Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à définir la relation entre la force électromotrice (f.é.m.) d’une batterie par rapport à la tension à ses bornes et sa résistance interne.
On considère généralement les batteries comme fournissant une différence de potentiel à d’autres composants d’un circuit afin de produire un courant dans ces composants. Ceci est correct. Il est également vrai, cependant, qu’une batterie produit une différence de potentiel à travers elle-même afin de produire un courant à travers elle-même.
Considérez une batterie qui produit une différence de potentiel entre ses bornes. Lorsqu’un fil conducteur relie les bornes positive et négative de la batterie, on a un circuit fermé. Un courant continu est produit dans le circuit. Le courant dans le fil est donné par où est la résistance du circuit.
La direction du courant est de la borne positive à la borne négative. Dans un circuit en série, le courant en tous les points du circuit est égal. Cela signifie qu’il doit y avoir des courants égaux sortant de la borne positive et entrant dans la borne négative. Ceci est illustré par le schéma suivant.
De là, nous voyons qu’il doit également y avoir un courant dans la batterie égal au courant à ses bornes. Ceci est illustré par le schéma suivant.
Nous avons vu que
Pour deux résistances en série et , leur résistance combinée est donnée par
On voit alors que pour le circuit constitué d’un fil et d’une batterie doit correspondre à la somme de la résistance du fil et de la batterie. On peut appeler la résistance du fil et la résistance de la batterie .
L’équation peut être réarrangée pour en faire son sujet, ce qui nous donne
Le courant du circuit peut donc être exprimé par
On appelle résistance externe et résistance interne.
Une différence de potentiel peut être exprimé sous la forme où est le travail effectué par la différence de potentiel sur une charge à travers la différence de potentiel.
La différence de potentiel aux extrémités d’un fil correspond à la diminution du potentiel entre les bornes du fil. Ceci est illustré par le schéma suivant.
La différence de potentiel produite par une batterie à travers un fil est égale au travail effectué par coulomb de charge sur les charges qui se déplacent à travers le fil d’une borne de la batterie à l’autre. Le potentiel diminue sur toute la longueur du fil.
Ainsi que lorsque des charges se déplacent à travers le fil, un travail doit être effectué pour déplacer des charges à travers la batterie. Lorsque cela se produit, l’énergie potentielle des charges augmente plutôt que de diminuer. Le potentiel doit alors augmenter sur toute la longueur de la batterie. Ceci est illustré par le schéma suivant.
À de nombreuses fins, un circuit contenant une batterie est modélisé comme ayant une résistance purement externe. La différence de potentiel entre les bornes d’un tel circuit externe peut être mesurée à l’aide d’un voltmètre connecté en parallèle à la résistance du circuit comme indiqué sur le schéma suivant.
Il est important de noter que les fils reliant la batterie, la résistance et le voltmètre sont considérés comme ayant une résistance négligeable sur ce schéma.
On peut s’attendre à ce qu’un voltmètre puisse également mesurer la différence de potentiel aux bornes d’une batterie en connectant le voltmètre à la batterie, comme indiqué sur le schéma suivant.
Ce circuit ne mesurerait cependant pas la différence de potentiel aux bornes de la batterie. Les deux voltmètres dans le circuit mesureraient la même valeur, qui est la différence de potentiel aux bornes du circuit externe.
Si nous voulons mesurer la différence de potentiel entre les bornes de la batterie pour les charges se déplaçant à l’intérieur de la batterie, un voltmètre devra mesurer le travail effectué sur les charges traversant la batterie plutôt que le circuit externe.
On voit alors qu’un voltmètre dans un circuit ne peut pas mesurer la différence de potentiel aux bornes de la batterie. Cela semble montrer qu’il n’y a aucun moyen de connaître la valeur de la résistance interne d’une batterie ou la différence de potentiel à travers celle-ci. En fait, il est possible de déterminer ces valeurs en utilisant plusieurs mesures.
En considérant une batterie comme un composant d’un circuit ayant une résistance externe , on voit qu’il doit y avoir une diminution du potentiel, , à travers la batterie. Ceci est donné par où est le courant dans le circuit.
Considérez maintenant l’équation où est la différence de potentiel aux bornes de la résistance externe, qui peut être mesurée à l’aide d’un voltmètre.
Cela peut être écrit sous la forme
Pour pourvoir nous server d’un voltmètre pour mesurer la différence de potentiel totale que la batterie peut produire, doit être nul.
doit être nul si la valeur de vaut zéro. Cela nous donnerait l’équation
Cette valeur de correspond à toute la différence de potentiel de la batterie effectuant un travail sur le circuit externe.
Malheureusement, si la valeur de vaut zéro, alors l’équation doit avoir les valeurs
Cela semble nous indiquer que la seule façon qu’un voltmètre peut mesurer la pleine différence de potentiel d’une batterie est de savoir si cette différence de potentiel est nulle. Cela semble inévitable, car une batterie avec une différence de potentiel non nulle produirait un courant non nul et donc une valeur non nulle de .
Cette conclusion est cependant incorrecte. La raison pour laquelle la conclusion est incorrecte est déduite plus loin dans cette fiche explicative. Cependant, pour comprendre pourquoi la conclusion est incorrecte, il faut d’abord considérer l’équation
Nous avons vu que la mesure d’un voltmètre est égale à . Comme nous savons que la différence de potentiel aux bornes du circuit externe plus la différence de potentiel aux bornes de la batterie s’additionnent pour donner une différence de potentiel totale, nous pouvons former l’équation suivante :
Il y a des noms spécifiques pour les quantités dans cette équation. s’appelle chute de tension (ou lost volts en anglais), s’appelle la tension aux bornes, et s’appelle la force électromotrice ou f.é.m..
Toutes ces quantités ont pour unité le volts. La f.é.m. est indiquée par le symbole . Malgré son nom, la force électromagnétique n’est pas une force mais une différence de potentiel.
Formule : Force électromotrice d’une batterie
La force électromotrice d’une batterie qui a une tension aux bornes est donnée par où est le courant dans la batterie et est la résistance interne de la batterie.
Regardons maintenant un exemple dans lequel on détermine la f.é.m. d’une batterie.
Exemple 1: Déterminer la f.é.m. d’une batterie
Un circuit est alimenté par une batterie avec une tension aux bornes de 2,5 V. Le circuit a une résistance de 3,5 Ω et la batterie a une résistance interne de 0,65 Ω. Quelle est la force électromotrice de la batterie ? Donnez votre réponse arrondie à une décimale près.
Réponse
La f.é.m. d’une batterie est donnée par l’équation où est la tension aux bornes de la batterie, est la résistance interne de la batterie, et est le courant dans le circuit.
En substituant les valeurs connues dans cette équation, on voit que
Nous voyons que comme n’est pas donné, nous ne sommes pas encore en mesure de déterminer .
Rappellons, cependant, que la tension aux bornes est donnée par
Cette équation peut être réarrangée pour en faire le sujet, donnant
En substituant les valeurs connues dans cette équation, on voit que
La valeur de peut être substituée dans pour donner
Arrondissant la valeur de à une décimale près, nous avons .
Regardons maintenant un exemple dans lequel nous devons déterminer la résistance interne d’une batterie.
Exemple 2: Déterminer la résistance interne d’une batterie
Une batterie avec une force électromotrice de 4,50 V est connectée à un circuit avec une résistance de 2,75 Ω. Le courant dans le circuit est de 1,36 A. Quelle est la résistance interne de la batterie ? Donnez votre réponse arrondie à deux décimales près.
Réponse
La f.é.m. d’une batterie est donnée par l’équation où est la tension aux bornes de la batterie, est la résistance interne de la batterie, et est le courant dans le circuit.
Cette équation peut être réarrangée comme suit pour en faire le sujet.
En substituant les valeurs connues dans cette équation, on voit que
Nous voyons que comme n’est pas donné, nous ne sommes pas encore en mesure de déterminer .
Rappellons, cependant, que la tension aux bornes est donnée par
En substituant les valeurs connues dans cette équation, on voit que
En substituant cette valeur de dans puis en arrondissant la valeur de à deux décimales près, nous avons .
Un circuit comme celui du schéma suivant peut servir à déterminer la force électromagnétique et la résistance interne d’une batterie.
Le voltmètre dans le circuit mesure la tension aux bornes de la batterie. La résistance variable dans le circuit permet de modifier la résistance du circuit. La modification de la résistance du circuit modifie le courant dans le circuit. La valeur de la tension aux bornes pour différentes valeurs de courant peut donc être mesurée.
Les valeurs mesurées peuvent être tracées sur un graphique.
Comme la valeur de diminue, la valeur de augmente. La valeur de pour ne peut pas être trouvée à partir d’une mesure de voltmètre, mais peut être estimé en utilisant des mesures de voltmètre où . Ceci est illustré par le schéma suivant.
Ce graphique est le graphique d’une droite qui intercepte l’axe des en . La courbe a une pente négative.
La courbe d’une droite peut être écrite sous la forme où est la pente de la droite et est le point d’interception avec l’axe des .
Le trace qui sert à estimer a pour valeurs sur son axe des et une valeur de sur son axe des . Cela nous montre que l’équation de la droite est
Nous pouvons réarranger l’équation sous la forme
En comparant à l’équation pour la droite du graphique utilisé pour estimer , on voit que
Le graphique peut donc server à déterminer ainsi que . Nous pouvons donc déterminer la force électromagnétique et la résistance interne d’une batterie.
Regardons maintenant un exemple dans lequel on détermine la force électromagnétique et la résistance interne d’une batterie à partir de mesures.
Exemple 3: Déterminer la force électromagnétique et la résistance interne d’une batterie en utilisant plusieurs mesures
Le graphique montre la variation du courant dans un circuit en fonction de la tension aux bornes de la batterie qui produit le courant.
- Quelle est la force électromotrice de la batterie ?
- Quelle est la résistance interne de la batterie ?
Réponse
Partie 1
La f.é.m. d’une batterie est donnée par l’équation où est la tension aux bornes de la batterie, est la résistance interne de la batterie, et est le courant dans le circuit.
La valeur de la f.é.m. de la batterie est égale à la valeur à l’interception de l’axe des de la droite qui décrit le mieux les points tracés sur le graphique. Ceci est illustré par le schéma suivant.
La f.é.m. de la batterie est de 6 V.
Partie 2
La résistance interne de la batterie est déterminée à l’aide de l’équation
Cette équation peut être réarrangée comme suit et exprimé sous la forme
Cette équation peut être comparée à l’équation de la régression linéaire où est la tension aux bornes, est le courant, est la f.é.m, et est le gradient de la droite.
On voit alors que et ainsi
Le gradient de la régression linéaire est donné par
Nous pouvons prendre deux valeurs très claires de et à partir du graphique : et , et et .
Cela nous donne une valeur de comme suit :
Cela nous donne une valeur de comme suit :
Cela donne une valeur de comme suit :
Nous savons que et ainsi, est égal à 0,125 Ω.
Résumons maintenant ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.
Points clés
- Une batterie a une résistance appelée résistance interne.
- Une partie de la différence de potentiel produite par une batterie exerce du travail pour déplacer les charges à travers la batterie. Cette différence de potentiel n’est pas disponible pour déplacer des charges à travers un circuit auquel la batterie est connectée.
- La différence de potentiel totale qu’une batterie produit s’appelle la f.é.m. de la batterie.
- La différence de potentiel qu’une batterie fournit à un circuit connecté à la batterie est appelée la tension aux bornes de la batterie.
- La f.é.m. , tension aux bornes et résistance interne d’une batterie connectée à un circuit transportant un courant sont liées par l’équation
- La force électromagnétique et la résistance interne d’une batterie ne peuvent pas être mesurées directement, mais peuvent être estimées indirectement.
