Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer la probabilité d’événements complémentaires.
Dans un contexte de probabilités, on rappelle qu’un événement est un ensemble d’issues. Si on se penche par exemple sur les jours de la semaine, chaque jour du calendrier correspond à un des 7 jours de la semaine. Dans de nombreux pays, les jourssamedis et dimanches sont associés au week-end et un événement pourrait être « Être né un week-end ». Il y a deux issues possibles dans cet ensemble : {samedi ; dimanche}.
Si on suppose que les naissances ont la même probabilité de se produire chaque jour de la semaine, la probabilité qu’une personne choisie au hasard soit née un week-end est le nombre de jours dans un week-end divisé par le nombre total de jours dans une semaine :
On peut alors se demander quelle est la probabilité de ne pas être né un week-end. On peut voir sur le diagramme ci-dessus que les jours du lundi au vendredi sont les jours de la semaine, donc
On appelle cet événement le complémentaire de l’événement « Être né un week-end » car il correspond à ce dernier événement lorsqu’il ne se produit pas. Le complémentaire d’un événement et l’événement lui-même ne peuvent pas se produire en même temps. Dans cet exemple, on sait qu’un jour ne peut pas être à la fois un jour de semaine et un jour de week-end. On rappelle que cela signifie que les événements « jour de la semaine » et « jour de week-end » sont incompatibles : il n’y a pas de chevauchement entre eux. Cela est vrai en général, un événement et son complémentaire sont toujours incompatibles.
Nous pouvons alors définir le concept d’événement complémentaire de manière plus formelle.
Définition : Événement complémentaire
Le complémentaire d’un événement (noté ) est équivalent à l’événement ne se produisant pas.
Étudions maintenant les probabilités d’événements complémentaires. On peut remarquer que la réunion d’un événement et de son complémentaire est la totalité de l’univers. Le complémentaire d’un événement est en effet équivalent à l’événement ne se produisant pas, donc dire que se produit ou ne se produit pas doit correspondre à la totalité de l’univers :
On peut combiner ce résultat, le fait que et sont incompatibles et la formule de la probabilité d’une réunion d’évènements pour démontrer un résultat utile.
Tout d’abord,
On sait que et on peut réécrire le membre droit de l’équation en utilisant la formule de la probabilité d’une réunion d’évènements pour obtenir
Comme et sont incompatibles, on a et , donc
On peut réarranger cette équation de deux manières :
Cela nous permet d’utiliser la probabilité d’un événement pour déterminer la probabilité de son complémentaire, ou inversement.
Nous avons ainsi montré le résultat suivant.
Propriété : Probabilité d’événements complémentaires
Si et sont des événements complémentaires, alors
- ;
- ;
- ;
- .
Voyons maintenant un exemple d’utilisation de ces formules pour déterminer la probabilité d’un événement complémentaire.
Exemple 1: Calculer la probabilité du complémentaire d’un événement
Si la probabilité qu’un événement se produise est , quelle est la probabilité qu’il ne se produise pas ?
Réponse
On rappelle d’abord que l’événement qui ne se réalise pas est appelé son complémentaire et que la somme de la probabilité d’un événement et de la probabilité de son complémentaire est égale à 1. En particulier, on a
Dans ce cas, on a
Dans le prochain exemple, nous allons appliquer cette formule à un problème impliquant des événements complémentaires.
Exemple 2: Calculer la probabilité du complémentaire d’un événement dans une situation donnée
Si la probabilité qu’un élève réussisse en mathématiques est de 0,7, quelle est la probabilité que l’élève échoue ?
Réponse
On remarque que l’événement ne pas réussir équivaut à dire que l’étudiant échoue. En d’autres termes, les événements « Réussir » et « Échouer » sont complémentaires. On rappelle que l’on peut calculer la probabilité d’un événement complémentaire en soustrayant la probabilité que l’événement se produise à 1 ; par conséquent,
Dans le prochain exemple, nous allons utiliser la formule de la probabilité du complémentaire d’un événement et la définition d’une probabilité pour déterminer le nombre de balles qui ne sont pas rouges dans un sac, connaissant la probabilité de tirer une balle rouge et le nombre total de balles dans le sac.
Exemple 3: Résoudre un problème en utilisant des événements complémentaires
Une boîte contient 56 balles. La probabilité de sélectionner au hasard une balle rouge est de . Combien de balles dans la boîte ne sont pas rouges ?
Réponse
Nous pouvons commencer par remarquer que la couleur de la balle n’affecte pas la probabilité de sélectionner une balle dans le sac et que l’événement « Ne pas choisir une balle rouge » est le complémentaire de « Choisir une balle rouge ».
Sachant que la probabilité de choisir une balle quelconque dans le sac est la même, on a
En multipliant chaque membre de l’équation par 56, on a
Par conséquent, on peut déterminer le nombre de balles qui ne sont pas rouges dans le sac en déterminant la probabilité de choisir une balle qui n’est pas rouge dans le sac.
Les événements étant complémentaires, on a
Substituer cette valeur dans l’équation donne
Nous pouvons vérifier cette réponse en notant que
Donc,
Comme cela concorde avec les informations données, nous avons confirmé qu’il y a bien 16 balles qui ne sont pas rouges dans le sac.
Dans le prochain exemple, nous allons utiliser un tableau des fréquences pour présenter deux méthodes différentes afin de calculer la probabilité du complémentaire d’un événement.
Exemple 4: Utiliser un tableau des fréquences pour calculer la probabilité du complémentaire d’un événement
Le tableau ci-dessous représente les données recueillies auprès de 200 participants de différentes nationalités à une conférence.
Parlent uniquement arabe | Parlent uniquement anglais | Parlent uniquement français | Somme totale | |
---|---|---|---|---|
Hommes | 45 | 35 | 45 | 125 |
Femmes | 40 | 30 | 5 | 75 |
Somme | 85 | 65 | 50 | 200 |
Calculez la probabilité qu’un participant choisi au hasard ne parle pas anglais.
Réponse
On remarque d’abord que toutes les personnes présentes ne parlent qu’une seule langue. Il y a deux manières de déterminer la probabilité qu’un participant choisi au hasard ne parle pas anglais.
La première méthode pour déterminer la probabilité qu’un participant ne parle pas anglais est de remarquer que « Parler anglais » et « Ne pas parler anglais » sont des événements complémentaires.
Par conséquent,
La probabilité de choisir un anglophone est ensuite égale au nombre d’anglophones divisé par le nombre total de personnes. On peut voir ces deux valeurs dans le tableau.
Il y a 65 anglophones et 200 personnes dans le groupe, donc la probabilité qu’un participant choisi au hasard ne parle pas anglais est
La deuxième méthode consiste à calculer le nombre total de participants qui ne parlent pas anglais, puis à le diviser par le nombre total de participants. On peut également trouver cette information dans le tableau.
Le nombre de participants qui ne parlent pas anglais est de . Le nombre total de participants est 200. Par conséquent,
Avant de poursuivre avec d’autres d’exemples, remarquons que les propriétés des événements complémentaires nous permettent de déterminer leurs probabilités à l’aide de diagrammes de Venn. On sait que des événements complémentaires sont incompatibles (donc ils ne se chevauchent pas) et qu’ils forment ensemble la totalité de l’univers.
Dans les deux derniers exemples, nous allons utiliser cette propriété des événements complémentaires dans des diagrammes de Venn pour résoudre des problèmes impliquant des événements complémentaires.
Exemple 5: Déterminer la probabilité du complémentaire d’un événement à l’aide d’un diagramme de Venn
Les jours d’un mois donné peuvent être classés comme des jours pluvieux, des jours chauds, des jours pluvieux et chauds, ou des jours ni pluvieux ni chauds. On suppose que représente les jours pluvieux et que représente les jours chauds. Utilisez le diagramme de Venn ci-dessous pour calculer la probabilité qu’un jour ne soit pas pluvieux.
Réponse
Il y a deux manières de calculer cette probabilité.
Avec la première méthode, on remarque que
On peut trouver le nombre de jours dans le mois en additionnant toutes les valeurs :
Si un jour n’est pas pluvieux, il ne peut pas être inclus dans l’événement . Il s’agit de l’événement complémentaire et il est représenté sur le diagramme de Venn suivant.
On peut voir qu’il y a 15 jours chauds mais non pluvieux et 9 jours ni chauds ni pluvieux, donc
Par conséquent,
Avec la deuxième méthode, on remarque que les jours pluvieux et non pluvieux sont des événements complémentaires, donc
On peut déterminer le nombre de jours pluvieux à partir du diagramme de Venn.
Il y a 4 jours pluvieux mais non chauds et 2 jours pluvieux et chauds, donc
On note qu’il y a comme précédemment 30 jours dans le mois, donc
Dans le dernier exemple, nous allons utiliser un diagramme de Venn pour déterminer la probabilité du complémentaire d’un événement.
Exemple 6: Déterminer la probabilité du complémentaire d’un événement à l’aide d’un diagramme de Venn
Dans un cours de musique, les élèves apprennent à jouer du piano, de la guitare et de la batterie. Certains élèves jouent de 2 instruments, certains jouent des 3 instruments et d’autres ne jouent d’aucun des instruments. On suppose que représente ceux qui jouent du piano, ceux qui jouent de la guitare et ceux qui jouent de la batterie.
En utilisant le diagramme ci-dessous, calculez la probabilité qu’un élève ne joue pas du piano.
Réponse
Nous pouvons utiliser deux méthodes pour déterminer la probabilité qu’un élève ne joue pas du piano.
Avec la première méthode, on note que
En additionnant toutes les données du diagramme de Venn, on obtient
On peut déterminer le nombre d’élèves qui ne jouent pas du piano à partir du diagramme de Venn. L’événement « Choisir un élève qui ne joue pas du piano » est le complémentaire de , cela est donc représenté sur le diagramme de Venn par tout ce qui n’est pas dans .
On peut alors additionner toutes les données qui ne sont pas dans pour obtenir
Par conséquent,
Avec la deuxième méthode, on remarque que ne pas jouer du piano est l’événement complémentaire de , donc
Et
On peut déterminer le nombre d’élèves qui jouent du piano en additionnant toutes les données relatives à dans le diagramme de Venn.
Cela nous donne
Par conséquent,
Terminons par récapituler certains points importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Le complémentaire d’un événement (noté ) est équivalent à l’événement ne se produisant pas.
- Tout événement est incompatible avec son complémentaire (c’est-à-dire ).
- Dans un univers , comme est équivalent à l’événement ne se produisant pas et que est équivalent à se produisant, un de ces événements doit se produire, donc et .
- Appliquer la formule de la probabilité d’une réunion à deux événements complémentaires donne Par conséquent,
- La probabilité du complémentaire de l’événement , ou « non », est définie par Cela peut être réécrit comme
- Dans un diagramme de Venn, et ne se chevauchent pas et forment ensemble la totalité l’univers.