Dans cette fiche explicative, nous apprendrons à identifier et à mesurer des angles orientés et à trouver leurs angles équivalents.
Afin de pouvoir travailler avec des angles orientés, nous devrons rappeler quelques propriétés clés sur les angles.
Définition : Angles en un point
La somme des angles en un point est égale à . En d’autres termes, une rotation complète correspond à un angle de . Cela peut être montré sur un repère en quadrants, où une rotation de correspond à un angle de et une rotation de correspond à un angle de .
On peut aussi mesurer des angles en radians :
En divisant les deux membres par 2,
Nous allons maintenant expliquer ce que nous entendons par le terme « angle orienté ».
Définition : Angles orientés
Un angle orienté est un angle qui a un sens. Plus précisément, il peut être défini comme une paire ordonnée de deux rayons (appelés les côtés de l’angle) avec un point de départ commun (appelé le sommet).
Si un angle est mesuré dans le sens contraire des aiguilles d’une montre (sens direct ou trigonométrique), il est considéré comme positif, alors que s’il est mesuré dans le sens des aiguilles d’une montre (sens indirect), il est considéré comme négatif.
Explorons plus en détail la signification de cette définition. Supposons que nous ayons la paire ordonnée . Cela veut dire nous avons deux rayons : , le côté initial et , le côté terminal, et les deux se rencontrent au sommet , comme indiqué.
Ainsi, nous pouvons dire que est un angle orienté. En outre, puisque l’angle est mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, on dit qu’il est positif. Il est également possible de le mesurer dans le sens des aiguilles d’une montre, ce qui donnerait un angle négatif, comme indiqué.
En revanche, si nous avions la paire ordonnée , cela correspondrait à l’angle orienté suivant, avec deux mesures possibles.
Nous pouvons voir que et ne sont pas les mêmes angles, car les mesures positives et négatives sont inversées.
Dans notre premier exemple, nous allons examiner comment déterminer ces angles équivalents, mesurés en degrés.
Exemple 1: Déterminer l’angle équivalent positif le plus petit en degrés
Déterminez le plus petit équivalent positif de .
Réponse
On imagine que l’angle orienté est l’angle entre deux vecteurs et , où est le côté initial et est le côté terminal de l’angle.
Puisque est positif, nous allons mesurer l’angle entre ces deux vecteurs dans le sens direct. Nous savons qu’un tour complet est égal à , nous devons donc faire au moins un tour complet pour obtenir l’angle que nous recherchons.
En fait, , qui est toujours inférieur à , nous devons donc effectuer deux tours complets.
Nous devons arriver à et . Cela signifie que nous devons avancer de dans le sens direct.
Le plus petit équivalent positif de est .
Nous allons maintenant montrer comment trouver des équivalents positifs d’un angle négatif mesuré en degrés.
Exemple 2: Déterminer la plus petite mesure positive de l’angle équivalent à un angle négatif
Déterminez le plus petit équivalent positif de .
Réponse
On imagine que l’angle orienté est l’angle entre deux vecteurs et , où est le côté initial et est le côté terminal de l’angle.
Puisque est négatif, nous allons mesurer l’angle entre ces deux rayons dans le sens indirect. Cela signifie que l’angle de sera comme indiqué sur le schéma ci-dessous.
Nous devons trouver le plus petit équivalent positif de , nous devons donc mesurer le même angle mais dans le sens opposé. Un angle orienté positif indique que nous devons mesurer dans le sens direct.
Nous rappelons que la somme des angles en un point est égale à , nous trouvons donc un équivalent positif de en soustrayant à :
Par conséquent, le plus petit équivalent positif de est .
Avant d’étudier notre prochain exemple, nous allons introduire un nouveau terme : les « angles coterminaux ». Dans la question précédente, et étaient des exemples de deux angles coterminaux, car ils partageaient les mêmes côtés initial et terminal.
Définition : Angles coterminaux
Des angles coterminaux partagent les mêmes côtés initial et terminal respectivement.
Pour déterminer la mesure d’un angle coterminal, nous pouvons additionner ou soustraire (ou ) à l’angle donné.
Nous remarquons que puisque nous pouvons additionner ou soustraire autant de multiples de que nous souhaitons, il existe une quantité infinie d’angles équivalents pour un angle orienté donné.
Nous allons maintenant calculer un angle équivalent positif et un angle équivalent négatif lorsque l’angle d’origine est donné en radians.
Exemple 3: Déterminer les mesures positives et négatives des angles équivalents à un angle donné
Déterminez un angle de mesure positive et un angle de mesure négative qui sont équivalents à l’angle de mesure .
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
Réponse
Considérons l’angle . Nous pourrions le convertir en degrés en utilisant le fait que est égal à :
de = , donc, .
Cependant, nous allons conserver notre angle en radians car les cinq options de réponse sont également données dans cette unité.
Puisque notre angle est positif, nous devons mesurer l’angle dans le sens direct à partir du côté initial, comme illustré ci-dessous.
Nous rappelons que les angles coterminaux partagent les mêmes côtés initial et terminal respectivement. Cela signifie que nous cherchons d’autres écritures pour exprimer la mesure d’un même angle.
Nous pouvons déterminer les angles équivalents en additionnant ou en soustrayant à l’angle donné.
Pour trouver un autre angle positif, nous devons continuer à mesurer dans le sens direct. Cela signifie que nous devons ajouter à l’angle : 
Un angle de mesure positive équivalent à l’angle de mesure est .
De la même manière, nous pouvons déterminer un angle de mesure négative en nous déplaçant dans le sens indirect. Cela signifie que nous devons soustraire à l’angle :
Un angle de mesure négative équivalent à l’angle de mesure est .
Les deux angles sont et .
Dans nos trois premiers exemples, nous avons vu qu’il existe un nombre infini de façons d’écrire la mesure un angle donné. Nous voulons parfois restreindre la mesure de l’angle que nous donnons dans un intervalle précis. Lorsque c’est le cas, nous utilisons la mesure directe.
Définition : Mesure directe
La mesure directe de l’angle entre le côté initial et le côté terminal, mesuré dans le sens direct est la mesure dont la valeur en degrés appartient à et en radians à .
Si est la mesure directe de l’angle, alors, ou .
Dans les deux derniers exemples, nous allons montrer comment calculer une mesure directe en radians.
Exemple 4: Déterminer la mesure directe
Soit l’angle , déterminez sa mesure directe.
Réponse
La mesure directe est la mesure de l’angle dans le sens direct entre le côté initial et le côté terminal qui a une valeur de , où .
Cela signifie que nous devons trouver l’angle équivalent à qui se situe entre 0 et inclus. La première étape est d’essayer de simplifier la fraction. Puisque , l’angle est équivalent à .
Un tour complet est égal à , nous devons donc calculer combien de rotations complètes nous pouvons effectuer :
, de sorte que nous pouvons effectuer 45 tours complets plus rotation.
Nous savons que rotation correspond à .
Par conséquent, la mesure directe de est de .
Exemple 5: Déterminer la mesure directe
Soit l’angle , déterminez sa mesure directe.
Réponse
La mesure directe est la mesure de l’angle dans le sens direct entre le côté initial et le côté terminal qui a une valeur , où .
Cela signifie que nous devons trouver l’angle équivalent à qui se situe entre 0 et .
Puisque est négatif, cet angle est mesuré dans le sens indirect.
Puisque est égal à , et qu’une rotation complète est égale à , nous pouvons effectuer deux rotations complètes puis avancer de dans le sens indirect. Ceci est illustré par les figures ci-dessous.
Puisque nous mesurons dans le sens indirect, cet angle est négatif : il est égal à . La mesure directe doit être positive, nous devons donc trouver son angle équivalent mesuré dans le sens direct.
Pour déterminer l’angle équivalent dont nous avons besoin, et donc sa mesure directe, nous soustrayons à :
Par conséquent, la mesure directe de est .
Nous allons terminer cette fiche explicative en récapitulant certains des points clés.
Points Clés
- Un angle orienté est un angle qui a un sens ; le sens direct est positif et le sens indirect est négatif.
- Des angles coterminaux partagent les mêmes côtés initial et terminal. Il existe un nombre infini d’angles coterminaux, ils sont tous équivalents entre eux.
- La mesure directe est la mesure de l’angle dans le sens direct entre le côté initial et le côté terminal qui a une valeur de , où ou .
