Fiche explicative de la leçon: Opérations graphiques sur les vecteurs

Dans cette fiche explicative, nous apprendrons à effectuer graphiquement des opérations vectorielles en utilisant les règles du triangle et du parallélogramme.

Les vecteurs sont des objets qui sont entièrement définis par leur direction, leur sens et leur norme. Nous rappelons que nous pouvons représenter des vecteurs par un segment orienté, dans un espace approprié, où la longueur du segment nous indique la norme du vecteur et le sens est indiqué par les points initial et final du segment orienté. Dans cet espace, nous pouvons considérer les vecteurs comme représentant le déplacement, du point initial au point final.

Par exemple, le vecteur de à peut être représenté par le segment orienté à partir de à .

La longueur de ce segment est la norme de notée , la direction est donnée par le segment et le sens est indiqué par la flèche. Il convient de rappeler qu’un vecteur est entièrement défini par sa norme, sa direction et son sens, de sorte que deux vecteurs identiques ayant la même norme, la même direction et le même sens seront égaux. En particulier, nous pouvons tracer le vecteur n’importe où dans le plan ; cela ne changera pas sa norme, sa direction ou son sens, et donc ce sera toujours le même vecteur.

On peut aussi représenter ce vecteur par un déplacement horizontal et un déplacement vertical. Soient et ; alors nous pouvons déterminer les déplacements horizontaux et verticaux lorsqu’on se déplace de à à partir de la diagramme suivante.

La variation de la coordonnée horizontale est et la variation de la coordonnée verticale est . Ceci s’écrit . La première coordonnée nous indique le déplacement horizontal du vecteur et la deuxième coordonnée nous indique le déplacement vertical du vecteur.

Cela nous permet alors d’additionner des vecteurs. En termes de déplacement, la somme de deux vecteurs sera le déplacement total des deux vecteurs. En termes de coordonnées, nous rappelons que cela signifie que si nous avons et , alors ; on additionne les coordonnées horizontales et verticales séparément. Cela nous permet alors d’additionner graphiquement des vecteurs.

Par exemple, si nous avons le vecteur , alors dans cet espace, c’est le déplacement du point vers le point . De même, est le déplacement du point vers le point . Leur somme, , devrait être le déplacement total des deux vecteurs, c’est-à-dire le déplacement de à puis de à . C’est le vecteur , et nous pouvons le voir graphiquement.

On voit que le déplacement de à est le même que le déplacement de à puis de à , car leurs points initial et final sont les mêmes. On l’appelle souvent la relation de Chasles. Nous pouvons l’énoncer comme suit.

Règle : Relation de Chasles

Pour trois points quelconques , et , nous avons comme indiqué sur la figure.

Comme résultat de la relation de Chasles, si on a deux vecteurs et représentés graphiquement, alors nous pouvons additionner ces vecteurs en représentant le point final de comme le point initial de , comme indiqué.

Avant de voir comment appliquer cela aux problèmes impliquant des vecteurs, il y a une règle de plus que nous pouvons montrer. Considèrons le parallélogramme .

Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles et ont la même longueur ; donc,

On peut appliquer la relation de Chasles à ce diagramme en considérant les côtés comme des vecteurs et en ajoutant le vecteur à la figure, comme illustré.

En appliquant la relation de Chasles aux points , et , on obtient

Nous savons que car ils ont la même norme, la même direction et le même sens. Nous pouvons le voir graphiquement par la translation d’un vecteur sur l’autre. Ainsi

C’est ce qu’on appelle la règle du parallélogramme, et nous pouvons résumer ceci comme suit.

Règle : Règle du parallélogramme

Pour les vecteurs et de même point initial, , où est le point tel que est un parallélogramme, comme indiqué sur la figure suivante.

Étant donné que les vecteurs ont un certain nombre d’utilisations, par exemple, comme outil pour évaluer la force résultante ou pour résoudre des problèmes géométriques, la relation de Chasles et la règle du parallélogramme peuvent être considérées entièrement en fonction du champ dans lequel nous travaillons. Il est généralement plus facile de traiter le problème à l’aide des vecteurs.

Commençons par regarder quelques exemples visuels d’addition de vecteurs.

Exemple 1: Déterminer graphiquement les coordonnées de la somme de vecteurs

Deux vecteurs sont représentés sur la grille constituée de carrés unitaires et .

Quelles sont les coordonnées de ?
Quelles sont les coordonnées de ?
Quelles sont les coordonnées de ?

Réponse

Partie 1

On rappelle que les coordonnées d’un vecteur représenté graphiquement sont le déplacement horizontal et le déplacement vertical du vecteur dans cet espace. En particulier, pour un vecteur de à , ses coordonnées seront la différence des coordonnées :

Il y a plusieurs façons de l’utiliser pour déterminer les coordonnées du vecteur . Par exemple, nous pourrions introduire un système de coordonnées sur la grille des carrés unitaires. Cependant, ceci n’est pas nécessaire. Au lieu de cela, nous avons seulement besoin de connaître les déplacements horizontaux et verticaux lorsque nous allons du point initial de au point final de . Commençons par le déplacement horizontal.

Pour le vecteur , nous nous déplaçons horizontalement de trois carreaux. Comme ce sont des carrés unitaires et que nous nous déplaçons vers la droite, nous pouvons écrire ceci comme un déplacement de +3 unités.

On peut faire la même chose verticalement.

On déplace deux unités vers le haut, de sorte que le déplacement est de +2 unités. Cela nous donne les deux coordonnées de notre vecteur. Rappelons que le symbole positif est facultatif ; cela nous donne

Partie 2

On peut suivre la même procédure pour le vecteur .

Premièrement, nous voyons que nous nous déplaçons de deux unités vers la droite, de sorte que la première coordonnée du vecteur sera 2. Nous devons faire attention car verticalement, on se déplace vers le bas, la valeur sera donc négative.

Pour le vecteur , on se déplace verticalement de trois unités vers le bas. Donc, la seconde coordonnée de est . Ainsi,

Partie 3

Il y a deux méthodes que nous pouvons utiliser pour additionner les vecteurs.

Premièrement, on rappelle que nous additionnons les vecteurs coordonnée par coordonnée, ainsi les réponses des deux premières parties de la question ; donnent

Cependant, ce résultat nous permet de déterminer correctement les coordonnées des deux vecteurs et de ne pas faire d’erreur dans le calcul. Plus on additionne de vecteur, plus cela pose problème. À la place, nous pouvons aussi additionner graphiquement les deux vecteurs.

Étant donné que nous additionnons les coordonnées de chaque vecteur séparément, nous pouvons additionner des vecteurs ensemble en les mettant bout à bout. Nous représentons les vecteurs de manière que le point final d’un vecteur soit le point de départ du suivant, de sorte que la somme des vecteurs est alors le vecteur partant du point initial du premier vecteur au point final du dernier vecteur. Comme les vecteurs sont déjà positionnés de cette manière, nous avons

Le vecteur est alors représenté par le troisième côté du triangle formé par les vecteurs et . On peut alors trouver les coordonnées de en utilisant la figure.

En suivant le vecteur , nous nous déplaçons de 5 unités vers la droite et de 1 unité vers le bas, de sorte que la coordonnée horizontale est 5 et la coordonnée verticale est ce qui nous donne

Nous pouvons voir que cela est en accord avec le calcul que nous avions fait ci-dessus.

Exemple 2: Déterminer graphiquement la somme de deux vecteurs donnés

Quel graphique représente , où et ?

Réponse

Comme on nous donne les coordonnées de et , on peut ajouter les coordonnées des vecteurs pour obtenir

En regardant les options, on peut alors voir que seule l’option A est telle que , , et , c’est donc la bonne réponse. Le problème de répondre de cette manière est que l’on nous demandera souvent de représenter graphiquement la somme des vecteurs sans nous proposer différents choix, alors nous allons également représenter la somme de ces vecteurs.

On peut commencer par représenter les vecteurs et dans un graphique ; nous rappelons que la première coordonnée nous indique le déplacement horizontal et la deuxième coordonnée nous indique le déplacement vertical. Il est également important de noter que nous pouvons représenter ces vecteurs n’importe où sur le plan. Cependant, pour simplifier, nous allons placer les deux vecteurs en partant de l’origine. D’abord, parcourt 3 unités vers la droite et 4 unités vers le haut, comme suit.

On peut faire de même avec le vecteur , qui se déplacera de 4 unités vers la droite et de 1 unité vers le haut, comme illustré.

Étant donné que nous avons placé nos vecteurs à l’origine, les coordonnées des points finaux seront égales aux coordonnées du vecteur correspondant ; on les appelle souvent vecteurs de position.

Pour additionner graphiquement ces deux vecteurs, nous commençons par les représenter de sorte que le point final d’un vecteur soit le point initial de l’autre. Nous déplaçons pour avoir son point initial en ; il se déplacera toujours de 3 unités vers la droite et de 1 unité vers le haut comme suit.

Enfin, la relation de Chasles pour les vecteurs nous indique que la somme de ces deux vecteurs sera le vecteur ayant le point initial de et le point final de puisque ces vecteurs sont représentés bout à bout.

On peut voir sur la figure que parcourt 7 unités vers la droite et 5 unités vers le haut, alors , comme indiqué dans l’option A.

Dans nos exemples précédents, nous avons utilisé les représentations graphiques des vecteurs avec leurs coordonnées pour résoudre des problèmes. Dans notre prochain exemple, nous n’utiliserons que la représentation graphique des vecteurs pour résoudre un problème géométrique.

Exemple 3: Identifier la diagonale dans la règle du parallélogramme

Quel vecteur est équivalent à ?

Réponse

Le quadrilatère a ses côtés opposés définis par des vecteurs égaux. Étant donné que des vecteurs égaux ont la même norme, la même direction et le même sens, nous pouvons conclure que est un parallélogramme. Nous voulons appliquer la règle du parallélogramme pour ajouter ces vecteurs. Pour ce faire, on remarque que est le vecteur de à , alors

De même,

La règle du parallélogramme pour l’addition de vecteurs nous dit alors que si et ont le même point initial , alors où est le point tel que est un parallélogramme. Le vecteur est la diagonale du parallélogramme comme indiqué.

Donc, .

En utilisant l’exemple ci-dessus, nous pouvons montrer un résultat utile à partir du parallélogramme que nous avons construit.

En appliquant la relation de Chasles aux points , et , nous avons

Avec et , cela dit que

En d’autres termes, il s’agit d’une preuve géométrique de la commutativité de l’addition de vecteurs.

Jusqu’à présent, nous avons seulement considéré additionner les vecteurs ensemble. Nous allons maintenant considérer un exemple où on nous demande de trouver la différence entre deux vecteurs.

Exemple 4: Identifier la représentation graphique correcte de la différence de deux vecteurs

Lequel des parallélogrammes suivants permet d’obtenir ?

Réponse

Pour soustraire graphiquement deux vecteurs, nous utilisons deux résultats. Tout d’abord, nous pouvons réécrire l’expression comme la somme de deux vecteurs :

Cela nous indique que la différence entre et est la même que la somme de et , et nous savons additionner graphiquement des vecteurs en utilisant la relation de Chasles et la règle du parallélogramme. Comme les parallélogrammes sont représentés pour chaque option, nous utiliserons la règle du parallélogramme.

La règle du parallélogramme pour l’addition de vecteurs nous dit que si et sont des vecteurs de même point initial, , alors où est le point tel que est un parallélogramme, comme indiqué sur la figure suivante.

Si on étiquette les vecteurs, qui sont les côtés du parallélogramme, et , nous avons ce qui suit.

Puis, comme , on peut remplacer le vecteur sur la diagonale par , on retrouve le résultat de l’option C.

On peut alors poser la question suivante : étant donnés deux vecteurs et , graphiquement, comment pouvons-nous trouver ? Pour ce faire, nous allons commencer par représenter et de même point initial, disons ; nous allons également étiqueter les points finaux des vecteurs et comme indiqué.

Nous voulons déterminer . Rappelons que et que multipliant un vecteur par on change son sens sans changer sa direction et sa norme. Dans notre figure, cela signifie est le vecteur de à , comme indiqué.

On peut alors voir que le point final de est le point initial de , de sorte que nous pouvons ajouter ces vecteurs en utilisant la relation de Chasles ; nous avons ce qui suit.

On peut alors utiliser la commutativité de l’addition des vecteurs pour écrire . Cela signifie

On peut alors représenter ceci graphiquement comme suit.

Voyons maintenant quelques exemples d’application de ce raisonnement pour soustraire deux vecteurs représentés graphiquement.

Exemple 5: Déterminer la différence de deux vecteurs représentés graphiquement

Laquelle des expressions suivantes est équivalente à ?

Réponse

On nous demande de déterminer la différence de deux vecteurs. Pour ce faire, on commence par noter que multiplier un vecteur par change son sens sans changer sa direction et sa norme

Donc,

Nous pouvons tracer ces deux vecteurs sur la figure.

Comme le point final de est le point initial de , nous pouvons ajouter ces vecteurs en utilisant la relation de Chasles, qui nous dit que que nous pouvons observer sur la figure.

Cependant, ce n’est pas l’une des options données. Nous devons également utiliser le fait que est un parallélogramme, les côtés opposés sont donc de même taille et sont parallèles. Donc,

Donc, la réponse est l’option E, .

Exemple 6: Résoudre un problème géométrique impliquant des vecteurs, côtés d’un parallélogramme

Laquelle des expressions suivantes est équivalente à ?

Réponse

Nous voulons déterminer un vecteur équivalent à l’expression donnée en utilisant la figure. Pour ce faire, on note d’abord que pour un vecteur , aura la même direction, le même sens mais la moitié de la norme. Nous allons donc commencer par trouver un vecteur équivalent à . Nous pouvons le faire en rappelant d’abord que , alors

On peut ajouter ces vecteurs à la figure.

Pour additionner graphiquement des vecteurs, on peut utiliser la règle du parallélogramme. Comme les points initiaux des deux vecteurs sont identiques, leur somme sera la diagonale du parallélogramme.

Donc,

Nous voulons trouver de ce vecteur, nous avons donc besoin d’un vecteur dans la même direction et le même sens que mais avec la moitié de la norme. Comme est le milieu de , il y a deux options pour cela ; les deux et aura le même sens et la même direction que et la moitié de la norme.

Donc,

Ainsi, la réponse est l’option B, .

Il est à noter que nous pouvons appliquer ces règles pour l’addition de vecteurs plusieurs fois. Par exemple, considèrons la figure suivante.

Si on veut trouver , nous pouvons le faire en appliquant la relation de Chasles deux fois. Premièrement, nous avons , comme indiqué sur le schéma suivant.

On peut alors ajouter et avec la relation de Chasles. Nous avons , comme indiqué.

Donc,

Graphiquement, on peut penser cela comme trois vecteurs , et tous étant dessinés bout à bout, de sorte que leur somme est le vecteur qui a le point initial de et le point final de . Nous pouvons appliquer ce même raisonnement à des figures encore plus complexes comme nous le verrons dans notre dernier exemple.

Exemple 7: Trouver la somme des vecteurs, côtés d’un polygone

Complèter : Dans la figure suivante, .

Réponse

Nous commençons par ajouter tous les vecteurs de la somme sur le figure.

Il y a deux façons de déterminer cette somme : on peut le faire directement en rappelant que la somme de vecteurs représentés bout à bout aura le point initial du premier vecteur et le point final du vecteur final. Sur notre figure, ce sera le vecteur comme indiqué.

Il pourrait être plus facile de penser cela en suivant les vecteurs de jusqu’à . Nous avons qui est l’option B.

Pour voir pourquoi cela est vrai, nous devons appliquer la relation de Chasles, qui stipule que pour tous les points , et ,

On peut l’appliquer aux deux premiers vecteurs de la somme pour obtenir alors

Nous pouvons ensuite appliquer à nouveau la relation de Chasles et voir que alors

Enfin, nous appliquons la relation de Chasles une fois de plus pour obtenir et donc

Donc, la réponse est l’option B, .

Terminons par récapituler certains points importants de cette fiche explicative.

Points clés

La relation de Chasles nous indique que, pour trois points quelconques , et ,
La relation de Chasles nous permet d’additionner graphiquement deux vecteurs en les représentant de telle sorte que le point initial d’un vecteur soit le point final de l’autre.
La règle du parallélogramme pour les vecteurs nous dit que
où est le point tel que est un parallélogramme.
La règle du parallélogramme nous permet d’additionner graphiquement des vecteurs en les représentant de sorte qu’ils aient le même point initial. Ensuite, leur somme sera donnée par la diagonale du parallélogramme définie par les vecteurs.
On peut soustraire deux vecteurs en utilisant le fait que, pour trois points quelconques , et ,