Fiche explicative de la leçon : Force électromotrice et résistance interne Physique

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à définir la relation entre la force électromotrice (f.é.m.) d’une batterie par rapport à la tension à ses bornes et sa résistance interne.

On considère généralement les batteries comme fournissant une différence de potentiel à d’autres composants d’un circuit afin de produire un courant dans ces composants. Ceci est correct. Il est également vrai, cependant, qu’une batterie produit une différence de potentiel à travers elle-même afin de produire un courant à travers elle-même.

Considérez une batterie qui produit une différence de potentiel 𝑉 entre ses bornes. Lorsqu’un fil conducteur relie les bornes positive et négative de la batterie, on a un circuit fermé. Un courant continu 𝐼 est produit dans le circuit. Le courant dans le fil est donné par 𝐼=𝑉𝑅,𝑅 est la résistance du circuit.

La direction du courant est de la borne positive à la borne négative. Dans un circuit en série, le courant en tous les points du circuit est égal. Cela signifie qu’il doit y avoir des courants égaux sortant de la borne positive et entrant dans la borne négative. Ceci est illustré par le schéma suivant.

De là, nous voyons qu’il doit également y avoir un courant dans la batterie égal au courant à ses bornes. Ceci est illustré par le schéma suivant.

Nous avons vu que 𝐼=𝑉𝑅.

Pour deux résistances en série 𝑅 et 𝑅 , leur résistance combinée 𝑅total est donnée par 𝑅=𝑅+𝑅.total

On voit alors que 𝑅total pour le circuit constitué d’un fil et d’une batterie doit correspondre à la somme de la résistance du fil et de la batterie. On peut appeler la résistance du fil 𝑅 et la résistance de la batterie 𝑟.

L’équation 𝐼=𝑉𝑅,total peut être réarrangée pour en faire 𝑉 son sujet, ce qui nous donne 𝑉=𝐼𝑅.total

Le courant du circuit peut donc être exprimé par 𝑉=𝐼(𝑅+𝑟).

On appelle 𝑅 résistance externe et 𝑟 résistance interne.

Une différence de potentiel 𝑉 peut être exprimé sous la forme 𝑉=𝑊𝑄,𝑊 est le travail effectué par la différence de potentiel sur une charge 𝑄 à travers la différence de potentiel.

La différence de potentiel aux extrémités d’un fil correspond à la diminution du potentiel entre les bornes du fil. Ceci est illustré par le schéma suivant.

La différence de potentiel produite par une batterie à travers un fil est égale au travail effectué par coulomb de charge sur les charges qui se déplacent à travers le fil d’une borne de la batterie à l’autre. Le potentiel diminue sur toute la longueur du fil.

Ainsi que lorsque des charges se déplacent à travers le fil, un travail doit être effectué pour déplacer des charges à travers la batterie. Lorsque cela se produit, l’énergie potentielle des charges augmente plutôt que de diminuer. Le potentiel doit alors augmenter sur toute la longueur de la batterie. Ceci est illustré par le schéma suivant.

À de nombreuses fins, un circuit contenant une batterie est modélisé comme ayant une résistance purement externe. La différence de potentiel entre les bornes d’un tel circuit externe peut être mesurée à l’aide d’un voltmètre connecté en parallèle à la résistance du circuit comme indiqué sur le schéma suivant.

Il est important de noter que les fils reliant la batterie, la résistance et le voltmètre sont considérés comme ayant une résistance négligeable sur ce schéma.

On peut s’attendre à ce qu’un voltmètre puisse également mesurer la différence de potentiel aux bornes d’une batterie en connectant le voltmètre à la batterie, comme indiqué sur le schéma suivant.

Ce circuit ne mesurerait cependant pas la différence de potentiel aux bornes de la batterie. Les deux voltmètres dans le circuit mesureraient la même valeur, qui est la différence de potentiel aux bornes du circuit externe.

Si nous voulons mesurer la différence de potentiel entre les bornes de la batterie pour les charges se déplaçant à l’intérieur de la batterie, un voltmètre devra mesurer le travail effectué sur les charges traversant la batterie plutôt que le circuit externe.

On voit alors qu’un voltmètre dans un circuit ne peut pas mesurer la différence de potentiel aux bornes de la batterie. Cela semble montrer qu’il n’y a aucun moyen de connaître la valeur de la résistance interne d’une batterie ou la différence de potentiel à travers celle-ci. En fait, il est possible de déterminer ces valeurs en utilisant plusieurs mesures.

En considérant une batterie comme un composant d’un circuit ayant une résistance externe 𝑅 , on voit qu’il doit y avoir une diminution du potentiel, 𝑉batterie , à travers la batterie. Ceci est donné par 𝑉=𝐼𝑟,batterie𝐼 est le courant dans le circuit.

Considérez maintenant l’équation 𝑉=𝐼(𝑅+𝑟),𝑉 est la différence de potentiel aux bornes de la résistance externe, qui peut être mesurée à l’aide d’un voltmètre.

Cela peut être écrit sous la forme 𝑉=𝐼𝑅+𝐼𝑟𝑉=𝐼𝑅+𝑉.batterie

Pour pourvoir nous server d’un voltmètre pour mesurer la différence de potentiel totale que la batterie peut produire, 𝑉batterie doit être nul.

𝑉batteriedoit être nul si la valeur de 𝐼 vaut zéro. Cela nous donnerait l’équation 𝑉=𝐼𝑅+0𝑉=𝐼𝑅.

Cette valeur de 𝑉 correspond à toute la différence de potentiel de la batterie effectuant un travail sur le circuit externe.

Malheureusement, si la valeur de 𝐼 vaut zéro, alors l’équation 𝑉=𝐼𝑅 doit avoir les valeurs 𝑉=0×𝑅.

Cela semble nous indiquer que la seule façon qu’un voltmètre peut mesurer la pleine différence de potentiel d’une batterie est de savoir si cette différence de potentiel est nulle. Cela semble inévitable, car une batterie avec une différence de potentiel non nulle produirait un courant non nul et donc une valeur non nulle de 𝑉batterie.

Cette conclusion est cependant incorrecte. La raison pour laquelle la conclusion est incorrecte est déduite plus loin dans cette fiche explicative. Cependant, pour comprendre pourquoi la conclusion est incorrecte, il faut d’abord considérer l’équation 𝑉=𝐼𝑅+𝐼𝑟.

Nous avons vu que la mesure d’un voltmètre est égale à 𝐼𝑅. Comme nous savons que la différence de potentiel aux bornes du circuit externe plus la différence de potentiel aux bornes de la batterie s’additionnent pour donner une différence de potentiel totale, nous pouvons former l’équation suivante:𝑉=𝑉+𝑉.totalvoltmètrebatterie

Il y a des noms spécifiques pour les quantités dans cette équation. 𝑉batterie s’appelle chute de tension (ou lost volts en anglais), 𝑉voltmètre s’appelle la tension aux bornes, et 𝑉total s’appelle la force électromotrice ou f.é.m..

Toutes ces quantités ont pour unité le volts. La f.é.m. est indiquée par le symbole 𝜀. Malgré son nom, la force électromagnétique n’est pas une force mais une différence de potentiel.

Formule : Force électromotrice d’une batterie

La force électromotrice 𝜀 d’une batterie qui a une tension aux bornes 𝑉 est donnée par 𝜀=𝑉+𝐼𝑟,𝐼 est le courant dans la batterie et 𝑟 est la résistance interne de la batterie.

Regardons maintenant un exemple dans lequel on détermine la f.é.m. d’une batterie.

Exemple 1: Déterminer la f.é.m. d’une batterie

Un circuit est alimenté par une batterie avec une tension aux bornes de 2,5 V. Le circuit a une résistance de 3,5 Ω et la batterie a une résistance interne de 0,65 Ω. Quelle est la force électromotrice de la batterie?Donnez votre réponse arrondie à une décimale près.

Réponse

La f.é.m. 𝜀 d’une batterie est donnée par l’équation 𝜀=𝑉+𝐼𝑟,𝑉 est la tension aux bornes de la batterie, 𝑟 est la résistance interne de la batterie, et 𝐼 est le courant dans le circuit.

En substituant les valeurs connues dans cette équation, on voit que 𝜀=2,5+0,65𝐼.

Nous voyons que comme 𝐼 n’est pas donné, nous ne sommes pas encore en mesure de déterminer 𝜀.

Rappellons, cependant, que la tension aux bornes est donnée par 𝑉=𝐼𝑅.

Cette équation peut être réarrangée pour en faire 𝐼 le sujet, donnant 𝐼=𝑉𝑅.

En substituant les valeurs connues dans cette équation, on voit que 𝐼=2,53,5=2,53,5.VΩA

La valeur de 𝐼 peut être substituée dans 𝜀=2,5+0,65𝐼 pour donner 𝜀=2,5+0,65×2,53,5.

Arrondissant la valeur de 𝜀 à une décimale près, nous avons 𝜀=3,0V.

Regardons maintenant un exemple dans lequel nous devons déterminer la résistance interne d’une batterie.

Exemple 2: Déterminer la résistance interne d’une batterie

Une batterie avec une force électromotrice de 4,50 V est connectée à un circuit avec une résistance de 2,75 Ω. Le courant dans le circuit est de 1,36 A. Quelle est la résistance interne de la batterie?Donnez votre réponse arrondie à deux décimales près.

Réponse

La f.é.m. 𝜀 d’une batterie est donnée par l’équation 𝜀=𝑉+𝐼𝑟,𝑉 est la tension aux bornes de la batterie, 𝑟 est la résistance interne de la batterie, et 𝐼 est le courant dans le circuit.

Cette équation peut être réarrangée comme suit pour en faire 𝑟 le sujet. 𝜀=𝑉+𝐼𝑟𝜀𝑉=𝐼𝑟𝜀𝑉𝐼=𝑟𝑟=𝜀𝑉𝐼.

En substituant les valeurs connues dans cette équation, on voit que 𝑟=4,50𝑉1,36.

Nous voyons que comme 𝑉 n’est pas donné, nous ne sommes pas encore en mesure de déterminer 𝑟.

Rappellons, cependant, que la tension aux bornes est donnée par 𝑉=𝐼𝑅.

En substituant les valeurs connues dans cette équation, on voit que 𝑉=1,36×2,75=3,74.AΩV

En substituant cette valeur de 𝑉 dans 𝑟=4,503,741,36, puis en arrondissant la valeur de 𝑟 à deux décimales près, nous avons 𝑟=0,56Ω.

Un circuit comme celui du schéma suivant peut servir à déterminer la force électromagnétique et la résistance interne d’une batterie.

Le voltmètre dans le circuit mesure la tension aux bornes de la batterie. La résistance variable dans le circuit permet de modifier la résistance du circuit. La modification de la résistance du circuit modifie le courant dans le circuit. La valeur de la tension aux bornes pour différentes valeurs de courant peut donc être mesurée.

Les valeurs mesurées peuvent être tracées sur un graphique.

Comme la valeur de 𝐼 diminue, la valeur de 𝑉 augmente. La valeur de 𝐼 pour 𝑉=0 ne peut pas être trouvée à partir d’une mesure de voltmètre, mais peut être estimé en utilisant des mesures de voltmètre où 𝐼>0. Ceci est illustré par le schéma suivant.

Ce graphique est le graphique d’une droite qui intercepte l’axe des 𝑦 en 𝜀. La courbe a une pente négative.

La courbe d’une droite peut être écrite sous la forme 𝑦=𝑚𝑥+𝑐,𝑚 est la pente de la droite et 𝑐 est le point d’interception avec l’axe des 𝑦.

Le trace qui sert à estimer 𝜀 a pour valeurs 𝐼 sur son axe des 𝑥 et une valeur de 𝑉 sur son axe des 𝑦. Cela nous montre que l’équation de la droite est 𝑉=𝑚𝐼+𝜀𝑉=𝜀+𝑚𝐼𝑉=𝜀+𝐼𝑚.

Nous pouvons réarranger l’équation 𝜀=𝑉+𝐼𝑟 sous la forme 𝜀𝐼𝑟=𝑉𝑉=𝜀𝐼𝑟.

En comparant 𝑉=𝜀𝐼𝑟 à l’équation pour la droite du graphique utilisé pour estimer 𝜀 , 𝑉=𝜀+𝐼𝑚, on voit que 𝑚=𝑟.

Le graphique peut donc server à déterminer 𝑟 ainsi que 𝜀. Nous pouvons donc déterminer la force électromagnétique et la résistance interne d’une batterie.

Regardons maintenant un exemple dans lequel on détermine la force électromagnétique et la résistance interne d’une batterie à partir de mesures.

Exemple 3: Déterminer la force électromagnétique et la résistance interne d’une batterie en utilisant plusieurs mesures

Le graphique montre la variation du courant dans un circuit en fonction de la tension aux bornes de la batterie qui produit le courant.

  1. Quelle est la force électromotrice de la batterie?
  2. Quelle est la résistance interne de la batterie?

Réponse

Partie 1

La f.é.m. 𝜀 d’une batterie est donnée par l’équation 𝜀=𝑉+𝐼𝑟,𝑉 est la tension aux bornes de la batterie, 𝑟 est la résistance interne de la batterie, et 𝐼 est le courant dans le circuit.

La valeur de la f.é.m. 𝜀 de la batterie est égale à la valeur à l’interception de l’axe des 𝑦 de la droite qui décrit le mieux les points tracés sur le graphique. Ceci est illustré par le schéma suivant.

La f.é.m. de la batterie est de 6 V.

Partie 2

La résistance interne 𝑟 de la batterie est déterminée à l’aide de l’équation 𝜀=𝑉+𝐼𝑟.

Cette équation peut être réarrangée comme suit 𝑉=𝜀𝐼𝑟 et exprimé sous la forme 𝑉=𝜀+(𝑟)𝐼.

Cette équation peut être comparée à l’équation de la régression linéaire 𝑦=𝑐+𝑚𝑥,𝑦 est la tension aux bornes, 𝑥 est le courant, 𝑐 est la f.é.m, et 𝑚 est le gradient de la droite.

On voit alors que 𝑚=𝑟, et ainsi 𝑟=𝑚.

Le gradient de la régression linéaire est donné par 𝑚=Δ𝑦Δ𝑥=Δ𝑉Δ𝐼.

Nous pouvons prendre deux valeurs très claires de 𝑉 et 𝐼 à partir du graphique:𝑉=5,90V et 𝐼=0,80A , et 𝑉=5,85V et 𝐼=1,20A.

Cela nous donne une valeur de Δ𝑉 comme suit:Δ𝑉=5,905,85=0,05.VVV

Cela nous donne une valeur de Δ𝐼 comme suit:Δ𝐼=0,801,20=0,40.AAA

Cela donne une valeur de 𝑚 comme suit:𝑚=0,050,40=0,125.VAΩ

Nous savons que 𝑟=𝑚, et ainsi, 𝑟 est égal à 0,125 Ω.

Résumons maintenant ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.

Points clés

  • Une batterie a une résistance appelée résistance interne.
  • Une partie de la différence de potentiel produite par une batterie exerce du travail pour déplacer les charges à travers la batterie. Cette différence de potentiel n’est pas disponible pour déplacer des charges à travers un circuit auquel la batterie est connectée.
  • La différence de potentiel totale qu’une batterie produit s’appelle la f.é.m. de la batterie.
  • La différence de potentiel qu’une batterie fournit à un circuit connecté à la batterie est appelée la tension aux bornes de la batterie.
  • La f.é.m. 𝜀 , tension aux bornes 𝑉 et résistance interne 𝑟 d’une batterie connectée à un circuit transportant un courant 𝐼 sont liées par l’équation 𝜀=𝑉+𝐼𝑟.
  • La force électromagnétique et la résistance interne d’une batterie ne peuvent pas être mesurées directement, mais peuvent être estimées indirectement.

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