Fiche explicative de la leçon: Les racines 𝑛-ièmes de l’unité Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser le théorème de Moivre pour déterminer les racines de l’unité et découvrir leurs propriétés.

On appelle racines de l’unité les nombres complexes tels que

On sait qu’il n’existe qu’une seule solution réelle, , à cette équation si est un entier impair, car on résout l’équation en prenant la racine de chaque côté de l’équation. Si est un entier pair, cette équation admet deux solutions réelles, et .

Mais pour , il existe d’autres solutions à cette équation qui ne sont pas des nombres réels. En particulier, pour , on sait que les solutions à cette équation sont

Une tendance se dessine. Il n’y a clairement qu’une seule solution à l’équation , qui est . Il y a deux solutions réelles et à l’équation . De plus, on a observé que admet trois solutions distinctes. On peut alors conjecturer qu’il y a solutions distinctes à l’équation .

On peut prouver cette conjecture à l’aide du théorème de Moivre pour les racines.

Dans le premier exemple, nous appliquerons le théorème de Moivre pour déterminer les racines de l’unité sous forme polaire.

Dans l’exemple précédent, on a trouvé la forme polaire des racines de l’unité en appliquant le théorème de Moivre. En particulier, on a prouvé la conjecture selon laquelle il existe solutions complexes distinctes à l’équation . Autrement dit, il existe racines de l’unité distinctes.

À partir de la forme polaire des racines de l’unité obtenues dans l’exemple précédent, on peut les écrire sous forme exponentielle. Rappelons que la forme exponentielle d’un nombre complexe de module et d’argument est  ; en effet, les formes polaires et exponentielles du nombre complexe sont liées par la relation

Ci-dessous, on donne les formes polaires et exponentielles des racines de l’unité.

Ci-dessus, les expressions des racines de l’unité donnent les modules et les arguments des nombres complexes. On voit que les modules de toutes les racines de l’unité valent 1, ce qui signifie qu’elles sont toutes sur le cercle unité au centre du plan complexe. La racine triviale de l’unité 1 appartient à l’intersection de ce cercle unité et de la droite des réels positifs du plan complexe. Les arguments des racines de l’unité croissent selon une suite arithmétique de raison radians. Dans un plan complexe, cela signifie qu’on peut représenter les racines de l’unité en commençant à 1, et par rotations anti-horaires successives de sur le cercle unité. Si on relie les racines de l’unité successives par des segments, on obtient un polygone régulier inscrit dans le cercle unité. Observons ce fait dans les graphiques ci-dessous pour différentes valeurs de .

Comme annoncé, les racines de l’unité de forment les sommets d’un polygone régulier à côtés inscrit dans un cercle unité du plan complexe, avec un sommet à la racine triviale 1.

Notez que les arguments des racines de l’unité n’appartiennent pas toutes à l’intervalle standard radians. En particulier, les racines cubiques de l’unité sont représentées dans le plan complexe ci-dessus par 1, , et . La dernière de ces trois racines cubiques de l’unité a pour argument , qui est en dehors de cet intervalle. Cet argument est supérieur à la borne supérieure  ; on obtient un argument équivalent en soustrayant un tour complet de radians à partir de cette valeur : 

Notez que cet argument équivalent appartient à l’intervalle standard , on peut donc l’utiliser pour écrire cette troisième racine de l’unité .

Dans l’exemple suivant, nous chercherons les racines cinquièmes de l’unité avec des arguments dans l’intervalle standard, puis nous calculerons leur somme.

Dans l’exemple précédent, on a trouvé que la somme des racines cinquièmes de l’unité est nulle. En fait, il s’agit d’une propriété générale des racines de l’unité, comme nous le verrons plus loin.

Dans l’exemple suivant, nous étudierons l’inverse des racines de l’unité.

Exemple 3: Inverse des racines 𝑛-ièmes de l’unité

Soit une racine de l’unité.

1. Laquelle des relations suivantes est la relation correcte entre et  ? 
2. Exprimez en fonction de puissances positives de .

Réponse

Question 1

Dans cet exemple, on cherche où est une racine de l’unité. D’après le théorème de Moivre sur les puissances entières d’un nombre complexe ,

Ici, l’entier est . De plus, on sait que le module d’une racine de l’unité vaut 1. Autrement dit, pour un argument . Ainsi, d’après le théorème de Moivre sur les puissances entières,

Ceci est le nombre complexe de module 1 et d’argument . Comme l’argument de ce nombre complexe est de signe opposé à l’argument de , ils se situent donc de part et d’autre de l’axe réel du plan complexe.

Comme on le voit dans le plan complexe ci-dessus, les parties réelles de et sont dans ce cas égales, et les parties imaginaires de ces deux nombres complexes sont opposées. Autrement dit, ce sont deux nombres conjugués. Ainsi,

C’est la réponse D.

Question 2

Dans cette question, on souhaite exprimer pour un entier positif . Comme est une racine de l’unité, on a

On multiplie chaque côté de cette équation par et on simplifie les exposants, ce qui donne

est un entier positif, et on a

Dans l’exemple précédent, on a établi que l’inverse d’une racine de l’unité est son conjugué. Cela implique que le produit d’une racine de l’unité par son conjugué est égal à 1.

Pour le moment, on a étudié les propriétés des racines de l’unité. Certaines racines de l’unité sont les mêmes pour différentes valeurs de . Ce sont des racines communes de l’unité. Dans l’exemple suivant, nous parlerons des racines de l’unité qui sont communes à différentes valeurs de .

Dans l’exemple précédent, on a vu que toutes les racines cubiques de l’unité sont aussi des racines sixièmes de l’unité. On peut également le regarder sous un autre angle. Une racine cubique de l’unité est un nombre complexe qui vérifie , tandis qu’une racine sixième de l’unité est une solution complexe de . Si un nombre complexe vérifie , alors on peut prendre le carré de chaque côté de l’équation, ce qui donne

Ainsi, si un nombre complexe vérifie , alors il vérifie également . D’ailleurs, on peut généraliser cette affirmation. Soient deux entiers positifs et tels que divise  ; c’est-à-dire pour un entier positif . Si est une racine de l’unité, alors elle vérifie . Si on élève chaque côté de cette équation à la puissance ,

Donc, est aussi une racine de l’unité. Ainsi, si et sont des entiers positifs tels que divise , toute racine de l’unité est automatiquement une racine de l’unité.

On peut appliquer cette affirmation pour démontrer un théorème encore plus général. Cette fois, ne divise pas , mais on a . Donc, divise à la fois et . Par conséquent, chacune des racines de l’unité est aussi racine et de l’unité. En fait, ce sont précisément les racines communes de l’unité.

Considérons un exemple d’application de ce théorème dans un problème géométrique.

Dans les exemples précédents, on a identifié les racines communes de l’unité. Passons maintenant à une autre définition importante concernant les racines de l’unité. Nous avions déjà listé les racines de l’unité pour  ; nous les avions notées dans des plans complexes. Listons-les en prenant des arguments qui appartiennent à l’intervalle standard .

Les nombres en rouge dans le tableau ci-dessus sont les racines de l’unité qui sont aussi racines de l’unité pour un nombre . Par exemple, la racine de est en rouge parce que cette racine est une racine de l’unité lorsque , et . Cela signifie que les nombres en vert sont les racines de l’unité qui apparaissent pour la première fois dans la liste. De telles racines de l’unité s’appellent racines primitives de l’unité.

D’après le tableau ci-dessus, on a identifié toutes les racines primitives de l’unité pour  : 

On observe que la première racine non-triviale de l’unité pour est toujours une racine primitive de l’unité.

Cette propriété indique aussi qu’il existe toujours un nombre complexe qui correspond à une racine primitive de l’unité. Cependant, il ne faut pas oublier qu’une racine primitive de l’unité pour n’est pas unique ; ainsi, cette propriété permet d’obtenir l’une des racines primitives de l’unité, et non toutes.

Prouvons cette propriété en montrant qu’il n’existe pas d’entier positif , inférieur à tel que . Ainsi, soit un entier quelconque vérifiant . Alors, d’après le théorème de Moivre sur les puissances entières, on a

Notons également que la condition implique si on divise chaque membre de l’inégalité par . Donc, l’argument du nombre complexe ci-dessus vérifie

Comme l’argument de 1 est égal à 0 ou un multiple de , on obtient que pour tout entier tel que . Autrement dit, est le plus petit entier positif tel que , ce qui prouve la propriété.

Une propriété importante d’une racine primitive de l’unité est qu’elle peut générer toutes les racines de l’unité si on l’élève à des puissances successives.

On peut démontrer cette propriété en démontrant les deux propriétés suivantes. Soit une racine primitive de l’unité. Alors

• toute puissance entière de est aussi une racine de l’unité,
• les nombres complexes sont tous distincts.

À partir de ces deux propriétés, on sait que sont racines distinctes de l’unité, donc elles représentent toutes les racines de l’unité.

Pour montrer la première propriété, soit un entier quelconque. Alors, d’après les propriétés des exposants,

On sait que car est une racine de l’unité. Par conséquent, le côté droit de l’équation ci-dessus est égal à 1. Comme , est une racine de l’unité. Cela prouve la première propriété nécessaire à notre preuve.

Pour prouver la deuxième propriété, commençons par supposer qu’elle soit fausse. Alors, il existe deux entiers distincts non-négatifs et , avec et , tels que

Supposons que , car l’ordre de ces deux entiers est arbitraire. Alors, en divisant les deux côtés de l’équation par et en utilisant les propriétés des exposants, on obtient

Donc, vérifie l’équation , où est un entier positif puisque . Donc, est une racine de l’unité, avec . Mais ça contredit le fait que est une racine primitive de l’unité. Cela signifie qu’il n’est pas possible d’avoir pour des entiers non-négatifs et inférieurs à . Ainsi, les nombres sont nombres distincts. Cela prouve la propriété désirée.

Examinons maintenant quelques propriétés des racines primitives de l’unité.

Les termes du membre gauche de l’équation ci-dessus étant les racines de l’unité, cette propriété indique que la somme des racines de l’unité est nulle pour tout . Rappelons qu’on a montré dans l’exemple 2 que la somme des racines cinquièmes de l’unité est nulle. Ici, on peut utiliser une astuce algébrique similaire pour prouver cette propriété.

Pour prouver cette propriété, commençons par appeler le côté gauche de l’équation : 

Multiplions chaque côté de cette équation par ,

Comme est une racine de l’unité, on a . On obtient

On voit que les membres droits des deux équations sont les mêmes, ce qui donne

Comme est une racine primitive de l’unité, on sait que . Ainsi, on peut diviser les deux côtés de l’équation ci-dessus par , ce qui donne

Cela prouve la propriété souhaitée, qui mène directement au résultat suivant.

Comme une somme de nombres complexes équivaut géométriquement à une addition de vecteurs, la propriété ci-dessus révèle un autre aspect de la symétrie des racines de l’unité. Pour faire une analogie physique, si on voit chaque racine de l’unité comme un vecteur représentant la norme et la direction d’une force qui s’exerce à l’origine d’un plan complexe, cette propriété indique que l’effet combiné de toutes les forces à l’origine est nul. Autrement dit, les forces représentées par les racines de l’unité sont en équilibre parfait.

Passons à un exemple où on applique cette propriété des racines primitives de l’unité.

Dans le dernier exemple, nous appliquerons les propriétés d’une racine de l’unité pour résoudre un problème.

Pour conclure, récapitulons quelques concepts importants de cette fiche.