Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à définir et à calculer les erreurs absolues et relatives des valeurs mesurées.
Lors de la mesure d’une valeur, il est important de connaitre la précision de la mesure. Lors de la détermination d’une telle précision, la valeur doit être comparée à une autre valeur jugée correcte, la valeur admise.
Une valeur admise, également appelée valeur réelle, est une valeur mesurée au cours d’un processus de mesure sans erreur. C’est ce à quoi toutes les autres valeurs mesurées sont comparées. Les valeurs admises sont généralement des constantes, telles que la constante gravitationnelle ou la charge d’un électron.
Une erreur de mesure survient lorsque la mesure d’une valeur diffère de la valeur admise. Si l’on sait que la masse d’un bloc de fromage est de 1 kg , mais une balance indique que c’est 1,2 kg, c’est un exemple d’erreur de mesure.
Quelle que soit la source de l’erreur, il existe deux façons différentes de la quantifier. Regardons d’abord l’erreur absolue.
L’erreur absolue est la différence absolue entre la valeur admise et la valeur mesurée. Lorsqu’elle est exprimée sous forme d’équation, elle se présente comme suit :
Les lignes du côté droit de l’équation indiquent que la différence est une valeur absolue. Une valeur absolue ne se soucie que de la magnitude du nombre, ce qui signifie qu’elle sera toujours positive, même si la valeur mesurée est supérieure à la valeur admise.
Pour le fromage, la valeur admise est de 1 kg, et la valeur mesurée est de 1,2 kg. La substitution de ces valeurs dans l’équation donne
Donc, même si donne un résultat de moins 0,2 ; le nombre devient positif puisqu’il s’agit d’une valeur absolue. Le fromage a une erreur absolue de 0,2 kg.
Regardons un exemple.
Exemple 1: Calcul de l’erreur absolue dans la mesure d’une valeur admise
Dans une expérience, l’accélération due à la gravité à la surface de la Terre est mesurée comme étant de 9,90 m/s2. Déterminez l’erreur absolue dans la mesure en utilisant une valeur admise de 9,81 m/s2.
Réponse
Pour déterminer l’erreur absolue de la valeur mesurée de 9,90 m/s2, il faut déterminer la différence entre celle-ci et la valeur admise de 9,81 m/s2, comme indiqué dans l’équation pour l’erreur absolue. Rappelons que l’équation pour l’erreur absolue est
La valeur admise est 9,81 m/s2, et la valeur mesurée est 9,90 m/s2, en les substituant dans l’équation pour l’erreur absolue, on obtient
L’erreur absolue est une valeur absolue, et donc elle sera toujours positive, même si donne un nombre négatif. L’erreur absolue est donc de 0,09 m/s2.
Cependant, une erreur absolue n’est pas toujours utile pour déterminer la précision d’une mesure. Imaginons que nous avons un énorme morceau de fromage avec une masse de 1 000 kg. Lorsque le fromage est posée sur une balance, on mesure une masse de 1 000,2 kg.
En utilisant ces valeurs, nous voyons que lors de la mise dans l’équation pour l’erreur absolue nous avons la même valeur d’erreur absolue pour l’énorme morceau de fromage de 1 000 kg que celle que nous avions pour le beaucoup plus petit bloc de fromage de 1 kg. La valeur de 0,2 kg importe plus pour les petites masses que pour les plus grandes, et il existe un moyen d’exprimer cette erreur relative.
L’erreur relative est une manière de montrer l’erreur de façon proportionnelle à la valeur admise. On l’obtient en prenant l’erreur absolue et en la divisant par la valeur admise avec étant l’erreur relative, l’erreur absolue, et la valeur admise.
Le gros morceau de fromage et le bloc ont tous deux la même valeur d’erreur absolue, 0,2 kg. Comme le gros morceau de fromage a une valeur admise beaucoup plus grande, nous devrions nous attendre à ce que l’erreur relative soit plus petite que pour le petit bloc de fromage. L’erreur relative pour le gros morceau est de et l’erreur relative pour le petit bloc est de
Notez que comme les unités sont les mêmes pour le numérateur et le dénominateur de l’équation, elles s’annulent, rendant l’erreur relative sans unité.
Regardons quelques exemples.
Exemple 2: Calcul d’une erreur absolue à partir d’une erreur relative
Si l’erreur relative dans la mesure d’une aire de 320 m2 est de 0,03 , calculez l’erreur absolue pour cette mesure.
Réponse
On nous donne initialement deux valeurs, l’erreur relative de 0,03 et la valeur admise de 320 m2. Nous avons besoin de trouver l’erreur absolue, ce que nous pouvons faire en regardant l’équation pour l’erreur relative. Rappelons que l’équation pour l’erreur relative est avec étant l’erreur relative, l’erreur absolue, et la valeur admise.
Pour isoler l’erreur absolue, , nous allons raisonner algébriquement. Multiplions les deux côtés de l’équation par la valeur admise, cela annule la valeur admise du côté droit de l’équation et donne
En utilisant cette équation modifiée, nous pouvons maintenant utiliser les valeurs données dans l’équation. L’erreur relative est de 0,03, et la valeur admise est de 320 m2 :
Comme l’erreur relative adimensionnelle, le résultat de la multiplication a des unités de m2. Notre valeur d’erreur absolue est donc de 9,6 m2.
Exemple 3: Identifier la mesure qui a la plus grande précision
Laquelle des mesures de temps suivantes est la plus précise ?
Réponse
Le symbole signifie plus ou moins une valeur particulière, le nombre suivant étant l’erreur absolue. Pour déterminer quelle mesure du temps est la plus précise, nous devrons déterminer l’erreur relative, car la mesure qui a l’erreur relative la plus petite est celle qui est la plus précise. Rappelons que l’équation de l’erreur relative est une erreur absolue sur la valeur admise,
Dans ce problème, l’erreur absolue est le nombre après le signe et la valeur admise se trouve avant lui. Regardons chaque réponse potentielle individuellement, en commençant par A :
Ensuite, l’erreur relative pour B est l’erreur relative pour C est et l’erreur relative pour D est
On voit à partir de là que la réponse B a la plus petite erreur relative, seulement 0,002. On aurait aussi pu déterminer cela en observant les erreurs absolues pour chaque choix de réponse : des erreurs absolues beaucoup plus petites donneraient aussi des erreurs relatives plus petites.
L’erreur relative est souvent exprimée avec une légère modification, ce qui donne un pourcentage.
Le pourcentage d’erreur relative est une erreur relative exprimée en pourcentage, qui est calculée en multipliant la valeur par : avec le pourcentage d’erreur relative.
Si l’on regarde le fromage, l’erreur relative est de 0,2 pour le plus petit bloc de fromage. Le pourcentage d’erreur relative est donc et le bloc de fromage a donc une erreur relative en pourcentage de , ou la mesure est précise à .
Le gros morceau de fromage a une erreur relative en pourcentage beaucoup plus faible :
Cette plus grande différence au niveau proportionnel en pourcentage d’erreur pour les plus petits blocs de fromage signifie que les erreurs de mesure vont s’accumuler beaucoup plus vite. Si, par exemple, on vous demande de mesurer 1 000 kg de fromage, en choisissant un seul gros morceau de fromage de 1 000 kg cela donnera une précision de . Si vous deviez choisir à la place 1 000 petits blocs, le pourcentage d’erreur relative serait de près de .
Pour obtenir la valeur réelle du pourcentage d’erreur relative en en kilogrammes de fromage, divisez le pourcentage d’erreur relative par pour revenir à l’erreur relative. En comparant les deux, pour le gros morceau c’est tandis que pour le petit bloc de fromage, c’est
Ainsi, alors que la masse du gros morceau ne variera que de 0,2 kg, en utilisant la pile de 1 000 blocs de fromage plus petits, leur masse variera de 200 kg. C’est-à-dire entre 800 et 1 200 kg de fromage quand on était censé en avoir 1 000 kg, c’est donc une grosse marge d’erreur.
Sachant que l’erreur relative est basée sur l’erreur absolue et la valeur admise, l’équation pour le pourcentage d’erreur relative, s’écrit comme avec l’erreur absolue et la valeur admise.
Regardons quelques exemples en utilisant le pourcentage d’erreur relative.
Exemple 4: Calcul de l’erreur relative lors d’une mesure d’une valeur admise
Dans une expérience, la vitesse des ondes sonores sur la Terre au niveau de la mer à une température de est de 333 m/s. Déterminez le pourcentage d’erreur relative dans la mesure en utilisant une valeur admise de 344 m/s. Donnez votre réponse à une décimale près.
Réponse
Dans ce problème, les valeurs données sont la valeur mesurée de 333 m/s et la valeur admise de 344 m/s. Pour rappel, l’équation de l’erreur relative en pourcentage est avec étant l’erreur absolue et la valeur admise.
On a besoin de l’erreur absolue, on la trouve en prenant la différence entre les valeurs mesurées et les valeurs admises :
L’erreur relative est ensuite calculée en divisant l’erreur absolue, 11 m/s , par la valeur admise de 344 m/s : l’erreur relative est donc de . La réponse doit être donnée au dixième près, mais elle n’est arrondie qu’à la fin du problème pour une précision maximale. Pour obtenir le pourcentage d’erreur relative, cette valeur est ensuite multipliée par :
Maintenant que la réponse est dans sa forme finale, elle peut être arrondie au dixième près, donnant le pourcentage d’erreur relative .
Exemple 5: Déterminer une valeur à partir de son erreur absolue et relative
Les erreurs relatives et absolues dans la mesure de la masse de plusieurs boîtes sont respectivement de et 0,4 kg. Calculez la valeur réelle de la masse.
Réponse
La valeur réelle est la valeur admise, et elle peut être déterminée en utilisant l’équation étendue pour le pourcentage d’erreur relative avec l’erreur absolue et la valeur admise.
La valeur admise, , doit être isolée, ce qui peut être fait de manière algébrique. Commençons par multiplier les deux côtés par la valeur admise :
Cela provoque l’annulation des valeurs admises à gauche, ce qui donne
Les deux côtés peuvent ensuite être divisées par le pourcentage d’erreur relative ce qui donne annulant le pourcentage d’erreur relative sur la droite et formant une équation avec une valeur admise isolée :
Maintenant, les valeurs de l’erreur absolue, 0,4 kg, et de pourcentage d’erreur relative de peuvent être remplacées par provoquant l’annulation des signes de pourcentage et laissant une valeur admise de la masse de 25 kg.
Résumons maintenant ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.
Points clés
- La valeur admise est la valeur réelle qui est considérée comme correcte.
- Une erreur de mesure survient lorsque la valeur mesurée diffère de la valeur admise.
- L’erreur absolue est la différence entre la valeur admise et la valeur mesurée, et les unités sont les mêmes que celles des valeurs.
- L’erreur relative est la proportion de l’erreur absolue et de la valeur admise, et elle est sans unité.
- Le pourcentage d’erreur relative est une erreur relative exprimée en pourcentage.
