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Fiche explicative de la leçon : Module d’un nombre complexe Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser la formule générale pour calculer le module d’un nombre complexe.

Rappelons qu’un nombre complexe 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 est constitué de deux parties, une partie réelle ((𝑧)=𝑎)Re et une partie imaginaire ((𝑧)=𝑏)Im. Le nombre purement imaginaire 𝑖 est défini comme 𝑖=1, ou 𝑖=1. Le nombre complexe 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 est représenté par le point (𝑎;𝑏) dans le plan d’Argand.

Nous allons maintenant définir le module d’un nombre complexe.

Définition : Module d’un nombre complexe

Le module d’un nombre complexe 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 est défini par |𝑧|=𝑎+𝑏..

On peut également écrire cela comme |𝑧|=((𝑧))+((𝑧)).ReIm

Si 𝑧 est un nombre réel, son module est simplement sa valeur absolue. Pour cette raison, on appelle souvent le module, la valeur absolue d’un nombre complexe. De même, si on considère que 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 représente le vecteur 𝐴=(𝑎,𝑏) sur le plan d’Argand, on voit que |𝑧| représente la norme du vecteur:𝐴.

Par conséquent, le module est aussi parfois appelé la norme d’un nombre complexe. Cela met également en évidence l’interprétation géométrique du module comme étant la norme du nombre complexe ou sa distance à partir de l’origine.

Considérons notre premier exemple dans lequel on doit déterminer le module d’un nombre complexe.

Exemple 1: Module d’un nombre complexe

Si 𝑍=8+4𝑖, calculez |𝑍|.

Réponse

La définition du module d’un nombre complexe 𝑤=𝑎+𝑏𝑖 est |𝑤|=𝑎+𝑏. Par conséquent, |𝑍|=8+4=64+16=80.

Sachant que 80=2×5, on peut réécrire cela comme |𝑍|=2×5=45.

Nous allons maintenant examiner, dans notre deuxième exemple, la relation entre le conjugué et le module d’un nombre complexe.

Exemple 2: Relation entre le conjugué et le module d’un nombre complexe

Considérez le nombre complexe 𝑧=4+𝑖5.

  1. Calculez |𝑧|.
  2. Calculez ||𝑧||.
  3. Déterminez 𝑧𝑧.

Réponse

Partie 1

Rappelons que pour un nombre complexe 𝑤=𝑎+𝑏𝑖 le module est défini par |𝑤|=𝑎+𝑏. Donc, |𝑧|=(4)+5=16+5=21.

Partie 2

Pour trouver le module d’un nombre complexe, on change le signe de la partie imaginaire du nombre. Donc, 𝑧=4𝑖5. Par conséquent, |𝑧|=(4)+5=16+5=21.

Partie 3

Lorsqu’on utilise la valeur de 𝑧 de la partie 2, on a 𝑧𝑧=4+𝑖54𝑖5..

En utilisant la double distributivité ou une autre méthode, on peut développer les parenthèses comme suit:𝑧𝑧=(4)+4×𝑖54×𝑖5𝑖5=165𝑖.

Sachant que 𝑖=1, on a 𝑧𝑧=21.

On aurait aussi pu calculer cela en utilisant l’identité selon laquelle, pour un nombre complexe 𝑤=𝑎+𝑏𝑖, 𝑤𝑤=𝑎+𝑏.

L’exemple précédent a mis en évidence certaines des propriétés du module, notamment celles liées au conjugué. Ces propriétés sont résumées ci-dessous.

Propriété : Propriétés du module d’un nombre complexe

Pour un nombre complexe 𝑧:

  1. |𝑧|=|𝑧|,
  2. |𝑧|=𝑧𝑧.

Nous allons maintenant considérer les propriétés du module en rapport avec d’autres opérations sur les nombres complexes, parmi lesquelles l’addition, la multiplication et la division. Nous allons commencer par considérer l’addition.

Exemple 3: Relation entre l’addition et le module d’un nombre complexe

Considérez les deux nombres complexes 𝑤=1+7𝑖 et 𝑧=53𝑖.

  1. Calculez |𝑤|+|𝑧| au centième près.
  2. Calculez |𝑧+𝑤| au centième près.
  3. Lesquelles des relations suivantes sont vraies pour 𝑤 et 𝑧?
    1. |𝑤|+|𝑧|=|𝑧+𝑤|
    2. |𝑤|+|𝑧||𝑧+𝑤|
    3. |𝑤|+|𝑧||𝑧+𝑤|
    4. |𝑤|+|𝑧|=2|𝑧+𝑤|
    5. |𝑤|+|𝑧|=|𝑧+𝑤|

Réponse

Partie 1

D’après la définition du module d’un nombre complexe, nous avons |𝑤|=(1)+7=1+49=52.

De même, |𝑧|=5+(3)=25+9=34.

Lorsqu’on combine les deux, on a |𝑤|+|𝑧|=52+34.

On peut calculer cela avec une calculatrice et arrondir le résultat au centième près comme suit:=12,9020=12,90(2.).d.p

Partie 2

On commence par calculer 𝑧+𝑤 comme suit:𝑧+𝑤=53𝑖+(1+7𝑖)=4+4𝑖. On calcule ensuite son module:|𝑧+𝑤|=4+4=42..

Lorsqu’on calcule cela avec une calculatrice, on obtient |𝑧+𝑤|=5,6568=5,66(2.).d.p

Partie 3

Évidemment, |𝑤|+|𝑧||𝑧+𝑤|. Par conséquent, la réponse ne peut être (A). Nous constatons plutôt que |𝑤|+|𝑧||𝑧+𝑤|, ce qui confirme que (B) est une bonne réponse et que (C) est incorrecte. De plus, on a l’égalité 2|𝑧+𝑤|=11,31(2.)d.p, on constate alors que l’option (D) est aussi incorrecte. Enfin, on vérifie l’option (E) en calculant |𝑤|+|𝑧|=3,59(2.)d.p. Cela confirme que l’option (E) est également incorrecte. Par conséquent, la seule option correcte est (B).

Dans l’exemple précédent, nous avons montré que les nombres complexes 𝑧 et 𝑤 vérifient la relation |𝑤|+|𝑧||𝑧+𝑤|. Cette relation n’est pas seulement valable pour les nombres 𝑧 et 𝑤 dans l’exemple, mais est toujours vraie quelque soient les deux nombres complexes. Cette relation est souvent appelée l’inégalité triangulaire.

Inégalité : Inégalité triangulaire des nombres complexes

Pour deux nombres complexes 𝑧 et 𝑧, l’inégalité suivante est vraie:|𝑧+𝑧||𝑧|+|𝑧|.

Il y a égalité lorsque 𝑧=𝑐𝑧 pour toute valeur réelle, 𝑐0.

Visualisons l’inégalité triangulaire sur un plan d’Argand.

On remarque qu’on peut former un triangle avec des côtés de longueurs |𝑧|, |𝑧|, et |𝑧+𝑧|. L’inégalité triangulaire, comme son nom l’indique, stipule que la somme des longueurs de deux côtés d’un triangle est toujours supérieure à la longueur du troisième côté. Dans le cas contraire, on ne pourrait avoir un triangle car les deux côtés ne se rejoindraient pas.

On a l’égalité |𝑧+𝑧|=|𝑧|+|𝑧| lorsque 𝑧=𝑐𝑧 pour toute valeur réelle, 𝑐0, en effet, dans ce cas, 𝑧 et 𝑧 sont sur alignés avec l’origine et du même côté de l’origine. Le nombre complexe 𝑧+𝑧 est sur la même demi-droite partant de l’origine:on n’a pas de triangle mais trois segments sur la même demi-droite.

Algébriquement, on note que |𝑧+𝑧|=|𝑧+𝑐𝑧|=|(𝑐+1)𝑧|.

Étant donné que 𝑐0, on a |𝑧+𝑧|=(𝑐+1)|𝑧||𝑧+𝑧|=𝑐|𝑧|+|𝑧|=|𝑧|+|𝑧|.

Nous allons maintenant explorer les propriétés du module en rapport avec la multiplication et la division.

Exemple 4: Module des produits et quotients

Considérez les nombres complexes 𝑧=34𝑖 et 𝑤=15+8𝑖.

  1. Calculez |𝑧| et |𝑤|.
  2. Calculez |𝑧𝑤|. Comparez cela à |𝑧||𝑤|.
  3. Calculez ||𝑧𝑤||. Comparez cela à |𝑧||𝑤|.

Réponse

Partie 1

En utilisant la définition du module, on calcule |𝑧|=3+(4)=9+16=25=5.

De même, on calcule |𝑤|=(15)+8=225+64=289=17.

Partie 2

On calcule maintenant le produit 𝑧𝑤 comme suit:𝑧𝑤=(34𝑖)(15+8𝑖)..

Si on développe les parenthèses avec la double distributivité ou une autre méthode, on obtient 𝑧𝑤=45+24𝑖+60𝑖32𝑖.

Puisque 𝑖=1, on a 𝑧𝑤=13+84𝑖.

On calcule ensuite le module:|𝑧𝑤|=(13)+84=169+7056=7225=85.

Si on utilise les réponses de la partie 1, on obtient |𝑧||𝑤|=5×17=85. Par conséquent, on constate que |𝑧||𝑤|=|𝑧𝑤|.

Partie 3

On commence par calculer 𝑧𝑤 comme suit:𝑧𝑤=34𝑖15+8𝑖.

Si on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, on obtient 𝑧𝑤=(34𝑖)(158𝑖)(15+8𝑖)(158𝑖).

Si on développe les parenthèses du numérateur et du dénominateur, on obtient 𝑧𝑤=4524𝑖+60𝑖+32𝑖225120𝑖+120𝑖64𝑖.

Lorsqu’on utilise 𝑖=1, on obtient 𝑧𝑤=77+36𝑖289=77289+36289𝑖.

On peut à présent calculer son module comme suit:||𝑧𝑤||=77289+36289.

On peut réécrire cela en sortant le dénominateur commun de la racine carrée comme suit:||𝑧𝑤||=77+36289=5929+1296289=7225289=85289=517.

Enfin, on compare cela avec |𝑧||𝑤|. Lorsqu’on utilise la réponse de la partie 1, on voit que cela est égal à 517. Par conséquent, |𝑧||𝑤|=||𝑧𝑤||.

Avec les techniques utilisées dans le dernier exemple, il est assez simple de prouver que, pour deux nombres complexes quelconques 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 et 𝑧=𝑐+𝑑𝑖, on peut généraliser ce que nous avons montré dans le dernier exemple et écrire les identités de multiplication et de division suivantes.

Identité : Identités de multiplication et de division

Pour deux nombres complexes quelconques 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 et 𝑧=𝑐+𝑑𝑖, on a |𝑧𝑧|=|𝑧||𝑧|,|||𝑧𝑧|||=|𝑧||𝑧|.

Le prochain exemple montre comment résoudre des problèmes en appliquant les propriétés du module.

Exemple 5: Résoudre des équations impliquant le module

Si 𝑍=1𝑍, 𝑍 est un nombre complexe, déterminez |𝑍|.

Réponse

Partant de l’équation 𝑍=1𝑍, on peut prendre le module des deux membres de l’équation et obtenir |𝑍|=|||1𝑍|||.

Sachant que pour deux nombres complexes quelconques |||𝑍𝑍|||=|𝑍||𝑍|, on peut réécrire l’équation comme suit |𝑍|=|1|||𝑍||.

Nous savons aussi que ||𝑍||=|𝑍| et |1|=1. Par conséquent, |𝑍|=1|𝑍|.

Lorsqu’on multiplie les deux membres de l’équation par |𝑍| on obtient |𝑍|=1.

Enfin, on peut prendre la racine carrée des deux membres de cette équation. Sachant que le module est toujours un nombre positif, on considère juste la racine carrée positive. Par conséquent, |𝑍|=1.

Dans notre dernier exemple, nous allons examiner la relation entre le module et les puissances.

Exemple 6: Puissances des nombres complexes et du module

Étant donné le nombre complexe 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, quel est le module de 𝑧?

Réponse

Nous savons que, pour deux nombres complexes, le module de leur produit est le produit de leurs modules:|𝑧𝑧|=|𝑧||𝑧|.

Par conséquent, dans le cas particulier où 𝑧=𝑧=𝑧, on a ||𝑧||=|𝑧||𝑧|=|𝑧|.

Lorsqu’on utilise la définition du module de |𝑧|, on a ||𝑧||=𝑎+𝑏=𝑎+𝑏.

Et si on utilise une logique similaire à celle appliquée dans l’exemple précédent, on peut voir que, pour un nombre complexe 𝑧 le module de sa puissance 𝑛 sera |𝑧|=|𝑧|.

Points clés

  • Le module d’un nombre complexe 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 est défini par |𝑧|=𝑎+𝑏. Géométriquement, cela représente la distance de 𝑧 à partir de l’origine.
  • Le module a les propriétés suivantes:
    • |𝑧|=||𝑧||,
    • |𝑧|=𝑧𝑧,
    • |𝑧+𝑧||𝑧|+|𝑧|,
    • |𝑧𝑧|=|𝑧||𝑧|,
    • |||𝑧𝑧|||=|𝑧||𝑧|,
    • |𝑧|=|𝑧|.

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