Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer l’énergie cinétique d’une particule de masse qui se déplace avec un vecteur vitesse de norme .
Un objet qui se déplace a une énergie cinétique. Plus l’objet se déplace vite, plus l’énergie cinétique est grande.
L’énergie cinétique d’un objet peut être augmentée par le travail d’une force agissant sur lui. Si une force agit sur un objet pendant que cet objet se déplace le long d’une trajectoire, on dit que la force fournit un travail sur cet objet. Si la force provoque également l’accélération de l’objet, alors la vitesse de l’objet augmente ainsi que son énergie cinétique.
Imaginez lancer d’une boule de bowling sur une piste de bowling. Lorsque vous lancez la boule, vous exercez une force sur celle-ci. Cette force provoque l’accélération de la boule ; par conséquent, elle fournit un travail, augmentant l’énergie cinétique de la balle.
L’énergie cinétique d’un objet peut également être diminuée par le travail d’une force agissant sur celui-ci. Si la force s’exerçant sur un objet agit dans le sens opposé au mouvement de l’objet, l’objet ralentit. La vitesse de l’objet diminue ainsi que son énergie cinétique.
Considérons un objet de masse , qui se déplace à un vecteur vitesse . Rappelons que la vitesse d’un objet est définie par la norme de son vecteur vitesse. On représente souvent cela plus simplement en utilisant pour représenter la vitesse ; par conséquent, .
L’énergie cinétique d’un tel objet peut être définie de la manière suivante.
Définition : Énergie cinétique
L’énergie cinétique, , d’un objet de masse et de vecteur vitesse est donnée par où représente la vitesse à laquelle l’objet se déplace.
En regardant la définition ci-dessus, nous pouvons voir que l’énergie cinétique dépend linéairement de la masse d’un objet et dépend du carré de la vitesse de l’objet.
Avant d’approfondir, examinons comment obtenir la formule simplifiée ci-dessus en utilisant une définition vectorielle de l’énergie cinétique :
Pour cette définition, nous pouvons voir que nous prenons le produit scalaire du vecteur vitesse avec lui-même. En général, ce produit scalaire peut être représenté par
Ici, représente l’angle entre les deux vecteurs ; cependant, comme les deux vecteurs sont identiques, ils sont orientés vers le même sens, et donc :
Nous utilisons maintenant le fait que le produit scalaire d’un vecteur avec lui-même peut être trouvé en mettant au carré la norme du vecteur. Dans notre cas, la norme du vecteur vitesse est sa vitesse, et donc
Sur la base de cette définition, vous remarquerez que nous pouvons calculer l’énergie cinétique d’un objet uniquement en connaissant sa masse et sa vitesse. Même si la direction vers laquelle l’objet se déplace est inconnue, l’énergie cinétique peut toujours être trouvée.
Il devrait également être clair que l’énergie cinétique est un scalaire non négatif, car la masse et la vitesse d’un objet sont elles-mêmes des scalaires non négatifs.
Regardons quelques exemples.
Exemple 1: Déterminer l’énergie cinétique d’un corps en mouvement
Un corps de masse 940 g se déplace à 4 m/s. Déterminez son énergie cinétique.
Réponse
Dans cette question, on connaît les valeurs de la masse et de la vitesse d’un objet et on doit trouver son énergie cinétique. La vitesse est donnée dans l’unité standard mètres par seconde, mais la masse est donnée en grammes. On commence par la convertir dans l’unité plus standard du kilogrammes.
Il y a 1 000 g dans 1 kg, on doit donc diviser la valeur de la masse par 1 000 : 940 g = 0,94 kg.
On peut maintenant substituer ces valeurs à la masse et à la vitesse de l’objet dans la formule de l’énergie cinétique :
L’unité kilogrammes-mètres carrés par seconde carrée est équivalente à l’unité standard de l’énergie, les joules, qui est désignée par le symbole J. Par conséquent, l’énergie cinétique de l’objet est égale à 7,52 J.
Dans l’exemple suivant, nous verrons que cette relation peut être utilisée dans le sens inverse. Lorsqu’on nous donne l’énergie cinétique d’un objet ainsi que la masse ou la vitesse de l’objet, la quantité restante peut être trouvée.
Exemple 2: Déterminer la vitesse d’un objet en mouvement à partir de son énergie cinétique
Sachant que l’énergie cinétique d’une balle de masse en mouvement était de 7 000 joules à un instant donné, déterminez sa vitesse.
Réponse
Dans cette question, on connaît les valeurs de la masse et de l’énergie cinétique d’un objet et on doit déterminer sa vitesse. On commence par utiliser la formule de l’énergie cinétique d’un objet et on la réarrange pour isoler :
Remarquez que l’on recherche la vitesse, une quantité scalaire et on ne conserve que la racine positive de cette racine carrée. On substitue maintenant les valeurs et :
Comme l’énergie cinétique de la balle est en joules et que sa masse est en kilogrammes, cette valeur de la vitesse est en mètres par seconde, alors la vitesse de la balle est de 700 m/s.
Dans l’exemple précédent, il convient de noter que pour déterminer la vitesse d’un objet en utilisant sa masse et son énergie cinétique, nous avons pris la racine carrée d’une certaine quantité.
Normalement, les racines carrées ont deux solutions valides, à la fois une positive et une négative. Afin de comprendre pourquoi notre réponse n’était pas , nous devons nous rappeler que la vitesse est définie comme un scalaire positif. Cela signifie que lors de la détermination de la vitesse d’un objet, comme dans la méthode ci-dessus, nous pouvons ignorer la solution négative.
Pour nos prochains exemples, nous travaillerons avec des vecteurs vitesse. Rappelons que nous devrons maintenant utiliser la forme vectorielle de l’équation de l’énergie cinétique :
En pratique, les vecteurs vitesse sont souvent données sous des formes telles que
En essayant de trouver l’énergie cinétique, prendre le produit scalaire du vecteur avec lui-même peut être rapidement trouvé en utilisant un raccourci utile. Le calcul se réduit à prendre la somme des carrés des coefficients pour chacun des vecteurs unitaires perpendiculaires :
Les exemples suivants utiliseront cette méthode simple.
Exemple 3: Déterminer l’énergie cinétique d’un corps en mouvement à partir des composantes de son vecteur vitesse
Un corps de masse 500 g se déplace à un vecteur vitesse constant , où et sont deux vecteurs unitaires perpendiculaires. Déterminez son énergie cinétique.
Réponse
Dans cette question, on connaît la masse d’un objet et son vecteur vitesse sous forme de composantes. On peut utiliser la formule pour calculer l’énergie cinétique de l’objet. On substitue les valeurs :
Dans ce cas, il n’est pas nécessaire de convertir les unités. Comme la masse est en grammes et la vitesse est en centimètres par seconde, l’énergie résultante est exprimée en ergs, avec le symbole erg. Par conséquent, l’énergie cinétique du corps est de 3 250 erg.
1 erg est égal à , on peut donc également exprimer cette réponse en joules en multipliant la valeur en ergs par . On aurait également pu obtenir une réponse en joules en convertissant les valeurs de la masse et du vecteur vitesse en unités standard kilogrammes et mètres par seconde respectivement. L’énergie cinétique de l’objet en joules est de .
Lorsqu’on nous donne l’énergie cinétique et le vecteur vitesse d’un objet, nous pouvons utiliser notre formule pour déterminer sa masse. Comme le montre l’exemple 2 de cette fiche explicative, cela est démontré par un simple réarrangement de notre formule :
Cette méthode inverse sera explorée dans l’exemple suivant, mais avant de le faire, nous devrions bien noter que la méthode inverse ne peut pas être utilisée pour déterminer le vecteur vitesse d’un objet lorsqu’on nous donne son énergie cinétique et sa masse. Essayons de réarranger notre formule pour comprendre pourquoi c’est le cas :
À ce stade, il devient clair que nous ne pouvons déterminer la norme de notre vecteur vitesse (c.-à-d. la vitesse) en utilisant cette information. Comme l’énergie cinétique elle-même est une quantité scalaire, elle ne saisit aucune information concernant la direction du mouvement de l’objet qu’elle décrit.
Pour cette raison, nous ne pouvons pas récupérer les informations portant sur la direction en utilisant uniquement et (qui sont deux quantités scalaires). Bien que la norme du vecteur vitesse puisse être définie de manière unique à partir de cette information (comme illustré dans l’exemple 2), il existe un nombre infini de possibilités pour la direction du déplacement de l’objet. Cela signifie que le vecteur vitesse ne peut être défini de manière unique.
Exemple 4: Déterminer la masse d’un corps à partir de son énergie cinétique et de son vecteur vitesse
Un corps se déplace à un vecteur vitesse constant , où et sont deux vecteurs unitaires perpendiculaires. Sachant que l’énergie cinétique du corps est de 4,8 J, déterminez la masse du corps.
Réponse
Pour résoudre ce problème, on peut utiliser la formule de l’énergie cinétique, , d’une particule en fonction de sa masse, , et de son vecteur vitesse, :
Comme on recherche la masse, on commence par réarranger la formule pour isoler :
On a ici un vecteur apparaissant au dénominateur d’une fraction. Il n’est pas possible de diviser un scalaire par un vecteur mais notez que l’on a en fait le produit scalaire d’un vecteur avec lui-même au dénominateur. Le résultat d’un produit scalaire est un scalaire, on est donc bien en train de diviser par un scalaire.
Pour s’assurer d’obtenir une masse en kilogrammes, on convertit en mètres par seconde. Il y a 100 cm dans 1 m, donc .
On substitue maintenant ces valeurs dans l’équation :
La masse du corps est donc de 0,768 kg ou, de manière équivalente, 768 g.
En pratique, vous pourriez rencontrer des systèmes avec plusieurs objets en mouvement. Lorsque vous avez affaire avec de tels systèmes, il peut être utile d’utiliser à la place des vecteurs vitesse relatifs.
La formule pour l’énergie cinétique se comporte comme prévu lors de la saisie des vecteurs vitesse relatifs. Dans certains cas, cela peut même réduire le calcul, car trouver l’énergie cinétique d’un corps en mouvement par rapport à un autre corps en mouvement peut donner une image plus claire de l’énergie qui peut être transférée si les deux objets sont sur le point d’entrer en collision. Prenons un tel exemple.
Exemple 5: Déterminer l’énergie cinétique d’un obus tiré vers un char en mouvement en fonction de leurs vecteurs vitesse
Un canon a tiré un obus de masse 16 kg à 285 m/s vers un char qui se déplaçait à 72 km/h en ligne droite directement vers le canon. Déterminez l’énergie cinétique de l’obus par rapport au mouvement du char.
Réponse
Afin de trouver l’énergie cinétique de l’obus par rapport au char, nous devons d’abord déterminer la vitesse relative de l’obus. L’obus et le char se déplacent l’un vers l’autre, alors pour déterminer la vitesse relative de l’obus, il suffit d’ajouter la vitesse du char à la vitesse de l’obus. Elles sont données en différentes unités, alors convertissons la vitesse du char en unités de mètres par seconde : 72 km/h est le même que 72 000 m/h, et comme il y a 3 600 secondes dans une heure, , qui est 20 m/s.
Ainsi, la vitesse relative de l’obus au char est de . Nous pouvons maintenant utiliser la formule de l’énergie cinétique pour déterminer l’énergie cinétique de l’obus par rapport au char :
Étant donné que la masse était en kilogrammes et que la vitesse était en mètres par seconde, cette valeur pour l’énergie est en joules, de sorte que l’énergie cinétique de l’obus est 744 200 J.
Enfin, voici les points clés des informations présentées dans cette fiche explicative.
Points clés
- L’énergie cinétique est une quantité scalaire positive.
- L’énergie cinétique, , d’un objet de masse et de vitesse est donnée par
- Si, au contraire, on nous donne le vecteur vitesse d’un objet, , l’énergie cinétique peut être trouvée en utilisant
- Lorsqu’on nous donne l’énergie cinétique et la vitesse (ou le vecteur vitesse) d’un objet, nous pouvons déterminer sa masse.
- Lorsqu’on nous donne l’énergie cinétique et la masse d’un objet, nous pouvons déterminer sa vitesse, mais nous ne pouvons pas obtenir la direction du mouvement. Cela signifie que le vecteur vitesse ne peut pas être déterminé.
