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Fiche explicative de la leçon : Notation sigma Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous apprendrons à exprimer une série à l’aide de la notation sigma et à développer puis calculer une série représentée en notation sigma.

En mathématiques, une suite peut être pensée comme une liste ordonnée de nombres. Étant donné cette description très ouverte et vague, on imagine aisément qu’il y a une infinité de suites. Souvent, les suites qui nous intéressent sont liées à des notions de base en mathématiques qui peuvent être décrites en utilisant cette idée. Par exemple, prenons la suite des carrés des nombres entiers, où tous les entiers strictement positifs sont élevés au carré et présentés dans l’ordre suivant:1, 4, 9, 16, 25, etc. Sachant qu’il y a une infinité de carrés, cette suite est infinie. Cependant, nous pourrions choisir un sous-ensemble fini de ces nombres tels que 16, 25, 36, 49, et cela constitue toujours une suite basée sur les carrés des nombres, mais cette suite est finie.

Une fois qu’une suite a été bien définie, elle peut être utilisée pour créer une « série », cela consiste essentiellement à additionner les éléments d’une suite dans l’ordre des termes de la suite. Par exemple, si on considère la suite ci-dessus donnée par 16, 25, 36, 49, alors la série correspondante à cette suite est 16+25+36+49 et, dans ce cas, la somme peut être calculée et vaut 126. Le calcul d’une somme d’une série peut s’avérer difficile et il peut être impossible de le faire, même en utilisant des formules de référence, cela dépend beaucoup de la suite sur laquelle la série est basée.

La notation sigma est un moyen pratique d’écrire des séries où chaque terme de la somme peut être défini par une suite ou une fonction. Différents types importants de séries existent en mathématiques, les séries les plus communes étant les séries arithmétiques et les séries géométriques, les deux pouvant être représentées à l’aide de la notation sigma. La notation sigma peut être utilisée pour tout type d’expression ou de fonction dont le résultat peut être écrit sous la forme d’une somme de termes d’une suite donnée, cette notation est riche en propriétés algébriques qui peuvent être utilisées pour simplifier les calculs et les condenser de manière significative.

Définition : Notation Sigma

Considérons une fonction ou une suite d’expression 𝑓(𝑟), 𝑟. Alors, pour deux entiers 𝑎 et 𝑏, 𝑎𝑏, on peut additionner cette expression en utilisant la notation sigma 𝑓(𝑟).

Cette expression indique que nous calculons 𝑓(𝑟) pour 𝑟=𝑎,𝑎+1,𝑎+2,,𝑏 puis que nous additionnons ces valeurs dans l’ordre. En supposant que 𝑎 et 𝑏 sont finis, la forme développée de cette expression s’écrit 𝑓(𝑟)=𝑓(𝑎)+𝑓(𝑎+1)+𝑓(𝑎+2)++𝑓(𝑏).

Souvent 𝑎 et 𝑏 sont respectivement appelés la « limite inférieure de sommation » et la « limite supérieure de sommation » de la série. Les termes 𝑎 et 𝑏 ne sont pas nécessairement finis, bien qu’en général, l’un des deux l’est. Cependant, si au moins une de ces deux limites de sommation est infinie, alors nous additionnerons un nombre infini de termes et, naturellement, cela devient plus difficile à traiter qu’avec un nombre fini de termes à sommer. Le plus souvent, les séries utilisant la notation sigma prennent 𝑎 égal à 1. Cependant, il est tout à fait possible que la limite inférieure de sommation 𝑎 ne soit pas égale à 1 et il y a des situations où il est pratique de modifier les limites inférieure et supérieure de sommation pour être plus rapide et efficace dans les calculs à venir.

Nous illustrerons cette idée par un exemple simple. Supposons que nous cherchons à calculer l’expression suivante écrite à l’aide de la notation sigma:2𝑟.

Tout d’abord, notons que la limite inférieure de sommation est 1 et la limite supérieure de sommation est 5. La suite qui est utilisée pour générer cette série peut être écrite comme 𝑓(𝑟)=2𝑟. En calculant maintenant cette fonction pour chaque valeur entière comprise entre les deux limites (en les incluant), nous obtenons ce qui suit:𝑓(1)=2×1,𝑓(2)=2×2,𝑓(3)=2×3,𝑓(4)=2×4,𝑓(5)=2×5.

La série complète peut donc être calculée en additionnant tous ces termes dans l’ordre, ainsi 2𝑟=𝑓(1)+𝑓(2)+𝑓(3)+𝑓(4)+𝑓(5)=(2×1)+(2×2)+(2×3)+(2×4)+(2×5)=30.

En réalité, il est rarement nécessaire d’écrire la série à l’aide de la notation de fonction 𝑓(𝑟)=2𝑟 et généralement, nous choisissons d’omettre la première ligne de travail dans le calcul précédent. Cependant, cette définition est utile lorsque l’on cherche à remonter les étapes, c’est-à-dire en étudiant une série écrite sous une forme développée et en essayant de l’écrire à l’aide de la notation sigma. Nous en verrons plusieurs exemples plus loin dans la leçon, après s’être entrainé sur quelques exemples qui utilisent la technique ci-dessus.

Exemple 1: Calculer la somme d’une série finie après l’avoir développée

Développez puis calculez 19𝑟.

Réponse

D’abord, nous choisissons d’exprimer la suite sous la forme 𝑓(𝑟)=19𝑟, en notant que la limite inférieure de sommation est 1 et la limite supérieure de sommation est 4. Il nous sera utile d’écrire la valeur de cette suite pour tous les entiers entre la limite inférieure de sommation et la limite supérieure de sommation (en les incluant). Cela donne 𝑓(1)=19×1=19,𝑓(2)=19×2=76,𝑓(3)=19×3=171,𝑓(4)=19×4=304.

Après avoir écrit ces termes, il est simple d’exprimer la série complète 19𝑟=𝑓(1)+𝑓(2)+𝑓(3)+𝑓(4)=19×1+19×2+19×3+19×4=19+76+171+304=570.

L’exemple ci-dessus est une extension assez simpliste du tout premier exemple que nous avons donné dans cette fiche explicative, la suite génératrice ne contenait qu’un seul terme. Cet exemple a été choisi pour montrer l’idée, plutôt que des calculs longs ou fastidieux. Il est possible, bien sûr, d’utiliser des suites beaucoup plus élaborées pour générer la série associée en utilisant la notation sigma. En supposant que la même méthode soit appliquée, il y a peu de raisons pour que cela s’avère plus difficile, bien qu’évidemment, les calculs impliqués sont susceptibles de prendre plus de temps et d’être plus difficiles à effectuer sans erreurs. Dans la question suivante, nous donnerons un exemple un peu plus compliqué, où la suite utilisée a deux termes.

Exemple 2: Calcul de la somme d’une série finie après l’avoir développée

Développez puis calculez (252).

Réponse

On commence par extraire l’expression de la suite impliquée ci-dessus, 𝑓(𝑟)=252. La limite inférieure de sommation est 1 et la limite supérieure de sommation est 4. On a ainsi les calculs suivants 𝑓(1)=252=50,𝑓(2)=252=48,𝑓(3)=252=44,𝑓(4)=252=36.

La série complète peut alors être écrite comme (252)=𝑓(1)+𝑓(2)+𝑓(3)+𝑓(4)=252+252+252+252=50484436=178.

Dans les deux exemples précédents, la limite inférieure de sommation vaut 1. Bien qu’une limite inférieure de sommation de 0 ou 1 soit la situation la plus fréquente, cette limite et la limite supérieure de sommation peuvent toutes deux prendre n’importe quelle valeur entière (à condition que la limite inférieure de sommation soit inférieure ou égale à la limite supérieure de sommation). Notre troisième exemple est semblable aux deux exemples ci-dessus en ce sens que la série est assez simple, bien que la limite inférieure de sommation ne soit pas égale à 1. Comme nous le verrons, si nous appliquons la même méthode que dans les exemples précédents, ce type de question devient aisé à traiter.

Exemple 3: Calcul de la somme d’une série finie

Calculez 8𝑟.

Réponse

Pour aider au calcul de la série ci-dessus, nous définissons la suite 𝑓(𝑟)=8𝑟 et observons que la limite inférieure de la variable de sommation est 3 et que la limite supérieure de sommation est 5. On calcule ensuite comme suit:𝑓(3)=83,𝑓(4)=84=2,𝑓(5)=85.

Après avoir calculer ces termes individuellement, nous pouvons calculer la somme, ce qui donne:8𝑟=𝑓(3)+𝑓(4)+𝑓(5)=83285=9415.

Jusqu’à présent, dans cette fiche explicative, nous avons traité plusieurs exemples dans lesquels on nous donne une expression sous la forme d’une notation sigma et on nous demande de la calculer. Nous y sommes parvenus en écrivant chaque terme de la série et en les additionnant dans l’ordre. En supposant que nous maîtrisons la notation sigma, la représentation fonctionnelle, l’addition, et ainsi de suite, cette tâche est généralement d’une difficulté relative. En réalité, nous choisirions souvent de calculer ces expressions en utilisant un ordinateur ou une calculatrice spécifique, surtout si la série contient de nombreux termes ou est particulièrement compliquée.

Le processus inverse est lorsqu’on a une somme écrite en entier et qu’on nous demande de l’écrire de manière concise à l’aide de la notation sigma. En règle générale, cette tâche est plus difficile à exécuter et plus susceptible de générer des erreurs. Ceci étant dit, il existe plusieurs règles de base qui peuvent être appliquées pour que cette tâche soit aussi simple que possible. De manière générale, nous cherchons toujours à écrire une série à l’aide de la notation sigma après avoir factorisé au maximum l’expression, ce qui réduit sa complexité. Si cette démarche est appliquée, alors l’expression sous la forme d’une notation sigma est normalement assez rapide à trouver. Nous commençons par un exemple très simple où aucune factorisation n’est nécessaire.

Exemple 4: Exprimer une série donnée à l’aide de la notation sigma

Exprimez la série 26+27+28+29+30++84 à l’aide de la notation sigma, .

Réponse

On peut envisager de s’intéresser à la suite 𝑓(𝑟)=𝑟, où la limite inférieure de sommation est 26. Cela suggère que la série s’écrit de la manière suivante en notation sigma 𝑟.

On pourrait voir immédiatement que l’expression est correcte. Cependant, pour montrer que cela est correct, nous définissons la fonction d’expression 𝑓(𝑟)=𝑟 puis, nous écrivons le calcul suivant:𝑓(𝑟)=𝑓(26)+𝑓(27)+𝑓(28)+𝑓(29)+𝑓(30)++𝑓(84)=26+27+28+29+30++84, qui est celui de la série initiale.

Exemple 5: Exprimer une série donnée à l’aide de la notation sigma

Exprimez la série 54×12+54×24+54×36++54×240 à l’aide de la notation sigma.

Réponse

Dans la série ci-dessus, nous notons immédiatement que chaque terme contient un facteur 54, ce qui nous permet d’écrire 54×12+54×24+54×36++54×240=54×(12+24+36++240).

Dans cette nouvelle forme, nous pouvons ainsi remarquer dans le second membre l’apparition d’un facteur 12 dans chaque terme, donnant ainsi 54×12+54×24+54×36++54×240=54×12×(1+2+3++20)=648×(1+2+3++20)=648×1+648×2+648×3++648×20.

Cela montre que la série peut être écrite en fonction de la suite 𝑓(𝑟)=648×𝑟 avec une limite inférieure de sommation de 1 et une limite supérieure de sommation de 20. Par conséquent, 54×12+54×24+54×36++54×240=648𝑟.

Dans l’exemple précédent, nous avons vu comment une série apparemment compliquée peut être réduite à une expression simple impliquant la suite 𝑓(𝑟)=𝑟, comme dans l’exemple qui a précédé celui-ci. Il arrive souvent que des séries impliquent des suites basiques telles que 𝑓(𝑟)=𝑟 ou 𝑓(𝑟)=𝑟, 𝑘 est un entier. Même lorsque c’est le cas, il est généralement avantageux de chercher encore des facteurs communs à chaque terme de la série, dans le but d’obtenir une forme plus simple. Nous en donnons un exemple dans la question suivante.

Exemple 6: Exprimer une série donnée à l’aide de la notation sigma

Exprimez la série 8+32+72+128++512 à l’aide de la notation sigma.

Réponse

Lors d’une première étude, nous pouvons voir que chaque terme de la suite semble impliquer un facteur de 8. On suppose que c’est le cas et on factorise comme suit:8+32+72+128++512=8×(1+4+9+16++64).

La série entre parenthèses est maintenant très familière car ces nombres sont des carrés avec une limite inférieure de sommation de 1 et une limite supérieure de sommation de 8. Cette remarque permet d’écrire 8+32+72+128++512=8×(1+4+9+16++64)=8×1+2+3+4++8=8×1+8×2+8×3+8×4+8×8.

Ainsi la série est générée par la suite 𝑓(𝑟)=8𝑟, avec une limite inférieure de sommation de 1 et une limite supérieure de sommation de 8, ce qui signifie que l’expression complète en termes de notation sigma est 8+32+72+128++512=8𝑟.

Parfois, lorsqu’on travaille avec des séries finies, il y a plusieurs façons de les représenter en utilisant la notation sigma. Souvent, ces différentes façons impliquent de modifier les limites inférieure et supérieure ou de factoriser d’une manière différente. Ce processus est facilité si on nous donne le terme de rang 𝑛 de la série sous forme algébrique. Comme nous le verrons dans l’exemple suivant, il peut y avoir plusieurs façons d’exprimer une somme donnée, selon nos préférences.

Exemple 7: Exprimer une série donnée à l’aide de la notation sigma

Exprimez la série 26+39+52++(13𝑛+13) à l’aide de la notation sigma.

Réponse

Le terme (13𝑛+13) suggère que nous pourrions être à la recherche d’une suite de la forme 𝑓(𝑟)=13𝑟+13. Nous pouvons immédiatement voir que c’est le cas:en calculant cette suite pour les premiers entiers positifs, nous trouvons 𝑓(1)=13×1+13=26,𝑓(2)=13×2+13=39,𝑓(3)=13×3+13=52.

Il s’agit des trois premiers termes de la série initiale, ce qui signifie que nous pouvons écrire ceci en notation sigma comme 26+39+52++(13𝑛+13)=(13×1+13)+(13×2+13)+(13×3+13)++(13×𝑛+13)=𝑓(1)+𝑓(2)+𝑓(3)++𝑓(𝑛)=𝑓(𝑟).

Sachant que nous avons défini 𝑓(𝑟)=13𝑟+13, la série peut être écrite à l’aide de la notation sigma comme (13𝑟+13).

Dans la question précédente, nous aurions facilement pu choisir d’exprimer la série sous une forme légèrement différente. Par exemple, on peut choisir d’exprimer la fonction d’expression 𝑓(𝑟)=13𝑟+13 sous forme factorisée 𝑓(𝑟)=13(𝑟+1), ce qui donne l’expression 13(𝑟+1).

Comme exercice pour le lecteur, nous pourrions également modifier les limites inférieure et supérieure de la somme, ce qui donne l’expression équivalente 13𝑟.

Nous ne montrerons pas exactement comment nous avons obtenu cette expression, mais l’équivalence avec la série d’origine peut être vérifiée en développant la série et en identifiant terme par terme.

Jusqu’à présent, dans cette fiche explicative, nous avons seulement travaillé avec des séries qui contiennent un nombre fini de termes. Dans l’exemple suivant, nous allons travailler avec une limite supérieure de sommation qui n’est pas finie. Dans cette fiche explicative, nous ne nous intéressons pas au calcul de telles séries (dans l’exemple suivant, il n’y a d’ailleurs pas de calcul possible car la série diverge), mais nous nous concentrons plutôt sur l’écriture de la série à l’aide de la notation sigma. Nous devrons nous inspirer des exemples précédents et, comme nous le verrons, il y a au moins deux façons d’exprimer la série à l’aide de la notation sigma.

Exemple 8: Exprimer une série donnée à l’aide de la notation sigma

Exprimez la série (32×33)+(33×34)+(34×35)+ à l’aide de la notation sigma.

Réponse

Dans un souci de clarté, nous traiterons cet exemple dans le but d’écrire cette série à l’aide de la notation sigma, avec la limite inférieure de sommation égale à 1. C’est un choix arbitraire, mais c’est le choix le plus conventionnel en l’absence d’informations supplémentaires. Nous cherchons donc à créer une suite qui génère chaque terme de la série si la limite inférieure de sommation est 1. En d’autres termes, nous allons essayer de trouver 𝑓(𝑟) telle que 𝑓(1)=32×33,𝑓(2)=33×34,𝑓(3)=34×35.

En écrivant chaque terme de la série de cette manière, il apparait clairement que la suite doit être de la forme 𝑓(𝑟)=(𝑟+31)×(𝑟+32) et nous pouvons vérifier cela pour chaque terme de la série donnée. Cela étant dit, nous pouvons alors écrire la série comme (32×33)+(33×34)+(34×35)+=𝑓(1)+𝑓(2)+𝑓(3)+=𝑓(𝑟),

où la limite supérieure de sommation notée + représente le fait que la série ne s’arrête pas après un nombre fini de termes. Sachant que nous avons défini 𝑓(𝑟)=(𝑟+31)(𝑟+32), on a alors (32×33)+(33×34)+(34×35)+=(𝑟+31)(𝑟+32).

Comme avec l’exemple précédent, les séries de l’exemple ci-dessus peuvent être représentées de multiples façons. En modifiant les limites inférieure et supérieure de sommation, nous pourrions également choisir de représenter cette série en utilisant la notation sigma comme suit:(32×33)+(33×34)+(34×35)+=(𝑟+32)(𝑟+33).

Alternativement, de manière plus aventureuse, nous aurions pu choisir l’expression équivalente (32×33)+(33×34)+(34×35)+=𝑟(𝑟+1).

Le choix particulier d’une expression dépend beaucoup des préférences personnelles, certaines personnes préférant avoir une suite plus simple avec des limites inférieure ou supérieure non conventionnelles. Lorsque vous choisissez une expression alternative où les limites ont été changées, il est toujours judicieux de développer la série pour s’assurer qu’elle correspond terme à terme avec toute expression équivalente.

Lors de l’écriture d’une série en notation sigma, il peut être utile de voir comment chaque terme peut être écrit à l’aide des suites de base telles que les suites puissances, les suites exponentielles, etc. Pour les questions qui apparaissent dans les examens et les manuels, une suite peut sembler compliquée et en désordre tout en étant assez simple en la liant à des suites plus faciles et connues. L’exemple suivant illustre cette idée et aide à comprendre des suites qui semblent compliquées ou intraitables.

Exemple 9: Exprimer une série donnée à l’aide de la notation sigma

Exprimez la série 8+98+998+9998+ à l’aide de la notation sigma, traduisant une somme de 𝑛 termes.

Réponse

Nous commençons par supposer qu’il existe une suite qui génère la série ci-dessus, nous la définissons par 𝑓(𝑟). De plus, en l’absence d’autres informations, nous supposerons que la limite inférieure de sommation de la série est 1 et que la limite supérieure de sommation est 𝑛. Bien que nous n’ayons pas encore l’expression de 𝑓(𝑟), on peut remarquer en étudiant chaque terme qu’elle est liée aux puissances de 10 de la manière suivante:𝑓(1)+2=8+2=10,𝑓(2)+2=98+2=100,𝑓(3)+2=998+2=1000,𝑓(4)+2=9998+2=10000.

Sous cette forme, il est clair que 𝑓(𝑟)+2=10 et que, par conséquent, 𝑓(𝑟)=102. On peut calculer 𝑓(1);𝑓(2),𝑓(3) et 𝑓(4) pour vérifier que l’on obtient bien les quatre premiers termes de la série. Cela nous permet de voir que l’écriture de la série comme une somme de 𝑛 termes donne 8+98+998+9998++102=𝑓(1)+𝑓(2)+𝑓(3)+𝑓(4)++𝑓(𝑛)=𝑓(𝑟)=(102).

Nous avons maintenant traité une série d’exemples dans cette fiche explicative qui introduisent la notation sigma. Cependant, nous avons largement négligé de discuter les règles algébriques régissant la notation sigma, dont beaucoup auraient permis de traiter les exemples ci-dessus avec plus de rapidité et de rigueur. Apprendre à manipuler efficacement des expressions écrites à l’aide de la notation sigma est une partie essentielle de la compréhension des mathématiques à un niveau supérieur et une maîtrise de ce sujet s’avère fructueuse dans d’autres domaines tels que le calcul et l’algèbre linéaire. Dans ce cas, il est toujours possible d’utiliser ou non la notation sigma sans comprendre ces techniques, à condition que cela soit fait de manière méthodique et que tous les termes de la suite soient vérifiés. Comme indiqué dans plusieurs des exemples ci-dessus, il y a généralement plusieurs façons d’exprimer une somme à l’aide de la notation sigma en modifiant les limites de sommation ou la forme algébrique de la suite génératrice.

Points Clés

  • La notation sigma simplifie la série suivante:𝑓(𝑟)=𝑓(𝑎)+𝑓(𝑎+1)+𝑓(𝑎+2)++𝑓(𝑏),𝑎 est la limite inférieure de sommation et 𝑏 est la limite supérieure de sommation.
  • On doit avoir 𝑎𝑏, bien qu’il ne soit pas exigé que 𝑎 ou 𝑏 soient finis.
  • En l’absence d’autres informations, on suppose normalement que la limite inférieure de sommation est 1.
  • Bien que cela ne soit pas nécessaire, il est souvent utile de calculer les valeurs de 𝑓(𝑎);𝑓(𝑎+1),𝑓(𝑎+2);;𝑓(𝑏) avant de commencer à calculer une série écrite à l’aide de la notation sigma.
  • Lorsque l’on additionne chaque terme d’une série, il faut le faire dans l’ordre des termes de la suite. À proprement parler, cela n’est pas nécessaire lorsque 𝑎 et 𝑏 sont tous deux finis, mais c’est une question de méthode.
  • Il peut être difficile d’essayer d’écrire une série complète à l’aide de la notation sigma, mais cela est grandement facilité en factorisant la somme complète autant que possible.
  • Il y a généralement plusieurs manières valables d’exprimer une somme à l’aide de la notation sigma.

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