Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer les dérivées d'ordre deux et d’ordre supérieur d’une fonction en utilisant des règles de dérivation.
La dérivée d’une fonction nous donne des informations sur le taux de variation de cette fonction. Ce concept est d'une utilité considérable et il est utilisé dans beaucoup de problèmes concrets tels que la croissance démographique et l’optimisation. Cependant, il n'est pas nécessaire de s'arrêter là, on peut aussi se poser la question : « comment le taux de variation lui-même change-t-il ? » On peut déterminer cela en dérivant la dérivée première : on appelle cela la dérivée seconde. En fait, on peut continuer à dériver pour trouver des dérivées d’ordre supérieur.
Ces dérivées d’ordre supérieur sont également utiles dans de nombreux problèmes concrets, notamment les systèmes masse-ressort et le problème à deux corps. Il y a deux notations principales pour les dérivées : la notation de Leibniz et la notation prime (parfois appelée notation de Lagrange). Commençons par étendre ces notations aux dérivées d’ordre supérieur.
Définition : Dérivées d’ordre supérieur
Tant que chaque dérivée existe, on peut dériver une fonction un nombre quelconque de fois et on peut représenter la dérivée n-ième d’une fonction comme ou de deux façons avec la notation prime comme suit où le symbole prime apparaît fois.
On peut évaluer les dérivées d’ordre supérieur d’une fonction en une valeur de . Par exemple, la dérivée seconde évaluée en peut être écrite comme suit
Dans notre premier exemple, nous allons trouver la dérivée seconde d’une fonction polynomiale.
Exemple 1: Déterminer la dérivée seconde d’une fonction polynomial
Sachant que , déterminez .
Réponse
Pour calculer , on doit dériver deux fois par rapport à . Or, est un polynôme de et on peut dériver tout polynôme terme par terme en utilisant la règle de dérivation des fonctions puissances : pour , ,
On peut commencer par dériver une fois pour trouver :
Ensuite, pour trouver , il faut à nouveau dériver cette expression :
Ainsi,
Dans notre deuxième exemple, nous allons déterminer la valeur de la dérivée seconde d’une fonction en un point donné.
Exemple 2: Déterminer la valeur de la dérivée seconde d’une fonction en un point donné
Déterminez la valeur de la dérivée seconde de la fonction en .
Réponse
On trouve la dérivée seconde de en dérivant la fonction pour obtenir puis en dérivant à nouveau pour obtenir . Pour ce faire, commençons par réécrire l'expression :
On peut alors dériver cette expression en utilisant la règle de dérivation des fonctions puissances : pour ,
Ainsi,
On peut dériver à nouveau pour trouver :
Enfin, il nous est demandé de trouver la valeur de la dérivée seconde au point , c’est-à-dire lorsque . On remplace cette valeur dans l’expression :
Ainsi, la valeur de la dérivée seconde de la fonction au point est .
Dans notre prochain exemple, nous allons trouver la dérivée seconde d’une fonction rationnelle.
Exemple 3: Déterminer la dérivée seconde de fonctions rationnelles
Sachant que , déterminez .
Réponse
Pour trouver , il faut dériver deux fois par rapport à . Comme on nous donne une fonction rationnelle, on peut déterminer la dérivée première en utilisant la règle de dérivation d’un quotient.
Si et sont des fonctions dérivables, alors
On a
Comme ce sont des polynômes, les deux fonctions sont dérivables et, par conséquent, on peut les dériver en utilisant la règle de dérivation des fonctions puissances : pour ,
Ce qui donne
Remplacer nos expressions pour , , et dans la règle de dérivation d’un quotient donne
On doit dériver cette expression pour trouver . Comme il s’agit d’une fonction rationnelle, on utilise à nouveau la règle de dérivation d’un quotient. Ce qui donne
Pour nous aider à dériver , distribuons l’exposant :
On peut alors dériver les deux fonctions en utilisant la règle de dérivation des fonctions puissances :
Remplacer nos expressions pour , , et dans la règle de dérivation d’un quotient donne
Ainsi,
Dans notre prochain exemple, nous allons utiliser ce que l'on sait des dérivées d’ordre supérieur d’une fonction pour déterminer les valeurs de coefficients de cette fonction.
Exemple 4: Déterminer des coefficients inconnus dans l’expression d’une fonction à partir des valeurs des dérivées deuxième et troisième de la function
Sachant que , et , trouvez et .
Réponse
On souhaite déterminer les coefficients des deux termes dans notre fonction . On nous donne des informations sur la dérivée troisième de , , et la dérivée seconde, .
Commençons par trouver des expressions pour ces dérivées d’ordre supérieur. On rappelle que, pour trouver il faut dériver deux fois, et que pour trouver , il faut dériver trois fois.
On peut dériver un polynôme en utilisant la règle de dérivation des fonctions puissances : pour ,
En appliquant ceci, on a
En dérivant à nouveau, on a
Puis, en dérivant une dernière fois, on obtient
Or, on se souvient que et on sait que cela est égal à . Ce qui donne
On nous dit aussi que ; cela signifie que lorsque l'on évalue la dérivée seconde en , on doit obtenir . Ainsi,
Remplacer dans cette équation donne
Donc, nous avons montré que et .
Dans notre prochain exemple, nous allons découvrir un schéma qui se répète pour déterminer une dérivée d’ordre supérieur d’une fonction trigonométrique.
Exemple 5: Déterminer la dérivée n-ième d’une expression
Trouvez en déterminant les premières dérivées et en observant le schéma qui se répète.
Réponse
On souhaite trouver , la dérivée cinquante-et-unième de par rapport à . On peut trouver cette expression en dérivant cette fonction cinquante-et-une fois ; cependant, nous allons voir qu’il y a un schéma qui se répète dans les dérivées successives.
Commençons par rappeler les résultats suivants pour les dérivées de fonctions trigonométriques :
Donc, cela nous donne la dérivée première de :
On trouve la dérivée seconde de en dérivant la dérivée première par rapport à :
En suivant la même méthode, on constate que
Ainsi, la dérivée quatrième de la fonction sinus est également la fonction sinus. Cela signifie que chaque fois que l'on dérive quatre fois la fonction sinus, on obtient la fonction sinus. Par conséquent, comme 48 est un multiple de 4,
Pour trouver la dérivée cinquante-et-unième, on doit dériver encore trois fois :
Ainsi,
Il arrive que l'on utilise des règles de dérivation à plusieurs reprises pour trouver des dérivées d’ordre supérieur, comme nous allons le voir dans les deux exemples suivants.
Exemple 6: Déterminer la dérivée troisième d’une fonction trigonométrique en utilisant la règle de dérivation d’un produit
Déterminez la dérivée troisième de la fonction .
Réponse
Pour déterminer la dérivée troisième d’une fonction, on doit la dériver trois fois. Puisqu'on nous donne un produit de deux fonctions dérivables, déterminons la dérivée première en utilisant la règle de dérivation d’un produit :
Si et sont dérivables, alors
On pose
On peut dériver chacune de ces fonctions séparément :
Remplacer ces expressions dans la règle de dérivation d’un produit donne
On doit dériver cette expression à nouveau pour trouver la dérivée seconde :
On a, à nouveau, besoin de la règle de dérivation d’un produit, cette fois avec
On peut dériver chaque fonction séparément :
Remplacer ces expressions dans la règle du produit donne
Ainsi,
On doit dériver une fois encore pour trouver la dérivée troisième :
Comme on connaît déjà , on réécrit cette dérivée :
Ainsi,
Exemple 7: Déterminer la dérivée seconde de fonctions racines
Étant donné , trouvez .
Réponse
Pour trouver , il faut dériver deux fois par rapport . Puisqu'on nous donne une composition de fonctions dérivables, on peut dériver cette fonction en utilisant la règle de dérivation des fonctions composées ; cependant, nous allons utiliser la règle de dérivation des fonctions puissances.
Si est une fonction dérivable et , alors
Tout d’abord, réécrivons notre fonction :
On pose et ; puisque est une fonction affine, correspond à la pente de cette droite. Ainsi, .
Remplacer ces expressions dans la règle de dérivation des fonctions puissances donne
Pour trouver la dérivée seconde, il faut dériver cette expression :
On peut le faire en utilisant la règle de dérivation des fonctions puissances ; on pose et , ce qui donne
Dans notre dernier exemple, nous allons utiliser la règle de dérivation des fonctions composées pour déterminer la dérivée seconde d’une fonction trigonométrique.
Exemple 8: Déterminer la dérivée seconde d’une fonction trigonométrique en utilisant la règle de dérivation des fonctions composées
Sachant que , déterminez .
Réponse
Pour trouver , il faut dériver deux fois par rapport à . Commençons par trouver la dérivée première en rappelant le résultat suivant sur les dérivées trigonométriques. Pour toute constante ,
En posant et en sortant le facteur constant 4 de la dérivée, on obtient
On doit dériver à nouveau pour trouver la dérivée seconde. Puisqu’il s’agit d’une composition de fonctions dérivables, on dérive cette fonction en utilisant la règle de dérivation des fonctions composées :
Si est dérivable en et est dérivable en , alors
Poser et donne
Pour utiliser la règle de dérivation des fonctions composées, on doit dériver et en utilisant la règle de dérivation des fonctions puissances et, pour toute constante ,
En remplaçant ces valeurs dans la formule de la règle de dérivation des fonctions composées, on obtient
Enfin, on remplace pour obtenir
Terminons par récapituler quelques points de base.
Points clés
- On peut dériver des fonctions plusieurs fois pour trouver des dérivées d’ordre supérieur.
- La dérivée -ième d’une fonction peut être écrite comme
- ;
- ;
- , où le symbole prime apparaît fois.
- Il y a deux notations différentes que l'on peut utiliser pour évaluer la dérivée d’une fonction . Par exemple, pour la dérivée seconde en , on peut écrire
- ;
- .