Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment analyser le mouvement d'objets dont la vitesse varie dans un certain laps de temps en utilisant la formule d'accélération, .
L'accélération d'un objet se produit quand celui-ci change de vitesse.
La figure suivante illustre un graphique vitesse-temps d'un objet qui est initialement au repos et dont la vitesse augmente avec le temps.
L'objet est au repos quand la valeur du temps indiquée sur le graphique est égale à zéro. L'objet se met en mouvement lorsque sa vitesse croît et devient non nulle. À l'instant où la valeur du temps est nulle, alors la vitesse de l'objet est également nulle. Cependant, ce n'est que lorsque la valeur du temps est supérieure à zéro que la vitesse de l'objet est non nulle.
Nous voyons donc que lorsqu'un objet accélère, la variation de sa vitesse doit se produire dans un certain intervalle de temps.
L’accélération, , d'un objet est liée à la variation de la vitesse de celui-ci, , et à l'intervalle de temps dans lequel la vitesse change, , par la formule
L'accélération et le vecteur-vitesse sont deux grandeurs vectorielles liées au temps. La quantité augmente sans cesse et doit donc être positive.
De là, on peut conclure que si est positif, alors est également positif. De même, si est négatif, alors aussi est négatif. Nous constatons alors que la direction dans laquelle le vecteur-vitesse de l'objet varie correspond à la direction de l'accélération de l'objet.
L’unité SI de la vitesse est le mètre par seconde (m/s). L’unité SI du temps est la seconde (s). L’unité SI de l’accélération est donc donnée par
Considérons un exemple impliquant un objet en accélération.
Exemple 1: Détermination de la vitesse et de l'accélération d'un objet en accélération
Une voiture accélère en partant du temps . Le diagramme ci-dessous illustre la vitesse de la voiture à des intervalles de après qu'elle commence à accélérer.
- Quelle est la vitesse de la voiture à ?
- Quelle est l’accélération de la voiture ?
Réponse
Nous notons que la voiture a une vitesse initiale de zéro, donc elle est initialement au repos.
Nous constatons également que chaque 2 secondes , la vitesse de la voiture augmente de 5 m/s.
La voiture est censée accélérer uniformément, de sorte que la variation de la vitesse de la voiture dans chaque intervalle de temps doit être la même.
En correspondance du temps le nombre d’intervalles de 2- seconde dans lesquels la voiture a accéléré est donné par
L’augmentation totale de la vitesse de la voiture est alors de
La vitesse initiale de la voiture est nulle, donc la vitesse de la voiture après 6 secondes d’accélération est 15 m/s.
La direction dans laquelle le vecteur-vitesse de la voiture varie est aussi la direction de l'accélération de la voiture. Cette direction est indiquée dans la question, il suffit donc de déterminer la magnitude de l'accélération.
L’accélération, , d'un objet est liée à la variation de la vitesse de l'objet, , et à l'intervalle de temps dans lequel la vitesse varie, , à travers la formule
En substituant les valeurs données dans la question, nous obtenons
Regardons maintenant un exemple dans lequel la variation de la vitesse d’un objet en accélération est déterminée.
Exemple 2: Déterminer l’augmentation de la vitesse d’un objet en accélération
Un objet accélère à 5 m/s2 pour 0,25 s. De combien son vecteur-vitesse augmente-t-il ?
Réponse
La direction dans laquelle le vecteur-vitesse de l'objet change est la direction de l'accélération de l'objet. Cette direction n'est pas indiquée dans la question, qui demande seulement « de combien » le vecteur-vitesse varie, ce qui signifie l’intensité de la variation de la vitesse.
L’accélération, , d'un objet est liée à la variation de la vitesse de l'objet, , et à l'intervalle de temps dans lequel la vitesse change, , à travers la formule
En multipliant cette formule par , on obtient
L'augmentation de la vitesse d'un objet en accélération est l'accélération de l'objet multipliée par le temps pendant lequel il accélère.
En substituant les valeurs données dans la question, nous obtenons
Un objet qui fait une chute libre n'est accéléré que par la force gravitationnelle de la Terre. Près de la surface de la Terre, l'accélération d'un tel objet est une constante 9,8 m/s2.
Considérons un exemple d'accélération d'un objet en chute libre.
Exemple 3: Détermination de l'augmentation de la vitesse d'un objet en chute libre.
Un parachutiste accélère vers le bas à un rythme de 9,8 m/s2. De combien sa vitesse de chute augmente-t-elle en 0,67 seconde ? Arrondissez votre réponse à deux décimales près.
Réponse
La direction vers laquelle la vitesse du parachutiste varie est la direction de l'accélération du parachutiste, dirigée verticalement vers le bas.
L’accélération, , d'un objet est liée à la variation de la vitesse de l'objet, , et à l'intervalle de temps dans lequel la vitesse change, , à travers la formule
En multipliant cette formule par , on obtient
En substituant les valeurs données dans la question, nous obtenons
A deux décimales près, nous avons 6,57 m/s2.
L'accélération d'un objet désigne toute variation de la vitesse d'un objet quelconque, et pas uniquement des objets qui sont initialement au repos. Un objet peut avoir une vitesse non nulle avant qu'il accélère.
Les variations de l'accélération d'un objet peuvent être représentées dans un graphique vitesse-temps. L'accélération étant le taux de variation de la vitesse en fonction du temps, le gradient d'un graphique vitesse-temps est égal à l'accélération d'un objet.
La figure suivante présente un graphique vitesse-temps de deux objets dont la vitesse croît.
L'objet dont la vitesse passe de à est initialement au repos, car est égal à zéro. L'objet dont la vitesse passe de à se déplace initialement à une vitesse non nulle, .
Pour le graphique, il est vrai que
Par conséquent, les deux objets changent leur vitesse de manière égale. Les vitesses des deux objets changent dans le même intervalle de temps, et donc les accélérations des objets sont égales.
Prenons un exemple d'objets qui accélèrent avec des vitesses initiales non nulles.
Exemple 4: Identification d'un graphique vitesse-temps à partir de la description du mouvement
Sélectionnez le graphique vitesse-temps qui correspond le mieux à la description suivante du mouvement :
Un bateau se déplace à vitesse constante sur l'eau, puis il accélère pendant une courte période, et ensuite il continue à se déplacer à une vitesse constante plus élevée.
Réponse
Le bateau se déplace initialement à une vitesse constante. La vitesse du bateau doit initialement avoir une valeur constante. Sur un graphique vitesse-temps, la courbe doit initialement avoir une valeur constante et, par conséquent, elle doit être une ligne horizontale. Cela se vérifie uniquement dans les graphiques (C) et (E).
Dans chacun des graphiques (C) et (E), la courbe passe d’une ligne horizontale à une courbe avec un gradient positif. Dans le graphique (C), la courbe est une droite, et dans le graphique (E), la courbe est incurvé. Une droite ou une courbe incurvé pourraient indiquer une accélération, car elles représentent toutes deux des variations de vitesse. La droite correspond à une valeur constante de l'accélération et la courbe incurvé représente une accélération qui varie. La question ne dit pas si l’accélération du bateau est constante.
Une fois que le bateau a accéléré, il se déplace à nouveau à une vitesse constante. La pente du graphique doit alors être horizontale pour la dernière partie du mouvement du bateau. Dans le graphique (C), la droite est horizontale, et dans le graphique (E), la droite a une pente positive constante, donc il y a une accélération.
Seul le graphique (C) montre un objet se déplaçant à vitesse constante, qui ensuite accélère jusqu'à ce qu’il atteint une vitesse constante plus grande, et qui enfin se déplace à cette même vitesse constante supérieure.
Nous avons vu que, tout comme la vitesse ou le vecteur-vitesse, l'accélération peut être constante ou peut varier.
La figure suivante présente un graphique vitesse-temps de deux objets qui changent de vitesse d'une valeur initiale de à une valeur finale de .
Sachant que l'accélération d'un objet est égale au gradient du graphique vitesse-temps, nous constatons que l'accélération de l'objet correspondant à la ligne verte est constante mais que l'accélération de l'objet correspondant à la ligne bleue varie.
Les deux objets ont cependant la même accélération moyenne, car ils passent tous deux d'une vitesse à une vitesse dans le même intervalle de temps.
Nous pouvons voir que si l'accélération d'un objet varie, alors il a une accélération moyenne qui peut ou non être égale à son accélération à un instant donné.
Tout comme pour la vitesse et le vecteur-vitesse, l’accélération moyenne d’un objet avec une accélération constante est égale à cette accélération constante.
Considérons maintenant un exemple dans lequel l’accélération moyenne d’un objet en mouvement est déterminée.
Exemple 5: Détermination de l’accélération moyenne d’un objet en mouvement
Un avion volant à une vitesse de 245 m/s est percuté par un violent vent arrière. La rafale de vent dure 2,7 secondes et la vitesse de l’avion par la suite est 263 m/s. Quelle est l'accélération moyenne de l'avion due à la rafale de vent ? Donnez la réponse arrondie à une décimale près.
Réponse
La direction dans laquelle la vitesse de l'objet change est la direction de l'accélération de l'objet. Cette direction est la direction dans laquelle l'avion vole.
La question porte sur l'accélération moyenne de l'avion pendant le coup de vent. Pour cet exemple, peu importe si l'on détermine l’accélération moyenne de l’avion ou l’accélération constante de l’avion car l’accélération moyenne est déterminée de la même manière que si l’avion avait une accélération constante.
L’accélération, , d’un objet dépend de la variation de la vitesse de l’objet, , et de l’intervalle de temps dans lequel la vitesse varie, , et elle est donnée par la formule
La vitesse initiale de l'avion est 245 m/s et la vitesse finale est 263 m/s. La valeur de est par conséquent donnée par
La durée d’une rafale de vent est de : 2,7 secondes.
En substituant ces valeurs, nous obtenons
À une décimale près, nous avons 6,7 m/s2.
Il n’est pas nécessaire que l’accélération de l’objet soit dans le sens du vecteur-vitesse de l’objet qui accélère. L'accélération est définie comme le taux de variation de la vitesse dans le temps, et non pas comme l'augmentation de la vitesse. Une décroissance de la vitesse d'un objet est aussi bien une variation de sa vitesse qu'une augmentation de la vitesse.
Une variation de la vitesse d’un objet pour laquelle la vitesse est plus proche de zéro qu’avant, est parfois appelée décélération. Une décélération est juste une accélération qui est dans le sens opposé au mouvement initial de l'objet.
Prenons un exemple d’une décélération.
Exemple 6: Déterminer la vitesse d'un objet qui ralentit à différents intervalles de temps
La vitesse d'une voiture à différents intervalles de temps est indiquée dans le diagramme. La voiture accélère uniformément.
- Déterminer .
- Déterminer .
- Déterminer .
Réponse
Le diagramme ci-dessous illustre la vitesse d'une voiture à intervalles de 2- seconde de temps entre et . Le diagramme ne montre pas les positions de la voiture en correspondance de ces intervalles.
Si la voiture accélère de manière uniforme, alors le changement de vitesse de cette dernière doit être le même dans chaque intervalle de temps. La vitesse de la voiture décroît de 5 m/s dans chaque intervalle de temps indiqué.
La valeur de est la vitesse à moins 5 m/s. Ceci est donné par
Ceci correspond à la vitesse de la voiture à .
La valeur de désigne la vitesse à moins 5 m/s. Ceci est donné par
Ceci représente la vitesse de la voiture à . Il est important de noter que la voiture est au repos à cet instant.
La valeur de est la vitesse à moins 5 m/s. Ceci est donné par
La vitesse à est négatif. Ceci signifie que la direction de la vitesse est opposée à celle de la vitesse initiale. La voiture fait donc marche arrière pour des valeurs de supérieur à 8 secondes.
Solution alternative :
Comme l'accélération est uniforme, alors sa valeur est uniforme sur l'ensemble du mouvement de la voiture. Nous calculons donc cette accélération à l'aide de la formule suivante
Comme l’accélération est constante, on peut calculer a en choisissant n’importe quel intervalle de temps et après calculer la variation de la vitesse dans cet intervalle de temps .
Choisissons l’intervalle de temps entre et ; donc , , , et .
Par conséquent,
Notez que l'accélération étant négative, cela signifie que la vitesse de la voiture décroît en fonction du temps.
Pour calculer les vitesses inconnues dans la question, prenons la formule d'accélération suivante
Pour déterminer , alors, , , , et .
Par conséquent,
En ajoutant 10 aux deux côtés de l’équation, nous obtenons
Par conséquent, , ce qui est la même valeur que celle obtenue dans l’autre solution.
Prenons un exemple d'interprétation du graphique vitesse-temps d'un objet qui change de direction.
Exemple 7: Interprétation du graphique vitesse-temps d'un objet en accélération
Laquelle des descriptions ci-dessous correspond le mieux au mouvement tracé dans le graphique vitesse-temps ci-contre ?
- Un objet accélère dans la direction opposée à sa vitesse, puis se déplace à une vitesse constante, ensuite il accélère dans la même direction qu'avant mais à une vitesse plus grande, et enfin il se déplace à une vitesse constante plus grande.
- Un objet se déplace à une vitesse constante, puis s'arrête, puis commence à se déplacer à une vitesse constante inférieure, et ensuite s'arrête à nouveau.
- Un objet ralentit, ensuite s'arrête, puis ralentit à un rythme plus élevé, plus tard s'arrête à nouveau.
- Un objet ralentit, ensuite s'arrête, puis ralentit à une vitesse plus élevée dans la direction opposée à l'accélération précédente, et ensuite s'arrête à nouveau.
- Un objet accélère dans le sens opposé à sa vitesse, puis se déplace à une vitesse constante, ensuite il accélère dans le sens opposé à celui qu'il avait précédemment et à une vitesse plus faible, puis il se déplace à une vitesse constante plus élevée.
Réponse
Au début du graphique, la pente de la droite est négative. De ce fait, nous pouvons immédiatement écarter l'option 2, car l'objet ne peut pas avoir une vitesse constante au départ si l’intensité de sa vitesse est décroissante.
Dans la zone du graphique où la curbe est une ligne horizontale et au-dessus de l'axe du temps, l'objet se déplace à une vitesse constante, non nulle. De là, nous pouvons immédiatement exclure les options 3 et 4, qui stipulent que l'objet s'arrête après sa décélération initiale.
Il ne nous reste donc que les options 1 et 5, qui sont très similaires. La seule différence entre ces options réside dans la troisième partie du graphique dans laquelle la vitesse varie. Dans cette portion du graphique, l'option 1 indique que l'accélération de l'objet est dans la même direction que son accélération initiale, et l'option 5 indique que l'accélération de l'objet est dans la direction opposée à son accélération initiale.
Dans les deux parties du graphe montrant les variations de la vitesse, la droite affiche un gradient non nul. Dans les deux cas, les gradients sont négatifs. La direction de l’accélération est donc la même dans les deux cas. L’option 1 est correcte.
Récapitulons maintenant ce que nous avons appris dans ces exemples.
Points Clés
- L’accélération, , d'un objet est liée à la variation de la vitesse de cet objet, , et à l’intervalle de temps dans lequel la vitesse varie, , à travers la formule
- L'unité SI d'accélération est mètre par seconde carrée ( m/s2 ).
- La direction de l'accélération d'un objet ne doit pas forcément être la même que celle de la vitesse initiale de l’objet. La direction de l'accélération est la direction de la variation de la vitesse de l'objet.