Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser l’intégration pour déterminer le travail effectué par une force variable.
On rappelle que pour une force constante agissant sur un objet lorsque cet objet a un déplacement , le travail fourni par la force est égal au produit scalaire de la force et du déplacement :
On peut également l’écrire comme où est l’intensité de la force, est la norme du déplacement et est l’angle entre la force agissant sur l’objet et son déplacement.
Si et sont constants, en d’autres termes, si l’intensité de la force est constante et l’angle entre la force et le déplacement ne varie pas, la représentation graphique de par rapport à ressemble à cela :
La valeur reste constante sur la trajectoire empruntée par l’objet. Le travail fourni par la force est égal à l’aire sous la droite. L’aire sous la droite n’est qu’une simple région rectangulaire, l’aire est donc égale au produit de la hauteur du rectangle et de sa largeur : , soit .
On imagine maintenant que varie quand l’objet se déplace. On imagine que augmente d’abord avant d’atteindre une valeur constante. La représentation graphique de par rapport à pourrait alors ressembler à ceci :
Pour trouver maintenant l’aire sous la courbe, le travail fourni, on doit diviser la zone en deux régions, un trapèze et un rectangle, et trouver l’aire de chacune d’elles.
On peut voir que lorsque la force sur l’objet devient plus complexe, cela nécessite de diviser l’aire sous la courbe en plus de régions pour pouvoir calculer l’aire totale, c’est-à-dire le travail fourni. Si la force agissant sur un objet est décrite par une fonction continue comme dans la représentation graphique ci-dessous, on peut utiliser l’intégration pour calculer l’aire sous la courbe et donc le travail fourni.
Pour calculer l’aire sous la courbe de la représentation graphique ci-dessus, on doit calculer l’intégrale de par rapport à :
Si la force et le déplacement sont dans le même sens, vaut 0 et est égal à 1, ce qui signifie que cette formule peut être simplifiée par
Bien que notre définition initiale du travail fourni par une force était valable pour des forces constantes, nous avons déterminé une formule du travail fourni par une force variable, à condition que la force soit dans le même sens que le déplacement. Nous avons donc établi une définition plus générale du travail fourni par une force.
Définition
Le travail fourni par une force agissant sur un objet lorsque l’objet se déplace le long d’une trajectoire parallèle à la force est donné par où est le travail fourni, est l’intensité de la force agissant sur l’objet et est un segment infinitésimal de la trajectoire.
Étudions quelques exemples.
Exemple 1: Calculer la quantité de travail fourni par une force à partir de l’expression de la force
Un corps se déplace le long de l’axe des sous l’action d’une force, . Sachant que , où est le déplacement par rapport à l’origine, déterminez le travail fourni par quand le corps se déplace de à .
Réponse
Dans cette question, une force variable agit sur un objet. Le mouvement de l’objet et la force agissant sur l’objet sont tous les deux le long de l’axe des , on peut donc utiliser la formule pour déterminer le travail fourni.
On doit déterminer le travail fourni par la force lorsque l’objet se déplace de à , ce qui signifie qu’il est égal à une intégrale ayant ces valeurs pour bornes. On commence par substituer et les bornes :
En intégrant , on obtient puis en calculant cette expression entre les deux bornes, on obtient
Comme est mesurée en newtons et est mesuré en mètres, cette valeur du travail est en newtons-mètres, ce qui est équivalent à des joules, le travail fourni est donc de 72 J.
Exemple 2: Calculer la quantité de travail fourni par une force à partir de l’expression de la force
Une force variable mesurée en newtons agit sur un corps, où . Déterminez le travail fourni par cette force pendant l’intervalle de à .
Réponse
Dans cette question, une force variable agit sur un objet. Le mouvement de l’objet et la force agissant sur celui-ci sont tous les deux en une dimension, on peut donc utiliser la formule pour déterminer le travail fourni par la force.
On doit déterminer le travail fourni lorsque l’objet se déplace de à . Pour ce faire, on peut utiliser une intégrale ayant ces valeurs pour bornes. On commence par substituer et les bornes :
En intégrant , on obtient puis en calculant cette expression entre les bornes, on obtient
Comme est mesurée en newtons et est mesuré en mètres, cette valeur du travail est en newtons-mètres, ce qui est équivalent à des joules, le travail fourni est donc de 56 J.
Exemple 3: Calculer la quantité de travail fourni par une force qui varie de manière sinusoïdale
Une particule se déplace en ligne droite sous l’action de la force , où et est mesuré en mètres. Calculez le travail fourni par la force lorsque la particule se déplace de à .
Réponse
Dans cette question, une force variable agit sur une particule. Le mouvement de la particule et la force agissant sur elle sont tous les deux en une dimension, on peut donc utiliser la formule pour déterminer le travail fourni par la force.
On doit déterminer le travail fourni par la force lorsque la particule se déplace de à . Pour ce faire, on peut utiliser une intégrale ayant ces valeurs pour bornes. On commence par substituer et les bornes :
En intégrant , on obtient puis en calculant cette expression entre les deux bornes, on obtient
Le cosinus de 0 est égal à 1 et le cosinus de est égal à 0, donc
Comme est mesurée en newtons et est mesuré en mètres, cette valeur du travail est en newtons-mètres, ce qui est équivalent à des joules, le travail fourni est donc de .
Exemple 4: Calculer la quantité de travail fourni par une force variable avec une constante inconnue
Un bloc se déplace en ligne droite sous l’action d’une force , où est le déplacement du corps à partir de sa position initiale. Le travail fourni par la force pour déplacer le bloc de à est 34 J. Déterminez le travail fourni par pour déplacer le bloc de à .
Réponse
Dans cette question, une force variable agit sur un objet. Le mouvement de l’objet et la force agissant sur celui-ci sont tous les deux en une dimension, on peut donc utiliser la formule pour déterminer le travail fourni par la force.
On doit déterminer le travail fourni par la force lorsque l’objet se déplace de à , ce qui signifie que l’on doit calculer une intégrale de la force sur l’objet avec ces valeurs comme bornes. Il y a cependant une constante inconnue dans l’expression de la force, , que l’on doit d’abord trouver, sinon cette inconnue apparaîtra dans le résultat de l’intégrale et on ne pourra pas déterminer le travail fourni.
Afin de déterminer la valeur de cette constante, on peut calculer l’intégrale de la force entre les bornes 0 m et 3 m. Sachant que la valeur du travail entre ces bornes est connue, on sera alors en mesure de former une équation à une seule inconnue, . On commence par calculer cette intégrale :
En intégrant , on obtient puis en calculant cette expression entre les deux bornes, on obtient
On peut alors réarranger l’équation pour déterminer :
On a maintenant l’expression complète de :
On peut en déduire une intégrale pour le travail fourni entre et : puis on suit les mêmes étapes que précédemment :
Le travail fourni par la force entre et est 736 J.
Points clés
- On peut utiliser l’intégration pour déterminer le travail fourni par une force variable agissant sur un objet.
- Le travail fourni par une force agissant sur un objet lorsque l’objet se déplace le long d’une trajectoire parallèle à la force est donné par où est le travail fourni, est l’intensité de la force agissant sur l’objet et est un segment infinitésimal de la trajectoire.
