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Fiche explicative de la leçon: Travail et intégration Mathématiques • Troisième secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser l’intégration pour déterminer le travail effectué par une force variable.

On rappelle que pour une force constante 𝐹 agissant sur un objet lorsque cet objet a un déplacement 𝑠, le travail fourni par la force 𝑊 est égal au produit scalaire de la force et du déplacement:𝑊=𝐹𝑠.

On peut également l’écrire comme 𝑊=𝐹𝑠𝜃,cos𝐹 est l’intensité de la force, 𝑠 est la norme du déplacement et 𝜃 est l’angle entre la force agissant sur l’objet et son déplacement.

Si 𝐹 et 𝜃 sont constants, en d’autres termes, si l’intensité de la force est constante et l’angle entre la force et le déplacement ne varie pas, la représentation graphique de 𝐹𝜃cos par rapport à 𝑠 ressemble à cela:

La valeur 𝐹𝜃cos reste constante sur la trajectoire empruntée par l’objet. Le travail fourni par la force 𝑊 est égal à l’aire sous la droite. L’aire sous la droite n’est qu’une simple région rectangulaire, l’aire est donc égale au produit de la hauteur du rectangle et de sa largeur:𝐹𝜃×𝑠cos, soit 𝐹𝑠𝜃cos.

On imagine maintenant que 𝐹 varie quand l’objet se déplace. On imagine que 𝐹 augmente d’abord avant d’atteindre une valeur constante. La représentation graphique de 𝐹𝜃cos par rapport à 𝑠 pourrait alors ressembler à ceci:

Pour trouver maintenant l’aire sous la courbe, le travail fourni, on doit diviser la zone en deux régions, un trapèze et un rectangle, et trouver l’aire de chacune d’elles.

On peut voir que lorsque la force sur l’objet devient plus complexe, cela nécessite de diviser l’aire sous la courbe en plus de régions pour pouvoir calculer l’aire totale, c’est-à-dire le travail fourni. Si la force agissant sur un objet est décrite par une fonction continue comme dans la représentation graphique ci-dessous, on peut utiliser l’intégration pour calculer l’aire sous la courbe et donc le travail fourni.

Pour calculer l’aire sous la courbe de la représentation graphique ci-dessus, on doit calculer l’intégrale de 𝐹𝜃cos par rapport à 𝑠:𝑊=(𝐹𝜃)𝑠.cosd

Si la force et le déplacement sont dans le même sens, 𝜃 vaut 0 et cos𝜃 est égal à 1, ce qui signifie que cette formule peut être simplifiée par 𝑊=𝐹𝑠.d

Bien que notre définition initiale du travail fourni par une force 𝑊=𝐹𝑠𝜃cos était valable pour des forces constantes, nous avons déterminé une formule du travail fourni par une force variable, à condition que la force soit dans le même sens que le déplacement. Nous avons donc établi une définition plus générale du travail fourni par une force.

Définition

Le travail fourni par une force agissant sur un objet lorsque l’objet se déplace le long d’une trajectoire parallèle à la force est donné par 𝑊=𝐹𝑠,d𝑊 est le travail fourni, 𝐹 est l’intensité de la force agissant sur l’objet et d𝑠 est un segment infinitésimal de la trajectoire.

Étudions quelques exemples.

Exemple 1: Calculer la quantité de travail fourni par une force à partir de l’expression de la force

Un corps se déplace le long de l’axe des 𝑥 sous l’action d’une force, 𝐹. Sachant que 𝐹=(8𝑠+12)N, 𝑠m est le déplacement par rapport à l’origine, déterminez le travail fourni par 𝐹 quand le corps se déplace de 𝑠=7m à 𝑠=8m.

Réponse

Dans cette question, une force variable agit sur un objet. Le mouvement de l’objet et la force agissant sur l’objet sont tous les deux le long de l’axe des 𝑥, on peut donc utiliser la formule 𝑊=𝐹𝑠d pour déterminer le travail fourni.

On doit déterminer le travail fourni par la force lorsque l’objet se déplace de 𝑠=7m à 𝑠=8m, ce qui signifie qu’il est égal à une intégrale ayant ces valeurs pour bornes. On commence par substituer 𝐹 et les bornes:𝑊=(8𝑠+12)𝑠.d

En intégrant 8𝑠+12, on obtient 𝑊=4𝑠+12𝑠, puis en calculant cette expression entre les deux bornes, on obtient 𝑊=4×(8)+12×(8)4×(7)+12×(7)𝑊=(352)(280)𝑊=72.

Comme 𝐹 est mesurée en newtons et 𝑠 est mesuré en mètres, cette valeur du travail est en newtons-mètres, ce qui est équivalent à des joules, le travail fourni est donc de 72 J.

Exemple 2: Calculer la quantité de travail fourni par une force à partir de l’expression de la force

Une force variable 𝐹 mesurée en newtons agit sur un corps, où 𝐹=3𝑠5. Déterminez le travail fourni par cette force pendant l’intervalle de 𝑠=4m à 𝑠=5m.

Réponse

Dans cette question, une force variable agit sur un objet. Le mouvement de l’objet et la force agissant sur celui-ci sont tous les deux en une dimension, on peut donc utiliser la formule 𝑊=𝐹𝑠d pour déterminer le travail fourni par la force.

On doit déterminer le travail fourni lorsque l’objet se déplace de 𝑠=4m à 𝑠=5m. Pour ce faire, on peut utiliser une intégrale ayant ces valeurs pour bornes. On commence par substituer 𝐹 et les bornes:𝑊=3𝑠5𝑠.d

En intégrant 3𝑠5, on obtient 𝑊=𝑠5𝑠, puis en calculant cette expression entre les bornes, on obtient 𝑊=55×545×4𝑊=(100)(44)𝑊=56.

Comme 𝐹 est mesurée en newtons et 𝑠 est mesuré en mètres, cette valeur du travail est en newtons-mètres, ce qui est équivalent à des joules, le travail fourni est donc de 56 J.

Exemple 3: Calculer la quantité de travail fourni par une force qui varie de manière sinusoïdale

Une particule se déplace en ligne droite sous l’action de la force 𝐹, 𝐹=𝜋𝑆sin et 𝑆 est mesuré en mètres. Calculez le travail fourni par la force 𝐹 lorsque la particule se déplace de 𝑆=0 à 𝑆=12.

Réponse

Dans cette question, une force variable agit sur une particule. Le mouvement de la particule et la force agissant sur elle sont tous les deux en une dimension, on peut donc utiliser la formule 𝑊=𝐹𝑆d pour déterminer le travail fourni par la force.

On doit déterminer le travail fourni par la force lorsque la particule se déplace de 𝑆=0m à 𝑆=12m. Pour ce faire, on peut utiliser une intégrale ayant ces valeurs pour bornes. On commence par substituer 𝐹 et les bornes:𝑊=(𝜋𝑆)𝑆.sind

En intégrant sin𝜋𝑆, on obtient 𝑊=1𝜋𝜋𝑆,cos puis en calculant cette expression entre les deux bornes, on obtient 𝑊=1𝜋𝜋×121𝜋(𝜋×0)𝑊=1𝜋𝜋21𝜋(0).coscoscoscos

Le cosinus de 0 est égal à 1 et le cosinus de 𝜋2 est égal à 0, donc 𝑊=1𝜋×01𝜋𝑊=1𝜋𝑊=1𝜋.

Comme 𝐹 est mesurée en newtons et 𝑆 est mesuré en mètres, cette valeur du travail est en newtons-mètres, ce qui est équivalent à des joules, le travail fourni est donc de 1𝜋J.

Exemple 4: Calculer la quantité de travail fourni par une force variable avec une constante inconnue

Un bloc se déplace en ligne droite sous l’action d’une force 𝐹=12𝑠+6𝑠+𝑐N, 𝑠mètres est le déplacement du corps à partir de sa position initiale. Le travail fourni par la force pour déplacer le bloc de 𝑠=0m à 𝑠=3m est 34 J. Déterminez le travail fourni par 𝐹 pour déplacer le bloc de 𝑠=3m à 𝑠=6m.

Réponse

Dans cette question, une force variable agit sur un objet. Le mouvement de l’objet et la force agissant sur celui-ci sont tous les deux en une dimension, on peut donc utiliser la formule 𝑊=𝐹𝑠d pour déterminer le travail fourni par la force.

On doit déterminer le travail fourni par la force lorsque l’objet se déplace de 𝑠=3m à 𝑠=6m, ce qui signifie que l’on doit calculer une intégrale de la force sur l’objet avec ces valeurs comme bornes. Il y a cependant une constante inconnue dans l’expression de la force, 𝑐, que l’on doit d’abord trouver, sinon cette inconnue apparaîtra dans le résultat de l’intégrale et on ne pourra pas déterminer le travail fourni.

Afin de déterminer la valeur de cette constante, on peut calculer l’intégrale de la force entre les bornes 0 m et 3 m. Sachant que la valeur du travail entre ces bornes est connue, on sera alors en mesure de former une équation à une seule inconnue, 𝑐. On commence par calculer cette intégrale:34=12𝑠+6𝑠+𝑐𝑠.d

En intégrant 12𝑠+6𝑠+𝑐, on obtient 34=4𝑠+3𝑠+𝑐𝑠, puis en calculant cette expression entre les deux bornes, on obtient 34=4×(3)+3×(3)+3𝑐4×(0)+3×(0)+0𝑐34=(4×27+3×9+3𝑐)34=135+3𝑐.

On peut alors réarranger l’équation pour déterminer 𝑐:34135=3𝑐101=3𝑐3𝑐=101𝑐=1013.

On a maintenant l’expression complète de 𝐹:𝐹=12𝑠+6𝑠1013.N

On peut en déduire une intégrale pour le travail fourni entre 𝑠=3m et 𝑠=6m:𝑊=12𝑠+6𝑠1013𝑠,d puis on suit les mêmes étapes que précédemment:𝑊=4𝑠+3𝑠1013𝑠𝑊=4×(6)+3×(6)1013×64×(3)+3×(3)1013×3𝑊=77034𝑊=736.J

Le travail fourni par la force entre 𝑠=3m et 𝑠=6m est 736 J.

Points clés

  • On peut utiliser l’intégration pour déterminer le travail fourni par une force variable agissant sur un objet.
  • Le travail fourni par une force agissant sur un objet lorsque l’objet se déplace le long d’une trajectoire parallèle à la force est donné par 𝑊=𝐹𝑠,d𝑊 est le travail fourni, 𝐹 est l’intensité de la force agissant sur l’objet et d𝑠 est un segment infinitésimal de la trajectoire.

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