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Fiche explicative de la leçon: Cinétique de rotation Physique • Première année secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à modéliser le changement de position d’objets qui se déplacent le long de trajectoires circulaires en fonction du temps.

Imaginez que nous libérons un cylindre à partir du repos au sommet d’une pente, comme le montre le schéma ci-dessous.

Lorsque le cylindre roule, il subit deux types de mouvement:un mouvement linéaire vers le bas de la pente et un mouvement de rotation. Pour visualiser cette rotation, admettons qu’un point rouge est fixé au centre du cylindre. Le cylindre qui roule se déplace en cercles, c’est-à-dire qu’il tourne, autour du point rouge, comme indiqué sur le schéma suivant.

Maintenant, imaginons que nous imprimons la lettre 𝑅 sur la surface du cylindre et suivons cette lettre par rapport au point rouge pendant que le cylindre descend la pente.

À un instant, la lettre 𝑅 sera directement au-dessus du centre du cylindre. Puis, quelque temps plus tard, la lettre sera à nouveau directement au-dessus du point rouge. Sur le schéma suivant, le cylindre est représenté à plusieurs positions espacées de distances égales, mais de temps différents:le cylindre accélère lorsqu’il descend la pente.

En observant la lettre 𝑅 directement au-dessus du point rouge à deux instants différents dans le temps, on en conclut que le cylindre a subi une rotation complète, ou tour. Le cylindre a tourné à travers 360 degrés.

Une autre façon de décrire la rotation est d’utiliser des unités appelées radians. Si on prend un cercle de rayon 𝑅 et on marque un arc de la circonférence du cercle de longueur 𝑅, alors l’angle de la longueur de cet arc mesuré à partir du centre du cercle est égal à un radian.

Une rotation complète du cercle est égale à un angle qui vaut exactement 2𝜋 radians. Cela signifie que 360=2𝜋.degrésradians

Cette équation nous montre comment convertir un angle en degrés à des radians ou un angle en radians à des degrés. Si l’on divise les deux côtés par 2𝜋 radians, on obtient que:3602𝜋=1.degrésradians

Étant donné un angle en radians, si on le multiplie par la fraction à gauche, on obtient cet angle en degrés.

Pour la conversion opposée, nous divisons les deux côtés de l’équation d’origine par 360 degrés, ce qui nous donne 1=2𝜋360.radiansdegrés

Étant donné un angle en degrés, si on le multiplie par la fraction de droite, on obtient le même angle en radians.

Lorsqu’un objet tourne, on dit qu’il a subi un déplacement angulaire mesuré en degrés ou en radians.

Exemple 1: Conversion d’un déplacement angulaire en radians en degrés

Complétez:Un déplacement angulaire de radians est égal à un déplacement angulaire de 155. Donnez votre réponse au centième près.

Réponse

Nous voulons compléter la phrase avec le déplacement angulaire en radians qui est égal à un déplacement angulaire de 155 degrés.

Nous devrons convertir l’angle de 155 degrés à l’angle équivalent en radians.

Pour faire cela, on peut rappeler que 360 degrés font 2𝜋 radians, ce qui signifie que 2𝜋360=1.radiansdegrés

Comme cette fraction est égale à un, nous pouvons l’utiliser pour multiplier 155 degrés sans changer la valeur globale de l’angle.

Cependant, multiplier par ce rapport changera l’unité dans laquelle l’angle est exprimé - de degrés en radians:155×2𝜋360=31𝜋36.degrésradiansdegrésradians

En arrondissant le résultat à trois chiffres significatifs, on constate que 155=2,71.degrésradians

En repensant à notre cylindre qui roule vers le bas, on peut dire que le cylindre subit un déplacement linéaire et angulaire au même temps. Le symbole du déplacement linéaire est 𝑠, tandis que le symbole qui représente le déplacement angulaire est 𝜃.

Lorsque le cylindre roule, nous savons qu’il se déplacera de plus en plus vite vers le bas de la pente. Sa vitesse linéaire augmente, et on peut dire la même chose à propos du taux de rotation du cylindre.

Le taux de rotation du cylindre est le taux auquel son déplacement angulaire varie. On appelle cela sa vitesse angulaire, et elle est complètement semblable à la vitesse linéaire du cylindre. La vitesse angulaire est représentée par le symbole 𝜔:𝜔=Δ𝜃Δ𝑡.

On voit que la vitesse angulaire du cylindre commence par être petite et devient plus grande au cours du temps. Ainsi, non seulement le déplacement angulaire du cylindre varie en fonction du temps, mais aussi sa vitesse angulaire. Le taux auquel la vitesse angulaire varie en fonction du temps est appelée accélération angulaire. Cette quantité est représentée par le symbole 𝛼:𝛼=Δ𝜔Δ𝑡.

Exemple 2: Calculer l’accélération angulaire à partir du taux de rotation angulaire

Un foret est initialement au repos. Lorsque le foret est activé, il tourne 47,5 fois par seconde. Le foret atteint cette vitesse en un temps de 175 ms. Quelle est l’accélération angulaire du foret?Donne ta réponse au radian par seconde carrée près.

Réponse

Ici, on nous parle d’un foret avec une vitesse angulaire de 47,5 tours par seconde. A partir du repos, le foret atteint cette vitesse en 175 ms.

En calculant l’accélération angulaire du foret, nous aimerions donner notre réponse en radians par seconde carrée plutôt qu’en tours par seconde carrée.

Dans un premier temps, convertissons 47,5 rotations par seconde en radians par seconde.

Il y a 2𝜋 radians dans un tour complet. Cela signifie que cette vitesse angulaire est égale à (47,5)(2𝜋) radians par seconde, ou 95𝜋 radians par seconde. Appelons cette vitesse 𝜔:𝜔=95𝜋/.rads

Le foret augmente sa vitesse angulaire de 0 à 𝜔 en 175 ms. Cela signifie que le foret subit une accélération angulaire, qui est en général égale au taux auquel la vitesse angulaire varie en fonction du temps. Si l’on appelle l’accélération angulaire 𝛼, alors 𝛼=Δ𝜔Δ𝑡.

Dans ce cas, Δ𝜔 vaut simplement 𝜔 vu que le foret commence au repos et Δ𝑡 est de 175 ms.

Nous pouvons donc continuer en calculant 𝛼:𝛼=Δ𝜔Δ𝑡,=95𝜋/175.radsms

Avant de résoudre cette fraction, nous voulons que les unités de temps du numérateur et du dénominateur soient en accord. Nous pouvons convertir 175 ms au temps équivalent en secondes. Etant donné 1000=1,175=0,175.mssmss

Sachant cela, nous pouvons maintenant écrire 𝛼=95𝜋/0,175radss et calculer 𝛼 en radians par seconde carrée (rad/s2).

À trois chiffres significatifs, l’accélération angulaire du foret 𝛼 est de 1‎ ‎710 rad/s2.

Notez que ces trois quantités, le déplacement angulaire, la vitesse angulaire et l’accélération angulaire, ont toutes des valeurs linéaires correspondantes.

Nous savons que le déplacement, la vitesse et l’accélération linéaires apparaissent souvent dans ce qu’on appelle les équations du mouvement. Ces équations décrivent comment les objets se déplacent sous une accélération constante.

Il se trouve que nous pouvons écrire des équations du mouvement similaires en utilisant des quantités angulaires. On peut les considérer comme des « équations du mouvement angulaire »:𝜔=𝜔+𝛼×𝑡,𝜔=𝜔+12×𝛼×𝜃,𝜃=𝜔×𝑡+12×𝛼×𝑡,𝜃=𝜔+𝜔2×𝑡.

Ces équations nous permettent d’analyser et de comprendre le mouvement de rotation comme nous le faisons pour le mouvement linéaire.

Exemple 3: Calculer le mouvement de rotation à partir de la vitesse et de l’accélération angulaires

Les pales d’une grande éolienne font un tour complet en un temps de 3,25 s quand il fonctionne à pleine vitesse. L’accélération angulaire de la turbine lorsqu’elle augmente sa vitesse jusqu’au maximum est de 0,124 rad/s2. Combien de temps faut-il pour amener une turbine initialement inactive à sa vitesse de fonctionnement maximale?Donnez votre réponse à une décimale près.

Réponse

Dans cet exemple, nous voulons calculer le temps nécessaire pour que ces pales de turbine accélèrent du repos à la vitesse de fonctionnement maximale.

On peut d’abord noter que l’accélération angulaire des pales est constante. Cela signifie que nous pouvons utiliser les équations du mouvement angulaire pour décrire la rotation des pales.

Il y a quatre équations de ce genre, et nous choisirons celle qui utilise les informations qui nous sont données et qui comprend également la variable que nous voulons calculer, à savoir 𝑡.

Nous connaissons l’accélération angulaire de la turbine, et nous savons également combien de temps il faut aux pales de la turbine pour faire un tour complet à pleine vitesse.

Rappelons que la vitesse angulaire est définie comme étant une variation du déplacement angulaire divisée par une variation du temps. Étant donné que nous connaissons le temps nécessaire pour que la turbine tourne une fois à pleine vitesse et aussi qu’un tour est égal à un déplacement angulaire de 2𝜋 radians, on peut écrire la vitesse angulaire maximale de la turbine:𝜔=13,25×2𝜋/.maxtrsradtr

Vu que la turbine commence au repos, nous pouvons considérer cela comme étant sa vitesse finale. Cela guide notre choix de l’équation du mouvement angulaire à utiliser. On peut utiliser 𝜔=𝜔+𝛼×𝑡 et le réarranger pour calculer le temps 𝑡.

D’abord, notons que 𝜔 vaut zéro. Si on divise ensuite les deux côtés de l’équation par l’accélération angulaire, on constate que 𝑡=𝜔𝛼.

On nous dit que 𝛼=0,124/rads, et nous avons calculé que 𝜔=2𝜋3,25rads, ou 2𝜋3,25 radians par seconde.

Par conséquent, 𝑡=/0,124/.radsrads

Les radians par seconde s’annulent au numérateur et au dénominateur, et nous constatons que 𝑡=15,5910.s

Comme les valeurs données dans cet exemple ont chacune trois chiffres significatifs, nous arrondirons notre réponse avec la même précision. À trois chiffres significatifs, le temps nécessaire pour que la turbine atteigne sa vitesse de fonctionnement maximale est de 15,6 secondes.

Exemple 4: Déterminer le nombre de rotations d’un objet roulant

Un tronc d’arbre abattu dévale une pente en un temps de 7,2 s. Le tronc est initialement au repos au sommet de la pente et a une vitesse angulaire de 12 rad/s à la base de la pente. Combien de rotations complètes le tronc effectue-t-il lorsqu’il descend la pente?

Réponse

On peut considérer ce tronc d’arbre comme un cylindre roulant sur une pente comme le montre la figure. Lorsque le tronc roule, il tourne avec une vitesse angulaire croissante. Le taux auquel sa vitesse angulaire augmente est constante, ce qui signifie que le tronc subit une accélération angulaire constante. Par conséquent, les équations du mouvement angulaire peuvent être appliquées au mouvement du tronc.

Ces équations sont les suivantes:𝜔=𝜔+𝛼×𝑡,𝜔=𝜔+12×𝛼×𝜃,𝜃=𝜔×𝑡+12×𝛼×𝑡,𝜃=𝜔+𝜔2×𝑡.

Nous voulons déterminer le nombre de tours complets sur lui-même qu’effectue le tronc lorsqu’il descend la pente. Le nombre de tours complets effectués par un objet est lié à son déplacement angulaire, représenté par le symbole 𝜃. Si on calcule 𝜃, nous pourrons convertir cette valeur en tours.

Dans cet exercice, nous connaissons la vélocité angulaire du tronc au début et à la fin de sa descente, et nous savons également combien de temps la descente nécessite. Ces valeurs correspondent aux variables de la quatrième équation du mouvement angulaire, 𝜃=𝜔+𝜔2×𝑡.

Dans notre cas, la vitesse angulaire initiale du tronc, 𝜔, vaut zéro. 𝜔, la vitesse angulaire finale du tronc, est de 12 radians par seconde (12 rad/s). Le tronc met 7,2 secondes pour atteindre sa vélocité angulaire finale à partir du repos;nous symbolisons ce temps sous la forme 𝑡. En substituant ces valeurs dans l’équation du mouvement angulaire choisie, on obtient 𝜃=12/+0/2×7,2=6/×7,2=43,2.radsradssradssrad

Un tour complet d’un objet est égal à une rotation d’exactement 2𝜋 radians. Par conséquent, pour calculer le nombre de tours effectués par le tronc, nous divisons notre résultat en radians par 2𝜋 radians par tour:43,22𝜋/=6,875.radradtrtr

Le tronc a effectué légèrement moins que 7 tours complets en roulant. Par conséquent, le nombre de rotations complètes effectuées par le tronc est de 6.

Nous pouvons résumer maintenant ce que nous avons appris sur la cinétique de rotation.

Points clés

  • Les rotations peuvent être mesurées en radians ou en degrés. Il y a 2𝜋 radians en un tour complet.
  • Vu que 2𝜋 radians est égal à 360 degrés, on peut convertir un angle en degrés en radians en le multipliant par 2𝜋360radiansdegrés, alors que nous pouvons convertir un angle en radians en degrés en le multipliant par 3602𝜋degrésradians.
  • L’angle à travers lequel un objet a tourné s’appelle son déplacement angulaire et est symbolisé par 𝜃.
  • Le taux auquel 𝜃 varie au cours du temps est égal à la vitesse angulaire d’un objet. Il est symbolisé par 𝜔 et 𝜔=Δ𝜃Δ𝑡.
  • Le taux auquel 𝜔 varie au cours du temps est égal à l’accélération angulaire d’un objet. Il est symbolisé par 𝛼 et 𝛼=Δ𝜔Δ𝑡.
  • Le déplacement, la vélocité et l’accélération angulaires sont utilisés dans les équations du mouvement décrivant la rotation sous accélération angulaire constante:𝜔=𝜔+𝛼×𝑡,𝜔=𝜔+12×𝛼×𝜃,𝜃=𝜔×𝑡+12×𝛼×𝑡,𝜃=𝜔+𝜔2×𝑡.

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