Fiche explicative de la leçon: Déplacement Sciences • Troisième préparatoire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à distinguer la distance parcourue par un objet entre deux points du déplacement de l’objet entre ces points.

Nous pouvons commencer par rappeler que la distance parcourue par un objet est la longueur du trajet parcouru entre le point de départ et le point d’arrivée le long de la trajectoire d’un objet.

Par exemple, disons considérons un objet. Appelons A le point de départ de l’objet et B le point d’arrivée. Ces deux points sont séparés par une distance horizontale de 2 m. Puis considérons deux chemins différents que l’objet pourrait emprunter de A à B, comme illustré sur le schéma suivant.

Le premier chemin que nous considérerons est représenté sur le schéma par une ligne rouge pointillée. Ce chemin est simplement la ligne horizontale du point A au point B. La longueur du trajet 1 est donc la même que la distance entre le point de départ et le point d’arrivée, qui est de 2 m. Cela signifie que la longueur du chemin 1 est de 2 m.

Si un objet se déplace du point A au point B selon le chemin 1, la distance parcourue par l’objet est la longueur du chemin 1. Par conséquent, l’objet aura parcouru une distance de 2 m.

Prenons maintenant le chemin 2. Ceci est illustré par une ligne bleue continue du point A au point B.

Le chemin 2 est un chemin plus compliqué qui monte, puis suit horizontalement, puis redescend. Nous pouvons voir que ce chemin est beaucoup plus long que le chemin 1. En effet, le chemin 2 parcourt la même longueur horizontale que le trajet 1, qui est de 2 m , mais elle monte et descend également. Vu que le chemin 2 monte de 1 m avant de se déplacer horizontalement de 2 m puis redescend de 1 m à la fin, nous devons additionner ces valeurs pour obtenir la longueur du chemin 2.

Ainsi, la longueur du chemin 2 est

Si un objet se déplace du point A au point B selon le chemin 2, la distance parcourue par l’objet est la longueur du chemin 2. Cela signifie que l’objet parcourra une distance de 4 m.

Nous avons donc vu qu’un objet se déplaçant selon le chemin 1 parcourra une distance plus courte qu’un objet se déplaçant sur le chemin 2. Même si les points de départ et d’arrivée des deux chemins sont identiques, les distances parcourues sur les deux chemins sont différentes.

La distance est une quantité « scalaire », ce qui signifie qu’il s’agit simplement d’un nombre avec une unité et qu’elle n’a pas de direction associée.

Exemple 1: Comparer les distances pour différents chemins

Une voiture est au centre d’un cercle. Les flèches indiquent les chemins que la voiture peut parcourir pour atteindre la circonférence du cercle. La distance parcourue est-elle la même pour les deux trajets ? 

Réponse

Dans cette question, on nous montre une voiture qui est au centre d’un cercle. On nous donne également deux chemins différents que la voiture pourrait parcourir pour atteindre la circonférence du cercle.

Considérons d’abord la flèche bleue, qui indique un chemin rectiligne du centre à la circonférence du cercle. Cela signifie que la longueur du tracé bleu doit être égale au rayon du cercle.

Supposons que le rayon du cercle est de 10 m. Cela signifie que la longueur du chemin bleu est de 10 m. Si la voiture se déplace selon le chemin bleu, elle parcourra donc une distance de 10 m.

Considérons maintenant la flèche rouge. Ce chemin est également une ligne droite du centre à la circonférence du cercle.

Cela signifie que la longueur du chemin rouge est égale au rayon du cercle, que nous avons dit vaut 10 m. Si la voiture se déplace selon le chemin rouge, elle parcourra une distance de 10 m.

Cela signifie que la distance parcourue par la voiture sur le chemin bleu et le chemin rouge est la même. Cette distance est égale au rayon du cercle, qui est de 10 m , pour les deux chemins.

Ensuite, considérons le « déplacement » d’un objet. Ce mot est très similaire à « distance », mais sa définition est subtilement différente.

La grandeur d’un déplacement est la distance la plus courte entre les points de départ et d’arrivée du mouvement d’un objet. Le déplacement a un sens. Le sens d’un déplacement est du point de départ du mouvement d’un objet au point d’arrivée du mouvement de l’objet. En effet, le déplacement est une quantité « vectorielle », ce qui signifie qu’il est composé d’une valeur et d’un sens. Des exemples de déplacements sont « 2 m vers l’Est » et « 5 km vers le Sud. ;  »

La distance la plus courte entre deux points est le segment de droite entre les deux points. Cela signifie que le déplacement entre deux points est toujours la distance en ligne droite entre les deux points plus le sens parcouru.

Le sens doit être inclus lorsque nous donnons un déplacement, car le déplacement est une quantité vectorielle, et le sens fait partie du déplacement. Par exemple, le déplacement « 2 m vers l’Est » est différent du déplacement « 2 m vers l’Ouest », même si la valeur numérique du déplacement est la même.

On dit que la valeur numérique d’un déplacement est la « grandeur » du déplacement. Par exemple, pour le déplacement « 2 m vers l’Est », on dit que la grandeur du déplacement est de « 2 m » Et la direction du déplacement est « vers l’Est ».

Pensons à la différence entre la distance et le déplacement. Considérons à nouveau deux points, avec A étant l’emplacement initial d’un objet et B l’emplacement final. Le point B est situé à 2 m à droite du point A. On va considérer à nouveau deux chemins différents entre les deux points, comme illustré sur le schéma suivant.

Pensons aux distances le long de chacun des chemins. Nous avons vu que la distance parcourue par un objet s’il suit le chemin 1 est de 2 m , et la distance parcourue par un objet s’il suit le chemin 2 est de 4 m. Ces distances sont différentes car le chemin 2 est plus long que le chemin 1.

Cependant, regardons ce qui se passe si l’on considère le déplacement plutôt que la distance. Rappelons que le déplacement est la plus courte distance entre le point de départ et l’extrémité de la trajectoire.

Pour le chemin 1, on a un point de départ A et un point d’arrivée B. La grandeur du déplacement est alors la plus courte distance entre ces deux points, qui est le segment de droite horizontal entre ces points.

Cela est égal à 2 m , qui est aussi la longueur du chemin 1. Le déplacement d’un objet se déplaçant le long du chemin 1 est donc « 2 m vers la droite ». Nous avons indiqué à la fois la grandeur et le sens du trajet. Le déplacement pour le chemin 1 est illustré par le schéma suivant.

Pour le chemin 2, l’emplacement initial est A et l’emplacement final est B. Le déplacement d’un objet est à nouveau la distance en ligne droite de A à B. Ceci est à nouveau « 2 m vers la droite ». Le déplacement pour le chemin 2 est indiqué ci-dessous.

Cela signifie que le déplacement d’un objet se déplaçant le long des deux chemins est le même, même si les chemins sont très différents. Notez que les distances le long des deux chemins sont différentes, bien que les déplacements soient les mêmes.

Il est également possible d’avoir un déplacement négatif. Par exemple, un déplacement de «  » vers l’Est est un déplacement valable. Cela équivaut à un déplacement de « 2 m » vers l’Ouest. Cependant, les distances sont toujours positives.

Exemple 4: Comparaison des déplacements pour différents chemins

Une voiture est au centre d’un cercle. Les flèches indiquent les chemins que la voiture peut parcourir pour atteindre la circonférence du cercle. Le déplacement de la voiture entre ses positions initiale et finale est-il le même dans les deux cas ? 

Réponse

Dans cette question, on nous montre une voiture au centre d’un cercle. On nous montre également deux chemins différents que la voiture pourrait emprunter pour atteindre la circonférence du cercle. Nous devons considérer le déplacement de la voiture pour chaque chemin qu’elle pourrait prendre.

Tout d’abord, considérons la situation où la voiture se déplace le long du chemin bleu. Ce chemin est une ligne droite du centre du cercle à la circonférence du cercle.

Rappelons que le déplacement d’un objet est la distance la plus courte entre les points de départ et d’arrivée du mouvement de l’objet, avec le sens du trajet. Le chemin bleu étant rectiligne, il s’agit de la distance la plus courte entre le point de départ et le point d’arrivée. Cela signifie que la grandeur du déplacement dans ce cas est la longueur du chemin bleu.

Comme le chemin bleu est une ligne droite du centre du cercle à la circonférence du cercle, sa longueur est égale au rayon du cercle. Supposons que le rayon de ce cercle est de 5 m. Cela signifie que si la voiture se déplace selon le chemin bleu, son déplacement sera de 5 m selon le sens de la flèche bleue. Notez que nous avons donné le sens, même si nous ne savons pas explicitement comment décrire la direction plus précisément que « selon le sens de la flèche bleue ».

Pensons maintenant au déplacement de la voiture si elle suit le chemin rouge ci-dessus. Dans ce cas, la grandeur du déplacement est différente de la longueur du chemin rouge. En effet, la grandeur du déplacement est la distance en ligne droite entre le point de départ et le point d’arrivée du mouvement de la voiture, mais le chemin rouge est courbe.

Le point de départ du chemin rouge est le centre du cercle, et le point d’arrivée du chemin est sur la circonférence du cercle. La plus courte distance entre ces points est le segment de droite entre le centre du cercle et la circonférence, qui est le rayon du cercle, 5 m.

Étant donné que les points de départ et d’arrivée des deux trajectoires sont identiques, le sens de déplacement est aussi la même. Le sens des deux déplacements est « selon le sens de la flèche bleue ». Comme les grandeurs des deux déplacements sont aussi identiques, nous avons trouvé que les deux déplacements dans cette question sont exactement les mêmes.

Exemple 5: Comparaison des déplacements pour différents chemins

Une voiture est au centre d’un cercle. Les flèches indiquent les chemins que la voiture peut parcourir pour atteindre la circonférence du cercle. Le déplacement de la voiture entre ses positions initiale et finale est-il le même dans les deux cas ? 

Réponse

Dans cette question, on nous montre une voiture au centre d’un cercle. On nous montre également deux chemins différents que la voiture pourrait emprunter pour atteindre la circonférence du cercle.

Considérons le déplacement de la voiture pour chacun des chemins.

Tout d’abord, considérons la voiture se déplaçant selon le chemin bleu. Ce chemin est un segment de droite du centre du cercle à la circonférence du cercle.

Rappelons que le déplacement d’un objet est la distance la plus courte entre le point de départ du mouvement de l’objet et le point d’arrivée du mouvement de l’objet, avec le sens du trajet. Le chemin bleu étant rectiligne, il s’agit de la distance la plus courte entre le point de départ et le point final. Cela signifie que l’intensité du déplacement dans ce cas est la longueur du chemin bleu.

Le chemin bleu est une ligne droite du centre du cercle à la circonférence ; sa longueur est le rayon du cercle. Disons que le rayon du cercle est 5 m. Cela signifie que si la voiture se déplace selon le chemin bleu, son déplacement sera de 5 m selon le sens de la flèche bleue. Notez que nous avons donné le sens, même si nous ne savons pas explicitement comment le décrire en détail.

Pensons maintenant au déplacement de la voiture si elle suit le chemin rouge. Dans ce cas, comme le chemin rouge est courbe, la grandeur du déplacement sera différente de la longueur du chemin. La grandeur du déplacement est égale à la distance en ligne droite entre le centre du cercle et l’extrémité de la trajectoire rouge, qui est sur la circonférence du cercle. Cela aura une longueur égale au rayon du cercle, 5 m. Ceci est illustré par le schéma suivant.

La direction du déplacement associée au chemin rouge est selon le sens de la flèche verte que nous avons dessinée sur le schéma ici.

Notez que les intensités des deux déplacements ici sont identiques et égales au rayon du cercle, 5 m. Cependant, les directions des deux déplacements sont différentes, car la flèche bleue et la flèche verte que nous avons tracées pointent dans des directions différentes. Cela signifie que les deux déplacements ne sont pas égaux.

Imaginons maintenant deux points, A et B, et encore une fois ces points sont séparés par une distance horizontale de 2 m. Tout d’abord, imaginons une voiture se déplaçant du point A au point B le long d’une ligne droite, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.

Sur ce schéma, la voiture a démarré au point A et s’est déplacée horizontalement jusqu’au point B. Maintenant, la distance que la voiture a parcourue est égale à la longueur du chemin qu’elle a suivi. Cela signifie que la voiture a parcouru une distance de 2 m.

Le déplacement de la voiture est égal à la distance en ligne droite de A à B, qui est à nouveau 2 m , avec le sens selon lequel la voiture s’est déplacée. Cela signifie que le déplacement de la voiture est de 2 m vers la droite. Notez que, ici, la grandeur du déplacement est égale à la distance parcourue par la voiture.

Imaginons maintenant une deuxième étape de ce voyage. Après que la voiture a voyagé de A à B le long du chemin rouge ci-dessus, elle retourne au point A, également le long d’un chemin horizontal, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.

La deuxième partie du voyage est représentée par la flèche bleue. Cela signifie que la voiture termine son voyage au point A. Pensons à la distance que la voiture a parcourue au total.

Le voyage entier que la voiture subit commence au point A, puis va horizontalement vers le point B, et revient horizontalement vers le point A. Pour déterminer la distance totale parcourue, nous devons additionner les longueurs des chemins parcourus.

La voiture a parcouru 2 m vers la droite puis 2 m vers la gauche pour revenir au point A. La distance totale parcourue est donc .

Calculons maintenant le déplacement de la voiture pour tout le trajet. L’emplacement de départ de la voiture est A, et la voiture se rend au point B puis au point A, qui est le point d’arrivée de la voiture. Ainsi, le point de départ et l’extrémité du mouvement de la voiture sont les mêmes. Cela signifie que la distance entre le point de départ et l’extrémité du mouvement de la voiture est . Notez que nous n’avons pas besoin de donner de sens lorsque le déplacement est nul. Un déplacement doit être non nul pour avoir un sens.

Pour un voyage qui se termine au même point où il a commencé, le déplacement sera toujours nul, mais la distance parcourue sera non nulle et égale à la longueur du chemin parcouru.

Voyons comment cette idée fonctionne sur un chemin circulaire. Imaginez une voiture qui démarre à l’extrémité gauche d’un chemin circulaire, marquée par un cercle bleu ci-dessous. La trajectoire circulaire a une circonférence de 5 m et un diamètre de . Ceci est illustré sur le schéma suivant.

Imaginons d’abord que la voiture roule au milieu du cercle, jusqu’au point marqué d’un cercle rose. Tout d’abord, calculons la distance que la voiture a parcourue du point bleu au point rose. Cette distance est indiquée par la flèche bleue sur le schéma suivant.

La distance parcourue est égale à la longueur du chemin autour du cercle du point de départ au point rose. Ceci est égal à la moitié de la circonférence du cercle, qui est la moitié de 5 m. La moitié des 5 m est égal à 2,5 m , donc c’est la distance parcourue par la voiture.

Comparons maintenant cela au déplacement de la voiture. La grandeur du déplacement correspond à la distance en ligne droite entre le point de départ et le point rose, et la direction est vers la droite. Ceci est illustré par la flèche violette sur le schéma ci-dessus.

La longueur de la flèche violette, qui suit une ligne droite d’un côté de la circonférence à l’autre côté de la circonférence, est égale au diamètre du cercle. Nous le savons parce que c’est un segment qui passe par le centre du cercle.

Ce segment a donc une longueur égale au diamètre du cercle, qui est . Le déplacement de la voiture est donc vers la droite.

Notez que si la circonférence d’un cercle est et le diamètre du cercle est , alors la circonférence du cercle est donnée par la formule

Cela signifie que et ne peuvent pas être les mêmes, alors pour notre voiture, la grandeur du déplacement n’est pas égale à la distance.

Voyons maintenant ce qui se passe si la voiture continue sur le chemin circulaire et revient à son point de départ, après avoir parcouru le cercle entier. Ce voyage est représenté par la flèche bleue sur le schéma suivant.

Si la voiture parcourt le trajet complet autour du cercle, en revenant au même point de départ, alors la distance parcourue par la voiture est égale à la longueur du chemin qu’elle a suivi. Cette longueur est égale à toute la circonférence du cercle, qui est égale à 5 m. C’est la distance que la voiture a parcourue autour du cercle entier.

Nous avons vu que le déplacement d’un objet qui se termine au même point duquel il est parti est égal à zéro. Ainsi, le déplacement de notre voiture est égal à zéro, car le point d’arrivée de son mouvement est le même que le point de départ de son mouvement.

Lorsque la voiture parcourt le cercle, la distance parcourue est toujours croissante. En revanche, le déplacement de la voiture augmente pendant un certain temps, puis diminue, jusqu’à atteindre à nouveau zéro lorsque la voiture est à son extrémité. Ceci est une différence clé entre la distance et le déplacement pour un objet qui ne se déplace pas en ligne droite.

Résumons maintenant les points clés que nous avons vus dans cette fiche explicative.