Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Fiche explicative de la leçon : Volume d’un cône Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer le volume d’un cône, et comment résoudre des problèmes comprenant des situations réelles.

Définition : Cônes

Les cônes sont des figures géométriques en trois dimensions, ou des objets solides, qui ont une base (généralement) circulaire et un côté courbé qui se rejoint en un seul sommet.

Un cône droit est un cône dont le sommet se situe au-dessus du centre de gravité de la base. (Lorsque la base est circulaire, le sommet se situe au-dessus du centre du cercle.)

La hauteur d’un cône correspond à la distance entre le sommet et la base.

La génératrice d’un cône est la distance entre le sommet et tout point situé sur la circonférence de la base.

Maintenant qu’on a appris la définition du cône, étudions son volume.

On imagine qu’on peut complètement remplir un cône avec de l’eau par exemple. Si on verse cette eau dans un cylindre de même base et de même hauteur que le cône, on verra que le niveau de l’eau est exactement au tiers de la hauteur du cylindre.

C’est une règle générale pour tout cône.

Volume d’un cône

Le volume d’un cône est égal au tiers du volume du cylindre de même base et de même hauteur

On rappelle que l’aire d’un cercle de rayon 𝑟 vaut 𝐴=𝜋𝑟cercle.

Étudions quelques exemples.

Exemple 1: Déterminer le volume d’un cône

Déterminez le volume du cône circulaire droit en fonction de 𝜋.

Réponse

On sait que le volume d’un cône est égal au tiers du volume du cylindre de même base et de même hauteur, c’est-à-dire 𝑉=13(𝐴×).cônebase

Pour calculer le volume de ce cône, on doit déterminer l’aire de la base, c’est-à-dire du cercle de rayon 20 cm. L’aire est donnée par 𝐴=𝜋𝑟cercle. En substituant la valeur de 𝑟, on trouve que

Le volume du cône est

Exemple 2: Déterminer le volume d’un cône étant donnés son diamètre et sa hauteur

Déterminez le volume du cône. Donnez votre réponse en millimètres cubes au centième près.

Réponse

Le volume d’un cône est donné par 𝑉=13(𝐴×)cônebase, 𝐴base est l’aire de sa base circulaire, et est la hauteur du cône. On observe que le cône représenté sur la figure ne repose pas sur sa base. En gardant cela à l’esprit, on constate que la hauteur du cône, donc la distance entre son sommet et sa base, est égale à 63 mm, et que le diamètre de sa base est égale à 58 mm. L’aire de la base circulaire est 𝐴=𝜋𝑟;base ce qui donne, sachant que le rayon est la moitié du diamètre, c’est-à-dire 29 mm𝐴=𝜋29=841𝜋.basemm

En substituant ce résultat et la valeur de la hauteur dans l’équation du volume d’un cône, on trouve que 𝑉=13(841𝜋×63).cône

En effectuant ce calcul avec une calculatrice et en arrondissant la réponse au centième près, on obtient 𝑉=55483,67.cônemm

Exemple 3: Déterminer le volume d’un cône droit étant donnés sa hauteur et sa génératrice

Déterminez le volume du cône circulaire droit illustré en fonction de 𝜋.

Réponse

Pour déterminer le volume du cône, on doit calculer l’aire de sa base circulaire. On ne connaît pas le rayon, mais on nous donne la hauteur et la génératrice du cône.

En réalisant que ces deux segments et le rayon de la base circulaire forment un triangle rectangle (on remarque qu’on sait que le sommet est au-dessus du centre de la base parce qu’il est indiqué qu’il s’agit d’un cône droit), on peut appliquer le théorème de Pythagore, avec 𝑟 le rayon de la base circulaire𝑟+48=60𝑟+2304=3600.

On soustrait 2‎ ‎304 à chaque membre, 𝑟+23042304=36002304𝑟=1296.

On prend la racine carrée des deux membres, 𝑟=1296𝑟=36.cm

On peut maintenant calculer le volume du cône

Exemple 4: Déterminer le volume d’un cône étant données son rayon et sa hauteur

Calculez le volume d’un cône de rayon 3 et de hauteur 14. Donnez votre réponse au centième près.

Réponse

Le volume d’un cône est donné par 𝑉=13(𝐴×)cônebase, 𝐴base est l’aire de sa base circulaire, et est la hauteur du cône. L’aire de la base circulaire est 𝐴=𝜋𝑟base, 𝑟 est le rayon de la base circulaire.

Par conséquent, on a 𝑉=13𝜋𝑟×.cône

Il est indiqué dans la question que le rayon vaut 3, et la hauteur 14. En substituant ces valeurs, on trouve que 𝑉=13𝜋3×14=42𝜋.cône

En utilisant une calculatrice et en arrondissant la réponse au centième près, on obtient 𝑉=131,95.cône

Dans cette question, aucune unité de longueur n’a été spécifiée, il est donc implicite que toutes les longueurs sont données dans la même unité de mesure, et que le résultat est mesuré dans cette unité cubique.

Exemple 5: Déterminer le diamètre d’un cône étant données son volume et sa hauteur

Le volume d’un cône est égal à 441𝜋poucescubes, et sa hauteur vaut 12 pouces. Déterminez son diamètre.

Réponse

On connaît ici le volume et la hauteur d’un cône, et on souhaite déterminer le diamètre du cône. Pour ce faire, on doit écrire la relation entre le volume, la hauteur et le rayon d’un cône. Cela nous permettra de déterminer le rayon du cône. Il est égal à la moitié du diamètre, on doit donc doubler le rayon pour trouver le diamètre.

On a

En substituant la valeur du volume et la hauteur du cône dans l’équation, on trouve

On multiplie 13 par 12 (la multiplication étant commutative), 441𝜋=𝜋𝑟×4.

On divise les deux membres par 4𝜋, 441𝜋÷4𝜋=𝜋𝑟×4÷4𝜋110,25=𝑟.

On prend la racine carrée de chaque membre, 110,25=𝑟10,5=𝑟.

Le rayon du cône est égal à 10,5 pouces, donc son diamètre vaut 21 pouces.

Points clés

  • Les cônes sont des figures géométriques en trois dimensions, ou des objets solides, qui ont une base (généralement) circulaire et un côté courbé qui se rejoint en un seul sommet.
  • Un cône droit est un cône dont le sommet se situe au-dessus du centre de gravité de la base. (Lorsque la base est circulaire, le sommet se situe au-dessus du centre du cercle.)
  • La hauteur d’un cône correspond à la distance entre le sommet et la base. La génératrice d’un cône est la distance entre le sommet et tout point situé sur la circonférence de la base.
  • Le volume d’un cône est égal au tiers du volume du cylindre de même base et de même hauteur.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.