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Fiche explicative de la leçon: Applications de la deuxième loi de Newton : deux masses suspendues à une poulie Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des problèmes sur le mouvement d’un système de deux corps suspendus verticalement par une corde à une poulie lisse.

On considère deux corps rectangulaires uniformes reliés à une poulie fixée sous une surface par une corde, comme indiqué sur la figure suivante. Les longueurs des côtés des corps perpendiculaires au plan de la page sont égales. Les formes des corps sont construites de telle façon que le corps de plus grande taille dessiné soit nécessairement le corps de plus grande masse.

Si la corde est légère et inextensible et si la force nécessaire pour faire tourner la poulie est négligeable, l’accélération de chacun des corps dépend uniquement du poids des corps et de la tension dans la corde.

Le fait que la corde reliant les corps soit inextensible implique que la distance parcourue par l’un des corps pendant un intervalle de temps doit être égale à la distance parcourue par l’autre corps. On en déduit que les variations de vitesse des deux corps pendant un intervalle de temps doivent être égales. Les accélérations de chaque corps doivent alors être de même intensité. La norme de l’accélération des corps peut être déterminée en considérant l’intensité et la direction du poids des corps et de la tension dans la corde.

Les forces agissant sur les corps sont illustrées sur la figure suivante.

Le corps de masse 𝑚 est le plus grand corps. Comme les corps sont uniformes, on doit avoir 𝑃>𝑃.

Comme 𝑃𝑃 et que l’intensité de 𝑇 agissant verticalement vers le haut sur chaque corps est la même, on doit avoir 𝑃>𝑇>𝑃.

Les forces résultantes agissant sur les corps sont illustrées sur la figure suivante.

Les forces appliquées vont provoquer l’accélération du corps de plus grande masse vers le bas et l’accélération du corps de plus petite masse vers le haut.

On peut voir que la force résultante sur le plus grand corps est supérieure à la force nette sur le plus petit corps. La différence entre les forces résultantes dépend de la valeur de la différence entre les masses des corps, donnée par 𝑚𝑚.

La force nette sur le plus grand corps ne produit pas une plus grande accélération, car la masse du plus grand corps est plus grande de façon à compenser la force résultante plus grande agissant sur lui.

La force agissant sur un corps et son accélération sont reliées par le principe fondamental de la dynamique. Définissons-le.

Définition : Principe fondamental de la dynamique

Quand une force résultante 𝐹 agit sur un corps, celui-ci accélère dans la direction et le sens de la force. La norme de l’accélération dépend de l’intensité de la force et de la masse du corps selon la formule 𝐹=𝑚𝑎,𝑚 est la masse du corps et 𝑎 est l’accélération du corps.

On peut maintenant utiliser le principe fondamental de la dynamique pour analyser le mouvement des corps suspendus par la corde.

Le corps de masse 𝑚 est le corps de plus grande masse, donc la tension dans la corde agissant vers le haut doit être inférieure au poids du corps de masse 𝑚 agissant vers le bas. L’intensité de la force nette agissant sur le corps est donnée par 𝐹=𝑃𝑇.

Pour le corps de moindre masse 𝑚, la tension dans la corde agissant vers le haut doit être supérieure au poids du corps de masse 𝑚 agissant vers le bas. La force sur le corps est donnée par 𝐹=𝑇𝑃.

Pour chaque corps, la force nette agissant sur le corps est reliée à l’accélération du corps par la formule 𝐹=𝑚𝑎, on peut donc voir que 𝑚𝑎=𝑃𝑇, et que 𝑚𝑎=𝑇𝑃.

Ces expressions peuvent être réarrangées comme suit 𝑚𝑎𝑃+𝑇=0, et 𝑚𝑎+𝑃𝑇=0.

Additionner ces expressions permet d’annuler 𝑇:𝑚𝑎𝑇𝑃+𝑚𝑎+𝑃+𝑇=0𝑚𝑎𝑃+𝑚𝑎+𝑃=0.

On peut alors réarranger pour isoler 𝑎:𝑃𝑃=𝑚𝑎+𝑚𝑎𝑃𝑃=𝑎(𝑚+𝑚),𝑎=𝑃𝑃𝑚+𝑚=𝑔(𝑚𝑚)𝑚+𝑚,𝑔 est l’accélération de la pesanteur.

Dans le cas où 𝑚 est égale à 𝑚, on voit que 𝑃 doit être égal à 𝑃. Dans ce cas, l’équation 𝑎=𝑃𝑃𝑚+𝑚 a un numérateur égal à zéro et l’accélération de chaque corps est nulle.

Étudions un exemple de deux corps suspendus verticalement à une poulie.

Exemple 1: Calculer l’accélération d’un système de deux corps suspendus à une poulie lisse

Deux corps de masses 12 kg et 18 kg sont attachés aux extrémités d’une corde légère inextensible qui passe par une poulie lisse. Déterminez l’accélération du système. Supposez que 𝑔=9,8/ms.

Réponse

L’accélération de chacun des corps est donnée par la formule 𝑎=𝑔(𝑚𝑚)𝑚+𝑚,𝑚 est la masse du corps de plus grande masse et 𝑚 est la masse du corps de plus petite masse.

Substituer les valeurs connues dans la formule donne 𝑎=9,8(1812)18+12=9,8(6)30=1,96/.ms

Étudions maintenant un exemple de deux corps suspendus verticalement à une poulie où la masse de l’un des corps est inconnue.

Exemple 2: Calculer une masse inconnue dans un système de deux corps suspendus à une poulie lisse

Deux corps de masse 𝑚 et 88 g sont attachés aux extrémités d’une corde légère passant par une poulie lisse. Déterminez la valeur de 𝑚 sachant que lorsque le système est libéré, l’autre corps descend de 11,76 m en 2 secondes. Supposez que l’accélération de la pesanteur est 𝑔=9,8/ms.

Réponse

L’accélération de chacun des corps est donnée par la formule 𝑎=𝑔(𝑚𝑚)𝑚+𝑚,𝑚 est la masse du corps de plus grande masse et 𝑚 est la masse du corps de plus petite masse. Comme le corps de 88 grammes descend, il a la plus grande masse.

Substituer les valeurs connues dans la formule donne 𝑎=9,8(88𝑚)88+𝑚.

On peut déterminer la valeur de 𝑎 en utilisant la formule 𝑠=𝑢𝑡+12𝑎𝑡.

La valeur de 𝑢 est nulle car le corps accélère à partir d’une position de repos. On réarrange la formule pour isoler 𝑎, d’où 𝑎=2𝑠𝑡.

En substituant les valeurs de 𝑠 et 𝑡, on obtient 𝑎=2(11,76)4=5,88/.ms

En substituant la valeur de 𝑎, on a 5,88=9,8(88𝑚)88+𝑚.

En multipliant les deux membres de l’équation par le dénominateur de la fraction, on a 5,88(88+𝑚)=9,8(88𝑚).

Développer les parenthèses donne 5,88𝑚+517,44=862,49,8𝑚15,68𝑚=344,96𝑚=344,9615,68=22.g

La masse inconnue est de 22 grammes.

On a montré que l’accélération d’un système de deux corps de masses 𝑚 et 𝑚 suspendus à une poulie est donnée par 𝑎=𝑔(𝑚𝑚)𝑚+𝑚.

On a également montré que pour chacun des corps, la force nette agissant sur le corps est reliée à l’accélération du corps par la formule 𝐹=𝑚𝑎.

Par conséquent, on a 𝑚𝑎=𝑚𝑔𝑇, et 𝑚𝑎=𝑇𝑚𝑔.

Chacune de ces expressions peut être réarrangée pour isoler 𝑇 comme suit:𝑇=𝑚𝑔𝑚𝑎=𝑚(𝑔𝑎), et 𝑇=𝑚𝑎+𝑚𝑔=𝑚(𝑔+𝑎).

Étudions un exemple où nous devons déterminer la tension dans la corde reliant deux corps suspendus à une poulie.

Exemple 3: Résoudre un problème en plusieurs étapes impliquant un système de deux corps suspendus à une poulie lisse

Deux corps de masses 270 et 𝑚grammes sont reliés par les extrémités d’une corde passant par une poulie lisse. Le corps de masse 𝑚 a été projeté vers le bas à une vitesse de 105 cm/s et, 3 secondes plus tard, il est revenu à sa position initiale. Déterminez la valeur de 𝑚 et de la tension 𝑇 dans la corde. Supposez que 𝑔=9,8/ms.

Réponse

Le corps de masse 𝑚 est projeté vers le bas mais la force agissant sur celui-ci doit être dirigée vers le haut lorsqu’il revient à sa position initiale.

Le corps de masse 𝑚 descend puis revient à son point de départ en un intervalle de temps de 3 secondes. L’accélération du corps est donnée par la formule 𝑎=𝑣𝑢𝑡.

Comme l’accélération du corps est uniforme, le corps est dans une position de repos instantané au milieu de l’intervalle de 3 secondes donc 𝑣=0/cms au milieu de l’intervalle de 3 secondes. En prenant le sens vers le haut comme positif, l’accélération est donnée par 𝑎=0(105)1,5=70/.cms

La tension dans la corde fournit l’accélération qui diminue le vecteur vitesse dirigé vers le bas du corps de masse 𝑚;par conséquent, 𝑚<270, et l’accélération de chaque corps est donnée par 𝑎=𝑔(270𝑚)270+𝑚.

La valeur de 𝑔 donnée est en m/s2, il est donc pratique de convertir la valeur de 𝑎 en une valeur en m/s2, ce qui donne 0,7=9,8(270𝑚)270+𝑚0,7(270+𝑚)=9,8(270𝑚)0,7(270)+0,7𝑚=9,8(270)9,8𝑚10,5𝑚=9,1(270)=2457𝑚=245710,5=234.grammes

La tension dans la corde est 𝑇=𝑚(𝑔𝑎),𝑚 est la masse du corps de plus grande masse, dans ce cas 270 grammes. Pour obtenir un résultat en newtons, on convertit la masse en kilogrammes, soit 0,27 kg. La tension est de 𝑇=𝑚(𝑔𝑎)𝑇=0,27(9,1)=2,457.N

Étudions maintenant un exemple où deux corps sont suspendus verticalement à une poulie et où la corde liant les corps se brise pendant que les corps sont en mouvement.

Exemple 4: Résoudre un problème en plusieurs étapes impliquant un système de deux corps suspendus à une poulie lisse et une corde cassée

Deux corps de masses 374 g et 102 g étaient reliés l’un à l’autre par une corde légère inextensible passant par une poulie lisse. Les deux corps étaient initialement au repos au même niveau horizontal. Puis, une seconde après la libération du système, la corde s’est cassée. Déterminez la distance verticale entre les deux corps une seconde après la rupture de la corde. Supposez que l’accélération de la pesanteur est 𝑔=9,8/ms.

Réponse

La distance verticale entre les corps une seconde après la rupture de la corde dépend des mouvements des corps pendant l’intervalle de temps entre leur repos et une seconde après la rupture de la corde.

La figure suivante représente les positions des corps à une seconde d’intervalle à partir du moment où ils sont relâchés. Le deuxième schéma montre l’instant où la corde casse et le troisième schéma montre les positions des corps une seconde après la rupture de la corde (le schéma n’est pas à l’échelle).

Les vecteurs vitesses des corps à chaque instant sont indiqués en rouge. Les déplacements des corps depuis leur position une seconde plus tôt sont indiqués en bleu.

La flèche représentant 𝑠 a été dessinée avec une tête à chaque extrémité. Le corps de masse 102 grammes accélère en effet vers le haut à l’instant où la corde casse et vers le bas après que la corde a cassé. On n’a pas encore déterminé si le déplacement du corps une seconde après la rupture de la corde est vers le haut ou vers le bas.

La distance verticale finale entre les corps est représentée sur la figure suivante, dans laquelle les déplacements orange sont vers le bas et les déplacements verts sont vers le haut.

La flèche représentant 𝑠 a été dessinée avec une tête à chaque extrémité et de couleur verte et orange car sa direction n’a pas été déterminée.

Avant que la corde ne casse, chaque corps a une accélération de norme donnée par 𝑎=𝑔(𝑚𝑚)𝑚+𝑚=9,8(374102)374+102=5,6/.ms

On commence par étudier le mouvement du corps de masse 374 grammes.

Pendant une seconde, le corps accélère verticalement à 5,6 m/s2. À cet instant, le déplacement vertical du corps est 𝑠=𝑢𝑡+12𝑎𝑡=0(1)+5,621=5,62=2,8.m

Le sens vers le bas est considéré comme positif.

La vitesse verticale du corps à cet instant est 𝑣=𝑢+𝑎𝑡=0+5,6(1)=5,6/.ms

Lorsque la corde casse, le corps accélère verticalement vers le bas à 9,8 m/s2. Après une seconde d’accélération, le déplacement vertical du corps est 𝑠=𝑢𝑡+12𝑎𝑡=5,6(1)+9,821=5,6+9,82=10,5.m

On étudie maintenant le mouvement de l’objet de masse 102 grammes.

Pendant une seconde, le corps accélère verticalement à 5,6/ms. À cet instant, le déplacement vertical du corps est 𝑠=𝑢𝑡+12𝑎𝑡=0(1)+5,621=5,62=2,8.m

La vitesse verticale du corps à cet instant est 𝑣=𝑢+𝑎𝑡=05,6(1)=5,6/.ms

Lorsque la corde casse, le corps accélère verticalement à 9,8 m/s2. Après une seconde d’accélération, le déplacement vertical du corps est 𝑠=𝑢𝑡+12𝑎𝑡=5,6(1)+9,821=9,825,6=0,7.m

La valeur négative de 𝑠 montre que la masse de 102 grammes atteint un point verticalement au-dessus de la position qu’elle avait lorsque la corde s’est cassée.

On peut maintenant déterminer le déplacement 𝑠tot des corps l’un par rapport à l’autre. Il est égal au déplacement du corps de plus grande masse 𝑠grande moins le déplacement du corps de plus petite masse 𝑠petite:𝑠=2,8+10,5=13,3,𝑠=2,80,7=3,5,𝑠=13,3(3,5)=16,8.grandepetitetotm

La distance verticale entre les corps est de 16,8 mètres, soit 1‎ ‎680 centimètres.

Étudions maintenant un exemple de deux corps suspendus verticalement à une poulie où les masses des corps sont inconnues mais la différence entre les masses des corps est connue.

Exemple 5: Calculer la force s’exerçant sur une poulie pour un système de deux corps suspendus à une poulie lisse

Deux corps de masses 𝑚g et (𝑚+56)g sont reliés l’un à l’autre par une corde légère qui passe par une poulie lisse fixe. Le système a été libéré de sa position de repos alors que les deux corps étaient au même niveau horizontal. Une seconde plus tard, la distance verticale entre eux était de 128 cm. Déterminez l’intensité de la force s’exerçant sur la poulie pendant que les corps étaient en mouvement. Supposez que l’accélération de la pesanteur est 𝑔=9,8/ms.

Réponse

Une tension existe dans la corde. Chaque partie de la corde qui supporte un corps exerce sur la poulie une force verticale vers le bas égale à la tension dans la corde sur la poulie. On doit donc trouver la tension dans la corde pour déterminer la force s’exerçant sur la poulie. On suppose que le poids de la poulie est négligeable de sorte que seules les forces de tension agissent sur la poulie.

Les masses des corps sont inconnues, on ne peut donc pas déterminer directement la tension de la corde. La distance verticale entre les corps après une seconde d’accélération permet cependant de déterminer l’accélération de chacun des corps. La relation entre l’accélération de chaque corps est liée à la différence des masses des corps et à la tension dans la corde, ce qui permet de déterminer la tension.

La figure suivante montre les forces agissant sur les corps et leurs accélérations à l’instant où les corps sont libérés ainsi que la distance verticale entre les corps une seconde après leur libération.

Les accélérations des corps sont de même norme donc les distances parcourues par chaque corps en une seconde sont identiques et elles doivent être égales à la moitié de la distance verticale entre les corps. La norme du déplacement de chaque corps en une seconde est donnée par 𝑠=𝑢𝑡+12𝑎𝑡.

Par conséquent, 1282=0(1)+12𝑎(1)64=12𝑎𝑎=128/.cms

L’accélération de chacun des corps est donnée par 𝑎=𝑔(𝑚𝑚)𝑚+𝑚.

La distance verticale est exprimée en centimètres et la durée pendant laquelle les corps se déplacent est exprimée en secondes;par conséquent, on posera donc l’accélération du système égale à 128 cm/s2. Pour être cohérent avec cette valeur, on doit également convertir l’accélération de la pesanteur en cm/s2, elle est par conséquent égale à 980 cm/s2. On voit alors que 128=980(56)2𝑚+56.

Cette expression peut être réarrangée pour isoler 𝑚:128(2𝑚+56)=980(56)=54880256𝑚+7168=54880𝑚=47712256=186,375.grammes

Si on considère le corps de masse 𝑚, on sait que la tension dans la corde qui lui est attachée est donnée par 𝑇𝑚𝑔=𝑚𝑎.

Par conséquent, 𝑇=𝑚(𝑎+𝑔)𝑇=𝑚(128+980)=1108𝑚.

En substituant la valeur de 𝑚 obtenue, on a 𝑇=1108(186,375)=206503,5/.gcms

La tension est une force, que l’on a dans ce cas calculée avec des valeurs de masse en grammes et des valeurs d’accélération en cm/s2, l’unité de la force calculée est donc le g⋅cm/s2, ce qui correspond à la définition de la dyne.

Chaque partie de la corde exerce une force de 206‎ ‎503,5 dynes sur la poulie, l’intensité de la force agissant sur la poulie due aux deux cordes est donc de 𝐹=2(206503,5)=413007.dynes

Résumons ce que nous avons appris dans ces exemples.

Points clés

  • Pour deux corps suspendus verticalement par une corde légère et inextensible qui passe par une poulie lisse et qui nécessite une force négligeable pour tourner, l’accélération de chacun des corps est donnée par 𝑎=𝑔(𝑚𝑚)𝑚+𝑚,𝑚 et 𝑚 sont les masses des corps et 𝑔 est l’accélération de la pesanteur.
  • La tension dans la corde verticale reliant les corps des masses 𝑚 et 𝑚 est donnée par 𝑇=𝑚(𝑔𝑎)=𝑚(𝑔+𝑎),𝑚𝑚. Dans le cas où 𝑚=𝑚, l’accélération de chaque corps est nulle.

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