Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer l'énergie cinétique maximale possible des électrons éjectés de la surface d'un métal sous l'effet photoélectrique.
L’effet photoélectrique est le processus par lequel des électrons quittent la surface d’un métal lorsqu’ils ont absorbé un rayonnement électromagnétique. Un appareil expérimental utilisé pour observer l’effet photoélectrique est représenté dans le schéma ci-dessous.
Deux plaques métalliques sont branchées à un circuit, avec un ampèremètre connecté en série. Les plaques métalliques sont enfermées dans une chambre à vide afin que l’air n’affecte pas l’expérience. Une des deux plaques métalliques est exposée à la lumière. Si la lumière incidente a une énergie suffisamment élevée, les électrons sont éjectés de la surface du métal. Ces électrons éjectés sont appelés « photoélectrons ». L’ampèremètre détecte un courant lorsque les photoélectrons atteignent la plaque adjacente.
Rappelons que la lumière peut être modélisée comme un ensemble de particules élémentaires. Les particules de lumière sont appelées photons. Chaque photon a une quantité discrète d’énergie, , décrite par la formule où est la constante de Planck et la fréquence du photon.
Chacun des photons incidents transfère son énergie à un seul électron sur la surface métallique. L’électron quittera la surface si le photon a une énergie suffisamment élevée. Étant donné que l’énergie du photon est déterminée par la fréquence, peu importe l’amplitude de l’onde lumineuse : l’effet photoélectrique est induit tant que la lumière a une fréquence suffisamment élevée. La relation entre l’énergie et la fréquence, et l’indépendance de ces valeurs par rapport à l’amplitude, est indiquée dans le tableau ci-dessous.
Maintenant que nous avons établi les bases de l’effet photoélectrique, examinons de plus près le transfert d’énergie entre les photons et les électrons.
Rappelons que les électrons autour des noyaux atomiques ont des niveaux d’énergie discrets. À chaque niveau, la quantité d'énergie qui maintient les électrons liés au système atomique est différente ; cette quantité d'énergie est appelée « travail de sortie ». Le travail de sortie, noté , est considéré comme étant une barrière qui maintient un électron lié à un matériau. Si une énergie plus élevée du travail de sortie est transférée à un électron, l’électron dépasse cette barrière et il est libéré de sa liaison.
Les matériaux conducteurs comme les métaux ont des valeurs de travail de sortie relativement faibles. Ainsi, les électrons les plus externes sur une surface métallique peuvent facilement quitter le matériau s’ils reçoivent suffisamment d’énergie. C’est ce qui se passe avec l’effet photoélectrique.
Si un électron reçoit une énergie qui dépasse le travail de sortie, l’énergie restante devient énergie cinétique de l’électron. Cela peut être observé car les photoélectrons quittent souvent la surface métallique à des vitesses significatives.
Nous pouvons déterminer l’énergie cinétique maximale d’un photoélectron à condition de connaître l’énergie fournie par le photon et le travail de sortie de la surface métallique. L’énergie cinétique d’un photoélectron est égale à l’énergie qu’un photon lui a transférée moins le travail de sortie qui a dû être surmonté.
Définissons formellement cette relation.
Définition : Énergie cinétique maximale d’un photoélectron à une fréquence donnée
L’énergie cinétique maximale d’un photoélectron est donnée par où est la constante de Planck, est la fréquence du photon incident et est le travail de sortie de la surface métallique.
Nous allons apprendre à utiliser cette équation dans l’exemple suivant.
Exemple 1: Calculer l’énergie cinétique maximale des photoélectrons
Une surface métallique polie et sous vide est éclairée par la lumière d’un laser, ce qui provoque l’émission d’électrons de la surface du métal. La lumière a une fréquence de . Le travail de sortie du métal est de 1,40 eV. Quelle est l’énergie cinétique maximale des électrons ? Utilisez une valeur de pour la constante de Planck. Donnez la réponse en électronvolts.
Réponse
Commençons par rappeler l’équation de l’énergie cinétique maximale d’un photoélectron,
On nous donne des valeurs pour , et ; en les introduisant dans l’équation, nous obtenons
Nous avons donc trouvé que l’énergie cinétique maximale des électrons est de 6,88 eV.
Il est souvent utile de représenter graphiquement l’équation de l’énergie cinétique maximale d’un photoélectron. Le graphique de l’énergie cinétique du photoélectron en fonction de la fréquence du photon incident est montré ci-dessous.
Rappelons que, afin qu’un électron soit éjecté, le photon incident doit avoir une fréquence (et donc une énergie) suffisamment élevée pour surmonter le travail de sortie. Pour cette raison, l’énergie du photoélectron est nulle pour une lumière de basse fréquence, comme illustré par la partie horizontale de la courbe dans le graphique. Cela montre la région où la lumière incidente a une énergie trop faible pour éjecter des électrons, et donc nous pouvons détecter aucun photoélectron ni aucune énergie cinétique.
Cependant, en correspondance d’une fréquence du photon suffisamment élevée, le travail de sortie est surmonté. Rappelons que le travail de sortie d’un matériau est une valeur constante, et donc une fois qu’elle est dépassée, l’énergie cinétique des photoélectrons augmente avec la fréquence du photon incident. Ainsi, est directement proportionnelle à et la relation est linéaire, comme l’illustre la partie de la courbe représentée par la droite croissante.
Nous pouvons déterminer certaines propriétés d’un matériau en analysant sa courbe par rapport à . Plus précisément, on s’intéresse au point où la courbe se sépare de l’axe horizontal, comme le montre le graphique ci-dessous. Ce point correspond à une fréquence de seuil que nous allons appeler .
Cela définit le moment dans l’expérience où les photons transfèrent juste assez d’énergie pour que les électrons soient éjectés. Ici, l’énergie cinétique des photoélectrons est égale à zéro, car l’énergie du photon est à peine suffisante pour dépasser le travail de sortie.
Nous pouvons utiliser cette information pour déterminer expérimentalement le travail de sortie d’un matériau. Pour commencer, réarrangeons la formule de l’énergie cinétique maximale pour obtenir :
Rappelons que à la fréquence de seuil, . En remplaçant ces valeurs, nous avons
Ainsi, à la fréquence de seuil, le travail de sortie est égal à l’énergie du photon incident. Nous allons mettre en pratique cette méthode pour déterminer le travail de sortie dans les deux exemples suivants.
Exemple 2: Déterminer le travail de sortie en utilisant un graphique d’énergie des électrons en fonction de l’énergie du photon
Un laser réglable est utilisé pour éclairer la surface d’un métal avec des lumières de différentes fréquences. Au-dessus d’une certaine fréquence de lumière, des électrons sont émis de la surface du métal. Le graphique montre l’énergie cinétique maximale des électrons émis par rapport à l’énergie des photons. Quel est le travail de sortie du métal ?
Réponse
Ce graphique montre la relation entre l’énergie du photon incident et l’énergie cinétique maximale d’un photoélectron sortant de la surface métallique. Rappelons l’équation qui relie ces valeurs, où est l’énergie du photon incident étant donné sa fréquence, , et la constante de Planck, . Il faut trouver le travail de sortie pour cette surface métallique, nous allons alors réarranger cette équation pour obtenir :
Nous pouvons prendre comme référence n’importe quel point de la courbe et remplacer sa valeur dans cette équation. Généralement, le point le plus simple à considérer se trouve en correspondance de la « fréquence de seuil » , ou l’intercepte avec l’axe horizontal du graphique, car en correspondance de ce point. On peut donc éliminer le terme dans l’équation et il nous reste
Par conséquent, l’énergie du photon en ce point est égale au travail de sortie du matériau.
La courbe intercepte l’axe horizontal à 2,6 eV, et donc nous obtenons le travail de sortie du métal de 2,6 eV.
Exemple 3: Déterminer le travail de sortie en utilisant un graphique d’énergie des électrons en fonction de l’énergie du photon
Le graphique montre l’énergie cinétique maximale des photoélectrons lorsque différents métaux sont éclairés avec une lumière ayant différentes fréquences.
- Quel métal a le travail de sortie le plus faible ?
- Quel métal a le travail de sortie le plus élevé ?
Réponse
Partie 1
Rappelons la formule de l’énergie cinétique maximale d’un photoélectron, où est le travail de sortie et est la valeur de l’énergie du photon, qui est le produit entre la fréquence du photon, , et la constante de Planck, .
Ce graphique montre les propriétés de cinq éléments différents. Les cinq droites du graphique ont la même pente et ne sont distinctes que par les points où elles interceptent l’axe horizontal.
Nous pouvons apprendre davantage sur les éléments à partir des points où les courbes interceptent l’axe horizontal, car ces points indiquent là où les photons transfèrent juste assez d’énergie aux électrons pour qu’ils surmontent le travail de sortie. Ici, , mais les photoélectrons sont toujours en cours de création. Nous pouvons remplacer cette valeur pour définir une relation entre le travail de sortie et l’énergie du photon : ou
Par conséquent, l’énergie du photon en correspondance de ce point est égale au travail de sortie du matériau.
Plus le point d’intersection avec l’axe horizontal est bas, moins d’énergie du photon est nécessaire pour surmonter le travail de sortie. Nous pouvons donc comparer les intensités des valeurs de travail de sortie des matériaux en comparant leurs valeurs d’énergie du photon de seuil. La droite du césium a la valeur d’intersection avec l’axe horizontal la plus faible.
Le césium a donc le travail de sortie le plus faible.
Partie 2
En regardant de nouveau le graphique, nous pouvons voir que le platine est l’élément avec la plus grande énergie du photon de seuil là où .
Par conséquent, le platine a le travail de sortie le plus élevé.
Nous avons vu comment déterminer le travail de sortie d’un matériau à partir du graphique de l’énergie cinétique des électrons en fonction de la fréquence du photon incident. Maintenant, supposons que nous voulons savoir comment cela se rapporte à la longueur d’onde de la lumière incidente, plutôt qu’à la fréquence. Pour faire cela, nous devons concevoir une relation entre la fréquence et la longueur d’onde de la lumière pour remplacer par dans notre équation.
Nous pouvons exprimer la relation entre la fréquence et la longueur d’onde en utilisant l’équation de la vitesse d’une onde électromagnétique, où est la vitesse de la lumière. En résolvant cette formule pour la fréquence, nous avons
Maintenant, rappelons l’équation de l’énergie cinétique de l’électron,
Enfin, nous pouvons remplacer l’expression de la fréquence :
Cette équation nous permet de relier le travail de sortie et l’énergie cinétique maximale du photoélectron à la longueur d’onde de la lumière incidente.
Nous pouvons réarranger cette formule pour définir l’énergie cinétique maximale d’un photoélectron étant donné la longueur d’onde du photon incident, comme indiqué ci-dessous.
Définition : Énergie cinétique maximale d’un photoélectron étant donné une longueur d’onde
L’énergie cinétique maximale d’un photoélectron est donnée par où est la constante de Planck, est la vitesse de la lumière, est la longueur d’onde du photon incident et est le travail de sortie de la surface métallique.
Notons que, dans l’équation avec la fréquence, apparaît au numérateur, ce qui permet une relation linéaire entre et . En revanche, dans l’équation avec la longueur d’onde, apparaît au dénominateur, ce qui signifie que le graphique de en fonction de n’est pas une droite. La courbe de l’énergie cinétique de l’électron en fonction de la longueur d’onde du photon est tracée ci-dessous.
Notons qu’aucun photoélectron n’est émis lorsque la longueur d’onde du photon dépasse une certaine valeur. C’est parce que lorsque l’on augmente la longueur d’onde de la lumière incidente, on diminue simultanément sa fréquence (et donc son énergie). Entraîons-nous en utilisant cette relation dans quelques exemples.
Exemple 4: Déterminer le travail de sortie en utilisant un graphique d’énergie des électrons en fonction de la longueur d’onde du photon
Un laser réglable est utilisé pour éclairer la surface d’un métal avec des lumières de différentes longueurs d’onde. Lorsque la longueur d’onde de la lumière est inférieure à une certaine valeur, des électrons sont émis de la surface du métal. Le graphique montre l’énergie cinétique maximale des électrons émis en fonction de la longueur d’onde des photons.
- Quelle est la longueur d’onde maximale de la lumière pour laquelle des électrons seront émis de la surface du métal ?
- Quel est le travail de sortie du métal ? Utilisez une valeur de eV⋅s pour la constante de Planck. Donnez la réponse en électronvolts au centième près.
Réponse
Partie 1
Pour commencer, rappelons la formule de l’énergie cinétique maximale du photoélectron en fonction de la longueur d’onde du photon incident :
Il y a une relation inverse entre l’énergie du photon et la longueur d’onde. Ainsi, au-dessus d’une certaine longueur d’onde de seuil, les photons n’ont pas assez d’énergie pour que les électrons puissent dépasser la barrière du travail de sortie et induire l’effet photoélectrique.
Ce point est visible sur le graphique là où . La longueur d’onde en correspondance de ce point représente la longueur d’onde maximale de la lumière pour laquelle des électrons peuvent être éjectés de la surface. Ce point est situé sur l’axe horizontal en correspondance de .
Ainsi, la longueur d’onde maximale de la lumière incidente qui provoquera l’émission d’électrons de la surface du métal est de 300 nm.
Partie 2
Rappelons que la formule du travail de sortie étant donné la longueur d’onde du photon incident est
Pour trouver le travail de sortie du métal, nous pouvons remplacer la valeur du point où la courbe intercepte l’axe horizontal dans cette équation. Nous devons convertir les nanomètres en mètres, et donc la valeur de cette longueur d’onde de seuil est de . À cette longueur d’onde de la lumière incidente, l’énergie cinétique de l’électron est égale à zéro, et nous allons donc éliminer . Ensuite, nous remplaçons par leurs valeurs la constante de Planck et la vitesse de la lumière, et on peut calculer le travail de sortie :
Ainsi, nous avons trouvé que le travail de sortie du métal est de 4,14 eV.
Exemple 5: Calculer les propriétés d’un appareil expérimental pour l’effet photoélectrique
Le schéma montre un circuit électrique. Le circuit contient une anode et une cathode dans une chambre à vide. L’anode et la cathode sont connectées à un ampèremètre et à une pile en série. La cathode est en nickel.
- Des lumières avec différentes longueurs d’onde sont utilisées pour éclairer la cathode en nickel. Lorsque la longueur d’onde de la lumière est inférieure à , l’ampèremètre indique . Quel est le travail de sortie du nickel ? Utilisez une valeur de pour la constante de Planck. Donnez la réponse arrondie à deux décimales près.
- Au départ, le laser utilisé pour illuminer la cathode avait une puissance de sortie de . Si on l’augmente à , quel sera le courant dans le circuit ? Donnez la réponse arrondie à une décimale près.
Réponse
Partie 1
Commençons par rappeler la formule du travail de sortie étant donné la longueur d’onde du photon incident,
Nous savons que lorsque la lumière incidente a une énergie suffisamment grande, des électrons sont émis de la surface du cuivre, amenant l’ampèremètre à détecter un courant.
Ici, nous savons que l’ampèremètre ne détecte un courant que lorsque la longueur d’onde de la lumière incidente est inférieure à . À cette valeur de longueur d’onde de seuil, que l’on appellera , les photons incidents ont juste assez d’énergie pour que les électrons puissent dépasser la barrière du travail de sortie. Alors les photoélectrons n’auront pas d’énergie cinétique, ce qui signifie , et la formule devient donc
Pour calculer le travail de sortie, utilisons les valeurs de la constante de Planck, de la vitesse de la lumière et de la longueur d’onde de seuil :
Donc nous avons trouvé que le travail de sortie du nickel est de 5,01 eV.
Partie 2
La puissance du laser correspond à une énergie par seconde. Les photons transportent l’énergie du faisceau laser, donc si on règle le laser sur le double de la quantité d’énergie par seconde, il émet deux fois plus de photons par seconde. Rappelons qu’un photon incident interagit avec un électron de la surface métallique. Avec deux fois plus de photons incidents sur la surface, il y aura donc deux fois plus d’électrons recevant de l’énergie et quittant la surface.
Par conséquent, si la puissance du laser est doublée, le courant est également doublé. Comme l’ampèremètre a détecté initialement un courant de , il va maintenant détecter le double de cette valeur.
Le courant dans le circuit sera donc de .
Terminons en résumant quelques concepts importants.
Points clés
- L’effet photoélectrique est le phénomène qui consiste à extraire des électrons d’une surface métallique lorsqu’elle est éclairée avec de la lumière. Un photoélectron est un électron émis de la surface après avoir reçu l’énergie d’un photon incident.
- Le travail de sortie d’un matériau est la quantité minimale d’énergie nécessaire pour extraire un électron de sa surface, et sa valeur peut être trouvée à partir du graphique de l’énergie cinétique des électrons en fonction de l’énergie du photon.
- L’énergie de la lumière est proportionnelle à sa fréquence et inversement proportionnelle à sa longueur d’onde.
- On peut relier le travail de sortie, , et l’énergie maximale des électrons, , étant donnée la fréquence, , en utilisant la formule , où est la constante de Planck.
- On peut relier le travail de sortie, , et l’énergie maximale des électrons, , étant donnée la longueur d’onde, , en utilisant la formule , où est la constante de Planck et la vitesse de la lumière.
