Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer le volume d’un cône et résoudre des problèmes, dont des situations réelles.
Bien qu’il existe des définitions plus générales des cônes, cette leçon ne considère que les cônes de révolution droits. Donnons-en une définition mathématique précise.
Définition : Cône de révolution droit
Un cône de révolution droit est un solide dont la base est un cercle et le sommet (ou apex) appartient à la droite passant par le centre de la base et perpendiculaire à la base.
Sa hauteur est la distance entre le sommet et la base.
Son rayon est le rayon de la base circulaire.
Son apothème est la distance entre le sommet et un point quelconque de la circonférence de la base.
Comme on ne considère que les cônes de révolution droits dans cette fiche, on les appellera simplement des cônes. Voyons maintenant comment calculer le volume d’un cône.
Imaginons qu’on remplisse un cône entièrement, par exemple avec de l’eau. Si on verse cette eau dans un cylindre de même base et de même hauteur que le cône, on constate que le niveau d’eau arrive exactement au tiers de la hauteur du cylindre.
Or, le volume d’un cylindre est donné par la formule où est le rayon du cylindre et est sa hauteur. Si on prend un tiers de cela, on obtient la formule suivante pour le volume d’un cône.
Formule : Volume d’un cône
Le volume d’un cône est égal à où est le rayon de sa base et est sa hauteur.
Ainsi, si on souhaite calculer le volume d’un cône, on trouve son rayon et sa hauteur, puis on substitue leurs valeurs dans la formule ci-dessus. Voici un exemple où on applique cette formule pour trouver le volume d’un cône dessiné sur un schéma.
Exemple 1: Calcul du volume d’un cône
Calculez le volume de ce cône de révolution droit en fonction de .
Réponse
Le volume d’un cône de révolution droit est donné par la formule où est le rayon de la base et est la distance entre le sommet et la base. Sur le schéma, on voit que le rayon mesure 20 cm et la hauteur mesure 24 cm. En utilisant ces valeurs dans la formule, on obtient
L’exemple précédent était idéal : on nous donnait le rayon et la hauteur, et on les a utilisés pour calculer directement le volume. Dans de nombreuses situations, les mesures dont on a besoin ne sont pas données explicitement, mais on a suffisamment d’informations pour en déduire leurs valeurs. En particulier, rappelons qu’un cône de révolution droit a son sommet directement au-dessus du centre de la base circulaire. Cela implique que l’apothème, la hauteur et le rayon forment un triangle rectangle comme illustré ci-dessous.
À l’aide du théorème de Pythagore, si on nous donne deux des mesures ci-dessus, on peut en déduire la troisième. Par exemple, supposons que l’apothème mesure , le rayon , et qu’on cherche la hauteur . On a alors
On peut en déduire comme ceci :
On peut alors utiliser cette valeur de , ainsi que la valeur donnée pour , dans la formule du volume. Considérons l’exemple suivant.
Exemple 2: Calcul du volume d’un cône en fonction de sa hauteur et de son apothème
Déterminez le volume de ce cône de révolution droit en fonction de .
Réponse
Pour déterminer le volume d’un cône de révolution droit, rappelons la formule où est le rayon de la base et la hauteur (c’est-à-dire la distance entre le sommet et la base). On nous donne la hauteur, qui mesure 48 cm, et l’apothème, qui mesure 60 cm, mais pas le rayon.
Pour trouver le rayon, on utilise le fait que l’apothème, la hauteur et le rayon forment un triangle rectangle, comme illustré ci-dessous.
On peut donc appliquer le théorème de Pythagore pour trouver :
En prenant la racine carrée de chaque côté, on trouve
On peut maintenant utiliser cette valeur, ainsi que , dans la formule du volume, ce qui donne
Un autre type de problème pose la question inverse : si on nous donne le volume d’un cône, comment trouver les autres mesures ? La réponse est que, du moment qu’on connaît deux des trois inconnues (volume, hauteur et rayon), on peut utiliser la formule du volume d’un cône pour en déduire la troisième. Voyons un exemple de cela.
Exemple 3: Calcul du diamètre de la base d’un cône en fonction de son volume et de sa hauteur
Un cône a pour volume , et pour hauteur 12 cm. Calculez le diamètre de sa base.
Réponse
Comme on nous donne le volume du cône et sa hauteur, rappelons la relation entre ces deux mesures et le rayon : où est le volume, le rayon de la base, et la hauteur. Cette formule n’utilise pas explicitement le diamètre mais, le diamètre étant le double du rayon, on peut commencer par chercher le rayon.
En remplaçant et dans la formule, on a
On peut en déduire . On commence par diviser chaque côté par :
Puis on multiplie chaque côté par 3, et on divise chaque côté par 12, ce qui donne
Ensuite, pour trouver , on prend la racine carrée de chaque côté, ce qui donne
La dernière étape consiste à déterminer le diamètre. Comme le diamètre est le double du rayon, on multiplie par 2 ; on obtient que le diamètre mesure 21 cm.
Comme évoqué plus haut, on ne nous donne pas toujours les valeurs exactes à insérer dans la formule du volume d’un cône. Une autre situation qu’on peut rencontrer est celle où l’aire ou la circonférence de la base est donnée, mais pas le rayon. Rappelons que l’aire et la circonférence sont liées au rayon d’un cercle par les formules suivantes : où est l’aire, est la circonférence, et est le rayon. Ainsi, si on nous donne l’aire ou la circonférence au lieu du rayon, il est toujours possible de déterminer le rayon.
Considérons un exemple d’application des formules ci-dessus avec le volume d’un cône, cette fois dans un contexte concret.
Exemple 4: Calcul de la hauteur d’un cône dans un contexte concret
Un morceau de chocolat est en forme de cône droit ; son volume est et le périmètre de sa base est . Calculez sa hauteur.
Réponse
Dans cet exemple, on nous donne le volume d’un cône et le périmètre de sa base, et on nous demande sa hauteur. Rappelons la formule du volume d’un cône : où est le volume, est le rayon de la base, et est la hauteur. Cette formule utilise le rayon et non le périmètre, mais on peut déterminer le rayon en utilisant le fait que la base d’un cône est un cercle. Rappelons que le périmètre (ou la circonférence) d’un cercle est égal à
Comme le périmètre est égal à , on a
En divisant chaque côté par , on obtient
Maintenant qu’on a trouvé et , on peut utiliser la formule du volume, ce qui donne
On va pouvoir en déduire . D’abord, en multipliant chaque côté par 3, ce qui donne
Puis en divisant chaque côté par :
Enfin, on divise chaque côté par pour trouver , qu’on exprime en centimètres :
Dans l’exemple précédent, on a montré comment combiner circonférence de la base et formule du volume ; considérons à présent le cas de l’aire de la base.
Or, il se trouve que si on nous donne l’aire et la hauteur, c’est encore plus simple. Comme le volume du cône est , on utilise pour obtenir cette nouvelle formule du volume.
Formule : Volume d’un cône (aire de la base)
Le volume d’un cône est égal à où est l’aire de base et est la hauteur.
Notez que cette formule est analogue à cette variante de la formule du volume d’un cylindre :
Comme prévu, ça correspond à l’affirmation ci-dessus, selon laquelle le volume d’un cône est le tiers de celui d’un cylindre.
Considérons un exemple où on utilise l’aire de la base d’un cône pour déterminer son volume.
Exemple 5: Calcul du volume d’un cône dont on connaît l’aire de la base et l’apothème
Calculez le volume d’un cône de révolution droit en fonction de si l’aire de sa base est et son apothème mesure 17 cm.
Réponse
Rappelons que le volume d’un cône est égal à où est le rayon et la hauteur. Ici, on ne nous donne ni le rayon ni la hauteur ; mais rappelons que comme la base d’un cône de révolution droit est un cercle, on peut exprimer l’aire de la base en fonction du rayon :
En général, on insère simplement ceci dans la formule du volume mais, ici, on s’aperçoit qu’il est de toute façon nécessaire de trouver le rayon pour calculer la hauteur. Alors, trouvons le rayon en faisant des calculs. On a
On cherche à présent la hauteur. Le sommet d’un cône de révolution droit étant directement au-dessus du centre de la base, la hauteur d’un cône est directement liée au rayon et à l’apothème, comme dans ce schéma.
Ainsi, d’après le théorème de Pythagore, on a
Et comme on a et , on peut utiliser ces valeurs dans la formule du volume d’un cône. Cela donne
Pour terminer, récapitulons ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.
Points clés
- Le volume d’un cône est où est le rayon de la base et la hauteur.
- Cette formule permet de déterminer le volume, le rayon, ou la hauteur d’un cône, suivant les dimensions qui sont fournies.
- Si on ne nous donne pas directement la hauteur ou le rayon, on peut les déduire à partir de l’apothème à l’aide du théorème de Pythagore dans le triangle ci-dessous.
- On peut aussi calculer le rayon à partir de l’aire ou de la circonférence de la base. En particulier, on peut utiliser la variante de la formule du volume d’un cône : où est l’aire de base et la hauteur.
