Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à dériver des fonctions trigonométriques en nous concentrant sur les dérivées des fonctions cotangente, sécante et cosécante.
Ces fonctions sont définies comme les inverses des fonctions trigonométriques standards sinus, cosinus et tangente. Rappelons la définition de ces fonctions.
Définition : Inverse des fonctions trigonométriques
Les fonctions trigonométriques inverses sont les suivantes :
Notez que , si pour tout .
Pour calculer les dérivées de ces fonctions trigonométriques inverses, nous pouvons commencer par utiliser les dérivées des fonctions trigonométriques standards puis appliquer la formule de la dérivée d’un quotient aux expressions inverses. Bien que nous puissions toujours retrouver les dérivées des fonctions trigonométriques inverses de cette manière, il est utile de connaître leur formule directement pour ne pas avoir à dériver ces expressions à chaque fois. Rappelons donc les dérivées des fonctions sinus, cosinus et tangente.
Formule : Dérivées des fonctions trigonométriques
Les dérivées des fonctions trigonométriques sont les suivantes :
Commençons par la dérivée de la fonction sécante. À partir de la définition de la fonction sécante, on peut écrire
Nous allons ensuite appliquer la formule de la dérivée d’un quotient à cette expression pour déterminer sa dérivée.
Formule : Dérivée d’un quotient
Pour les fonctions dérivables et ,
En appliquant la formule de la dérivée d’un quotient au membre droit de l’équation (1), on a
Comme la dérivée d’une constante est nulle, on a . On sait aussi que . Par conséquent, le membre de droite de l’équation ci-dessus se simplifie par
On peut simplifier davantage cette expression en utilisant les définitions et . Le membre droit de l’équation ci-dessus peut alors être écrit comme
Nous avons ainsi déterminé la dérivée de la fonction sécante.
Formule : Dérivée de la fonction sécante
Si pour tout ,
Nous pouvons observer ci-dessous la courbe représentative de la fonction sécante ainsi que la courbe représentative de sa dérivée.
Il est possible de combiner cette dérivée avec la formule de la dérivée d’une composée. Rappelons la formule de la dérivée d’une composée.
Formule : Dérivée d’une fonction composée
Pour deux fonctions dérivables et ,
Dans notre premier exemple, nous allons appliquer la formule de la dérivée d’une composée avec la dérivée de la fonction sécante pour déterminer la dérivée d’une fonction donnée en un point.
Exemple 1: Dériver une fonction trigonométrique
Pour , déterminez le taux de variation de pour .
Réponse
On rappelle que le taux de variation de est défini par la dérivée . Dans cet exemple, nous pouvons trouver le taux de variation de pour en déterminant d’abord la dérivée puis en évaluant la dérivée en .
La fonction que nous souhaitons dériver implique la fonction sécante. Nous commençons donc par rappeler la dérivée de la fonction sécante :
Pour trouver la dérivée , nous devons dériver la fonction . La constante peut être factorisée en dehors de la dérivée, ce qui donne
Nous allons à présent appliquer la formule de la dérivée d’une composée pour traiter l’expression à l’intérieur de la fonction sécante. On rappelle la formule de la dérivée d’une composée : pour deux fonctions dérivables et ,
Nous pouvons voir que la fonction externe de est et que la fonction interne est . Par conséquent, et . Nous savons que
En appliquant la formule de la dérivée d’une puissance à , on obtient
Puis, appliquer la formule de la dérivée d’une composée à donne
Enfin, en se rappelant de la constante devant cette dérivée, on obtient
Nous devons à présent évaluer cette expression en . En substituant cette valeur dans , on obtient
Nous remarquons que , ainsi, nous pouvons trouver un angle équivalent en soustrayant à cet angle :
Cela signifie que
Nous voyons alors que est un angle remarquable dans le cercle trigonométrique dont nous connaissons les valeurs des fonctions trigonométriques :
Comme et pour tout angle , on a
Enfin, en substituant ces valeurs ci-dessus, nous obtenons
Par conséquent, le taux de variation de pour la valeur de demandée est .
Dans cet exemple, nous avons combiné la dérivée de la fonction sécante avec la formule de la dérivée d’une composée. Nous pouvons également l’utiliser avec la formule de la dérivée d’un produit.
Formule : Dérivée d’un produit
Pour deux fonctions dérivables et ,
Dans le prochain exemple, nous allons utiliser la dérivée de la fonction sécante avec les formules de la dérivée d’un produit et de la dérivée d’une composée.
Exemple 2: Dériver une fonction trigonométrique à l’aide de la formule de la dérivée d’un produit
Pour , déterminez .
Réponse
La fonction que nous souhaitons dériver implique les fonctions tangente et sécante, nous pouvons donc commencer par rappeler leurs dérivées :
Pour trouver la dérivée , nous devons dériver la fonction qui est un produit de deux fonctions. La constante peut être factorisée en dehors de la dérivée, ce qui donne
A présent, pour dériver , nous remarquons qu’il s’agit d’un produit de deux fonctions. Nous rappelons donc la formule de la dérivée d’un produit : pour deux fonctions dérivables et ,
En appliquant la formule de la dérivée d’un produit, on peut écrire
Nous devons alors calculer les dérivées et . Ces deux fonctions sont des fonctions composées, ce qui nécessite la formule de la dérivée d’une composée ; on rappelle la formule de la dérivée d’une composée : pour deux fonctions dérivables et ,
Pour , la fonction externe est et la fonction interne est . Comme et , d’après la formule de la dérivée d’une puissance, on peut écrire ce qui suit en utilisant la formule de la dérivée d’une composée :
Pour , la fonction externe est et la fonction interne est . En utilisant et ,
En substituant ces expressions dans la formule de la dérivée d’un produit, on a
On rappelle alors la constante que l’on a factorisée en dehors de la dérivée. On obtient donc
Dans les exemples précédents, nous avons utilisé la dérivée de la fonction sécante avec la formule de la dérivée d’une composée et la formule de la dérivée d’un produit pour dériver des fonctions. Déterminons maintenant la dérivée de la fonction cosécante. D’après la définition de la fonction cosécante, on peut écrire
En appliquant la formule de la dérivée d’un quotient,
Comme la dérivée d’une constante est nulle, on sait que . On sait également que . Par conséquent, le membre de droite de l’équation ci-dessus se simplifie par
On peut simplifier davantage cette expression en utilisant les définitions et . Le membre droit de l’équation ci-dessus peut donc être écrit comme
Nous avons ainsi trouvé la dérivée de la fonction cosécante.
Formule : Dérivée de la fonction cosécante
Si pour tout ,
Nous pouvons observer ci-dessous la courbe représentative de la fonction cosécante et la courbe représentative de sa dérivée.
Étudions maintenant un exemple où nous appliquons cette formule avec la formule de la dérivée d’un produit.
Exemple 3: Dériver une fonction impliquant une fonction trigonométrique inverse à l’aide de la formule de la dérivée d’un produit
Pour , déterminez .
Réponse
La fonction que nous souhaitons dériver implique la fonction cosécante, nous pouvons donc commencer par rappeler sa dérivée :
Pour trouver la dérivée , nous devons dériver la fonction qui est un produit de deux fonctions. On rappelle alors la formule de la dérivée d’un produit : pour deux fonctions dérivables et ,
En appliquant la formule de la dérivée d’un produit, on peut écrire
Le premier terme est la dérivée d’une fonction polynomiale, que l’on peut calculer avec la formule de la dérivée d’une puissance :
Le dernier terme est la dérivée d’une fonction qui est la somme de la fonction cosécante et d’une fonction polynomiale. Donc
En substituant ces expressions dans la formule de la dérivée d’un produit, on a
Étudions un autre exemple où nous utilisons la dérivée de la fonction cosécante avec la formule de la dérivée d’une composée.
Exemple 4: Dériver une fonction trigonométrique inverse à l’aide de la formule de la dérivée d’une composée
Sachant que , déterminez .
Réponse
La fonction que nous souhaitons dériver implique la fonction cosécante. Nous commençons donc par rappeler sa dérivée :
Pour trouver la dérivée , nous devons dériver la fonction . La constante peut être factorisée en dehors de la dérivée, ce qui donne
Comme est une composition de deux fonctions, on rappelle la formule de la dérivée d’une composée : pour deux fonctions dérivables et ,
On peut voir que la fonction externe de est et que la fonction interne est . Donc, . Pour la fonction interne , on sait que car la dérivée d’une constante est nulle et , d’après la formule de la dérivée d’une puissance. Cela conduit à . En substituant ces expressions dans la formule de la dérivée d’une composée, on obtient
Enfin, en se rappelant de la constante devant cette dérivée, on obtient
Jusqu’à présent, nous avons abordé divers problèmes de dérivations impliquant les fonctions sécante et cosécante. Concentrons-nous maintenant sur la dernière fonction trigonométrique inverse, la cotangente. D’après la définition de la fonction cotangente, on peut écrire
En appliquant la formule de la dérivée d’un quotient,
Or,
Par conséquent, la dérivée de peut être écrite comme
On peut alors appliquer l’identité trigonométrique pour écrire cette dérivée comme . Enfin, en utilisant la définition , l’expression finale est . Nous avons ainsi trouvé la dérivée de la fonction cotangente.
Formule : Dérivée de la fonction cotangente
Si pour tout ,
Nous pouvons observer ci-dessous la courbe représentative de la fonction cotangente ainsi que la courbe représentative de sa dérivée.
Étudions un exemple où nous devons appliquer cette formule pour trouver une dérivée.
Exemple 5: Dériver une somme de fonctions trigonométriques
Déterminez , sachant que .
Réponse
La fonction que nous souhaitons dériver implique les fonctions cosinus et cotangente, nous pouvons donc commencer par rappeler leurs dérivées :
Pour trouver , nous devons dériver la fonction . La somme peut être séparée en utilisant la propriété de la dérivée d’une somme et les constantes et 3 peuvent être factorisées en dehors de chaque dérivée, ce qui donne
Nous devons maintenant calculer les dérivées et ; ces deux fonctions sont des fonctions composées, ce qui nécessite d’utiliser la formule de la dérivée d’une composée. On rappelle la formule de la dérivée d’une composée : pour deux fonctions dérivables et ,
Pour , la fonction externe est et la fonction interne est . Comme et , d’après la formule de la dérivée d’une puissance, on peut écrire ce qui suit en utilisant la formule de la dérivée d’une composée :
Pour , la fonction externe est et la fonction interne est . En utilisant et ,
En substituant ces expressions, on a
Nous avons maintenant déterminé les dérivées des trois fonctions trigonométriques inverses et traité des exemples en utilisant chaque formule. Mémoriser ces formules peut sembler être difficile mais il existe des modèles à connaître permettant d’éviter les erreurs. En particulier, un des modèles découle des identités trigonométriques des angles complémentaires. Nous commençons par lister les six dérivées ici :
Les trois dérivées à droite sont les dérivées des fonctions correspondantes aux fonctions de gauche pour des angles complémentaires. Par exemple, est la fonction pour un angle complémentaire, ce qui signifie que . À partir de la liste ci-dessus, nous pouvons observer la propriété suivante.
Propriété : Dérivés de fonctions trigonométriques pour des angles complémentaires
À partir de la dérivée d’une fonction trigonométrique, la dérivée de sa fonction correspondante pour un angle complémentaire est obtenue en multipliant la dérivée d’origine par et en échangeant chaque fonction trigonométrique de la dérivée par sa fonction correspondante pour un angle complémentaire.
Par exemple, si on sait que , alors la dérivée de sa fonction correspondante pour un angle complémentaire, , est obtenue en plaçant un signe négatif à l’avant de l’expression et en remplaçant et par leurs fonctions correspondantes pour des angles complémentaires, et respectivement, ce qui donne .
Grâce à cette propriété, il suffit de connaître trois dérivées au lieu de six. En mémorisant les dérivées des fonctions sinus, tangente et sécante, nous pouvons facilement déterminer les dérivées des six fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses.
Dans notre dernier exemple, nous allons utiliser plusieurs dérivées des fonctions trigonométriques inverses pour déterminer une dérivée.
Exemple 6: Déterminer la dérivée d’une fonction trigonométrique élevée à une puissance négative
Sachant que , déterminez .
Réponse
La fonction que nous souhaitons dériver implique les fonctions cotangente et cosécante, nous pouvons donc commencer par rappeler leurs dérivées :
Pour trouver la dérivée , nous devons dériver la fonction . Nous pouvons approcher cette dérivation avec deux méthodes différentes. La première méthode consiste à appliquer la formule de la dérivée d’une composée à cette fonction, où la fonction externe est et la fonction interne est . La deuxième méthode consiste à réécrire cette expression sous la forme d’un quotient et à appliquer la formule de la dérivée d’un quotient. Nous allons ici présenter la deuxième méthode, en écrivant cette expression comme un quotient. Nous devons donc déterminer
On rappelle alors la formule de la dérivée d’un quotient : pour deux fonctions dérivables et ,
En appliquant la formule de la dérivée d’un quotient, on peut écrire
Comme la dérivée d’une constante est nulle, on sait que . Pour la dérivée , on peut appliquer la formule de la dérivée d’une somme pour séparer la somme, puis factoriser par 7 et 3 devant les dérivées :
Nous devons maintenant calculer les dérivées et . Ces deux fonctions sont des compositions, ce qui nécessite la formule de la dérivée d’une composée ; on rappelle alors la formule de la dérivée d’une composée : pour deux fonctions dérivables et ,
Pour , la fonction externe est et la fonction interne est . Comme et , d’après la formule de la dérivée d’une puissance, on peut écrire ce qui suit en utilisant la formule de la dérivée d’une composée :
Pour , la fonction externe est et la fonction interne est . En utilisant et ,
En substituant ces expressions, on a
Enfin, nous pouvons substituer cette expression dans la formule de la dérivée d’un quotient ci-dessus pour obtenir
Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.
Points clés
- On peut obtenir les dérivées des fonctions trigonométriques inverses en appliquant la formule de la dérivée d’un quotient aux fonctions sinus, cosinus et tangente.
- Les dérivées des fonctions trigonométriques inverses sont
- À partir de la dérivée d’une fonction trigonométrique, la dérivée de sa fonction correspondante pour un angle complémentaire est obtenue en multipliant la dérivée d’origine par et en échangeant chaque fonction trigonométrique de la dérivée par sa fonction correspondante pour un angle complémentaire. Cette propriété peut être observée dans la liste des dérivées suivante :
