Fiche explicative de la leçon : Coordonnées polaires Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment définir et tracer des points donnés en coordonnées polaires et comment faire des conversions entre les coordonnées cartésiennes et les coordonnées polaires d’un point.

Lorsqu’on considère des points dans un plan, on pense généralement aux coordonnées cartésiennes car c’est le système de coordonnées le plus répandu. Notamment, les coordonnées cartésiennes d’un point sont utilisées dans un mouvement linéaire où la spécification de l’axe du mouvement est simple et où le mouvement suit une trajectoire linéaire vers un emplacement spécifique.

Les coordonnées cartésiennes, en deux dimensions, définissent une position comme le déplacement linéaire à partir de l’origine selon deux axes mutuellement perpendiculaires. L’origine est le point d’intersection des axes, et les points sur le plan sont spécifiés par une paire de nombres (𝑥;𝑦). Ce système de coordonnées permet également des directions positives et négatives, par rapport à l’origine, et chaque pair de coordonnées définit un point unique dans l’espace.

On rappelle lorsqu’on utilise des coordonnées cartésiennes, on marque un point par sa distance le long de l’axe horizontal (gauche ou droite), notée 𝑥, et sa distance le long de l’axe vertical (haut ou bas), notée 𝑦, par rapport à l’origine.

Avec les coordonnées cartésiennes, on peut définir tout point dans l’espace par un ensemble unique de coordonnées données par la paire de nombres (𝑥;𝑦). Cependant, il existe d’autres façons de représenter la position d’un point dans le plan en utilisant une paire de coordonnées;nous allons explorer la méthode des coordonnées polaires. Ces coordonnées définissent une position dans l’espace en utilisant une combinaison d’unités radiales et angulaires, et un vecteur est spécifié par un déplacement en ligne droite à partir de l’origine et l’angle par rapport à l’axe des 𝑥 positifs. Il s’agit des coordonnées radiales et angulaires (𝑟;𝜃), qui indiquent le déplacement à partir de l’origine et la direction angulaire.

Les coordonnées polaires fournissent une méthode alternative pour tracer des points et des représentations graphiques;on peut souvent exprimer des courbes complexes en utilisant de simples fonctions polaires. Par exemple, 𝑟=1 représente tous les points de déplacement 1 par rapport à l’origine, qui est le cercle unité centré en l’origine. En coordonnées cartésiennes, cela est décrit par la courbe 𝑥+𝑦=1.

Les coordonnées polaires sont naturellement utilisées dans un mouvement non linéaire, par exemple, si le mouvement implique une trajectoire circulaire. Cela rend les coordonnées polaires utiles dans le calcul des équations du mouvement pour beaucoup de systèmes mécaniques. Elles ont également d’autres applications dans la vie courante, telles que les indicateurs de position dans les radars et les champs gravitationnels, les caractéristiques d’un microphone et le guidage de robots industriels dans diverses applications de production, pour n’en citer que quelques-unes.

Avec les coordonnées polaires, on marque un point par son déplacement par rapport à l’origine, noté 𝑟, et son angle par rapport à l’axe des 𝑥 positifs, noté 𝜃.

Ce sont des façons équivalentes de définir le même point.

La valeur absolue de la coordonnée radiale, |𝑟|, est égale à la longueur ou à la distance à partir de l’origine. D’après le théorème de Pythagore, la distance entre deux points (𝑥;𝑦) et (𝑎;𝑏) est définie par 𝐿=(𝑥𝑎)+(𝑦𝑏)..

Ainsi, pour tout point (𝑥;𝑦) et l’origine (𝑎;𝑏)=(0;0), cette distance est définie par 𝐿=𝑥+𝑦..

La coordonnée radiale est définie comme 𝑟±𝐿..

Si 𝑟 est négatif, cela signifie que le point se situe dans le quadrant du côté opposé de l’origine. On note aussi que la valeur absolue de la coordonnée radiale est égale à la longueur, étant donné que |𝑟|=𝐿 et 𝐿>0.

Sachant qu’il est possible de tracer un triangle rectangle à partir des coordonnées, on exprime les côtés du triangle en termes de sin𝜃 et cos𝜃.

Cela nous permet également d’exprimer les coordonnées cartésiennes (𝑥;𝑦) en termes de (𝑟;𝜃).

Définition : Convertir de coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes

On peut écrire les coordonnées cartésiennes (𝑥;𝑦) en termes de coordonnées polaires (𝑟;𝜃) comme 𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃.cossin.

Ainsi, si on a un point en coordonnées polaires, le déplacement par rapport à l’origine 𝑟, et l’angle 𝜃, on peut déterminer ce point en coordonnées cartésiennes, 𝑥 et 𝑦, en utilisant ces équations.

Par exemple, convertissons un point en coordonnées polaires en radians, en coordonnées cartésiennes, pour un angle aigu situé dans le premier quadrant.

Exemple 1: Déterminer les coordonnées cartésiennes d’un point donné en coordonnées polaires

Déterminez les coordonnées cartésiennes du point 1;𝜋4.

Réponse

Dans cet exemple, on veut déterminer les coordonnées cartésiennes pour une coordonnée polaire 1;𝜋4 située dans le premier quadrant, sachant que 𝜋40;𝜋2.

On rappelle que les coordonnées polaires définissent un point en fonction de son déplacement par rapport à l’origine, noté 𝑟, et sa direction angulaire par rapport à l’axe des 𝑥 positifs, notée 𝜃.

Pour tout point donné en coordonnées polaires (𝑟;𝜃), on peut trouver son équivalent en coordonnées cartésiennes, (𝑥;𝑦), en utilisant les formules 𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃.cossin.

Ainsi, lorsqu’on introduit la coordonnée radiale, 𝑟=1, et la coordonnée angulaire, 𝜃=𝜋4, on obtient 𝑥=1×𝜋4=22,cos et 𝑦=1×𝜋4=22.sin.

Donc, le point en coordonnées cartésiennes est 22,22..

L’angle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre est considéré comme positif, tandis que l’angle dans le sens des aiguilles d’une montre est négatif. Dans les exemples et les diagrammes précédents, les composantes angulaires étaient aiguës, car les points étaient dans le premier quadrant. Si un point se trouve dans un autre quadrant, comme indiqué sur le schéma ci-dessous, son angle n’est pas aigu.

En fait, bien que nous ayons dérivé les équations des coordonnées polaires 𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃cossin pour des angles aigus 0𝜃<𝜋2, on sait qu’ils restent valides pour tout angle 𝜃.

Considérons un exemple dans lequel il faut convertir un point, situé dans le deuxième quadrant avec un angle non aigu donné en coordonnées polaires en degrés, en coordonnées cartésiennes.

Exemple 2: Déterminer les coordonnées cartésiennes d’un point donné en coordonnées polaires

Sachant que les coordonnées polaires du point 𝐴 sont (4;120), déterminez les coordonnées cartésiennes de 𝐴.

Réponse

Dans cet exemple, on veut déterminer les coordonnées cartésiennes d’une coordonnée polaire (4;120) située dans le deuxième quadrant.

On rappelle que les coordonnées polaires définissent un point en fonction de son déplacement par rapport à l’origine, noté 𝑟, et sa direction angulaire par rapport à l’axe des 𝑥 positifs, notée 𝜃.

Pour tout point donné en coordonnées polaires (𝑟;𝜃), on peut trouver son équivalent en coordonnées cartésiennes, (𝑥;𝑦), en utilisant les formules 𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃.cossin.

Ainsi, lorsqu’on introduit la coordonnée radiale, 𝑟=4, et la coordonnée angulaire, 𝜃=120, on obtient 𝑥=4120=2,cos et 𝑦=4120=23.sin.

Donc, le point 𝐴 en coordonnées cartésiennes est 2,23..

Jusqu’ici, nous avons vu des exemples sur comment convertir un point, donné en coordonnées polaires, en coordonnées cartésiennes en utilisant la trigonométrie. Mais que se passe-t-il si on veut faire l’inverse, c’est-à-dire convertir un point, donné en coordonnées cartésiennes, en coordonnées polaires?

Commençons par rappeler les équations exprimant les composantes des coordonnées cartésiennes, 𝑥 et 𝑦, en termes des composantes des coordonnées polaires, 𝑟 et 𝜃:𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃.cossin

On les utilise pour écrire les composantes des coordonnées polaires, 𝑟 et 𝜃, en termes des composantes des coordonnées cartésiennes, 𝑥 et 𝑦, quel que soit le quadrant dans lequel le point se trouve.

Si on met chacun d’eux au carré et qu’on les additionne, en utilisant l’identité de Pythagore, on peut éliminer 𝜃 et montrer que ceux-ci satisfont 𝑥+𝑦=𝑟𝜃+𝑟𝜃=𝑟𝜃+𝜃=𝑟.cossincossin.

En outre, lorsqu’on divise l’équation de 𝑦 par l’équation de 𝑥, on peut éliminer 𝑟, pour 𝑟0, pour obtenir 𝑦𝑥=𝑟𝜃𝑟𝜃=𝜃𝜃=𝜃.sincossincostan.

Notons que cela n’est valide que pour 𝑥0. On a un cas spécial lorsque 𝑥=0, 𝑦=𝑎 ou (0;𝑎) en coordonnées cartésiennes. Pour cela, on a 𝑟𝜃=0,cos ce qui mène à 𝜃=𝜋2, 𝜃=𝜋2, ou 𝑟=0. On peut ignorer le cas où 𝑟=0, car cela impliquerait 𝑦=0, qui correspond à l’origine (0;0), qui, en coordonnées polaires, correspond à (0;𝜃), pour tout angle 𝜃.

Ainsi, 𝜃=𝜋2 ou 𝜃=𝜋2, qui correspondent à l’axe des 𝑦. Ces angles placent le point sur l’axe des 𝑦 et une représentation possible pour la coordonnée radiale (pour 𝑟>0 ) est égal à la valeur absolue de la coordonnée 𝑦, 𝑟=|𝑎|. Une représentation des coordonnées polaires est 𝑎;𝜋2, pour 𝑎>0, et 𝑎;𝜋2, pour 𝑎<0.

Donc, si 𝑥0, on a l’équation suivante pour déterminer l’angle 𝜃:tan𝜃=𝑦𝑥.

L’ensemble image de la fonction réciproque de la tangente est 𝜋2;𝜋2 lorsque le domaine de la fonction tangente est restreint au même intervalle, appelée la branche principale. Cela permet de garantir que la fonction tangente soit bijective de sorte que la fonction réciproque de la tangente ait une valeur unique, appelée la valeur principale.

Ainsi, tant que 𝜃𝜋2;𝜋2, on peut prendre la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour obtenir 𝜃=𝑦𝑥.tan.

Les coordonnées angulaires 𝜃𝜋2;𝜋2 correspondent aux premier et quatrième quadrants, ou les quadrants où 𝑥>0.

Dans l’exemple suivant, nous allons convertir un point donné en coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires en degrés.

Exemple 3: Convertir des coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires

Convertissez (2;3) en coordonnées polaires. Donnez l’angle en degrés arrondi au dixième près.

Réponse

Dans cet exemple, on veut déterminer les coordonnées polaires en degrés, pour les coordonnées cartésiennes données.

On rappelle que les coordonnées polaires définissent un point en fonction de son déplacement par rapport à l’origine, noté 𝑟, et sa direction angulaire par rapport à l’axe des 𝑥 positifs, notée 𝜃.

On peut exprimer les coordonnées cartésiennes (𝑥;𝑦) en termes de coordonnées polaires (𝑟;𝜃) comme 𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃.cossin.

Déterminons à présent les coordonnées polaires du point (2;3) en utilisant la représentation graphique directement avec la définition. La coordonnée radiale est juste le déplacement de l’origine au point (2;3), qu’on peut déterminer en utilisant le théorème de Pythagore sur le triangle rectangle, comme le montre la figure. On veut trouver l’hypoténuse de ce triangle en utilisant 𝑟=2+3=13=3,605551..

Étant donné que le point (2;3) est situé dans le premier quadrant, la coordonnée angulaire 𝜃 en coordonnées polaires sera l’angle positif dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des 𝑥 positifs, comme le montre la figure. On peut former un triangle rectangle d’angle 𝜃 et des côtés de longueurs 2 et 3. Sachant que 𝜃 est un angle aigu, on peut écrire ceci en termes des côtés en utilisant la réciproque de la tangente comme suit 𝜃=32=56,309932.tan.

On pourrait aussi arriver à cette réponse en utilisant le fait qu’il est possible de convertir la coordonnée cartésienne (𝑥;𝑦) située dans le premier quadrant en coordonnées polaires (𝑟;𝜃) en utilisant 𝑟=𝑥+𝑦,𝜃=𝑦𝑥,0<𝜃<90.tanpour.

Cela donne les mêmes coordonnées radiale et angulaire lorsqu’on substitue 𝑥=2 et 𝑦=3.

Ainsi, au dixième près, les coordonnées polaires sont (3,6,56,3)..

Dans l’exemple précédent, nous avons converti un point en coordonnées cartésiennes qui se trouve dans le premier quadrant en coordonnées polaires. Comme on le voit dans cet exemple, il est possible de calculer la coordonnée angulaire d’un point en utilisant 𝜃=𝑦𝑥,tan dans les premier et quatrième quadrants. Cependant, ce n’est pas possible si le point se situe dans le deuxième ou troisième quadrant.

Pour les deuxième et troisième quadrants, on doit ajouter ou soustraire une valeur de 𝜋radians, ou 180degrés à l’angle 𝜃, pour ajuster la coordonnée angulaire de sorte que le point se situe dans le bon quadrant. Cela n’affecte pas la fonction tangente elle-même puisqu’on a les identités tantantan𝜃=(𝜃+180)=(𝜃180), ou plus généralement tantan𝜃=(𝜃+180𝑘),𝑘.

Pour visualiser cela, considérons un point en coordonnées cartésiennes qui se situe dans le deuxième quadrant, (𝑥;𝑦)=(𝑎;𝑏), avec 𝑎>0 et 𝑏>0.

La coordonnée angulaire 𝜃 pour ce point en coordonnées polaires sera l’angle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des 𝑥 positifs et l’angle 𝛼 est mesuré à partir de l’axe des 𝑥 négatifs, comme le montre la figure. On peut former un triangle rectangle d’angle 𝛼 et des côtés de longueurs 𝑎 et 𝑏. Sachant que 𝛼 est un angle aigu, on peut écrire ceci en termes des côtés en utilisant la réciproque de la tangente comme suit 𝛼=𝑏𝑎.tan.

On a aussi 𝛼+𝜃=180, et lorsqu’on substitue l’angle 𝛼, on peut réarranger l’expression pour déterminer 𝜃=𝛼+180=𝑏𝑎+180=𝑏𝑎+180,tantan où, pour la dernière égalité, on a utilisé le fait que la fonction tangente, et donc la fonction réciproque de la tangente, est une fonction impaire. Comme on sait que (𝑥;𝑦)=(𝑎;𝑏), cela équivaut à 𝜃=𝑦𝑥+180.tan.

Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer les coordonnées polaires d’un point qui se situe dans le deuxième quadrant.

Exemple 4: Convertir des coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires

Convertissez (2;5) en coordonnées polaires. Donnez l’angle en radians, arrondi au centième près.

Réponse

Dans cet exemple, on veut déterminer les coordonnées polaires (𝑟;𝜃) en radians, pour les coordonnées cartésiennes données (2;5).

On rappelle que les coordonnées polaires définissent un point en fonction de son déplacement par rapport à l’origine, noté 𝑟, et sa direction angulaire par rapport à l’axe des 𝑥 positifs, notée 𝜃.

On peut exprimer les coordonnées cartésiennes (𝑥;𝑦) en termes de coordonnées polaires (𝑟;𝜃) comme 𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃.cossin.

Déterminons à présent les coordonnées polaires du point (2;5) en utilisant la représentation graphique directement avec la définition. La coordonnée radiale est juste le déplacement de l’origine au point (2;5), qu’on peut déterminer en utilisant le théorème de Pythagore sur le triangle rectangle, comme le montre la figure. On veut calculer l’hypoténuse de ce triangle en utilisant 𝑟=2+5=29=5,385164..

Sachant que le point (2;5) est situé dans le deuxième quadrant, la coordonnée angulaire 𝜃 en coordonnées polaires sera l’angle positif dans le sens inverse des aiguilles d’une montre par rapport à l’axe des 𝑥 positifs et l’angle 𝛼 est mesuré à partir de l’axe des 𝑥 négatifs, comme le montre la figure. On peut tracer un triangle rectangle d’angle 𝛼 et des côtés de longueurs 2 et 5. Étant donné que 𝛼 est un angle aigu, on peut écrire ceci en termes des côtés en utilisant la réciproque de la tangente comme suit 𝛼=52.tan.

On a aussi 𝛼+𝜃=𝜋, et lorsqu’on substitue l’angle 𝛼, on peut réarranger cela pour obtenir 𝜃=𝛼+𝜋=52+𝜋=1,951302.tan.

On pourrait aussi arriver à cette réponse en utilisant le fait qu’il est possible de convertir la coordonnée cartésienne (𝑥;𝑦) situé dans le deuxième quadrant en coordonnées polaires (𝑟;𝜃) en utilisant 𝑟=𝑥+𝑦,𝜃=𝑦𝑥+𝜋,𝜋2<𝜃<𝜋.tanpour.

Cela produit les mêmes coordonnées radiale et angulaire lorsqu’on substitue 𝑥=2 et 𝑦=5.

Ainsi, les coordonnées polaires arrondies au centième près sont (5,39,1,95)..

Pour le troisième quadrant, on peut montrer, de manière similaire, qu’on doit soustraire 180 de tan𝑦𝑥 pour obtenir la coordonnée angulaire 𝜃 dans le bon quadrant.

Les coordonnées polaires ne sont pas uniques et il y a plusieurs façons de représenter le même point. À titre d’exemple, déterminons les coordonnées polaires du point (1;1) en coordonnées cartésiennes.

La coordonnée radiale 𝑟 est le déplacement par rapport à l’origine, qu’on peut déterminer en utilisant le théorème de Pythagore sur le triangle rectangle de côtés de longueur 1 et d’angle 𝜃. Notamment, 𝑟=1+1=2, qui est un choix particulier pour les coordonnées radiales avec 𝑟>0, mais on pourrait également utiliser 𝑟=2.

Il y a plusieurs façons d’exprimer la coordonnée angulaire 𝜃. L’une d’elles est l’angle positif dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des 𝑥 positifs, qui, à partir du triangle rectangle, nous donne la tangente comme étant le rapport entre le côté opposé et le côté adjacent:tan𝜃=11=1.

Étant donné que le point se situe dans le premier quadrant et 𝜃 est un angle aigu sur la figure, on peut déterminer l’angle directement à partir de la réciproque de la tangente:𝜃=(1)=45.tan

Ainsi, une coordonnée polaire pour décrire le point (1;1) est 2;45.

On peut déterminer une autre coordonnée polaire si on utilise l’angle négatif dans le sens des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des 𝑥 positifs qui donnerait un point équivalent à 2;45360=2;315. En fait, si on effectue une révolution complète à partir de ce point, dans le sens des aiguilles d’une montre ou dans le sens inverse, on reviendrait au même point. Ainsi, une autre représentation serait 2;45+360=2;405.

Cela montre une différence clé lorsqu’on utilise des coordonnées polaires, car cela permet à un nombre infini de paires de coordonnées de décrire un point donné. Ceci parce qu’on peut ajouter n’importe quel multiple entier d’une révolution complète ( 360 ou 2𝜋 ) à la coordonnée angulaire 𝜃 pour obtenir un point équivalent en coordonnées polaires. Cela est dû au fait que les fonctions trigonométriques, qui sont utilisées pour définir les coordonnées polaires, sont elles-mêmes périodiques.

La coordonnée radiale peut aussi être positive ou négative, et lorsque des coordonnées radiales négatives sont utilisées, la coordonnée angulaire situe l’emplacement dans le quadrant opposé par rapport au point prévu, bien que généralement on garde la coordonnée radiale positive et on modifie l’angle en conséquence en ajoutant ou en soustrayant 𝜋 ou 180 au 𝜃 pour situer l’emplacement dans le quadrant opposé.

On peut résumer ces conditions d’équivalence comme suit.

Définition : Condition de périodicité pour les coordonnées polaires

Si (𝑟;𝜃) décrit les coordonnées polaires, alors on peut exprimer les coordonnées polaires équivalentes comme (𝑟,𝜃)=(𝑟,𝜃+2𝜋𝑛)()=(𝑟,𝜃+360𝑛)(),radiansdegrés et (𝑟,𝜃)=(𝑟,𝜃+(2𝑛+1)𝜋)()=(𝑟,𝜃+180(2𝑛+1))(),radiansdegrés pour tout 𝑛.

En d’autres termes, on additionne un multiple entier pair de 𝜋 (ou 180) pour les coordonnées radiales positives et un multiple entier impair de 𝜋 (ou 180) pour les coordonnées radiales négatives. Pour la deuxième condition, on considère généralement les points comme (𝑟,𝜃)=(𝑟,𝜃±𝜋)..

Considérons à présent un exemple dans lequel nous devons déterminer plusieurs représentations équivalentes d’une coordonnée polaire.

Exemple 5: Représentations multiples des coordonnées polaires

Laquelle des paires ordonnées (4;30), (4;330), (4;390), et (4;390) ne décrit pas la position du point 𝐵 sur la figure?

Réponse

Dans cet exemple, on veut trouver les représentations équivalentes de la même coordonnée polaire, en degrés, et déterminer laquelle des coordonnées données ne décrit pas la position de ce point.

On rappelle que les coordonnées polaires définissent un point en fonction de son déplacement par rapport à l’origine, noté 𝑟, et sa direction angulaire par rapport à l’axe des 𝑥 positifs, notée 𝜃.

Ces coordonnées ne sont pas uniques, car on peut ajouter un multiple entier d’une révolution complète ( 360 ) à la coordonnée angulaire 𝜃 pour obtenir un point équivalent en coordonnées polaires. Notamment, (𝑟,𝜃)=(𝑟,𝜃+360𝑛),𝑛.

Une autre façon d’avoir une représentation équivalente consiste à utiliser un rayon négatif qui situe le point dans le quadrant opposé et est équivalent à additionner ou soustraire une demi-révolution ( 180);en prenant la condition de périodicité en compte, on peut écrire (𝑟,𝜃)=(𝑟,𝜃+180+360𝑛),𝑛..

Sur le diagramme, on peut lire les coordonnées polaires de 𝐵, qui ont une coordonnée radiale de 4 et une coordonnée angulaire de 30 et donc la coordonnée polaire est (4;30).

Étant donné que la coordonnée angulaire a une périodicité de 360, on peut additionner et soustraire une révolution complète pour trouver des représentations équivalentes;notamment, 𝜃=30+360=330, ou 𝜃=30360=390..

Donc, deux représentations équivalentes sont les coordonnées polaires (4;330) et (4;390).

Le point restant (4;390) se situe dans le premier quadrant, mais l’angle donné est en dehors de l’intervalle 180<𝜃180 et on peut trouver l’angle dans cet intervalle en soustrayant 360 de l’angle pour écrire le point sous une forme standardisée. Ainsi, le point équivalent est (4,390)=(4,390360)=(4,30)..

Bien que la coordonnée radiale soit la même, elle est clairement différente du point 𝑃, car elle se trouve dans un quadrant complètement différent de la coordonnée angulaire. On peut aussi tracer ce point par rapport au point 𝐵.

Une autre façon de vérifier si deux points en coordonnées polaires sont les mêmes ou non est de calculer la distance entre ces deux points. Si la distance est égale à zéro, alors les deux points sont les mêmes, tandis qu’une valeur non nulle indique qu’ils ne le sont pas.

Donc, la paire ordonnée qui ne décrit pas le point 𝐵 sur la figure est (4,390)..

Ainsi, en raison de ces équivalences lorsqu’on écrit des coordonnées polaires, afin d’exprimer les coordonnées polaires sous une forme standardisée avec 𝑟>0 et 𝜋<𝜃𝜋 en radians ou 180<𝜃180 en degrés, on doit parfois ajuster la valeur de la coordonnée angulaire 𝜃.

Les conventions que nous utilisons considèrent l’angle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre comme positif et dans le sens des aiguilles d’une montre comme négatif. Pour les premier et deuxième quadrants, l’angle est dans le sens inverse des aiguilles d’une montre par rapport à l’axe des 𝑥 positifs, tandis que pour les troisième et quatrième quadrants, l’angle est dans le sens des aiguilles d’une montre par rapport à l’axe des 𝑥 positifs.

Nous pouvons résumer ce que nous avons couvert jusqu’à présent en une définition, qui peut être utilisée pour convertir un point d’un repère vers un autre dans n’importe quel quadrant.

Définition : Convertir de coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires

Une représentation possible des coordonnées polaires (𝑟;𝜃) avec 𝑟0 peut être exprimé en termes de coordonnées cartésiennes (𝑥;𝑦) comme 𝑟=𝑥+𝑦,𝜃=𝑦𝑥𝑥>0,𝑦𝑥+(180𝜋)𝑥<0,𝑦>0,𝑦𝑥(180𝜋)𝑥<0,𝑦<0,90𝜋2𝑥=0,𝑦>0,90𝜋2𝑥=0,𝑦<0,tanpourtanoupourtanoupouroupouroupour pour 𝜋<𝜃𝜋 en radians ou 180<𝜃180 en degrés.

L’origine (0;0) en coordonnées cartésiennes, avec 𝑥=0 et 𝑦=0, a un cas particulier où les coordonnées polaires peuvent être représentées par 𝑟=0 ou (0;𝜃) pour tout angle 𝜃.

On peut efficacement communiquer cette information avec le diagramme suivant.

Une autre façon d’exprimer les coordonnées polaires de tous les quadrants est de définir ̂𝑟=𝑟𝑥>0,𝑟𝑥<0,̂𝜃=𝑦𝑥,𝑥0,sisitanpourtout avec les coordonnées polaires ̂𝑟;̂𝜃. En d’autres termes, on peut définir la coordonnée angulaire pour tout 𝑥0 par la fonction réciproque de la tangente sans avoir à ajouter ou soustraire 𝜋 ou 180, mais plutôt en changeant le signe de la coordonnée radiale pour des quadrants spécifiques. Notamment, pour les premier et quatrième quadrants où 𝑥>0, on a ̂𝑟=𝑟, et pour les deuxième et troisième quadrants où 𝑥<0, on a ̂𝑟=𝑟. Cela fonctionne en raison de la propriété ̂𝑟,̂𝜃=𝑟,̂𝜃=𝑟,̂𝜃±𝜋,̂𝜃±𝜋=𝑦𝑥±𝜋=𝜃,tan qui est équivalente à la définition de 𝜃 pour le deuxième et le troisième quadrant ( 𝑥<0 ), où il faut additionner ou soustraire 𝜋 de la réciproque de la tangente.

À titre d’exemple, considérons les points (4;3), (4;3), (4;3), et (4;3) en coordonnées cartésiennes, où chaque point est situé dans les différents quadrants, comme indiqué sur le graphique. On veut déterminer les coordonnées polaires de ces points de manière standardisée et en degrés avec 180<𝜃180.

La coordonnée radiale 𝑟 pour ces points en coordonnées polaires sera la même, car 𝑟=4+3=(4)+3=(4)+(3)=4+(3)=5, et on prend 𝑟>0 pour la forme standardisée.

La différence sera avec la coordonnée angulaire 𝜃, car cela déterminera la direction et, donc, dans quel quadrant le point en coordonnées polaires se situera.

Le point (4;3) est dans le premier quadrant et on peut déterminer la coordonnée angulaire à partir de la formule générale comme 𝜃=34=36,869897645.tan.

Comme prévu, cet angle est aigu, car 0𝜃<90, qui situe le point dans le premier quadrant, et l’angle est positif, ce qui représente la direction dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des 𝑥 positifs.

Le point (4;3) est dans le deuxième quadrant et la coordonnée angulaire est 𝜃=34+180=34+180=36,869897645+180=143,13010235.tantan.

Comme prévu, on a 90<𝜃<180, qui situe le point dans le deuxième quadrant, et l’angle est positif, ce qui représente le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des 𝑥 positifs.

Le point (4;3) est dans le troisième quadrant et la coordonnée angulaire est 𝜃=34180=34180=36,869897645180=143,13010235.tantan.

Comme prévu, on a 180<𝜃<90, qui situe le point dans le troisième quadrant, et l’angle est négatif, ce qui représente le sens des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des 𝑥 positifs.

Enfin, le point (4;3) est dans le quatrième quadrant et la coordonnée angulaire est 𝜃=34=34=36,869897645.tantan.

Comme prévu, on a 90<𝜃<0, qui situe le point dans le quatrième quadrant, et l’angle est négatif, ce qui représente le sens des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des 𝑥 positifs.

Ainsi, une représentation possible des coordonnées polaires, au centième près, des points en coordonnées cartésiennes est (𝑥,𝑦)(𝑟,𝜃),(4,3)(5,36,87),(4,3)(5,143,13),(4,3)(5,143,13),(4,3)(5,36,87)..

On pourrait aussi utiliser un rayon négatif pour représenter un point dans le quadrant opposé comme (𝑟;𝜃)=(𝑟;𝜃±180);c’est-à-dire (5;143,13) est équivalent à (5;36,87), et (5;36,87) est équivalent à (5;143,13).

Considérons à présent un exemple dans lequel on convertit un point, donné en coordonnées cartésiennes dans le quatrième quadrant, en coordonnées polaires en radians.

Exemple 6: Convertir des coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires

Représentez le point avec des coordonnées cartésiennes (1;1) en termes de coordonnées polaires.

  1. 2;𝜋4
  2. 2;𝜋4
  3. 2;𝜋4
  4. 2;𝜋4
  5. 2;𝜋4

Réponse

Dans cet exemple, on veut déterminer les coordonnées polaires (𝑟;𝜃) en radians, pour les coordonnées cartésiennes données (1;1).

On rappelle que les coordonnées polaires définissent un point en fonction de son déplacement par rapport à l’origine, noté 𝑟, et sa direction angulaire par rapport à l’axe des 𝑥 positifs, notée 𝜃. On utilise les conventions selon lesquelles l’angle 𝜃 est l’angle positif dans le sens inverse des aiguilles d’une montre dans les premier et deuxième quadrants et l’angle négatif dans le sens des aiguilles d’une montre dans les troisième et quatrième quadrants, et toutes les options sont données sous cette forme. On limite aussi les angles à 𝜋<𝜃𝜋, afin de les écrire sous une forme standardisée.

On peut exprimer les coordonnées cartésiennes (𝑥;𝑦) en termes des coordonnées polaires (𝑟;𝜃) comme 𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃.cossin.

Les coordonnées polaires (𝑟;𝜃) ne sont pas uniques et il y a des façons équivalentes de décrire le même point, car les fonctions trigonométriques utilisées pour les définir sont périodiques.

Déterminons à présent les coordonnées polaires du point (1;1) sous une forme standardisée en utilisant la définition. La coordonnée radiale est juste le déplacement de l’origine au point (1;1), qu’on peut déterminer en utilisant le théorème de Pythagore sur le triangle rectangle, comme le montre la figure. On veut déterminer l’hypoténuse de ce triangle en utilisant 𝑟=1+1=2.

Étant donné que le point (1;1) est situé dans le quatrième quadrant, la coordonnée angulaire 𝜃 en coordonnées polaires sera l’angle négatif dans le sens des aiguilles d’une montre de l’axe des 𝑥 positifs, comme le montre la figure. La mesure positive de cet angle est 𝛼 et donc 𝜃=𝛼.

On peut former un triangle rectangle d’angle 𝛼 et de côtés de longueur 1. Étant donné que 𝛼 est un angle aigu, on peut écrire ceci en termes des côtés en utilisant la réciproque de la tangente comme suit 𝛼=11=𝜋4.tan.

Ainsi, on a 𝜃=𝜋4. On pourrait aussi arriver à cette réponse en utilisant le fait qu’il est possible de convertir la coordonnée cartésienne (𝑥;𝑦) située dans le quatrième quadrant en coordonnées polaires (𝑟;𝜃) en utilisant 𝑟=𝑥+𝑦,𝜃=𝑦𝑥,𝜋2<𝜃<0.tanpour.

Cela donne les mêmes coordonnées radiale et angulaire lorsqu’on substitue 𝑥=1 et 𝑦=1.

Ainsi, les coordonnées polaires sont 2,𝜋4..

Cela correspond à l’option B.

On peut également utiliser un quadrillage polaire pour les coordonnées polaires, qui est représenté comme une série de cercles concentriques rayonnant depuis l’origine du plan de coordonnées. La première coordonnée est un rayon 𝑟 ou la longueur du segment à partir de l’origine et l’angle 𝜃 indique la direction. Considérons le point 2;𝜋4 en coordonnées polaires comme indiqué sur le diagramme avec le quadrillage polaire.

Ce quadrillage peut également être utilisé dans des applications de navigation. Par exemple, si un voilier fait face à des intempéries sur 12 km à partir du port et est emporté par un vent fort, on peut utiliser ce quadrillage polaire avec des coordonnées polaires pour indiquer l’emplacement du voilier à la garde côtière.

Ensuite, regardons comment on peut utiliser un graphique avec un quadrillage polaire pour déterminer les coordonnées polaires d’un point spécifique.

Exemple 7: Représentation graphique des coordonnées polaires

Considérez les points tracés sur le graphique.

Écrivez les coordonnées polaires de 𝐶, donnant l’angle 𝜃 dans l’étendue 𝜋<𝜃𝜋.

Réponse

Dans cet exemple, on veut déterminer les coordonnées polaires d’un point particulier, spécifiées sur un quadrillage polaire.

On rappelle que les coordonnées polaires définissent un point en fonction de son déplacement par rapport à l’origine, noté 𝑟, et sa direction angulaire par rapport à l’axe des 𝑥 positifs, notée 𝜃. Un quadrillage polaire pour les coordonnées polaires est représenté comme une série de cercles concentriques irradiant à partir de l’origine du plan.

D’après le graphique avec le quadrillage polaire, chaque cercle augmente son rayon de 0,5 par rapport au dernier, à partir de 𝑟=0,5 jusqu’à 𝑟=2,5. En d’autres termes, le rayon est 0,5𝑘 pour 𝑘=1;2;3;4;5, avec le 𝑘𝑖𝑚𝑒 cercle concentrique à partir du plus proche de l’origine.

Le point 𝐶 se situe dans le quatrième quadrant et sur le deuxième cercle concentrique qui a un rayon de 0,5×2=1.

Chaque segment ou rayon représente un angle de 𝜋12, à partir de 𝜃=0 et fait le tour du cercle.

Le point 𝐶 est entre le rayon de l’argument 5𝜋3 et celui de 11𝜋6 comme indiqué sur le graphique.

Le point 𝐶 est sur le rayon de l’argument 125𝜋3+11𝜋6=7𝜋4..

Mais ceci est l’angle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des 𝑥 positifs. Sachant qu’on a besoin que 𝜃 soit dans l’intervalle 𝜋<𝜃𝜋 et l’angle est considéré dans le sens des aiguilles d’une montre pour ce quadrant, la direction négative à partir de l’axe des 𝑥 positifs, on doit soustraire 2𝜋 pour obtenir 𝜃=7𝜋42𝜋=𝜋4..

De manière équivalente, on peut également déterminer l’angle graphiquement, car 𝐶 est formé à partir de 3 angles de 𝜋12 dans le sens des aiguilles d’une montre et sera négatif:𝜃=3×𝜋12=𝜋4..

Ainsi, les coordonnées polaires de 𝐶 sont définies par 1,𝜋4..

Pour deux points quelconques en coordonnées polaires, on peut également calculer la distance entre les points en coordonnées polaires en utilisant la définition suivante.

Définition : Distance entre deux points en coordonnées polaires

La distance entre deux points (𝑟;𝜃) et (𝑟;𝜃) en coordonnées polaires est définie par 𝑑=𝑟+𝑟2𝑟𝑟(𝜃𝜃).cos.

On peut dériver cette expression à partir de la distance entre deux points (𝑥;𝑥) et (𝑥;𝑦) en coordonnées cartésiennes, définie par 𝑑=(𝑥𝑥)+(𝑦𝑦)..

On peut utiliser cette expression pour déterminer la distance entre deux points (𝑟;𝜃) et (𝑟;𝜃) en coordonnées polaires en convertissant les coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires en utilisant 𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃,cossin pour 𝑖=1;2. Ainsi, la distance en coordonnées polaires est 𝑑=(𝑥𝑥)+(𝑦𝑦)=(𝑟𝜃𝑟𝜃)+(𝑟𝜃𝑟𝜃)=𝑟𝜃2𝑟𝑟𝜃𝜃+𝑟𝜃+𝑟𝜃2𝑟𝑟𝜃𝜃+𝑟𝜃=𝑟𝜃+𝜃+𝑟𝜃+𝜃2𝑟𝑟(𝜃𝜃+𝜃𝜃).coscossinsincoscoscoscossinsinsinsincossincossincoscossinsin.

Si on utilise l’identité de Pythagore et la formule de différence d’angle pour le cosinus, coscoscossinsin(𝜃𝜃)=𝜃𝜃+𝜃𝜃, on peut réécrire l’expression pour la distance comme suit:𝑑=𝑟+𝑟2𝑟𝑟(𝜃𝜃).cos.

Si on reconsidère l’exemple du voilier, on suppose que les emplacements du port et du voilier sont (12;60) et (9;210), respectivement, comme indiqué sur la figure. Pour spécifier les coordonnées polaires sous une forme standardisée, on peut modifier l’angle du voilier, étant donné que le deuxième angle, 210, n’est pas dans l’intervalle 180<𝜃180. La coordonnée polaire (9;210) est la même que (9;210360)=(9;150).

Ainsi, le voilier est situé à (9;150) et le port est situé à (12;60). On peut calculer la distance entre le port et le voilier en substituant 𝑟=12, 𝜃=60 et 𝑟=9, 𝜃=150:𝑑=12+92×12×9(60+150)=225216210=225+1083.coscos.

Notons que pour cette formule de distance, il n’est pas nécessaire d’écrire les coordonnées polaires sous une forme standardisée car cela fonctionne pour tout angle 𝜃, car la fonction cosinus est périodique. Lorsqu’on utilise les coordonnées (9;210) pour le voilier et (12;60) pour le port directement, on peut substituer 𝑟=12, 𝜃=60 et 𝑟=9, 𝜃=210 pour obtenir le même résultat:𝑑=12+92×12×9(60210)=225216(150)=225+1083.coscos.

Ainsi, la distance entre le port et le voilier, au centième près, est 𝑑=20,30.km.

Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment déterminer la distance entre deux points en coordonnées polaires.

Exemple 8: Déterminer la distance entre deux points en coordonnées polaires

Déterminez la distance entre les points en coordonnées polaires (2;𝜋) et 3;3𝜋4. Donnez votre réponse au centième près.

Réponse

Dans cet exemple, on veut déterminer la distance entre deux points en coordonnées polaires, exprimées en radians.

On rappelle que les coordonnées polaires définissent un point en fonction de son déplacement par rapport à l’origine, noté 𝑟, et sa direction angulaire par rapport à l’axe des 𝑥 positifs, notée 𝜃.

La distance entre deux points (𝑟;𝜃) et (𝑟;𝜃) en coordonnées polaires est définie par 𝑑=𝑟+𝑟2𝑟𝑟(𝜃𝜃).cos.

On peut substituer 𝑟=2, 𝜃=𝜋 et 𝑟=3, 𝜃=3𝜋4:𝑑=2+32×2×3𝜋+3𝜋4=2+32×2×3×22=1362=2,124786724.cos.

Donc, la distance au centième près est de 2,12.

Maintenant, comment peut-on savoir si deux points (𝑟;𝜃) et (𝑟;𝜃) coïncident (c.-à-d. qu’ils décrivent le même point)?D’après les conditions de périodicité des points équivalents en coordonnées polaires, deux points coïncident si 𝑟=𝑟,𝜃=𝜃+2𝑛𝜋, ou 𝑟=𝑟,𝜃=𝜃+(2𝑛+1)𝜋, pour tout 𝑛. On peut combiner les deux conditions pour en faire une seule:𝑟=(1)𝑟,𝜃=𝜃+𝑘𝜋, pour tout 𝑘.

Une autre façon de vérifier si deux points en coordonnées polaires coïncident ou non est de calculer la distance entre les deux points. Si la distance est égale à zéro, alors les deux points coïncident, tandis qu’une valeur non nulle indique qu’ils ne le sont pas. On peut vérifier cela en utilisant la formule de distance en coordonnées polaires, en substituant 𝑟=(1)𝑟 et 𝜃=𝜃+𝑘𝜋:𝑑=𝑟+𝑟2𝑟𝑟(𝜃𝜃)=(1)𝑟+𝑟2(1)𝑟×𝑟(𝜃+𝑘𝜋𝜃)=2𝑟2(1)𝑟(𝑘𝜋).coscoscos.

Sachant que cos(𝑘𝜋)=(1), la distance devient 𝑑=2𝑟2(1)𝑟×(1)=2𝑟2𝑟=0..

Comme prévu, la distance entre deux coordonnées décrivant le même point est nulle. Pour une distance non nulle, les deux coordonnées ne décrivent pas le même point.

Points clés

  • Une coordonnée polaire est de la forme (𝑟;𝜃), et indique le déplacement par rapport à l’origine et l’angle par rapport à l’axe des 𝑥 positifs.
  • Les conventions que nous utilisons considèrent l’angle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre comme positif et dans le sens des aiguilles d’une montre comme négatif. Pour les premier et deuxième quadrants, l’angle 𝜃 est dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des 𝑥 positifs, tandis que pour les troisième et quatrième quadrants, l’angle 𝜃 est dans le sens des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des 𝑥 positifs.
  • Pour convertir les coordonnées polaires (𝑟;𝜃) en coordonnées cartésiennes (𝑥;𝑦), on utilise 𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃.cossin.
  • Pour convertir les coordonnées cartésiennes (𝑥;𝑦) en coordonnées polaires (𝑟;𝜃), une représentation possible est définie par 𝑟=𝑥+𝑦,𝜃=𝑦𝑥𝑥>0,𝑦𝑥+(180𝜋)𝑥<0,𝑦>0,𝑦𝑥(180𝜋)𝑥<0,𝑦<0,90𝜋2𝑥=0,𝑦>0,2703𝜋2𝑥=0,𝑦<0,tanpourtanoupourtanoupouroupouroupour pour 𝜋<𝜃𝜋 en radians ou 180<𝜃180 en degrés.
  • On peut trouver des coordonnées polaires équivalentes en additionnant ou en soustrayant un multiple entier d’une révolution complète ( 360 ou 2𝜋 ), ou en utilisant un rayon négatif qui place la coordonnée dans le quadrant opposé, ce qui équivaut à additionner ou soustraire une demi-révolution ( 180 ou 𝜋 ) à partir de 𝜃. Notamment, on a (𝑟,𝜃)=(𝑟,𝜃+2𝜋𝑛)=(𝑟,𝜃+𝜋+2𝜋𝑛),𝑛..
  • La distance entre deux points en coordonnées polaires (𝑟;𝜃) et (𝑟;𝜃) est définie par 𝑑=𝑟+𝑟2𝑟𝑟(𝜃𝜃).cos.

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