Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser la formule générale pour calculer le module d’un nombre complexe.
Rappelons qu’un nombre complexe est constitué de deux parties, une partie réelle et une partie imaginaire . Le nombre purement imaginaire est défini comme , ou . Le nombre complexe est représenté par le point dans le plan d’Argand.
Nous allons maintenant définir le module d’un nombre complexe.
Définition : Module d’un nombre complexe
Le module d’un nombre complexe est défini par .
On peut également écrire cela comme
Si est un nombre réel, son module est simplement sa valeur absolue. Pour cette raison, on appelle souvent le module, la valeur absolue d’un nombre complexe. De même, si on considère que représente le vecteur sur le plan d’Argand, on voit que représente la norme du vecteur : .
Par conséquent, le module est aussi parfois appelé la norme d’un nombre complexe. Cela met également en évidence l’interprétation géométrique du module comme étant la norme du nombre complexe ou sa distance à partir de l’origine.
Considérons notre premier exemple dans lequel on doit déterminer le module d’un nombre complexe.
Exemple 1: Module d’un nombre complexe
Si , calculez .
Réponse
La définition du module d’un nombre complexe est . Par conséquent,
Sachant que , on peut réécrire cela comme
Nous allons maintenant examiner, dans notre deuxième exemple, la relation entre le conjugué et le module d’un nombre complexe.
Exemple 2: Relation entre le conjugué et le module d’un nombre complexe
Considérez le nombre complexe .
- Calculez .
- Calculez .
- Déterminez .
Réponse
Partie 1
Rappelons que pour un nombre complexe le module est défini par . Donc,
Partie 2
Pour trouver le module d’un nombre complexe, on change le signe de la partie imaginaire du nombre. Donc, . Par conséquent,
Partie 3
Lorsqu’on utilise la valeur de de la partie 2, on a .
En utilisant la double distributivité ou une autre méthode, on peut développer les parenthèses comme suit :
Sachant que , on a
On aurait aussi pu calculer cela en utilisant l’identité selon laquelle, pour un nombre complexe , .
L’exemple précédent a mis en évidence certaines des propriétés du module, notamment celles liées au conjugué. Ces propriétés sont résumées ci-dessous.
Propriété : Propriétés du module d’un nombre complexe
Pour un nombre complexe :
- ,
- .
Nous allons maintenant considérer les propriétés du module en rapport avec d’autres opérations sur les nombres complexes, parmi lesquelles l’addition, la multiplication et la division. Nous allons commencer par considérer l’addition.
Exemple 3: Relation entre l’addition et le module d’un nombre complexe
Considérez les deux nombres complexes et .
- Calculez au centième près.
- Calculez au centième près.
- Lesquelles des relations suivantes sont vraies pour et ?
Réponse
Partie 1
D’après la définition du module d’un nombre complexe, nous avons
De même,
Lorsqu’on combine les deux, on a
On peut calculer cela avec une calculatrice et arrondir le résultat au centième près comme suit :
Partie 2
On commence par calculer comme suit : On calcule ensuite son module : .
Lorsqu’on calcule cela avec une calculatrice, on obtient
Partie 3
Évidemment, . Par conséquent, la réponse ne peut être (A). Nous constatons plutôt que , ce qui confirme que (B) est une bonne réponse et que (C) est incorrecte. De plus, on a l’égalité , on constate alors que l’option (D) est aussi incorrecte. Enfin, on vérifie l’option (E) en calculant . Cela confirme que l’option (E) est également incorrecte. Par conséquent, la seule option correcte est (B).
Dans l’exemple précédent, nous avons montré que les nombres complexes et vérifient la relation . Cette relation n’est pas seulement valable pour les nombres et dans l’exemple, mais est toujours vraie quelque soient les deux nombres complexes. Cette relation est souvent appelée l’inégalité triangulaire.
Inégalité : Inégalité triangulaire des nombres complexes
Pour deux nombres complexes et , l’inégalité suivante est vraie :
Il y a égalité lorsque pour toute valeur réelle, .
Visualisons l’inégalité triangulaire sur un plan d’Argand.
On remarque qu’on peut former un triangle avec des côtés de longueurs , , et . L’inégalité triangulaire, comme son nom l’indique, stipule que la somme des longueurs de deux côtés d’un triangle est toujours supérieure à la longueur du troisième côté. Dans le cas contraire, on ne pourrait avoir un triangle car les deux côtés ne se rejoindraient pas.
On a l’égalité lorsque pour toute valeur réelle, , en effet, dans ce cas, et sont sur alignés avec l’origine et du même côté de l’origine. Le nombre complexe est sur la même demi-droite partant de l’origine : on n’a pas de triangle mais trois segments sur la même demi-droite.
Algébriquement, on note que
Étant donné que , on a
Nous allons maintenant explorer les propriétés du module en rapport avec la multiplication et la division.
Exemple 4: Module des produits et quotients
Considérez les nombres complexes et .
- Calculez et .
- Calculez . Comparez cela à .
- Calculez . Comparez cela à .
Réponse
Partie 1
En utilisant la définition du module, on calcule
De même, on calcule
Partie 2
On calcule maintenant le produit comme suit : .
Si on développe les parenthèses avec la double distributivité ou une autre méthode, on obtient
Puisque , on a
On calcule ensuite le module :
Si on utilise les réponses de la partie 1, on obtient . Par conséquent, on constate que .
Partie 3
On commence par calculer comme suit :
Si on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, on obtient
Si on développe les parenthèses du numérateur et du dénominateur, on obtient
Lorsqu’on utilise , on obtient
On peut à présent calculer son module comme suit :
On peut réécrire cela en sortant le dénominateur commun de la racine carrée comme suit :
Enfin, on compare cela avec . Lorsqu’on utilise la réponse de la partie 1, on voit que cela est égal à . Par conséquent,
Avec les techniques utilisées dans le dernier exemple, il est assez simple de prouver que, pour deux nombres complexes quelconques et , on peut généraliser ce que nous avons montré dans le dernier exemple et écrire les identités de multiplication et de division suivantes.
Identité : Identités de multiplication et de division
Pour deux nombres complexes quelconques et , on a
Le prochain exemple montre comment résoudre des problèmes en appliquant les propriétés du module.
Exemple 5: Résoudre des équations impliquant le module
Si , où est un nombre complexe, déterminez .
Réponse
Partant de l’équation on peut prendre le module des deux membres de l’équation et obtenir
Sachant que pour deux nombres complexes quelconques , on peut réécrire l’équation comme suit
Nous savons aussi que et . Par conséquent,
Lorsqu’on multiplie les deux membres de l’équation par on obtient
Enfin, on peut prendre la racine carrée des deux membres de cette équation. Sachant que le module est toujours un nombre positif, on considère juste la racine carrée positive. Par conséquent,
Dans notre dernier exemple, nous allons examiner la relation entre le module et les puissances.
Exemple 6: Puissances des nombres complexes et du module
Étant donné le nombre complexe , quel est le module de ?
Réponse
Nous savons que, pour deux nombres complexes, le module de leur produit est le produit de leurs modules :
Par conséquent, dans le cas particulier où , on a
Lorsqu’on utilise la définition du module de , on a
Et si on utilise une logique similaire à celle appliquée dans l’exemple précédent, on peut voir que, pour un nombre complexe le module de sa puissance sera
Points clés
- Le module d’un nombre complexe est défini par Géométriquement, cela représente la distance de à partir de l’origine.
- Le module a les propriétés suivantes :
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
