Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment résoudre des systèmes d’équations linéaires par substitution.
Lorsque nous devons résoudre un système d’équations, nous recherchons en fait un ensemble de valeurs des variables qui vérifient chaque équation. Considérons par exemple le système d’équations
Nous souhaitons trouver une valeur de et une valeur de telles que les deux équations sont vraies. En d’autres termes, nous cherchons deux valeurs dont la somme est 3 et dont la différence est . Nous pourrions essayer de les trouver par tâtonnements mais cela ne fonctionnerait pas pour des systèmes plus complexes.
Nous allons plutôt utiliser la propriété selon laquelle toute équation linéaire à une variable admet une solution. Cela signifie que si l’on peut trouver une équation linéaire d’inconnue l’une de ces deux variables, nous pourrons trouver sa valeur. On peut pour cela réarranger une équation pour isoler une des variables. Par exemple, on peut réarranger la première équation en soustrayant aux deux membres pour obtenir
Par conséquent, si et sont des solutions du système d’équations, elles doivent aussi vérifier cette équation. Maintenant que nous avons écrit en fonction de et que les deux équations doivent être vraies, on peut substituer cette expression dans l’autre équation pour obtenir
En distribuant le signe négatif aux termes entre parenthèses et en simplifiant, on obtient
En divisant l’équation par 2, on a
On peut alors substituer cette valeur de dans l’une de ces équations pour trouver la valeur de . Substituer dans la première équation donne
Par conséquent, et est la solution du système d’équations. Nous pouvons vérifier que ces valeurs sont correctes en les substituant dans les deux équations.
Substituer et dans le membre gauche de la première équation donne qui est bien égal au membre droit.
Substituer et dans le membre gauche de la deuxième équation donne qui est aussi égal au membre droit. Comme les deux équations sont vraies, nous avons confirmé qu’il s’agit de la solution du système d’équations.
Cette méthode de résolution d’un système est appelée résolution par substitution, car on substitue une équation dans une autre après l’avoir réarangée. Il convient de noter que le choix de la substitution n’a pas d’importance : nous aurions pu réarranger la première équation en isolant ou réarranger la deuxième équation pour isoler ou . Tous ces choix auraient donné la même solution.
On peut généraliser cette méthode afin de résoudre tout système de deux équations linéaires à deux inconnues.
Comment résoudre un système d’équations linéaires par substitution
Pour résoudre un système d’équations linéaires par substitution, les étapes sont les suivantes :
- Réarranger une des équations pour isoler une inconnue.
- Substituer cette expression dans l’autre équation et résoudre l’équation linéaire obtenue à une inconnue.
- Remplacer la valeur de cette inconnue dans une des équations et calculer la valeur de l’inconnue restante.
- Valider la réponse en vérifiant que les valeurs des deux inconnues vérifient l’autre équation.
Voyons un exemple d’application de cette méthode pour résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues.
Exemple 1: Déterminer la valeur d’une variable dans un système d’équations linéaires
Calculez sachant que et .
Réponse
Nous devons déterminer la valeur de qui vérifie deux équations linéaires à deux inconnues. On rappelle qu’on peut la calculer par substitution. On commence normalement par réarranger une équation pour isoler une variable ; on remarque cependant que la deuxième équation est déjà sous cette forme. On peut maintenant substituer cette expression à dans la première équation :
En simplifiant, on obtient
On divise ensuite l’équation par pour obtenir
Dans le prochain exemple, nous allons résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues qui nécessite d’abord de réarranger une des équations pour isoler une variable.
Exemple 2: Résoudre un système d’équations linéaire par substitution
Résolvez le système d’équations suivant :
Réponse
Nous devons résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues et nous pouvons pour cela utiliser la substitution. Nous devons d’abord réarranger une des équations pour isoler une variable. Aucune des équations n’est déjà sous cette forme, nous pouvons donc choisir n’importe quelle équation et n’importe quelle variable ; on réarrange la deuxième équation pour isoler .
On soustrait aux deux membres de l’équation :
On divise ensuite l’équation par 4 pour obtenir
On peut à présent substituer cette expression à dans la première équation pour écrire une équation entièrement en fonction de . On a
On distribue maintenant le 5 aux termes entre parenthèses pour obtenir
En simplifiant, cela donne
En divisant l’équation par , on obtient
On peut maintenant calculer la valeur de en prenant dans la première équation :
On ajoute ensuite 2 aux deux membres de l’équation, ce qui donne
On divise enfin l’équation par 5 pour obtenir
Par conséquent, et est la solution à ce système d’équations.
On peut vérifier cette solution en substituant les deux valeurs dans les deux équations pour vérifier si elles sont valides.
Remplacer et dans le membre gauche de la première équation donne
Cela est égal au membre droit de l’équation, donc la solution vérifie la première équation.
Remplacer et dans le membre gauche de la deuxième équation donne
Cela est égal au membre droit de l’équation, donc la solution vérifie également la deuxième équation.
Cela confirme que , est la solution de ce système d’équations.
Exemple 3: Résoudre un système d’équations par substitution
Résolvez par substitution le système d’équations
Réponse
Pour résoudre un système d’équations par substitution, nous devons d’abord réarranger une des équations pour isoler une variable. Dans ce cas, on remarque que est déjà isolée dans la première équation, on peut donc résoudre le système d’équations en substituant cette expression à dans la deuxième équation. Cela donne
En développant les parenthèses, cela nous donne
En regroupant ensuite les termes semblables et en réarrangeant, on obtient
On peut alors diviser l’équation par pour obtenir
On peut enfin calculer en substituant dans la première équation :
On peut vérifier cette solution en substituant dans la deuxième équation, ce qui donne
En soustrayant 12 aux deux membres de l’équation, on a
Diviser les deux membres de l’équation par donne
Comme cela correspond à l’autre valeur de , nous avons confirmé qu’il s’agit de la solution du système d’équations.
Par conséquent, la solution du système est et .
Exemple 4: Construire et résoudre un système d’équations linéaires à deux inconnues
L’âge d’un homme est la somme de 9 et du double de l’âge de son fils. Sachant que la somme de leurs âges est égale à 57 ans, calculez chacun de leurs âges.
Réponse
Commençons par mettre en en équations les informations fournies. Soit l’âge de l’homme et l’âge de son fils. Il est indiqué que l’âge de l’homme est la somme de 9 et du double de l’âge de son fils, donc si on double l’âge du fils et qu’on y ajoute 9, on doit obtenir l’âge de l’homme. On peut représenter cela par l’équation
On sait également que la somme de leurs âges est 57, donc
Il s’agit d’un système de deux équations linéaires à deux inconnues, on peut donc essayer de le résoudre par substitution. On substitue dans la deuxième équation pour obtenir
On peut ensuite simplifier :
On soustrait 9 aux deux membres de l’équation et on a
On divise enfin par 3, ce qui donne
Par conséquent, le fils a 16 ans. On peut calculer l’âge de l’homme en utilisant l’une ou l’autre des équations. On prend dans la première équation et on l’évalue pour obtenir
Par conséquent, ils ont 16 ans et 41 ans.
Jusqu’à présent, tous nos systèmes d’équations avaient une solution unique. Cela n’est cependant pas toujours le cas. Il y a en réalité deux autres possibilités pour les systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues.
Il est en effet possible que le système n’ait aucune solution ; dans ce cas on dit que le système est incompatible. Pour en voir un exemple, considérons le système d’équations
On peut immédiatement remarquer qu’il y a un problème avec ce système car on recherche deux nombres dont la somme est égale à 1 et dont la somme est égale à 2, ce qui n’est pas possible. Essayons cependant de résoudre ce système par substitution pour voir ce qui se passe.
On peut réarranger la première équation pour isoler
On peut ensuite substituer cette expression à dans la deuxième équation pour obtenir
Simplifier donne alors
Bien sûr, 1 n’est pas égal à 2. Cela signifie que notre hypothèse initiale est fausse : il n’y a pas de valeurs de et qui vérifient les deux équations, car il n’existe pas valeurs de et telles que 1 est égal à 2.
Il est également possible que le système ait une infinité de solutions. Pour en voir un exemple, considérons le système d’équations
Essayons à nouveau de résoudre ce système par substitution. On peut réarranger la première équation pour isoler en ajoutant aux deux membres, ce qui donne
On peut alors substituer cette expression à dans la deuxième équation pour obtenir
En distribuant le facteur 2 aux termes entre parenthèses, on obtient
Cela se simplifie par
À première vue, cette équation a l’air trivial : on sait que cette affirmation est vraie. On peut cependant aussi dire que cette équation est vraie pour toute valeur de ; cela nous indique que toute valeur de peut être une solution à ce système d’équations. On peut le confirmer en choisissant quelques valeurs de .
Pour , on a
Donc, et est une solution à ce système.
Pour , on a ensuite
Donc, et est une solution à ce système.
On remarque que toute solution de l’équation est une solution de tout le système d’équations. On peut expliquer cela en factorisant la deuxième équation par 2 :
En d’autres termes, la deuxième équation est un multiple scalaire de la première équation ; on dit alors que ces équations sont dépendantes.
Étudions maintenant un exemple où nous devons soit, résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues ou, montrer qu’il n’a pas de solution.
Exemple 5: Résoudre un système d’équations linéaires par substitution, s’il admet une solution
Résolvez le système d’équations suivant si possible :
Réponse
Nous devons résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues et nous pouvons essayer de le faire par substitution. Nous devons d’abord réarranger une des équations pour isoler une variable. On remarque que les deux équations sont déjà sous cette forme donc on peut simplement poser l’égalité des deux expressions de :
On soustrait aux deux membres de l’équation et on obtient
Il n’y a pas de valeurs de ou qui vérifient cette équation, ainsi nous pouvons donc conclure qu’il n’y a pas de solution à ce système d’équations.
Dans le prochain exemple, nous allons déterminer le nombre de solutions à un système de deux équations linéaires à deux inconnues.
Exemple 6: Déterminer le nombre de solutions d’un système d’équations
Déterminez le nombre de solutions du système d’équations suivant :
Réponse
Nous devons résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues et nous pouvons essayer de le faire par substitution. Nous devons d’abord réarranger une des équations pour isoler une variable. Comme le coefficient de dans la première équation est 1, on réarrange la première équation en fonction de .
On soustrait aux deux membres de la première équation pour obtenir
On peut alors substituer cette expression à dans la deuxième équation
En distribuant le facteur 2 aux termes entre parenthèses, on obtient
En simplifiant, cela donne alors
Comme cette équation est vraie pour toute valeur de , toute valeur de est une solution à ce système d’équations.
Par conséquent, il y a une infinité de solutions à ce système d’équation.
Terminons par récapituler certains points importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Pour résoudre un système d’équations linéaires par substitution, les étapes sont les suivantes :
- Réarranger une des équations pour isoler une des inconnues.
- Substituer cette expression dans l’autre équation et résoudre l’équation à une inconnue obtenue.
- Remplacer la valeur de cette inconnue dans une des équations et calculer la valeur de l’inconnue restante.
- Vérifier que les valeurs des deux inconnues vérifient l’autre équation.
- Résoudre un système d’équations par substitution donne les solutions exactes.
- On peut vérifier les solutions en les substituant dans le système d’équations pour vérifier que les équations sont valides.
- Certains systèmes d’équations n’admettent pas de solutions. Si on applique la méthode de substitution et que l’on obtient une équation qui n’est pas vraie, alors il n’y a pas de solution du système d’équations et on dit qu’il s’agit d’un système d’équations incompatibles.
- Les systèmes de deux équations à deux inconnues peuvent également avoir une infinité de solutions. Si on applique la méthode de substitution et que l’on obtient une équation qui est toujours vraie, alors il y a une infinité de solutions pour l’équation ; cela se produit lorsque les équations sont des multiples scalaires l’une de l’autre. On dit alors qu’il s’agit d’un système d’équations dépendantes.
