Fiche explicative de la leçon: Temps de réaction

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à décrire les effets du temps de réaction d’une personne sur le mouvement d’objets avec lesquels elle interagit.

Le temps de réaction est le temps nécessaire à une personne pour réagir à un stimulus sensoriel. Voici une expérience classique permettant de mesurer votre propre temps de réaction et au cours de laquelle vous n'avez besoin que d’un camarade et d’une règle. Demandez à votre camarade de tenir la règle par le haut et de placer les doigts au niveau du zéro. Votre camarade va alors laisser tomber la règle et vous devez la rattraper aussi vite que possible, comme illustré ci-dessous.

La distance entre l’endroit où vos doigts étaient initialement, au niveau du zéro, et l’endroit où vous la rattrapez, le point d’arrêt, correspond à la distance totale parcourue. Une plus petite distance parcourue signifie un temps de réaction plus rapide, mais la distance totale parcourue peut être affectée par de nombreux facteurs : la façon dont votre camarade tenait la règle, le caractère glissant de la règle et la position exacte de vos doigts au départ.

Ces facteurs entraînent de petites différences, et la règle est probablement assez légère pour que vous puissiez la rattraper presque instantanément, mais lorsqu'il s'agit d'objets plus lourds, il peut être plus difficile de s'arrêter instantanément. Considérons un autre exemple de temps de réaction lors d’un trajet en voiture.

Une voiture roule vers la droite et se dirige vers un mur. Dans cet exemple, et dans tous les suivants, nous supposons que la direction du mouvement des objets est constante, on ne s’intéresse donc qu’à la valeur de la vitesse. Nous utiliserons les termes distance et déplacement de manière interchangeable.

Le conducteur de la voiture, réalisant qu’il se dirige vers un mur, voudrait s’arrêter et commence à freiner. Comme la voiture roule à une certaine vitesse, elle parcourt une certaine distance avant que le conducteur ne puisse réagir. Cette distance s’appelle la distance de réaction.

L’intervalle de temps entre l’instant où la mesure commence, , et l’instant où la voiture commence à freiner, , s’appelle le temps de réaction.

Comme équation, si la vitesse de la voiture est , la distance parcourue sur une période de temps s’écrit

Notez que cette équation ne peut être appliquée au scénario ci-dessus que si la vitesse est constante. Cela signifie que l’équation ne s’applique que pendant le temps de réaction, car la voiture n’a pas encore commencé à freiner. La distance sera donc la distance de réaction. On peut donc ré-écrire l’équation ainsi où est la distance de réaction, la vitesse initiale et le temps de réaction. Dans ce scenario, on voit que est directement proportionnelle à : si on double la vitesse, la distance parcourue est doublée.

Lorsque le conducteur freine, il ne s’arrête pas instantanément. La qualité des freins, l’état de la route (glissante ou pas) et le type de pneus sont autant de facteurs qui peuvent influer sur le temps nécessaire pour s’arrêter. La distance parcourue par la voiture après le freinage s’appelle la distance de freinage.

L’intervalle de temps entre l’instant où la voiture commence à freiner, , et l’instant où la voiture est complètement arrêtée, , s’appelle le temps de freinage. Contrairement au temps de réaction, la vitesse de la voiture n’est pas constante, car elle diminue progressivement, et nous ne pouvons donc pas utiliser l’équation de base pour l’exprimer.

Alternativement, la vitesse d’un objet ayant une accélération constante peut s’exprimer ainsi où est la vitesse finale, la vitesse initiale, l’accélération et la distance parcourue.

Si on suppose que la voiture décélère de manière constante jusqu’à l’arrêt, nous pouvons utiliser l’équation comme suit : où est la vitesse initiale, le taux d’accélération de la voiture et la distance de freinage. Nous avons remplacé la vitesse finale, , par 0 car la vitesse finale de la voiture sera nulle lorsqu’elle sera à l’arrêt. On peut alors soustraire des deux côtés, pour obtenir

Nous avons maintenant un signe négatif devant la vitesse initiale, mais ce n’est pas un problème, car nous savons que la valeur de l’accélération est également négative. Ce qui donne l’équation suivante

Cette équation montre que est proportionnelle au carré de la vitesse initiale . Si on double la vitesse initiale, alors la distance de freinage est multipliée par quatre. On voit également à partir de cette équation que le temps de réaction n’a aucun lien avec la distance de freinage.

La distance totale parcourue par la voiture pour s’arrêter (la distance d’arrêt) est affectée par sa vitesse initiale, à la fois pour la distance de réaction et la distance de freinage.

Le temps total nécessaire pour s’arrêter (le temps d’arrêt) est affecté par le temps de réaction du conducteur, par la vitesse initiale et par le taux de décélération des freins pendant le temps de freinage.

Considérons un exemple.

Exemple 1: Barres representant le temps de freinage

La distance de réaction et la distance de freinage d’une voiture à différentes vitesses initiales sont représentées par des barres de deux couleurs sur la figure suivante. Plus la barre est longue, plus la vitesse initiale de la voiture était grande. Quelle grandeur est représentée par la partie grise de la barre ?

la distance d’arrêt
la distance de réaction
la distance de freinage

Réponse

La distance totale nécessaire à une voiture pour s’arrêter s’appelle la distance d’arrêt ; cest la somme de la distance de réaction et de la distance de freinage. Cela signifie que la distance d’arrêt correspond à la somme des barres violettes et grises, et pas seulement à l’une ou à l’autre.

La distance de réaction est proportionnelle à la vitesse initiale de la voiture. Selon l’énoncé, on sait que plus la barre est longue, plus la vitesse initiale de la voiture était grande ; on pourrait donc s’attendre à ce que barre correspondant à la distance de réaction augmente de manière linéaire.

La distance de freinage est proportionnelle au carré de la vitesse initiale de la voiture. Sur la figure, on devrait donc voir la distance de freinage augmenter d’autant plus que la vitesse initiale augmente.

La partie violette représentée sur les barres est très petite au début puis augmente de manière très importante lorsque la vitesse initiale augmente. La partie grise représentée sur les barres augmente de manière régulière au fur et à mesure que la vitesse initiale augmente. La partie grise ne correspond pas à une relation de type carré, il s’agit donc de la distance de réaction.

La bonne réponse est la réponse b, la distance de réaction.

Au vu de l’augmentation de la distance de réaction et de la distance de freinage avec la vitesse, on voit bien que le plus grand facteur affectant la distance d’arrêt totale est la vitesse initiale. Bien sûr, améliorer le temps de réaction et la vitesse de décélération aura également un impact sur la distance d’arrêt, mais se déplacer à une vitesse réduite est un paramètre plus facile à ajuster.

Considérons le taux de décélération : l’efficacité des freins, l’état de la route et l’état général de la voiture sont tous des paramètres qui ne s’améliorent généralement pas avec le temps, et qui auront pour effet d’augmenter la distance de freinage.

Des différences au niveau de ces paramètres peuvent avoir un impact majeur sur la distance de freinage, avec par exemple comme conséquence de ne pas pouvoir freiner à temps.

Considérons un exemple.

Exemple 2: Représentation graphique de la vitesse-temps d’une voiture qui freine

Le graphique vitesse-temps représente les variations de vitesse d’une voiture freinant brusquement pour s’arrêter sur une surface de béton sèche.

Lequel des graphiques (a), (b), (c), (d) ou (e) correspond le mieux au graphique vitesse-temps de la même voiture conduite par le même conducteur, mais freinant sur une surface de béton humide ?

Réponse

Examinons d’abord précisément l’énoncé : nous cherchons le « graphique vitesse-temps de la même voiture conduite par le même conducteur, mais freinant sur une surface de béton humide ».

La « même voiture » signifie que les freins sont les mêmes et le « même conducteur » signifie que le temps de réaction est le même. La seule différence est la surface, sachant freiner sur du béton humide prendra plus de temps que sur du béton sec. Cela sera représenté sur un graphique par une pente moins forte, car le taux de décélération sera plus faible. La pente des graphiques (d) et (e) reste similaire, donc ils ne conviennent probablement pas.

Comme le temps de réaction est le même, la distance initiale lorsque la vitesse est constante (la distance de réaction) doit être identique sur tous les graphiques. On voit tout de suite que ce n’est pas le cas : sur les graphiques (a), (b) et (d), la distance de réaction est plus longue que sur le graphique de base, on peut donc les éliminer.

Il nous reste donc les graphiques (c) et (e). Comme mentionné précédemment, on voit que la pente de la droite sur le graphique (e) est plus forte, mais on voit aussi que la vitesse initiale est plus grande ! Donc le graphique (e) ne convient pas.

Le graphique (c) représente le même temps de réaction et la même vitesse initiale, mais a une distance de freinage plus longue, puisque la pente de la droite est plus faible.

La bonne réponse est donc la réponse (c).

Considérons le freinage de plusieurs voitures en le mettant en équations.

Rappelons d’abord les deux équations utilisées précédemment dans cette fiche explicative pour la distance de réaction, et la distance de freinage, , où est la vitesse initiale, le temps de réaction et le taux de décélération.

Ces équations peuvent être utilisées pour déterminer la distance d’arrêt totale, car la distance d’arrêt est juste la somme de la distance de réaction et de la distance de freinage :

Maintenant, déterminons la distance d’arrêt d’une voiture se dirigeant vers une falaise. Sa vitesse initiale est de 25 m/s, la décélération après freinage est de 4 m/s² et le temps de réaction du conducteur est de 1,25 s.

Nous devons commencer par calculer individuellement les valeurs de et . Comme est indépendant, nous devons juste remplacer les valeurs connues dans l’équation :

La vitesse initiale, , est 25 m/s. Le temps de réaction, , est 1,25 s. Ce qui donne

Les mètre par seconde (m/s) se transforment en mètres lorsqu’ils sont multipliés par secondes, donc nous avons

La distance de réaction, , est donc 31,25 mètres.

Maintenant, pour calculer la valeur de , il faut d’abord l’isoler dans notre équation :

Nous divisons des deux côtés par , ce qui annule du côté droit :

Après la division et la simplification par à droite, il nous reste

Puisque nous connaissons la valeur de la vitesse initiale , qui vaut 25 m/s, et celle de la décélération , qui vaut 4 m/s², il suffit maintenant de les remplacer dans l’équation :

Mettons la vitesse initiale au carré et multiplions la décélération par 2

Rappelons que si on met une valeur au carré, on met également son unité au carré. Cela signifie que nous avons des mètres carrés par seconde carrée au numérateur et des mètres par seconde carrée au dénominateur. En simplifiant, il nous reste simplement des mètres :

La distance de freinage, , est donc de 78,125 mètres.

Faisons maintenant la somme des deux valeurs pour obtenir la distance d’arrêt, nous avons

La distance d’arrêt de cette voiture est donc 109,375 mètres.

Considérons un autre exemple.

Exemple 3: Freinage d’une voiture à l’approche d’un pont

Une voiture roule sur une route à une vitesse de 15 m/s et se dirige vers un pont, comme représenté sur la figure. Lorsque les roues avant de la voiture sont à 50 m du pont, le conducteur voit un panneau avertissant qu’une section du pont s’est effondrée. La voiture peut décélérer à 5 m/s². Quel est le temps de réaction maximal du conducteur permettant d’arrêter la voiture avant qu’elle atteigne le pont ? On donnera une réponse arrondie a une décimale près.

Réponse

Cette fois-ci, nous ne cherchons pas la distance d’arrêt, elle est déjà donnée par l’énoncé : 50 m/s. Nous essayons maintenant de déterminer le temps de réaction maximal du conducteur. L’équation contenant le temps de réaction comprend aussi la vitesse initiale et la distance de freinage :

Nous pouvons isoler le temps de réaction en divisant des deux côtés par la vitesse initiale :

La vitesse initiale se simplifie du côté droit, ce qui donne

La vitesse initiale, , vaut 15 m/s, il faut donc déterminer la distance de réaction. Heureusement, nous savons qu’elle est liée à la distance d’arrêt :

La distance d’arrêt est déjà connue et vaut 50 m, il suffit donc de déterminer la distance de freinage. La distance de freinage peut être déterminée par l’autre équation

Pour isoler la distance de freinage, nous divisons des deux côtés par , ce qui annule du côté droit :

se simplifie, donc nous avons

Nous connaissons la vitesse initiale, , qui vaut 15 m/s et le taux de décélération, , qui vaut 5 m/s². En remplaçant ces valeurs, nous obtenons

Mettons la valeur initiale au carré et multiplions par 2 la valeur de décélération, ce qui donne

Les unités se simplifient pour simplement donner des mètres, avec comme résultat

La distance de freinage est donc de 22,5 mètres. On reporte cette valeur dans l’équation de la distance d’arrêt totale valant 50 m, nous avons donc

On soustrait des deux côtés 22,5 mètres, ce qui nous donne la valeur de la distance de réaction :

Maintenant que nous avons la valeur de la distance de réaction, nous pouvons enfin l’intégrer à notre équation initiale du temps de réaction :

On remplace la distance de réaction par 27,5 mètres et la vitesse initiale par 15 m/s, ce qui donne

Des mètres divisés par des mètres par seconde donnent simplement des secondes, et donc un temps de réaction maximal de

En arrondissant à une décimale près, le temps de réaction maximal du conducteur est de 1,8 seconde.

Il y a une autre façon d’appréhender l’arrêt d’une voiture en plus de la distance totale parcourue après le freinage ; c’est de considérer le temps total nécessaire pour s’arrêter.

Pour comprendre cette notion, regardons l’exemple de la voiture se dirigeant vers la falaise, mais considérons le temps.

Nous savons que le temps total nécessaire pour arrêter (temps d’arrêt) est

On nous donne le temps de réaction, , qui vaut 1,25 seconde, mais le temps mis par la voiture pour freiner, et passer de sa vitesse actuelle à une vitesse nulle, n’est pas donné.

Le temps de freinage est obtenu avec une équation cinématique différente qui utilise le fait que l’accélération est constante. Une décélération constante depuis une vitesse initiale peut être reliée au temps comme suit : où est la vitesse initiale de la voiture et est la décélération de la voiture, encore une fois en utilisant la valeur absolue. Nous devons encore isoler la valeur de , cependant faisons-le en divisant des deux côtés par :

La décélération se simplifie du côté droit, donnant

Comme nous connaissons la vitesse initiale, 25 m/s et la décélération, 4 m/s², il suffit de remplacer ces valeurs dans l’équation pour obtenir la valeur du temps de freinage :

Concernant les unités, les mètres par seconde divisés par des mètres par seconde carrée donnent des secondes, donc le temps de freinage est

La voiture prend péniblement 6,25 secondes pour s’arrêter complètement lorsque sa vitesse est de 25 m/s. En combinant cela avec le temps de réaction, nous obtenons le temps total nécessaire :

Le temps d’arrêt est donc 7,5 secondes pour cette voiture.

Considérons un autre exemple.

Exemple 4: Temps de réaction d’une voiture qui freine

Le conducteur d’une voiture roulant à 30 m/s a un temps de réaction de 1,5 s. Lorsque le conducteur presse les freins, la décélération de la voiture est de 3,75 m/s². Combien de temps la voiture met-elle pour s’arrêter, en incluant le temps de réaction du conducteur ?

Réponse

Le temps total nécessaire pour que la voiture s’arrête est la somme du temps de réaction et du temps de freinage :

On nous donne le temps de réaction, qui vaut 1,5 seconde, mais nous devons encore déterminer le temps de freinage. Pour cela, utilisons l’équation reliant le temps de freinage à deux valeurs déjà données, la décélération et la vitesse initiale :

Pour isoler le temps de freinage, nous divisons des deux côtés par : ce qui se simplifie en

Remplaçons la valeur de la vitesse initiale, 30 m/s et de la décélération, 3,75 m/s² :

Les mètres par seconde (m/s) divisés par des mètres par seconde carrée donnent simplement des secondes, ce qui donne la valeur suivante pour le temps de freinage

En additionnant le temps de réaction, le temps total nécessaire pour que la voiture s’arrête est donc de

Le temps total nécessaire à l’arrêt est de 9,5 secondes.

Maintenant que nous avons vu comment déterminer la distance totale et le temps total qu’il faut à une voiture pour s’arrêter, voyons comment elles se traduisent sous forme graphique.

Considérons quelques exemples.

Exemple 5: Taux de variation de la vitesse

Le graphique représente les variations de la distance d’arrêt de deux voitures en fonction de la vitesse à laquelle les voitures se déplacent avant la décélération.

Quelle est la différence entre les distances d’arrêt des voitures lorsqu’elles s’arrêtent toutes les deux en partant d’une vitesse de 15 m/s ?
Quelle est la différence entre les distances d’arrêt des voitures lorsqu’elles s’arrêtent toutes les deux en partant d’une vitesse de 20 m/s ?

Réponse

Partie 1

Pour déterminer la distance d’arrêt des voitures lorsqu’elles s’arrêtent en partant d’une vitesse de 15 m/s, nous devons d’abord déterminer la distance d’arrêt de chaque voiture. La voiture représentée par la courbe bleue a une distance d’arrêt d’environ 30 m pour une vitesse de 15 m/s et la voiture représentée par la courbe orange a une distance d’arrêt d’environ 12 m. La différence entre ces deux valeurs est simplement

Donc, la différence entre les distances d’arrêt est de 18 mètres lorsque les voitures roulent initialement à 15 m/s.

Partie 2

Pour une vitesse de 20 m/s, la voiture représentée par la courbe bleue a une distance d’arrêt de 50 mètres. La voiture représentée par la courbe orange a une distance d’arrêt de 20 mètres. La différence est donc

À une vitesse de 20 m/s, la distance d’arrêt diffère de 30 mètres.

Par rapport à la première question, la différence entre les distances d’arrêt est ici beaucoup plus grande. Lorsqu’on se déplace avec une vitesse plus élevée, la distances d’arrêt est plus grande.

Exemple 6: Distances de réaction et de freinage d’une voiture

La distance de réaction et la distance de freinage d’une voiture avec différentes vitesses initiales sont représentées sur le graphique. La distance de réaction est en bleu et la distance de freinage est en orange.

Arrondie au kilomètre par heure, quelle est la vitesse la plus faible pour laquelle la distance de freinage est supérieure à la distance de réaction ?
Quelle est la distance d’arrêt pour une vitesse initiale de 50 km/h ?
Quelle est la distance d’arrêt pour une vitesse initiale de 80 km/h ?
De combien la distance de freinage est-elle supérieure à la distance de réaction lorsque la vitesse initiale est de 90 km/h ?
De combien la distance de freinage est-elle inférieure à la distance de réaction lorsque la vitesse initiale est de 40 km/h ?

Réponse

Partie 1

La vitesse la plus faible pour laquelle la distance de freinage, la courbe orange, est supérieure à la distance de réaction, la courbe bleue, se situe autour d’une vitesse initiale valant 75 km/h. C’est le point d’intersection des deux courbes, et le point où la distance de freinage dépasse la distance de réaction.

Partie 2

La distance d’arrêt pour une vitesse initiale de 50 km/h est égale à la somme des distances de réaction et de freinage. À 50 km/h, la distance de réaction est d’environ 14 mètres et la distance de freinage est de 21 mètres. La distance d’arrêt correspond à la somme des deux valeurs, ce qui donne 35 mètres.

Partie 3

Sur le graphique, pour une vitesse initiale de 80 km/h, la distance de réaction est de 33 mètres et la distance de freinage est de 36 mètres. En faisant la somme des deux, la distance d’arrêt est donc 69 mètres.

Lorsque la vitesse initiale augmente, les contributions des distances de réaction et de freinage augmentent aussi, mais celle de la distance de freinage augmente plus rapidement.

Partie 4

À une vitesse initiale de 90 km/h, la distance de freinage est de 45 mètres. La distance de réaction est de 37 mètres, donc la différence entre les deux est 8 mètres. La distance de freinage est supérieure de 8 mètres à 90 km/h.

Partie 5

Lorsque la vitesse initiale est 40 km/h, la distance de freinage est de 9 mètres et la distance de réaction est de 17 mètres. La différence entre les deux est 8 mètres, la distance de freinage est donc inférieure à la distance de réaction de 8 mètres.

De nouveau, comme la distance de freinage contient un carré, elle augmente plus vite que la distance de réaction lorsque la vitesse initiale augmente.

Résumons ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.

Points clés

Le temps de réaction représente la rapidité de la réponse d’une personne à un stimulus sensoriel.
Pour un véhicule, il y a d’abord une distance parcourue avant le freinage, la distance de réaction, et une distance pendant laquelle la décélération se produit, la distance de freinage.
La distance de réaction est proportionnelle à la vitesse initiale du véhicule.
La distance de freinage est proportionnelle au carré de la vitesse initiale du véhicule.
Seule la distance de réaction est proportionnelle au temps de réaction.