Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à effectuer un produit cartésien et utiliser les opérations appliquées aux ensembles.
Rappelons qu’un ensemble est une collection de nombres, par exemple . On note les ensembles en utilisant des accolades, et les nombres à l’intérieur sont les éléments, ils peuvent être rangés dans n’importe quel ordre. Rappelons que nous pouvons également effectuer des opérations sur différents ensembles, tels que chercher la réunion, l’intersection ou la différence entre eux. Si on pose , alors on a
Le symbole indique l’union, c’est l’ensemble des éléments appartenant à l’un ou l’autre des ensembles, dans ce cas c’est 1, 2, 3 et 4 (le 2 est répété mais nous ne devons pas le noter deux fois). Le symbole indique l’intersection, c’est l’ensemble des éléments qui sont communs aux deux ensembles, dans ce cas c’est juste 2 car c’est le seul élément appartenant aux deux ensembles. Enfin indique la soustraction d’un ensemble à un autre ensemble, ce qui signifie que tous les éléments du second ensemble sont retirés du premier ensemble. Ici, cela signifie simplement qu’on retire 2 de , ne laissant que 1.
Considérons maintenant une quatrième opération, le produit cartésien, que nous définissons comme suit.
Définition : Produit cartésien
Le produit cartésien de deux ensembles et est l’ensemble des couples tels que et .
Pour montrer comment cela fonctionne, prenons les produits cartésiens de nos ensembles précédents, et . Pour prendre un couple utilisant ces ensembles, on prend un élément de et un élément de et on les met entre parenthèses. En prenant le premier élément de chaque ensemble, nous avons . Nous souhaitons connaitre toutes les combinaisons de couples possibles entre les deux ensembles, ce que nous illustrons dans le diagramme sagittal suivant.
Le produit cartésien est donc
Notons que cela nous donne 6 éléments différents, ce qui signifie que la taille ou le cardinal de l’ensemble est égal à 6. Il convient de noter que nous pouvons également prendre le produit opposé, :
Il est important de réaliser que les deux ensembles et ne sont pas les mêmes, car l’ordre des nombres dans les couples est important. Par exemple, . Dans cette situation, le seul élément commun aux deux ensembles est . En général, on note que , ce qui signifie que les produits cartésiens ne sont pas commutatifs.
Il est également possible de prendre le produit d’un ensemble avec lui-même, que nous désignons par . Dans ce cas, nous aurions
On note que est l’une des deux exceptions où le produit cartésien est commutatif (c’est-à-dire, ), car si , alors de toute évidence l’ordre n’a pas d’importance. L’autre cas est lorsque soit soit est l’ensemble vide (l’ensemble sans nombre) désigné par , puisque et . En un sens, cela revient à multiplier par 0.
Considérant la taille ou le cardinal de l’ensemble , à la fois dans le cas ci-dessus et en général, nous pouvons remarquer que
C’est-à-dire que le nombre d’éléments dans est égal à (nombre d’éléments dans ) ( nombre d’éléments dans ), puisqu’il s’agit du nombre total de couples que nous pouvons former avec les deux ensembles. Notez que si nous inversons l’ordre, nous avons
On peut donc voir que , ce qui signifie que et ont toujours le même nombre d’éléments.
Pour nous entraîner à prendre le produit cartésien de deux ensembles, considérons un exemple semblable au précédent, où le produit cartésien est donné sous forme d’un diagramme sagittal.
Exemple 1: Déterminer les produits cartésiens à l’aide des diagrammes sagittaux
Utilisez le diagramme sagittal ci-dessous pour trouver .
Réponse
Rappelons que le produit cartésien de deux ensembles et est l’ensemble des couples tels que et .
Pour former ces couples, on prend chaque élément appartenant à , on suit les flèches reliées à chaque élément dans et pour chacune de ces flèches, on construit un couple de la forme .
Pour commencer, nous voyons que 4 est relié à 9, 3, et 8 par les flèches orange, ce qui donne les couples
Ensuite, 0 est relié par des flèches bleues à 9, 3 et 8. Cela nous donne les couples
En combinant ces éléments en un seul ensemble, nous avons
Comme nous venons de le voir, utiliser un diagramme sagittal pour trouver le produit cartésien est assez simple. Dans certains cas, cependant, nous devons trouver le produit cartésien des ensembles donnés en notation ensembliste. On peut aussi devoir combiner le produit cartésien avec d’autres opérations sur les ensembles. L’exemple suivant permet de s’entrainer.
Exemple 2: Déterminer le produit cartésien d’un ensemble et de l’intersection d’autres ensembles
Si , et , trouvez .
Réponse
Ici, nous avons une question impliquant trois ensembles différents. En considérant , on voit que comme est entre parenthèses, les priorités opératoires de calcul indique de le calculer en premier. Après cela, nous pouvons prendre le produit cartésien du résultat pour obtenir la solution.
Premièrement, est l’intersection de et . L’intersection de ces ensembles est l’ensemble des éléments qui sont dans et à la fois. Sachant que 7 est dans les deux ensembles, mais 6 ne l’est pas, nous avons
En d’autres termes, .
Maintenant, nous devons calculer ou . Comme il s’agit du produit cartésien, cela signifie que nous formons un ensemble contenant chaque couple formé par des éléments des deux ensembles. Cela donne un ensemble contenant trois couples comme suit :
Ainsi, nous avons la solution, .
Parfois, on nous donne des ensembles avec la notation ensembliste, mais d’autres fois, nous devons déterminer ces ensembles à l’aide de schéma. Considérons un exemple qui utilise les diagrammes de Venn pour représenter les ensembles.
Exemple 3: Déterminer le produit cartésien de la différence et de l’union d’ensembles à partir de leur diagramme de Venn
Déterminez en utilisant le diagramme de Venn ci-dessous.
Réponse
Lorsqu’on a une question impliquant un diagramme, la meilleure chose à faire est de commencer par écrire les ensembles. Nous pouvons voir que
Maintenant, afin de trouver , il faut d’abord déterminer et .
est l’ensemble des éléments dans après avoir retiré tous les éléments qui sont également dans . Ici, c’est
Nous avons obtenu en retirant 7 de , car c’est le seul élément présent dans les deux ensembles. On voit que, sur la figure, cela correspond à la région bleu clair de qui n’a pas d’intersection avec .
Ensuite, il faut trouver , qui est l’ensemble de points se situant dans ou . C’est où nous avons simplement combiné les deux ensembles. Enfin, il faut calculer , c’est-à-dire . Comme il s’agit du produit cartésien, nous devons former un ensemble contenant tous les couples possibles formés par les deux ensembles. Cela nous donne
En conclusion, la solution est .
Nous avons maintenant vu comment construire des produits cartésiens entre des ensembles de différentes manières. Parfois, certaines questions entrainent le problème à l’inverse ; étant donné un ensemble qui représente le produit cartésien, peut-on reconstruire les ensembles initiaux ? Comme nous le verrons dans l’exemple suivant, c’est une opération assez simple, en raison de la nature du produit cartésien.
Exemple 4: Déterminer un ensemble étant donné son produit cartésien avec un autre ensemble
Si , trouvez .
Réponse
Rappelons que pour le produit cartésien , les éléments sont de la forme , où et . On note que seuls les éléments de sont dans la première composante, et seuls les éléments de sont dans la seconde. Considérons seulement les premières composantes de chaque élément de , car ce sont des éléments de . Cela nous donne
Maintenant nous savons que contient toutes les combinaisons possibles des éléments de et . Cela signifie que l’ensemble de nombres ci-dessus contient chaque élément de éventuellement répété. En supprimant les répétitions, cela nous donne l’ensemble dans son intégralité,
Après avoir trouvé la solution, nous pouvons nous arrêter ici, mais il est souhaitable de vérifier qu’elle est correcte en trouvant également et en calculant leur produit cartésien. Considérant les secondes composantes de chaque élément de de la même manière qu’auparavant cela nous donne
Ensuite, en prenant on obtient
C’est en effet le même ensemble que celui qui nous a été donné à l’origine. Par conséquent, nous pouvons conclure que .
Continuons à affiner notre compréhension du fonctionnement des produits cartésiens en nous penchant sur un autre exemple où nous devons examiner comment les ensembles interagissent.
Exemple 5: Identifier le produit cartésien convenable étant donnés deux ensembles, qui contiennent un élément donné
Sachant que et , alors à quel ensemble appartient ?
Réponse
Pour traiter cette question, on peut essayer avec chacun des choix proposés et vérifier à quel ensemble appartient.
Commençons par . Rappelons que est l’ensemble des couples formés d’éléments de avec lui-même. Comme , est donné par
Nous pouvons voir que n’est pas un élément de cet ensemble. Continuons, calculons . Comme , nous devons prendre chaque couple formé des éléments des deux ensembles, soit couples au total. Cela nous donne
Ici, nous trouvons que est le sixième élément de notre liste, alors à ce stade, nous pouvons conclure que la réponse est B. Cependant, par souci d’exhaustivité, continuons à calculer les autres séries. Pour , il faut trouver , qui ne sont en réalité que les éléments de mais avec l’ordre dans les couples échangé. Plus précisément, nous avons
Notez que cela nous donne , qui est presque . Cependant, l’ordre des couples étant important, ce ne sont pas les mêmes. Enfin, nous avons . Comme cet ensemble contient 16 éléments, il est probablement plus facile de le représenter dans un tableau :
| 8 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 8 | ||||
Ici est l’ensemble des éléments du tableau. Comme prévu, on ne voit pas parmi les éléments.
Par conséquent, comme nous l’avions trouvé plus tôt, la solution est B : .
Autres commentaires : bien que nous ayons calculé tous les ensembles, il est important de noter que nous aurions pu trouver la solution à ce problème beaucoup plus simplement si nous avions utilisé les positions que les éléments de et prennent dans chaque couple. Considérant , on voit que est uniquement un élément de , et est uniquement un élément de . Le seul produit cartésien qui associe un élément de à la première position à un élément de à la deuxième position, est .
Nous avons maintenant vu comment le produit cartésien fonctionne dans divers exemples. Voyons maintenant l’une des applications les plus importantes du produit cartésien : les coordonnées cartésiennes ; les coordonnées cartésiennes désignent autre terme pour le système de coordonnées utilisé pour repérer des points et réaliser des graphiques.
Comme on peut le voir sur le repère, les coordonnées cartésiennes sont des couples, la première composante se rapportant à l’axe des et la seconde se rapportant à l’axe des . Les trois points placés dans le repère sont
Ce repère peut en fait être défini à l’aide du produit cartésien. Si , l’ensemble des nombres réels, représente l’axe des et représente également l’axe des , leur produit, , ou , est le plan bidimensionnel avec lequel nous pouvons représenter des points de la forme et des fonctions sous la forme . On note que est en fait un ensemble infini, ce qui le différencie légèrement des ensembles finis que nous avons considérés jusqu’à présent, bien que le concept soit toujours le même.
L’exemple suivant montre exactement comment un repère cartésien est lié au produit cartésien.
Exemple 6: Déterminer le produit cartésien à partir d’un repère cartésien
En utilisant le repère cartésien ci-dessous, déterminez la relation .
Réponse
Il est important de savoir exactement ce que la question signifie ici. On nous demande de trouver un ensemble de sorte que lorsque ses éléments sont tracés dans un repère cartésien, cela produit les points illustrés. Pour ce faire, nous devons déterminer quels sont les points, puis comment ils sont représentés comme un produit cartésien.
Pour trouver les valeurs des points dans le repère, il suffit de trouver leur valeur en et leur valeur en en regardant leur alignement avec l’axe des et l’axe des .
- Pour la valeur en bas à gauche, nous avons une valeur 1 en et une valeur 1 en , ce qui nous donne le point .
- Pour la valeur en haut à gauche, et ce qui nous donne .
- Pour la valeur en bas à droite, et ce qui nous donne .
- Enfin, pour la valeur supérieure droite, et ce qui nous donne .
Maintenant, nous devons représenter ces points comme un ensemble . Tout d’abord, notons que les ensembles et dans ce produit représentent respectivement l’axe des et l’axe des . Ainsi, si on veut exprimer et séparément, on aurait
Leur produit , est l’ensemble des couples formés par les éléments de chacun. Par conséquent, notre réponse est
Terminons en résumant les principales propriétés des produits cartésiens que nous avons apprises.
Points clés
- Le produit cartésien de deux ensembles et est l’ensemble des couples tels que et .
- Le produit cartésien est non commutatif (donc dans la plupart des cas).
- On peut combiner le produit cartésien avec d’autres opérations telles que et . L’ordre des opérations est important à prendre en compte.
- Les produits cartésiens peuvent être représentés à l’aide des diagrammes sagittaux et de repères cartésiens. Le plan est une forme de produit cartésien.
