Exercice 1
On considère la droite graduée ci-dessous et le point milieu du segment .
- Quelle est l’abscisse de chacun des points , , , et ?
- Lire l’abscisse du point symétrique du point par rapport au point .
Exercice 2
On considère un repère orthonormé , du plan.
- Parmi les points , , , et , quels sont les points qui ont :
- La même abscisse ?
- La même ordonnée ?
- Donner les coordonnées de chacun des points , , , et .
- L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ?
« Sur la figure ci-dessus, il y a autant de points qui ont une ordonnée positive que de points qui ont une abscisse négative. »
Exercice 3
On considère un triangle rectangle en tel que :
et .
1. Quelle est la longueur exacte du segment ?
On considère un triangle tel que :
; et .
2. Ce triangle est-il rectangle ?
Activité 1 : Quadrillage
- Placer sur un quadrillage les points , et comme ci-dessous.
- Placer les points , et pour que le point ait pour coordonnées dans le repère , .
- Quelles sont alors les coordonnées des points et dans ce repère ?
Activité 2 : Coordonnées du milieu
- Placer dans un repère orthonormé , , les points , et .
- Lire les coordonnées des points et milieux respectifs des segments et .
- Quelle relation existe-t-il entre les coordonnées du point et celles des points et ?
- Cette relation reste-t-elle valable pour le point ?
Activité 3 : Longueur d’un segment
- Placer dans un repère orthonormé , d’unité graphique 1 cm, les points et .
- Pour calculer la distance dans ce repère :
- Placer le point . Quelle est la nature du triangle ?
- Déterminer les distances et . En déduire la distance .
- Placer le point .
Calculer la distance avec la méthode utilisée dans la question 2.
I. Coordonnées d’un point du plan
(1) Repère du plan
Définition
On appelle repère du plan, tout triplet de points non alignés , .
Le point est l’origine du repère, la droite graduée est l’axe des abscisses et la droite graduée est l’axe des ordonnées.
La longueur est l’unité de longueur de l’axe des abscisses et la longueur est l’unité de longueur de l’axe des ordonnées.
Différents types de repères du plan
- Si les axes et sont sécants en et non perpendiculaires, alors , est appelé repère quelconque du plan.
- Si les axes et sont perpendiculaires en et si , alors , est appelé repère orthogonal du plan.
- Si les axes et sont perpendiculaires en et si de plus , alors , est appelé repère orthonormé (ou orthonormal) du plan.
Exemple 1: Se repérer sur une grille d’un jeu d’échecs
Énoncé
Les cases du jeu d’échecs sont repérées selon le code de la figure ci-dessous.
Un cavalier (représenté par une tête de cheval) se déplace selon une direction horizontale ou verticale d’une ou de deux cases dans un sens choisi, puis de deux ou d’une case sur la direction perpendiculaire en formant un L.
Un Roi est mis en « échec » par une pièce adverse s’il se trouve sur une case qui peut être atteinte par cette pièce.
- Repérer les cases contenant les pièces de ce jeu d’échec.
- Un joueur désire déplacer le cavalier blanc placé en d8. Repérer les cases pouvant accueillir ce cavalier.
- La tour se déplace verticalement ou horizontalement d’autant de cases que désirées. Où placer la tour pour mettre le Roi noir en « échec » ?
Réponse
- Ce jeu d’échec présente 5 pièces placées comme suit :
- Le cavalier blanc se trouve en d8,
- La tour blanche se trouve en h7,
- Le Roi noir se trouve en d3,
- Le Roi blanc se trouve en f3,
- Le pion noir se trouve en c2.
- Le cavalier blanc placé en d8 peut atteindre l’une des cases suivantes : c6, e6, b7 et f7.
- Pour mettre en « échec » le Roi noir, la tour blanche doit se placer en d7. En effet, en d3 le Roi blanc fait obstacle.
(2) Repérage d’un point dans un plan
On commence par définir un repère du plan :
- On choisit un triplet , de points non alignés.
Pour un point du plan :
- On note l’abscisse sur l’axe gradué du point d’intersection de l’axe avec la parallèle à l’axe passant par .
- On note l’abscisse sur l’axe gradué du point d’intersection de l’axe avec la parallèle à l’axe passant par .
Dans le repère , , un point est repéré par le couple . Les réels et sont appelés les coordonnées du point dans le repère , .
Notation
On note pour signifier que le réel est l’abscisse du point et que le réel l’ordonnée du point .
Exemple
- Le repère , ci-contre est orthonormé.
- Le point a pour coordonnées .
- L’origine a pour coordonnées .
- Le point a pour coordonnées .
- Le point a pour coordonnées .
II. Coordonnées du milieu d’un segment
Propriété
Soit , un repère du plan, et deux points de coordonnées respectives et .
Le milieu du segment a pour coordonnées .
Exemple
Soit les points de coordonnées, et .
Le milieu du segment a pour coordonnées c’est-à-dire .
Démonstration
On considère deux points et dans un repère orthonormé , .
On désigne par le milieu du segment .
1er cas :
Les points , et ont la même ordonnée.
On a et .
Alors
2e cas :
Les points , et ont la même abscisse.
On a et .
Alors
3e cas :
Les points et n’ont ni la même abscisse ni la même ordonnée, donc et .
On considère le point de coordonnées . D’après le théorème de la droite des milieux, le point milieu du segment et le point milieu du segment sont sur une droite parallèle à la droite , donc parallèle à l’axe des ordonnées ; on en déduit que ces deux points ont la même abscisse. De même, le point milieu du segment et le point milieu du segment sont sur une droite parallèle à la droite , donc parallèle à l’axe des abscisses. On en déduit que ces deux points ont la même ordonnée.
Les points et ayant la même ordonnée, le milieu du segment a pour abscisse
Comme les points et ont la même abscisse, on en déduit que :
Les points et ayant la même abscisse, le milieu du segment a pour ordonnée
Comme les points et ont la même ordonnée, on en déduit que :
Le milieu du segment est donc le point .
Remarque
L’abscisse du milieu d’un segment est la moyenne arithmétique des abscisses des extrémités de ce segment et l’ordonnée du milieu d’un segment est la moyenne arithmétique des ordonnées des extrémités de ce segment.
III. Distance entre deux points
Propriété
On considère un repère orthonormé , du plan.
Soit un point de coordonnées et un point de coordonnées .
Alors la distance est donnée par la formule :
Démonstration
On considère dans un repère orthonormé , deux points et tel que : et .
On considère le point de coordonnées .
Le triangle est un triangle rectangle en . En effet, la droite est parallèle à l’axe des abscisses et la droite est parallèle à l’axe des ordonnées
Nous avons et
En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle en , on a :
Finalement, puisqu’une distance est un nombre positif, on a : .
Remarque
La propriété ci-dessus n’est valable que dans un repère orthonormé.
Exemple
Soit deux points et dans un repère orthonormé , d’unité 1 cm.
La distance du segment est donnée par : .
Une valeur approchée à près de la longueur peut s’obtenir à l’aide d’une calculatrice et on trouve .
Exemple 2: Milieux et parallélogrammes
Énoncé
Dans un repère orthonormé , , on considère les points , , et .
Démontrer que le quadrilatère est un parallélogramme.
Indication : montrer que les diagonales du quadrilatère ont le même milieu.
Réponse
On calcule les coordonnées du milieu des segments et .
Le milieu de a pour coordonnées .
Le milieu de a pour coordonnées .
Les diagonales du quadrilatère ont le même milieu donc est un parallélogramme.
Exemple 3: Distance et alignement
Énoncé
Dans un repère orthonormé , , on considère les points , et .
Les points , et sont-ils alignés ?
Méthode : on calcule les longueurs , , et puis on utilise l’inégalité triangulaire.
Réponse
Calculons les longueurs , , et .
Inégalité triangulaire
On a donc bien .
Les points , et sont donc alignés dans cet ordre.
Exemple 4: Exercice résolu 1
Écrire un algorithme qui demande à l’utilisateur de saisir la longueur du côté d’un carré et qui affiche le périmètre et l’aire de ce carré.
Réponse
La relation du périmètre et de l’aire en fonction du côté du carré est : et
Exemple 5: Exercice résolu 2
Écrire un algorithme qui demande les coordonnées de deux points et et qui affiche les coordonnées du point milieu du segment .
Réponse
Soit les coordonnées de et les coordonnées de et soit le point milieu du segment , alors les coordonnées de s’écrivent : .
Exemple 6: Exercice résolu 3
Dans un repère orthonormé, on donne les points , et .
Quelle est la nature du triangle ?
Réponse
Si on place les points dans un repère, le triangle semble être équilatéral.
On calcule alors les longueurs des trois côtés du triangle .
On obtient et donc le triangle est isocèle en .
Il n’est donc pas équilatéral contrairement à son apparence car la longueur est différente des deux autres longueurs calculées.
Exemple 7: Exercice résolu 4
Le plan est muni d’un repère orthonormal , . Soit 𝓁 le cercle de centre et de rayon 3.
Soit un point quelconque du plan. Quelle relation entre ses coordonnées et caractérise le fait que ce point appartient au cercle 𝓁 ? En déduire si un point de coordonnées vérifie cette relation.
Réponse
Dire que est sur le cercle 𝓁, c’est dire que ou encore .
Le point est de coordonnées et le repère étant orthonormal, on a d’où .
Un point appartient au cercle 𝓁 si et seulement si .
En intégrant les coordonnées du point dans l’équation précédente, on a :
Donc le point n’appartient pas au cercle 𝓁.
TP1 : Algorithme
On donne l’algorithme suivant :
- Que fait cet algorithme ?
- Tester cet algorithme pour les points et puis donner les valeurs correspondantes de et .
TP 2 : Extrait d’une feuille de tableur excel
Chaque case, appelée « cellule » est repérée par une lettre et par un nombre.
Par exemple la cellule F8 contient le nombre 50. Il est possible donc d’écrire dans une cellule le contenu d’une autre cellule, pour cela il suffit d’inscrire le code de cette autre cellule en le faisant précéder de « = ». Ainsi la cellule E8 contient la même information que la cellule D5.
Après validation, on pourra lire « 28 » dans la cellule E8.
- L’une des cellules contient la formule . Quelle est cette cellule ?
- Quelle cellule contient la formule ?
TP3 : Étude d’une configuration
Soit un carré, le point est le milieu du segment . On construit à l’intérieur du carré le triangle équilatéral et à l’extérieur du carré le triangle équilatéral .
On veut prouver que les points , , et sont alignés.
- Construire la figure
- On choisit comme repère , .
- Indiquer les coordonnées des points , , et .
- Calculer la longueur . En déduire les coordonnées du point .
- Déterminer les coordonnées du point .
- Calculer les longueurs , et . Que peut-on en déduire ?
TP4 : Placer des points à l’aide d’un repère
Soit deux droites et sécantes en .
On place un point extérieur aux droites et .
L’objectif de ce TP est de placer un point sur et un point sur tel que le point soit le milieu du segment .
- Recherche par tâtonnement :
Reproduire la figure sur une feuille de papier ou sur un logiciel de géométrie et essayer de déterminer les emplacements des points et . Décrire la démarche réalisée. - Méthode géométrique :
Reproduire la figure et construire un parallélogramme respectant les conditions de l’énoncé. Décrire la démarche de construction du parallélogramme . En déduire les positions des points et sur les droites et . - Utilisation d’un repère :
En utilisant le repère , , déterminer les coordonnées des points et .
En déduire leurs emplacements sur les droites et .
Points clés
- Lire les coordonnées d’un point dans un repère
Le point a pour coordonnées dans ce repère quelconque , . - Calculer les coordonnées du milieu d’un segment
Le milieu du segment a pour coordonnées . - Inégalité triangulaire
Soit , et trois points du plan, si alors les points , et sont alignés dans cet ordre. - Calculer une distance entre deux points dans un repère orthonormé
Si l’on connaît les coordonnées de deux points du plan et dans un repère orthonormé , , la distance est donnée par la formule : .
