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Fiche explicative de la leçon : Dérivées secondes et d’ordre supérieur Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer les dérivées d'ordre deux et d’ordre supérieur d’une fonction en utilisant des règles de dérivation.

La dérivée d’une fonction nous donne des informations sur le taux de variation de cette fonction. Ce concept est d'une utilité considérable et il est utilisé dans beaucoup de problèmes concrets tels que la croissance démographique et l’optimisation. Cependant, il n'est pas nécessaire de s'arrêter là, on peut aussi se poser la question:« comment le taux de variation lui-même change-t-il? » On peut déterminer cela en dérivant la dérivée première:on appelle cela la dérivée seconde. En fait, on peut continuer à dériver pour trouver des dérivées d’ordre supérieur.

Ces dérivées d’ordre supérieur sont également utiles dans de nombreux problèmes concrets, notamment les systèmes masse-ressort et le problème à deux corps. Il y a deux notations principales pour les dérivées:la notation de Leibniz et la notation prime (parfois appelée notation de Lagrange). Commençons par étendre ces notations aux dérivées d’ordre supérieur.

Définition : Dérivées d’ordre supérieur

Tant que chaque dérivée existe, on peut dériver une fonction un nombre quelconque de fois et on peut représenter la dérivée n-ième d’une fonction 𝑦=𝑓(𝑥) comme dd𝑦𝑥 ou de deux façons avec la notation prime comme suit 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥),()ou où le symbole prime apparaît 𝑛 fois.

On peut évaluer les dérivées d’ordre supérieur d’une fonction en une valeur de 𝑥. Par exemple, la dérivée seconde évaluée en 𝑥=1 peut être écrite comme suit 𝑦𝑥𝑓(1).ddou

Dans notre premier exemple, nous allons trouver la dérivée seconde d’une fonction polynomiale.

Exemple 1: Déterminer la dérivée seconde d’une fonction polynomial

Sachant que 𝑦=6𝑥+3𝑥7𝑥+6, déterminez dd𝑦𝑥.

Réponse

Pour calculer dd𝑦𝑥, on doit dériver 𝑦 deux fois par rapport à 𝑥. Or, 𝑦 est un polynôme de 𝑥 et on peut dériver tout polynôme terme par terme en utilisant la règle de dérivation des fonctions puissances:pour 𝑎, 𝑛, dd𝑥(𝑎𝑥)=𝑎𝑛𝑥.

On peut commencer par dériver une fois pour trouver dd𝑦𝑥:dddddddddddddd𝑦𝑥=𝑥6𝑥+3𝑥7𝑥+6=𝑥6𝑥+3𝑥7𝑥+6𝑥=𝑥6𝑥+𝑥3𝑥+𝑥7𝑥+𝑥6𝑥=6(5)𝑥+3(2)𝑥+(7)(1)𝑥+6(0)𝑥=30𝑥+6𝑥7.

Ensuite, pour trouver dd𝑦𝑥, il faut à nouveau dériver cette expression:dddddddddddddd𝑦𝑥=𝑥𝑦𝑥=𝑥30𝑥+6𝑥7=𝑥30𝑥+𝑥6𝑥+𝑥7𝑥=30(4)𝑥+6(1)𝑥+(7)(0)𝑥=120𝑥+6=620𝑥+1.

Ainsi, dd𝑦𝑥=620𝑥+1.

Dans notre deuxième exemple, nous allons déterminer la valeur de la dérivée seconde d’une fonction en un point donné.

Exemple 2: Déterminer la valeur de la dérivée seconde d’une fonction en un point donné

Déterminez la valeur de la dérivée seconde de la fonction 𝑦=12𝑥8𝑥 en (1;4).

Réponse

On trouve la dérivée seconde de 𝑦 en dérivant la fonction 𝑦 pour obtenir dd𝑦𝑥 puis en dérivant à nouveau pour obtenir dd𝑦𝑥. Pour ce faire, commençons par réécrire l'expression:𝑦=12𝑥8𝑥=12𝑥8𝑥.

On peut alors dériver cette expression en utilisant la règle de dérivation des fonctions puissances:pour 𝑘,𝑛, dd𝑥(𝑘𝑥)=𝑘𝑛𝑥.

Ainsi, dddddddd𝑦𝑥=𝑥12𝑥8𝑥=𝑥12𝑥𝑥8𝑥=12(1)𝑥8(1)𝑥=12+8𝑥.

On peut dériver à nouveau pour trouver dd𝑦𝑥:dddddddddddd𝑦𝑥=𝑥𝑦𝑥=𝑥12+8𝑥=𝑥12𝑥+𝑥8𝑥=12(0)𝑥+8(2)𝑥=16𝑥.

Enfin, il nous est demandé de trouver la valeur de la dérivée seconde au point (1;4), c’est-à-dire lorsque 𝑥=1. On remplace cette valeur dans l’expression:𝑦𝑥=16(1)=16.dd

Ainsi, la valeur de la dérivée seconde de la fonction au point (1;4) est 16.

Dans notre prochain exemple, nous allons trouver la dérivée seconde d’une fonction rationnelle.

Exemple 3: Déterminer la dérivée seconde de fonctions rationnelles

Sachant que 𝑦=3𝑥52𝑥+7, déterminez dd𝑦𝑥.

Réponse

Pour trouver dd𝑦𝑥, il faut dériver 𝑦 deux fois par rapport à 𝑥. Comme on nous donne une fonction rationnelle, on peut déterminer la dérivée première en utilisant la règle de dérivation d’un quotient.

Si 𝑢 et 𝑣 sont des fonctions dérivables, alors dd𝑥𝑢𝑣=𝑣𝑢𝑣.dddd

On a 𝑢=3𝑥5,𝑣=2𝑥+7.

Comme ce sont des polynômes, les deux fonctions sont dérivables et, par conséquent, on peut les dériver en utilisant la règle de dérivation des fonctions puissances:pour 𝑎,𝑛, dd𝑥(𝑎𝑥)=𝑎𝑛𝑥.

Ce qui donne dddddddd𝑢𝑥=𝑥3𝑥5=6𝑥,𝑣𝑥=𝑥2𝑥+7=4𝑥.

Remplacer nos expressions pour 𝑢, 𝑣, dd𝑢𝑥 et dd𝑣𝑥 dans la règle de dérivation d’un quotient donne dd𝑦𝑥=2𝑥+7(6𝑥)3𝑥5(4𝑥)(2𝑥+7)=12𝑥+42𝑥12𝑥+20𝑥(2𝑥+7)=62𝑥(2𝑥+7).

On doit dériver cette expression pour trouver dd𝑦𝑥. Comme il s’agit d’une fonction rationnelle, on utilise à nouveau la règle de dérivation d’un quotient. Ce qui donne 𝑢=62𝑥,𝑣=2𝑥+7.

Pour nous aider à dériver 𝑣, distribuons l’exposant:𝑣=2𝑥+7=4𝑥+28𝑥+49.

On peut alors dériver les deux fonctions en utilisant la règle de dérivation des fonctions puissances:dddddddd𝑢𝑥=𝑥(62𝑥)=62𝑣𝑥=𝑥4𝑥+28𝑥+49=16𝑥+56𝑥=8𝑥2𝑥+7.

Remplacer nos expressions pour 𝑢, 𝑣, dd𝑢𝑥 et dd𝑣𝑥 dans la règle de dérivation d’un quotient donne dd𝑦𝑥=2𝑥+7(62)(62𝑥)8𝑥2𝑥+7(2𝑥+7)=622𝑥+72𝑥+78𝑥(2𝑥+7)=6276𝑥(2𝑥+7).

Ainsi, dd𝑦𝑥=6276𝑥(2𝑥+7).

Dans notre prochain exemple, nous allons utiliser ce que l'on sait des dérivées d’ordre supérieur d’une fonction pour déterminer les valeurs de coefficients de cette fonction.

Exemple 4: Déterminer des coefficients inconnus dans l’expression d’une fonction à partir des valeurs des dérivées deuxième et troisième de la function

Sachant que 𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑥, 𝑦=18 et 𝑦𝑥=14dd, trouvez 𝑎 et 𝑏.

Réponse

On souhaite déterminer les coefficients des deux termes dans notre fonction 𝑦. On nous donne des informations sur la dérivée troisième de 𝑦, 𝑦, et la dérivée seconde, dd𝑦𝑥.

Commençons par trouver des expressions pour ces dérivées d’ordre supérieur. On rappelle que, pour trouver dd𝑦𝑥 il faut dériver 𝑦 deux fois, et que pour trouver 𝑦, il faut dériver 𝑦 trois fois.

On peut dériver un polynôme en utilisant la règle de dérivation des fonctions puissances:pour 𝑎,𝑛, dd𝑥(𝑎𝑥)=𝑎𝑛𝑥.

En appliquant ceci, on a dddd𝑦𝑥=𝑥𝑎𝑥+𝑏𝑥=3𝑎𝑥+2𝑏𝑥.

En dérivant à nouveau, on a dddd𝑦𝑥=𝑥3𝑎𝑥+2𝑏𝑥=6𝑎𝑥+2𝑏.

Puis, en dérivant une dernière fois, on obtient dddd𝑦𝑥=𝑥(6𝑎𝑥+2𝑏)=6𝑎.

Or, on se souvient que 𝑦=𝑦𝑥dd et on sait que cela est égal à 18. Ce qui donne 6𝑎=18𝑎=3.

On nous dit aussi que 𝑦𝑥=14dd;cela signifie que lorsque l'on évalue la dérivée seconde en 𝑥=2, on doit obtenir 14. Ainsi, 14=𝑦𝑥=6𝑎(2)+2𝑏=12𝑎+2𝑏.dd

Remplacer 𝑎=3 dans cette équation donne 14=12(3)+2𝑏14=36+2𝑏22=2𝑏11=𝑏.

Donc, nous avons montré que 𝑎=3 et 𝑏=11.

Dans notre prochain exemple, nous allons découvrir un schéma qui se répète pour déterminer une dérivée d’ordre supérieur d’une fonction trigonométrique.

Exemple 5: Déterminer la dérivée n-ième d’une expression

Trouvez ddsin𝑥(𝑥) en déterminant les premières dérivées et en observant le schéma qui se répète.

Réponse

On souhaite trouver ddsin𝑥(𝑥), la dérivée cinquante-et-unième de sin𝑥 par rapport à 𝑥. On peut trouver cette expression en dérivant cette fonction cinquante-et-une fois;cependant, nous allons voir qu’il y a un schéma qui se répète dans les dérivées successives.

Commençons par rappeler les résultats suivants pour les dérivées de fonctions trigonométriques:ddsincosetddcossin𝑥(𝑥)=𝑥𝑥(𝑥)=𝑥.

Donc, cela nous donne la dérivée première de sin𝑥:ddsincos𝑥(𝑥)=𝑥.

On trouve la dérivée seconde de sin𝑥 en dérivant la dérivée première par rapport à 𝑥:ddsinddcossin𝑥(𝑥)=𝑥(𝑥)=𝑥.

En suivant la même méthode, on constate que ddsinddsincosddsinddcossin𝑥(𝑥)=𝑥(𝑥)=𝑥,(𝑥(𝑥)=𝑥(𝑥)=𝑥.

Ainsi, la dérivée quatrième de la fonction sinus est également la fonction sinus. Cela signifie que chaque fois que l'on dérive quatre fois la fonction sinus, on obtient la fonction sinus. Par conséquent, comme 48 est un multiple de 4, ddsinddddsinsin𝑥(𝑥)=𝑥𝑥(𝑥)=𝑥.

Pour trouver la dérivée cinquante-et-unième, on doit dériver encore trois fois:ddsinddddsinddsincos𝑥(𝑥)=𝑥𝑥(𝑥)=𝑥(𝑥)=𝑥.

Ainsi, ddsincos𝑥(𝑥)=𝑥.

Il arrive que l'on utilise des règles de dérivation à plusieurs reprises pour trouver des dérivées d’ordre supérieur, comme nous allons le voir dans les deux exemples suivants.

Exemple 6: Déterminer la dérivée troisième d’une fonction trigonométrique en utilisant la règle de dérivation d’un produit

Déterminez la dérivée troisième de la fonction 𝑦=44𝑥2𝑥sin.

Réponse

Pour déterminer la dérivée troisième d’une fonction, on doit la dériver trois fois. Puisqu'on nous donne un produit de deux fonctions dérivables, déterminons la dérivée première en utilisant la règle de dérivation d’un produit:

Si 𝑢(𝑥) et 𝑣(𝑥) sont dérivables, alors dd𝑥(𝑢(𝑥)𝑣(𝑥))=𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)+𝑢(𝑥)𝑣(𝑥).

On pose 𝑢(𝑥)=44𝑥𝑣(𝑥)=2𝑥.etsin

On peut dériver chacune de ces fonctions séparément:𝑢(𝑥)=44𝑣(𝑥)=22𝑥.etcos

Remplacer ces expressions dans la règle de dérivation d’un produit donne ddsinsincossincos𝑥(44𝑥2𝑥)=442𝑥+(44𝑥)(22𝑥)=442𝑥+88𝑥2𝑥.

On doit dériver cette expression à nouveau pour trouver la dérivée seconde:ddddsincosddsinddcoscosddcos𝑦𝑥=𝑥(442𝑥+88𝑥2𝑥)=𝑥(442𝑥)+𝑥(88𝑥2𝑥)=882𝑥+𝑥(88𝑥2𝑥).

On a, à nouveau, besoin de la règle de dérivation d’un produit, cette fois avec 𝑢(𝑥)=88𝑥𝑣(𝑥)=2𝑥.etcos

On peut dériver chaque fonction séparément:𝑢(𝑥)=88𝑣(𝑥)=22𝑥.etsin

Remplacer ces expressions dans la règle du produit donne ddcoscossincossin𝑥(88𝑥2𝑥)=882𝑥+88𝑥(22𝑥)=882𝑥176𝑥2𝑥.

Ainsi, ddcoscossincossin𝑦𝑥=882𝑥+882𝑥176𝑥2𝑥=1762𝑥176𝑥2𝑥.

On doit dériver une fois encore pour trouver la dérivée troisième:ddddcossinddcosddsinsinddsin𝑦𝑥=𝑥(1762𝑥176𝑥2𝑥)=𝑥(1762𝑥)𝑥(176𝑥2𝑥)=3522𝑥𝑥(176𝑥2𝑥).

Comme on connaît déjà ddsin𝑥(44𝑥2𝑥), on réécrit cette dérivée:ddsinddsinsinddsinsinsincoscossin𝑦𝑥=3522𝑥𝑥(176𝑥2𝑥)=3522𝑥4𝑥(44𝑥2𝑥)=3522𝑥4(442𝑥+88𝑥2𝑥)=352𝑥2𝑥5282𝑥.

Ainsi, ddcossin𝑦𝑥=352𝑥2𝑥5282𝑥.

Exemple 7: Déterminer la dérivée seconde de fonctions racines

Étant donné 𝑦=𝑥9, trouvez dd𝑦𝑥.

Réponse

Pour trouver dd𝑦𝑥, il faut dériver 𝑦 deux fois par rapport 𝑥. Puisqu'on nous donne une composition de fonctions dérivables, on peut dériver cette fonction en utilisant la règle de dérivation des fonctions composées;cependant, nous allons utiliser la règle de dérivation des fonctions puissances.

Si 𝑢(𝑥) est une fonction dérivable et 𝑘, alors dd𝑥[𝑢(𝑥)]=𝑘𝑢(𝑥)[𝑢(𝑥)].

Tout d’abord, réécrivons notre fonction:𝑦=𝑥9=(𝑥9).

On pose 𝑘=12 et 𝑢(𝑥)=𝑥9;puisque 𝑢(𝑥) est une fonction affine, 𝑢(𝑥) correspond à la pente de cette droite. Ainsi, 𝑢(𝑥)=1.

Remplacer ces expressions dans la règle de dérivation des fonctions puissances donne dd𝑦𝑥=12(1)(𝑥9)=12(𝑥9).

Pour trouver la dérivée seconde, il faut dériver cette expression:dddddd𝑦𝑥=𝑥12(𝑥9)=12𝑥(𝑥9).

On peut le faire en utilisant la règle de dérivation des fonctions puissances;on pose 𝑢(𝑥)=𝑥9 et 𝑘=12, ce qui donne dddd𝑦𝑥=12𝑥(𝑥9)=1212(1)(𝑥9)=14(𝑥9).

Dans notre dernier exemple, nous allons utiliser la règle de dérivation des fonctions composées pour déterminer la dérivée seconde d’une fonction trigonométrique.

Exemple 8: Déterminer la dérivée seconde d’une fonction trigonométrique en utilisant la règle de dérivation des fonctions composées

Sachant que 𝑦=49𝑥5tan, déterminez 𝑦.

Réponse

Pour trouver 𝑦, il faut dériver 𝑦 deux fois par rapport à 𝑥. Commençons par trouver la dérivée première en rappelant le résultat suivant sur les dérivées trigonométriques. Pour toute constante 𝑘, ddtansec𝑥(𝑘𝑥)=𝑘𝑘𝑥.

En posant 𝑘=95 et en sortant le facteur constant 4 de la dérivée, on obtient 𝑦=4𝑥9𝑥5=4959𝑥5=3659𝑥5.ddtansecsec

On doit dériver à nouveau pour trouver la dérivée seconde. Puisqu’il s’agit d’une composition de fonctions dérivables, on dérive cette fonction en utilisant la règle de dérivation des fonctions composées:

Si 𝑢 est dérivable en 𝑥 et 𝑣 est dérivable en 𝑢(𝑥), alors dddddd𝑥(𝑢(𝑣(𝑥)))=𝑢𝑣𝑣𝑥.

Poser 𝑢(𝑣)=𝑣 et 𝑣(𝑥)=9𝑥5sec donne 𝑦=365𝑢(𝑣(𝑥)).

Pour utiliser la règle de dérivation des fonctions composées, on doit dériver 𝑢 et 𝑣 en utilisant la règle de dérivation des fonctions puissances et, pour toute constante 𝑘, ddsecsectanddddsectan𝑥(𝑘𝑥)=𝑘𝑘𝑥𝑘𝑥,𝑢𝑣=2𝑣,𝑣𝑥=959𝑥59𝑥5.

En remplaçant ces valeurs dans la formule de la règle de dérivation des fonctions composées, on obtient 𝑦=365𝑢𝑣𝑣𝑥=3652𝑣959𝑥59𝑥5=64825𝑣9𝑥59𝑥5.ddddsectansectan

Enfin, on remplace 𝑣=9𝑥5sec pour obtenir 𝑦=648259𝑥59𝑥5.sectan

Terminons par récapituler quelques points de base.

Points clés

  • On peut dériver des fonctions plusieurs fois pour trouver des dérivées d’ordre supérieur.
  • La dérivée 𝑛-ième d’une fonction 𝑦=𝑓(𝑥) peut être écrite comme
    • dd𝑦𝑥;
    • 𝑓(𝑥)();
    • 𝑓(𝑥), où le symbole prime apparaît 𝑛 fois.
  • Il y a deux notations différentes que l'on peut utiliser pour évaluer la dérivée d’une fonction 𝑦=𝑓(𝑥). Par exemple, pour la dérivée seconde en 𝑥=𝑎, on peut écrire
    • 𝑦𝑥dd;
    • 𝑓(𝑎).

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