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Fiche explicative de la leçon : Moment d'une force par rapport à un point en 2D : scalaire Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer la somme des moments d’un ensemble de forces agissant sur un corps par rapport à un point dans le plan.

Une force résultante non nulle agissant sur un corps rigide produit une accélération linéaire du corps dans le sens d’action de la force, ce qui entraîne une translation du centre de masse du corps dans cette direction.

Une force agissant sur un corps peut également entraîner une accélération angulaire du corps autour d’un point, produisant une rotation du corps. La norme de l’accélération angulaire du corps due à l’action de la force est proportionnelle au moment de la force par rapport à ce point.

La figure suivante montre une barre mince suspendue verticalement en un point 𝑃. Une force 𝐹 agit sur la barre horizontalement. Le moment de la force agit pour faire pivoter la barre autour de 𝑃.

La figure suivante montre que la barre tourne dans le sens horaire en raison du moment de 𝐹 par rapport à 𝑃.

On suppose que la droite d’action de 𝐹 change de telle manière à passer maintenant par 𝑃, comme indiqué sur la figure suivante.

La barre ne tourne pas autour de 𝑃 en raison du moment de 𝐹. Pour que 𝐹 ait un moment non nul par rapport à 𝑃, la distance entre 𝑃 et la droite d’action de 𝐹 doit être non nulle.

Lorsque la droite reliant un point 𝑃 et le point où une force 𝐹 s’applique et la droite d’action de la force 𝐹 sont perpendiculaires, la norme du moment de la force par rapport au point 𝑃 est égale au produit de l’intensité de 𝐹 et de la distance 𝑑 entre le point et la droite d’action de la force. Cela peut être exprimé par 𝑀=𝐹𝑑.

En utilisant des newtons comme unité de force et des mètres comme unité de distance, l’unité du moment d’une force est le newton-mètre ( N⋅m ).

L’unité newton-mètre semble être la même unité que celle du travail fourni par une force, mais la distance en mètres a une signification très différente entre le moment d’une force et le travail fourni par une force. Pour le travail fourni par une force, 𝑑 est la distance qu’un corps parcourt le long de la droite d’action de la force qui agit sur le corps pour le déplacer. Pour le moment d’une force, 𝑑 est la distance entre la droite d’action de la force et le point par rapport auquel un moment est calculé.

Étudions maintenant un exemple de calcul d’un moment par rapport à un point.

Exemple 1: Déterminer la norme du moment d’une force par rapport à un point

Si une force d’intensité 498 N s’applique à 8 cm d’un point 𝐴, déterminez la norme du moment de la force par rapport au point 𝐴, donnez votre réponse en newtons-mètres.

Réponse

Une force d’intensité 498 N s’applique en un point à 8 cm d’un point 𝐴. La question n’indique pas que le segment de 8 cm et la droite d’action de la force sont perpendiculaires, mais on peut le supposer si rien n’indique le contraire. La question demande de déterminer la norme du moment, c’est-à-dire son intensité.

Le moment peut être calculé en utilisant la formule 𝑀=𝐹𝑑.

On doit donner une réponse en newtons-mètres. L’intensité de la force est 498 N.

La valeur de 𝑑 n’est pas 8, car la distance n’est pas 8 m mais 8 cm. Les 8 cm doivent être convertis en mètres donc 𝑑=0,08m.

On substitue maintenant l’intensité de la force dans la formule pour obtenir la solution:𝑀=498×0,08=39,84.Nm

Le moment d’une force peut produire la rotation du corps dans le sens horaire ou antihoraire, comme le montre la figure suivante.

La force 𝐹 produit un moment dans le sens horaire 𝑀 par rapport à 𝑃 et la force 𝐹 produit un moment dans le sens antihoraire 𝑀 par rapport à 𝑃. La somme de 𝑀 et 𝑀 est égale à 𝑀total, 𝑀=𝑀𝑀,total car les moments dans le sens antihoraire sont considérés comme positifs.

Étudions maintenant un exemple de calcul d’un moment par rapport à un point dans lequel le sens de rotation est connu et la distance entre le point par rapport auquel le moment est calculé et le point où la force s’applique n’est pas directement donnée.

Exemple 2: Moment d’une force par rapport à un point dans le plan

Déterminez le moment de la force d’intensité 11 N par rapport au point 𝑂, donnez votre réponse en N⋅m.

Réponse

Pour répondre à cette question, on doit supposer que la force de 11 N est la seule force agissant sur l’objet. Comme aucune autre valeur n’est fournie, c’est une hypothèse raisonnable.

Le problème semble assez complexe, il est donc utile de se rappeler que seules deux valeurs sont nécessaires pour déterminer le moment de la force par rapport 𝑂. Une des valeurs requises est l’intensité de la force, qui nous est indiquée:11 N. L’autre valeur requise est la distance de 𝑂 à la droite d’action de la force. Cette distance est représentée sur la figure suivante par 𝑑.

Le moment produit par la force agissant sur le corps est équivalent à celui d’une force s’appliquant en un point à une distance horizontale de 𝑑 et une distance verticale nulle de 𝑂. La force pourrait agir sur le corps en tout point du corps sur la droite d’action de la force et produire le même moment.

Il est possible de déterminer 𝑑 en construisant un triangle rectangle avec un côté vertical reliant le point sur le corps à une distance horizontale de 36 cm de 𝑂 et un point situé verticalement sous celui-ci, ce dernier point étant situé sur une droite passant par le point où la force s’applique et perpendiculaire à la droite d’action de la force, comme le montre la figure suivante.

Dans ce triangle, le côté opposé à l’angle 𝜃 est 𝐷 et déterminer 𝐷 permet de calculer 𝑑 à l’aide de l’équation 𝑑=0,36(0,26𝐷).

Notez que les distances de 36 cm et 26 cm ont été respectivement converties en 0,36 m et 0,26 m pour que la réponse soit en newtons-mètres.

On peut trouver la valeur de 𝐷 si on connaît la mesure de l’angle 𝜃 car 𝜃 est l’angle d’un triangle rectangle dans lequel son côté opposé est 𝐷, où l’hypoténuse de 𝐷 a une longueur de 29 cm. On convertit également les 29 cm en 0,29 m pour que la réponse soit en newtons-mètres.

On peut déterminer 𝐷 avec l’équation suivante:sin𝜃=𝐷0,29.

Comme l’angle de 60 représenté sur la figure fait partie d’un angle droit constitué d’un angle de 60 et de l’angle 𝜃, on en déduit que 𝜃=(9060)=30.

Comme sin(30)=12, 12=𝐷0,29.

En résolvant en 𝐷, on trouve 𝐷=0,292=0,145.

On a précédemment établi que 𝑑=0,360,26+𝐷, on peut donc calculer 𝑑:𝑑=0,360,26+0,145=0,245.m

Comme 𝑀=𝐹𝑑,𝑀=11×0,245=2,695.Nm

Cela n’est pas la solution complète car on doit déterminer si la rotation due à 𝑀 est dans le sens horaire ou antihoraire. La figure suivante montre que la force doit déplacer l’objet vers le bas, ce qui entraîne une rotation du corps dans le sens horaire.

Comme les moments dans le sens horaire sont considérés comme négatifs, le moment est égal à 𝑀=2,695.Nm

Étudions maintenant un exemple dans lequel nous devons déterminer le moment total dû à plusieurs forces.

Exemple 3: Déterminer la somme des moments des forces agissant sur une barre

La barre 𝐴𝐵 est de longueur 114 cm et de poids négligeable. Des forces d’intensité 83 N, 225 N, 163 N et 136 N agissent sur la barre comme indiqué sur la figure suivante. Les points 𝐶 et 𝐷 sont les points qui divisent 𝐴𝐵 en trois sections de même longueur et le point 𝑂 est le milieu de la barre. Déterminez la somme algébrique des moments de ces forces par rapport au point 𝑂.

Réponse

La longueur de la barre est 114 cm et les longueurs de 𝐵𝐷, 𝐷𝐶 et 𝐶𝐴 sont toutes égales à 𝑑=1143=38.cm

La longueur de 𝐵𝑂 est 𝐵𝑂=1142=57,cm qui est égale à la longueur de 𝐴𝑂.

La longueur de 𝐷𝑂 est 𝐷𝑂=3812=19,cm qui est égale à la longueur de 𝐶𝑂.

Les forces s’appliquant en 𝐴 et en 𝐷 produisent des moments dans le sens antihoraire par rapport à 𝑂 et les forces s’appliquant en 𝐵 et en 𝐶 produisent des moments dans le sens horaire par rapport à 𝑂. Le moment total par rapport à 𝑂 est égal à 𝑀=(83×57)+(163×19)(136×57)(225×19)=4199.totalNcm

Pour qu’une force produise un moment, la force doit avoir une composante non nulle agissant perpendiculairement à la droite reliant le point par rapport auquel on souhaite étudier le moment et le point où la force s’applique. On considère la figure suivante.

Si 𝜃 est nul, alors la droite d’action de la force 𝐹 passe par 𝑃 et cela produit un moment nul par rapport à 𝑃. Si 𝜃=90, alors 𝐹 produit son moment maximal par rapport à 𝑃. Le calcul du moment d’une force doit donc inclure l’angle selon lequel la force agit.

Définition

Le moment d’une force par rapport à un point 𝑃 est égal au produit de la distance 𝑑 entre 𝑃 et le point où la force s’applique et de la composante de la force perpendiculaire à la droite qui passe par 𝑃 et par le point où la force s’applique. Cela peut être exprimé par 𝑀=𝐹𝑑𝜃,sin𝐹 est l’intensité de la force et 𝜃 est l’angle entre le sens de la force et la droite qui passe par 𝑃 et par le point où la force s’applique.

Étudions maintenant un exemple où nous devons prendre en compte les angles selon lesquels les forces agissent.

Exemple 4: Déterminer la somme des moments de trois forces agissant le long d’un triangle équilatéral

Trois forces, mesurées en newtons, agissent le long des côtés d’un triangle équilatéral 𝐴𝐵𝐶 comme indiqué sur la figure. Sachant que le côté du triangle est égal à 7 cm, déterminez la somme algébrique des moments des forces par rapport au milieu de 𝐴𝐵 arrondie au centième près.

Réponse

On doit déterminer les moments par rapport au milieu de 𝐴𝐵, qui est représenté par le point 𝑃 sur la figure suivante. La longueur de 𝐴𝐵 est 7 cm. Comme 𝑃 est le milieu de 𝐴𝐵, longueurdelongueurdecm𝐴𝑃=𝐵𝑃=3,5.

La droite d’action de la force de 300 N est parallèle à 𝐴𝐵 et elle passe donc par 𝑃 produisant un moment nul par rapport à 𝑃, on peut donc l’ignorer.

Comme le triangle 𝐴𝐵𝐶 est équilatéral, tous ses angles internes sont de mesure 60. La figure suivante montre les moments non nuls par rapport à 𝑃.

Le triangle 𝑃𝐵𝐶 est un triangle rectangle avec un angle de 60 dont la longueur du côté adjacent à cet angle est 3,5 cm et la longueur du côté opposé à cet angle est 𝑃𝐶. On a donc tan(60)=𝑃𝐶3,5; par conséquent, 𝑃𝐶=3,53.cm

La figure suivante montre les intensités des forces, les angles selon lesquels elles agissent et leurs distances par rapport à 𝑃.

Les forces de 150 N et de 100 N agissent toutes les deux dans le sens horaire, les moments qu’elles produisent sont donc négatifs.

En utilisant la formule 𝑀=𝐹𝑑𝜃,sin le moment par rapport à 𝑃 dû à la force de 150 N est 𝑀=150×3,53(30)𝑀=52532.sinNcmNcm

Le moment par rapport à 𝑃 dû à la force de 100 N est 𝑀=100×3,5(60),𝑀=1753.sinNcmNcm

La somme des moments par rapport à 𝑃 est 𝑀total, qui est égale à la somme de 𝑀 et 𝑀. La question demande à déterminer cette valeur au centième près:𝑀=52532+1753=87532=757,77.totalNcm

Étudions maintenant un autre exemple similaire.

Exemple 5: Localiser un point sur un rectangle à partir de la somme des moments de forces par rapport à ce point

Le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un rectangle, où 𝐴𝐵=6cm et 𝐵𝐶=8cm, et des forces d’intensités 24, 30, 8 et 30 newtons agissent respectivement le long de 𝐵𝐴, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 et 𝐶𝐴. Soit le point 𝐸𝐵𝐶 tel que la somme des moments des forces par rapport à 𝐸 est 53 N⋅cm dans le sens de 𝐴𝐵𝐶𝐷, déterminez la longueur de 𝐵𝐸.

Réponse

Les forces agissant sur le rectangle et les points où elles s’appliquent sont illustrés sur la figure suivante.

La force en 𝐴 qui agit le long de 𝐶𝐴 peut être décomposée en composantes perpendiculaires. Décomposer cette force nécessite de connaître l’angle entre 𝐴𝐵 et la droite d’action de la force, qui est représenté par 𝜃 sur la figure suivante et est égal à l’angle entre la droite d’action de la force et 𝐶𝐷.

Le triangle 𝐴𝐷𝐶 est un triangle rectangle. La longueur de 𝐴𝐶 est 𝐴𝐶=8+6=100=10.cm

On a donc sincos𝜃=810=45,𝜃=610=35.

La composante de la force de 30 newtons le long de 𝐷𝐴 est 𝐹=3045=24,N et la composante de la force de 30 newtons le long de 𝐵𝐴 est 𝐹=3035=18.N

La composante 𝐹 et la force de 24 newtons s’appliquant en 𝐴 agissent toutes les deux le long de la même droite, la force totale agissant en 𝐴 est donc 𝐹=24+18=42.N

La figure suivante montre les composantes des forces agissant perpendiculairement et parallèlement à 𝐵𝐶, qui contient le point 𝐸 par rapport auquel le moment total est connu.

Le moment par rapport à 𝐸 dû à chaque composante est égal au produit de l’intensité de la composante et de la distance entre le point 𝐸 et la droite d’action de la composante.

La figure suivante montre les normes et les directions des moments par rapport à 𝐸 dus à chaque force ainsi que le moment total par rapport à 𝐸.

Le moment total par rapport à 𝐸 est égal à la somme des moments par rapport à 𝐸 dus aux composantes:144+648𝑦42𝑦=53.

On peut réarranger cette expression pour résoudre en 𝑦:50𝑦=5364144=155𝑦=15550=3,1.cm

Résumons ce que nous avons appris dans ces exemples.

Points clés

  • Le moment d’une force 𝐹 par rapport à un point 𝑃 est égal au produit de la distance 𝑑 entre 𝑃 et le point où la force s’applique et de la composante de la force perpendiculaire à la droite qui passe par 𝑃 et le point où la force s’applique. Cela peut être écrit comme 𝑀=𝐹𝑑𝜃,sin𝐹 est l’intensité de la force et 𝜃 est l’angle entre la direction de la force et la droite qui passe par 𝑃 et le point où la force s’applique.
  • Le moment total dû à un ensemble de moments par rapport à un point est la somme des moments dans le sens horaire et dans le sens antihoraire par rapport à ce point, où les moments dans le sens antihoraire sont considérés positifs.

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