Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier et à modéliser des notions géométriques telles que les points, les droites et les plans dans l'espace, ainsi que leurs propriétés.
Vous avez peut-être entendu parler d’un homme appelé Euclide, parfois surnommé le père de la géométrie. Le mot géométrie se compose d’un préfixe et d’un suffixe ayant pour origine des mots empruntés au grec ancien : « gê » (terre) et « métron » (mesurer). Nous comprenons le monde qui nous entoure à partir de ses écrits sur la géométrie dans l'espace, qui traite des objets en 3 dimensions, tels que les cubes et les sphères, et sur la géométrie plane, qui traite des objets dans l’espace en 2 dimensions. Les points, les droites et les plans, en particulier, sont tous des concepts géométriques qui sont liés à des positions dans l’espace et qui constituent une base pour définir tous les autres concepts géométriques.
Nous commençons essentiellement par les points. Un point est un emplacement dans l’espace qui n’a ni forme ni taille. Cependant, pour pouvoir modéliser ce concept, nous utilisons un petit point pour représenter l’idée d’un point. Un point est généralement noté à l’aide d’une lettre majuscule.
Définition : Point
Un point est un emplacement dans l’espace. Il n’a ni forme ni taille.
En ayant deux points quelconques dans l’espace, nous pouvons tracer exactement une droite reliant ces points. Il est très important de se rappeler que lorsque nous travaillons avec des droites dans l’espace, nous avons toujours affaire à des droites qui s’étendent à l’infini dans les deux directions. Nous les traçons sous forme de droites avec des flèches à chaque extrémité. La notation d’une droite est généralement écrite à l’aide de deux points appartenant à cette droite.
Trois points ou plus qui appartiennent à la même droite sont appelés points alignés. Si un point n’appartient pas à la même droite que les autres points, on dit que cet ensemble de points est non aligné.
Il faudrait également noter que la distance entre deux points quelconques appartenant à une droite est appelée un segment. On dit que la portion de droite qui relie les points et et qui est délimitée par ses deux extrémités est le segment ou .
Définition : Droite
Une droite est un ensemble de points reliés qui s’étend à l’infini dans deux directions. Une droite passant par les points et peut être nommée de différentes façons. Par exemple, la droite passant par peut être notée , , la droite , la droite ou la droite .
Le troisième concept à étudier est celui des plans. Un plan est une surface en 2 dimensions composée de points qui s’étend à l’infini dans toutes les directions. Il existe exactement un plan défini par trois points quelconques non alignés. Trois points ou plus qui appartiennent à un plan sont appelés coplanaires. Si un point n’appartient pas au même plan que les trois autres points, cet ensemble de points est dit non coplanaire. Nous pouvons également définir un plan à l’aide de deux droites parallèles, deux droites sécantes, ou une droite et un point extérieur. C’est dû au fait que deux droites parallèles, deux droites sécantes, ou une droite et un point auront tous au moins trois points non alignés.
Un plan est généralement noté à l’aide d’une seule lettre majuscule ou, plus rarement, en utilisant trois points non alignés ou plus qui appartiennent à ce plan. Vous verrez généralement des plans modélisés comme un quadrilatère. Le plan illustré peut être noté le plan , le plan , le plan ou le plan .
Définition : Plan
Un plan est une surface en 2 dimensions composée de points qui s’étend à l’infini dans toutes les directions. Il existe exactement un plan défini par trois points quelconques non alignés.
La relation entre les points, les droites et les plans revêt d’une importance particulière pour nous.
Rappelons que pour tout point dans l’espace, il existe un nombre infini de droites passant par ce point. Ce même principe est vrai pour les plans. Pour tout point dans l’espace, il y aura un nombre infini de plans contenant ce point.
Dans les deux premiers exemples, nous montrerons comment identifier un certain nombre de droites ou de plans passant par un point.
Exemple 1: Déterminer le nombre de droites passant par un point spécifique dans l’espace
Déterminez les droites qui passent par le point .
Réponse
Sur cette figure, nous voyons différents segments qui contiennent le point .
Les segments , et sont tous des segments qui ont une extrémité en . Nous savons qu’il existe des droites qui passent par deux points quelconques dans l’espace, ce qui signifie qu’il y aura trois droites passant par le point que nous pouvons exprimer ainsi :
Les droites qui passent par le point sont , et .
Exemple 2: Identifier les plans contenant des points spécifiques
Déterminez trois plans contenant les deux points et .
Réponse
Les plans contenant les deux points et seront les plans incluant la droite . Nous savons qu’un plan peut exister en contenant trois points quelconques non alignés. Dans ce prisme rectangulaire, nous pouvons visualiser ces plans comme étant l’espace qui contiendra certaines faces du prisme. L’une des faces sera celle qui contient les deux droites parallèles et . On peut l’appeler le plan .
Il existe un autre plan qui contient les deux droites parallèles et . On va l’appeler le plan .
Le troisième plan n’est pas immédiatement évident à repérer. Nous rappelons que trois points quelconques non alignés forment un plan. Par conséquent, il existe un plan qui contiendra les points , et . Ce troisième plan est .
Donc, les trois plans qui contiennent les points et sont , et .
La relation entre deux droites dans l’espace :
Il y a trois relations possibles que deux droites peuvent avoir. Premièrement, considérons une paire de droites coplanaires. Ces droites peuvent se couper à n’importe quel angle, comme le montre la figure suivante, ou peuvent être perpendiculaires (c’est-à-dire se coupent orthogonalement).
Si les droites coplanaires ne se coupent pas, alors elles sont parallèles. Elles ne se rencontreront jamais.
Une paire de droites qui ne sont ni sécantes ni parallèles sont dites non coplanaires. Les droites non coplanaires ne peuvent exister qu’en 3 dimensions.
La relation entre une droite et un plan dans l’espace :
Il y a trois relations qu’une droite et un plan peuvent avoir.
Une droite peut être contenue dans un plan. Dans ce cas, chaque point appartenant à la droite sera contenu dans ce plan.
Si une droite coupe un plan, alors leur intersection signifie qu’ils partagent un point commun qui appartient à la fois à la droite et au plan.
Une droite peut aussi couper un plan orthogonalement, et dans ce cas la droite est dite perpendiculaire au plan. Alors, cette droite est perpendiculaire à toutes les droites contenues dans ce plan qui coupent cette droite.
Si une droite ne coupe pas le plan, alors elle est parallèle à ce plan.
La relation entre deux plans dans l’espace :
Enfin, il existe trois relations possibles entre deux plans dans l’espace. Si les deux plans partagent tous les points, ils sont dits confondus.
Si deux plans se coupent, l’intersection est toujours une droite. Ces deux plans peuvent se couper orthogonalement, alors on dit qu’ils sont perpendiculaires.
Ces deux plans ne sont pas sécants. Ce sont des plans parallèles.
Remarque:
Alors que nous avons examiné une paire de plans dans l’espace, trois plans sécants peuvent partager un point commun.
Dans l’exemple suivant, nous montrerons comment identifier les relations entre les segments dans un prisme rectangulaire.
Exemple 3: Identifier la relation entre les segments dans l’espace
On considère le prisme rectangulaire , où .
- Que peut-on dire de et ?
- Ils sont parallèles.
- Ils sont perpendiculaires.
- Ils ne sont ni parallèles ni perpendiculaires.
- Ils sont non coplanaires.
- Que peut-on dire de et ?
- Ils sont non coplanaires.
- Ils sont perpendiculaires.
- Ils sont parallèles.
- Ils ne sont ni parallèles ni perpendiculaires.
- Que peut-on dire de et ?
- Ils sont perpendiculaires.
- Ils ne sont ni parallèles ni perpendiculaires.
- Ils sont non coplanaires.
- Ils sont parallèles.
- Que peut-on dire de et ?
- Ils sont parallèles.
- Ils sont perpendiculaires.
- Ils ne sont ni parallèles ni perpendiculaires.
- Ils sont non coplanaires.
Réponse
Partie 1 :
Dans le prisme rectangulaire donné, nous voulons identifier la relation entre différentes paires de segments, en particulier et .
Les prismes rectangulaires sont composés de 6 faces rectangulaires, et dans un rectangle, les côtés adjacents sont perpendiculaires. Comme est un rectangle, on peut donc dire que et se coupent en formant un angle de . Ainsi, la réponse est le choix B : et sont perpendiculaires.
Partie 2 :
et sont des segments situés sur deux faces opposées du prisme rectangulaire.
Ils ne se coupent pas. Comme ces deux faces sont des faces opposées dans un prisme rectangulaire, on peut dire que et sont parallèles. La réponse correcte est le choix C.
Partie 3 :
et sont des segments situés sur des faces perpendiculaires du prisme, et ils se coupent en le point .
Cela signifie que et sont perpendiculaires en le point d’intersection. C’est le choix A.
Partie 4 :
et sont des segments contenus dans le même plan, . Comme les segments ne sont pas parallèles, ils doivent être sécants.
On sait que les diagonales d’un rectangle ne sont pas perpendiculaires, donc et ne sont ni parallèles ni perpendiculaires. La bonne réponse est le choix C.
Remarque
Bien que et ne soient ni parallèles ni perpendiculaires, cela ne signifie pas qu’ils sont non coplanaires. et ne sont pas non coplanaires, car ils se coupent et sont contenus dans le même plan.
Nous allons maintenant montrer comment identifier les droites non coplanaires à l’aide d’une figure.
Exemple 4: Identifier les droites non coplanaires
En utilisant le prisme rectangulaire ci-dessous, déterminez laquelle des droites suivantes est non coplanaire à .
Réponse
Rappelons que les droites non coplanaires sont des droites qui ne sont ni sécantes ni parallèles. Les droites non coplanaires ne peuvent donc exister qu’en 3 dimensions. Une droite non coplanaire à ne peut pas être parallèle à , et ne peut pas non plus couper cette droite. Cela signifie que les seules droites qui peuvent être non coplanaires à sont , , et .
Parmi les choix donnés, la réponse correcte est C. est non coplanaire à .
La figure donnée dans l’exemple suivant nous montrera une configuration possible d’une droite et d’un plan.
Exemple 5: Identifier l’intersection entre un plan et une droite
Observez la figure donnée et choisissez l’affirmation correcte.
- La droite est parallèle au plan.
- La droite est contenue dans le plan.
- La droite coupe le plan.
Réponse
La figure montre un plan, noté , qui s’étend à l’infini dans toutes les directions. On observe sur la figure que le point appartient au plan .
On voit aussi que le point appartient à la droite . Comme le plan et la droite partagent un point commun, à savoir le point , on peut dire que la droite coupe ce plan. Par conséquent, le choix correct est C. La droite coupe le plan.
L’exemple suivant nous fournit une configuration possible de deux plans dans l’espace.
Exemple 6: Identifier l’intersection entre deux plans
Quelle est l’intersection entre le plan contenant et le plan contenant ?
Réponse
Dans ce prisme rectangulaire, le plan qui contient les points , , et est le plan qui contient la face verticale du prisme située à droite. Le plan qui contient les points , , et est le plan qui contient la face verticale du prisme située en face. L’intersection de ces deux faces est une droite. Nous savons que c’est vrai car ces deux faces contiennent les points et . La droite entre et sera la droite d’intersection de ces deux plans.
Nous voyons ici que la droite partagée en commun est colorée en vert, donc l’intersection entre le plan et le plan est .
Le dernier exemple nous montre une configuration de trois plans dans l’espace.
Exemple 7: Identifier l’intersection entre trois plans
Quelle est l’intersection des plans , et ?
Réponse
Cette pyramide est composée de quatre faces triangulaires. Comme il existe exactement un plan défini par trois points quelconques non alignés, chacune des faces triangulaires appartient à un plan unique. Nous sommes intéressés par les plans , et , qui contiennent tous le point . Cela signifie que ce point appartient aux trois plans. Comme le point est un point partagé par chacun de ces plans, alors l’intersection de ces plans sera .
Terminons cette fiche explicative en récapitulant les points clés évoqués.
Points clés
- Un point est un emplacement dans l’espace. Il n’a ni forme ni taille.
- Une droite est un ensemble de points reliés qui s’étend à l’infini dans deux directions.
- Un plan peut être défini par trois points non alignés, deux droites parallèles ou deux droites sécantes.
- Un ensemble de points est dit aligné si les points appartiennent à la même droite. Sinon, on dit qu’ils sont non alignés.
- Un ensemble de points est dit coplanaire si les points appartiennent au même plan. Sinon, on dit qu’ils sont non coplanaires.
- Pour deux droites coplanaires quelconques, les relations possibles seront soit des droites parallèles, des droites sécantes à un angle ou des droites perpendiculaires.
- Pour deux droites dans l’espace, les relations possibles seront soit des droites parallèles, des droites sécantes à un angle, des droites perpendiculaires ou des droites non coplanaires.
- Pour une droite et un plan dans l’espace, les configurations possibles seront soit d’avoir une droite qui coupe le plan en un point (à n’importe quel angle), une droite et un plan perpendiculaires, une droite contenue dans le plan ou une droite parallèle au plan.
- Pour deux plans quelconques, les configurations possibles seront soit des plans confondus, des plans parallèles, des plans sécants en une droite (à n’importe quel angle) ou des plans perpendiculaires. Trois plans peuvent se couper en un point, et non en une droite.
