226)0,006(101)(0,012)=𝑇.KkPamkPam

Les mètres cubes et kilopascals se simplifient, il reste la température en kelvins. Après calcul, on obtient 𝑇=336.K

Ainsi, la température finale du nouveau ballon est 336 kelvins.

Résumons ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.

Points clés

  • Un gaz parfait est un gaz dont les molécules sont de taille négligeable et n’interagissent pas entre elles.
  • Les propriétés physiques macroscopiques d’un gaz sont la pression, le volume et la température (qui doit être en kelvins).
  • L’équation de la loi des gaz parfaits est 𝑃𝑉=𝑘𝑇,𝑃 est la pression, 𝑉 le volume, 𝑘 la constante de proportionnalité, et 𝑇 la température en kelvins.
  • Lorsque la masse du gaz ne change pas, 𝑘 reste constant, de sorte que 𝑃𝑉𝑇=𝑃𝑉𝑇,𝑃, 𝑉 et 𝑇 sont la pression, le volume et la température avant un changement et 𝑃, 𝑉 et 𝑇 sont la pression, le volume et la température après un changement.

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