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Fiche explicative de la leçon : Dérivation des fonctions cotangente, sécante et cosécante Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à dériver des fonctions trigonométriques en nous concentrant sur les dérivées des fonctions cotangente, sécante et cosécante.

Ces fonctions sont définies comme les inverses des fonctions trigonométriques standards sinus, cosinus et tangente. Rappelons la définition de ces fonctions.

Définition : Inverse des fonctions trigonométriques

Les fonctions trigonométriques inverses sont les suivantes:seccossipourtoutcscsinsipourtoutcotcossinsipourtout𝑥=1𝑥𝑥𝜋2+𝑛𝜋𝑛,𝑥=1𝑥𝑥𝑛𝜋𝑛,𝑥=𝑥𝑥𝑥𝑛𝜋𝑛.

Notez que cottan𝑥=1𝑥, si 𝑥𝜋2+𝑛𝜋 pour tout 𝑛.

Pour calculer les dérivées de ces fonctions trigonométriques inverses, nous pouvons commencer par utiliser les dérivées des fonctions trigonométriques standards puis appliquer la formule de la dérivée d’un quotient aux expressions inverses. Bien que nous puissions toujours retrouver les dérivées des fonctions trigonométriques inverses de cette manière, il est utile de connaître leur formule directement pour ne pas avoir à dériver ces expressions à chaque fois. Rappelons donc les dérivées des fonctions sinus, cosinus et tangente.

Formule : Dérivées des fonctions trigonométriques

Les dérivées des fonctions trigonométriques sont les suivantes:ddsincosddcossin𝑥(𝑥)=𝑥,𝑥(𝑥)=𝑥.

Commençons par la dérivée de la fonction sécante. À partir de la définition de la fonction sécante, on peut écrire

ddsecddcos𝑥𝑥=𝑥1𝑥.(1)

Nous allons ensuite appliquer la formule de la dérivée d’un quotient à cette expression pour déterminer sa dérivée.

Formule : Dérivée d’un quotient

Pour les fonctions dérivables 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥), ddsi𝑥𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)(𝑔(𝑥))𝑔(𝑥)0.

En appliquant la formule de la dérivée d’un quotient au membre droit de l’équation (1), on a ddcoscoscoscos𝑥1𝑥=(1)𝑥1(𝑥)(𝑥).

Comme la dérivée d’une constante est nulle, on a (1)=0. On sait aussi que (𝑥)=𝑥cossin. Par conséquent, le membre de droite de l’équation ci-dessus se simplifie par 0𝑥1(𝑥)(𝑥)=𝑥𝑥.cossincossincos

On peut simplifier davantage cette expression en utilisant les définitions tansincos𝑥=𝑥𝑥 et seccos𝑥=1𝑥. Le membre droit de l’équation ci-dessus peut alors être écrit comme sincoscostansec𝑥𝑥×1𝑥=𝑥𝑥.

Nous avons ainsi déterminé la dérivée de la fonction sécante.

Formule : Dérivée de la fonction sécante

Si 𝑥𝜋2+𝑛𝜋 pour tout 𝑛, ddsecsectan𝑥𝑥=𝑥𝑥.

Nous pouvons observer ci-dessous la courbe représentative de la fonction sécante ainsi que la courbe représentative de sa dérivée.

Il est possible de combiner cette dérivée avec la formule de la dérivée d’une composée. Rappelons la formule de la dérivée d’une composée.

Formule : Dérivée d’une fonction composée

Pour deux fonctions dérivables 𝑓(𝑢) et 𝑔(𝑥), dd𝑥(𝑓(𝑔(𝑥)))=𝑓(𝑔(𝑥))𝑔(𝑥).

Dans notre premier exemple, nous allons appliquer la formule de la dérivée d’une composée avec la dérivée de la fonction sécante pour déterminer la dérivée d’une fonction donnée en un point.

Exemple 1: Dériver une fonction trigonométrique

Pour 𝑦=22𝑥sec, déterminez le taux de variation de 𝑦 pour 𝑥=11𝜋6.

Réponse

On rappelle que le taux de variation de 𝑦 est défini par la dérivée dd𝑦𝑥. Dans cet exemple, nous pouvons trouver le taux de variation de 𝑦 pour 𝑥=11𝜋6 en déterminant d’abord la dérivée dd𝑦𝑥 puis en évaluant la dérivée en 𝑥=11𝜋6.

La fonction que nous souhaitons dériver implique la fonction sécante. Nous commençons donc par rappeler la dérivée de la fonction sécante:ddsecsectan𝑥𝑥=𝑥𝑥.

Pour trouver la dérivée dd𝑦𝑥, nous devons dériver la fonction 22𝑥sec. La constante 2 peut être factorisée en dehors de la dérivée, ce qui donne ddddsecddsec𝑦𝑥=𝑥(22𝑥)=2𝑥(2𝑥).

Nous allons à présent appliquer la formule de la dérivée d’une composée pour traiter l’expression 2𝑥 à l’intérieur de la fonction sécante. On rappelle la formule de la dérivée d’une composée:pour deux fonctions dérivables 𝑓(𝑢) et 𝑔(𝑥), dd𝑥𝑓(𝑔(𝑥))=𝑓(𝑔(𝑥))𝑔(𝑥).

Nous pouvons voir que la fonction externe de sec2𝑥 est sec𝑢 et que la fonction interne est 2𝑥. Par conséquent, 𝑓(𝑢)=𝑢sec et 𝑔(𝑥)=2𝑥. Nous savons que 𝑓(𝑢)=𝑢𝑢=𝑢𝑢.ddsecsectan

En appliquant la formule de la dérivée d’une puissance à 𝑔(𝑥), on obtient 𝑔(𝑥)=𝑥2𝑥=2.dd

Puis, appliquer la formule de la dérivée d’une composée à sec2𝑥 donne 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔(𝑥)=2𝑥2𝑥×2=22𝑥2𝑥.sectansectan

Enfin, en se rappelant de la constante 2 devant cette dérivée, on obtient ddsectansectan𝑦𝑥=2(22𝑥2𝑥)=42𝑥2𝑥.

Nous devons à présent évaluer cette expression en 𝑥=11𝜋6. En substituant cette valeur dans dd𝑦𝑥, on obtient ddsectan𝑦𝑥|||=411𝜋311𝜋3.

Nous remarquons que 11𝜋3>2𝜋, ainsi, nous pouvons trouver un angle équivalent en soustrayant 2𝜋radians à cet angle:11𝜋32𝜋=11𝜋36𝜋3=5𝜋3.

Cela signifie que ddsectan𝑦𝑥|||=45𝜋35𝜋3.

Nous voyons alors que 5𝜋3 est un angle remarquable dans le cercle trigonométrique dont nous connaissons les valeurs des fonctions trigonométriques:sincos5𝜋3=32,5𝜋3=12.

Comme secsin𝜃=1𝜃 et tansincos𝜃=𝜃𝜃 pour tout angle 𝜃, on a sectan5𝜋3=1=2,5𝜋3==3.

Enfin, en substituant ces valeurs ci-dessus, nous obtenons dd𝑦𝑥|||=4×2×3=83.

Par conséquent, le taux de variation de 𝑦 pour la valeur de 𝑥 demandée est 83.

Dans cet exemple, nous avons combiné la dérivée de la fonction sécante avec la formule de la dérivée d’une composée. Nous pouvons également l’utiliser avec la formule de la dérivée d’un produit.

Formule : Dérivée d’un produit

Pour deux fonctions dérivables 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥), dd𝑥(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))=𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)+𝑓(𝑥)𝑔(𝑥).

Dans le prochain exemple, nous allons utiliser la dérivée de la fonction sécante avec les formules de la dérivée d’un produit et de la dérivée d’une composée.

Exemple 2: Dériver une fonction trigonométrique à l’aide de la formule de la dérivée d’un produit

Pour 𝑦=98𝑥8𝑥tansec, déterminez dd𝑦𝑥.

Réponse

La fonction que nous souhaitons dériver implique les fonctions tangente et sécante, nous pouvons donc commencer par rappeler leurs dérivées:ddtansecddsecsectan𝑥𝑥=𝑥,𝑥𝑥=𝑥𝑥.

Pour trouver la dérivée dd𝑦𝑥, nous devons dériver la fonction 98𝑥8𝑥tansec qui est un produit de deux fonctions. La constante 9 peut être factorisée en dehors de la dérivée, ce qui donne ddddtansecddtansec𝑦𝑥=𝑥(98𝑥8𝑥)=9𝑥(8𝑥8𝑥).

A présent, pour dériver tansec8𝑥8𝑥, nous remarquons qu’il s’agit d’un produit de deux fonctions. Nous rappelons donc la formule de la dérivée d’un produit:pour deux fonctions dérivables 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥), dd𝑥(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))=𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)+𝑓(𝑥)𝑔(𝑥).

En appliquant la formule de la dérivée d’un produit, on peut écrire ddtansectansectansec𝑥(8𝑥8𝑥)=(8𝑥)8𝑥+8𝑥(8𝑥).

Nous devons alors calculer les dérivées (8𝑥)tan et (8𝑥)sec. Ces deux fonctions sont des fonctions composées, ce qui nécessite la formule de la dérivée d’une composée;on rappelle la formule de la dérivée d’une composée:pour deux fonctions dérivables 𝑓(𝑢) et 𝑔(𝑥), dd𝑥𝑓(𝑔(𝑥))=𝑓(𝑔(𝑥))𝑔(𝑥).

Pour tan8𝑥, la fonction externe est 𝑓(𝑢)=𝑢tan et la fonction interne est 𝑔(𝑥)=8𝑥. Comme 𝑓(𝑢)=𝑢sec et 𝑔(𝑥)=8, d’après la formule de la dérivée d’une puissance, on peut écrire ce qui suit en utilisant la formule de la dérivée d’une composée:(8𝑥)=8𝑥×8=88𝑥.tansecsec

Pour sec8𝑥, la fonction externe est 𝑓(𝑢)=𝑢sec et la fonction interne est 𝑔(𝑥)=8𝑥. En utilisant 𝑓(𝑢)=𝑢𝑢sectan et 𝑔(𝑥)=8, (8𝑥)=8𝑥8𝑥×8=88𝑥8𝑥.secsectansectan

En substituant ces expressions dans la formule de la dérivée d’un produit, on a ddtansecsecsectansectansecsectan𝑥(8𝑥8𝑥)=88𝑥8𝑥+8𝑥(88𝑥8𝑥)=88𝑥+88𝑥8𝑥.

On rappelle alors la constante 9 que l’on a factorisée en dehors de la dérivée. On obtient donc ddsecsectansecsectansectansec𝑦𝑥=988𝑥+88𝑥8𝑥=728𝑥728𝑥8𝑥=728𝑥8𝑥728𝑥.

Dans les exemples précédents, nous avons utilisé la dérivée de la fonction sécante avec la formule de la dérivée d’une composée et la formule de la dérivée d’un produit pour dériver des fonctions. Déterminons maintenant la dérivée de la fonction cosécante. D’après la définition de la fonction cosécante, on peut écrire ddcscddsin𝑥𝑥=𝑥1𝑥.

En appliquant la formule de la dérivée d’un quotient, ddsinsinsinsin𝑥1𝑥=(1)𝑥1(𝑥)(𝑥).

Comme la dérivée d’une constante est nulle, on sait que (1)=0. On sait également que (𝑥)=𝑥sincos. Par conséquent, le membre de droite de l’équation ci-dessus se simplifie par 0𝑥1(𝑥)(𝑥)=𝑥𝑥.sincossincossin

On peut simplifier davantage cette expression en utilisant les définitions cotcossin𝑥=𝑥𝑥 et cscsin𝑥=1𝑥. Le membre droit de l’équation ci-dessus peut donc être écrit comme 𝑥𝑥×1𝑥=𝑥𝑥.cossinsincotcsc

Nous avons ainsi trouvé la dérivée de la fonction cosécante.

Formule : Dérivée de la fonction cosécante

Si 𝑥𝑛𝜋 pour tout 𝑛, ddcsccsccot𝑥𝑥=𝑥𝑥.

Nous pouvons observer ci-dessous la courbe représentative de la fonction cosécante et la courbe représentative de sa dérivée.

Étudions maintenant un exemple où nous appliquons cette formule avec la formule de la dérivée d’un produit.

Exemple 3: Dériver une fonction impliquant une fonction trigonométrique inverse à l’aide de la formule de la dérivée d’un produit

Pour 𝑦=(𝑥+3)(9𝑥+𝑥)csc, déterminez dd𝑦𝑥.

Réponse

La fonction que nous souhaitons dériver implique la fonction cosécante, nous pouvons donc commencer par rappeler sa dérivée:ddcsccsccot𝑥𝑥=𝑥𝑥.

Pour trouver la dérivée dd𝑦𝑥, nous devons dériver la fonction (𝑥+3)(9𝑥+𝑥)csc qui est un produit de deux fonctions. On rappelle alors la formule de la dérivée d’un produit:pour deux fonctions dérivables 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥), dd𝑥(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))=𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)+𝑓(𝑥)𝑔(𝑥).

En appliquant la formule de la dérivée d’un produit, on peut écrire ddddcsccsccsc𝑦𝑥=𝑥((𝑥+3)(9𝑥+𝑥))=(𝑥+3)(9𝑥+𝑥)+(𝑥+3)(9𝑥+𝑥).

Le premier terme (𝑥+3) est la dérivée d’une fonction polynomiale, que l’on peut calculer avec la formule de la dérivée d’une puissance:(𝑥+3)=1+0=1.

Le dernier terme (9𝑥+𝑥)csc est la dérivée d’une fonction qui est la somme de la fonction cosécante et d’une fonction polynomiale. Donc (9𝑥+𝑥)=(9𝑥)+(𝑥)=9𝑥𝑥.csccsccsccot

En substituant ces expressions dans la formule de la dérivée d’un produit, on a ddcsccsccotcsccsccotcsccotcsc𝑦𝑥=1(9𝑥+𝑥)+(𝑥+3)(9𝑥𝑥)=9𝑥+𝑥+9𝑥+27(𝑥+3)𝑥𝑥=18𝑥(𝑥+3)𝑥𝑥+𝑥+27.

Étudions un autre exemple où nous utilisons la dérivée de la fonction cosécante avec la formule de la dérivée d’une composée.

Exemple 4: Dériver une fonction trigonométrique inverse à l’aide de la formule de la dérivée d’une composée

Sachant que 𝑦=13(𝜋+5𝑥)csc, déterminez dd𝑦𝑥.

Réponse

La fonction que nous souhaitons dériver implique la fonction cosécante. Nous commençons donc par rappeler sa dérivée:ddcsccsccot𝑥𝑥=𝑥𝑥.

Pour trouver la dérivée dd𝑦𝑥, nous devons dériver la fonction 13(𝜋+5𝑥)csc. La constante 13 peut être factorisée en dehors de la dérivée, ce qui donne ddddcscddcsc𝑦𝑥=𝑥(13(𝜋+5𝑥))=13𝑥(𝜋+5𝑥).

Comme csc(𝜋+5𝑥) est une composition de deux fonctions, on rappelle la formule de la dérivée d’une composée:pour deux fonctions dérivables 𝑓(𝑢) et 𝑔(𝑥), dd𝑥𝑓(𝑔(𝑥))=𝑓(𝑔(𝑥))𝑔(𝑥).

On peut voir que la fonction externe de csc(𝜋+5𝑥) est 𝑓(𝑢)=𝑢csc et que la fonction interne est 𝑔(𝑥)=𝜋+5𝑥. Donc, 𝑓(𝑢)=𝑢𝑢csccot. Pour la fonction interne 𝑔, on sait que (𝜋)=0 car la dérivée d’une constante est nulle et (5𝑥)=5, d’après la formule de la dérivée d’une puissance. Cela conduit à 𝑔(𝑥)=5. En substituant ces expressions dans la formule de la dérivée d’une composée, on obtient ddcsccsccotcsccot𝑥(𝜋+5𝑥)=(𝜋+5𝑥)(𝜋+5𝑥)×5=5(𝜋+5𝑥)(𝜋+5𝑥).

Enfin, en se rappelant de la constante 13 devant cette dérivée, on obtient ddcsccotcsccot𝑦𝑥=13(5(𝜋+5𝑥)(𝜋+5𝑥))=65(𝜋+5𝑥)(𝜋+5𝑥).

Jusqu’à présent, nous avons abordé divers problèmes de dérivations impliquant les fonctions sécante et cosécante. Concentrons-nous maintenant sur la dernière fonction trigonométrique inverse, la cotangente. D’après la définition de la fonction cotangente, on peut écrire ddcotddcossin𝑥𝑥=𝑥𝑥𝑥.

En appliquant la formule de la dérivée d’un quotient, ddcossincossincossinsin𝑥𝑥𝑥=(𝑥)𝑥𝑥(𝑥)(𝑥).

Or, (𝑥)=𝑥,(𝑥)=𝑥.cossinsincos

Par conséquent, la dérivée de cot𝑥 peut être écrite comme 𝑥×𝑥𝑥×𝑥(𝑥)=𝑥+𝑥𝑥.sinsincoscossinsincossin

On peut alors appliquer l’identité trigonométrique sincos𝑥+𝑥=1 pour écrire cette dérivée comme 1𝑥sin. Enfin, en utilisant la définition cscsin𝑥=1𝑥, l’expression finale est 𝑥csc. Nous avons ainsi trouvé la dérivée de la fonction cotangente.

Formule : Dérivée de la fonction cotangente

Si 𝑥𝑛𝜋 pour tout 𝑛, ddcotcsc𝑥𝑥=𝑥.

Nous pouvons observer ci-dessous la courbe représentative de la fonction cotangente ainsi que la courbe représentative de sa dérivée.

Étudions un exemple où nous devons appliquer cette formule pour trouver une dérivée.

Exemple 5: Dériver une somme de fonctions trigonométriques

Déterminez dd𝑦𝑥, sachant que 𝑦=34𝑥+34𝑥coscot.

Réponse

La fonction que nous souhaitons dériver implique les fonctions cosinus et cotangente, nous pouvons donc commencer par rappeler leurs dérivées:ddcossinddcotcsc𝑥𝑥=𝑥,𝑥𝑥=𝑥.

Pour trouver dd𝑦𝑥, nous devons dériver la fonction 34𝑥+34𝑥coscot. La somme peut être séparée en utilisant la propriété de la dérivée d’une somme et les constantes 3 et 3 peuvent être factorisées en dehors de chaque dérivée, ce qui donne ddddcoscotddcosddcotddcosddcot𝑦𝑥=𝑥(34𝑥+34𝑥)=𝑥(34𝑥)+𝑥(34𝑥)=3𝑥(4𝑥)+3𝑥(4𝑥).

Nous devons maintenant calculer les dérivées (4𝑥)cos et (4𝑥)cot;ces deux fonctions sont des fonctions composées, ce qui nécessite d’utiliser la formule de la dérivée d’une composée. On rappelle la formule de la dérivée d’une composée:pour deux fonctions dérivables 𝑓(𝑢) et 𝑔(𝑥), dd𝑥𝑓(𝑔(𝑥))=𝑓(𝑔(𝑥))𝑔(𝑥).

Pour cos4𝑥, la fonction externe est 𝑓(𝑢)=𝑢cos et la fonction interne est 𝑔(𝑥)=4𝑥. Comme 𝑓(𝑢)=𝑢sin et 𝑔(𝑥)=4, d’après la formule de la dérivée d’une puissance, on peut écrire ce qui suit en utilisant la formule de la dérivée d’une composée:(4𝑥)=4𝑥×4=44𝑥.cossinsin

Pour cot4𝑥, la fonction externe est 𝑓(𝑢)=𝑢cot et la fonction interne est 𝑔(𝑥)=4𝑥. En utilisant 𝑓(𝑢)=𝑢csc et 𝑔(𝑥)=4, (4𝑥)=4𝑥×4=44𝑥.cotcsccsc

En substituant ces expressions, on a ddsincscsincsc𝑦𝑥=3(44𝑥)+344𝑥=124𝑥124𝑥.

Nous avons maintenant déterminé les dérivées des trois fonctions trigonométriques inverses et traité des exemples en utilisant chaque formule. Mémoriser ces formules peut sembler être difficile mais il existe des modèles à connaître permettant d’éviter les erreurs. En particulier, un des modèles découle des identités trigonométriques des angles complémentaires. Nous commençons par lister les six dérivées ici:ddsincosddcossinddtansecddcotcscddsecsectanddcsccsccot𝑥𝑥=𝑥,𝑥𝑥=𝑥;𝑥𝑥=𝑥,𝑥𝑥=𝑥;𝑥𝑥=𝑥𝑥,𝑥𝑥=𝑥𝑥.

Les trois dérivées à droite sont les dérivées des fonctions correspondantes aux fonctions de gauche pour des angles complémentaires. Par exemple, cos𝑥 est la fonction sin𝑥 pour un angle complémentaire, ce qui signifie que cossin𝑥=𝜋2𝑥. À partir de la liste ci-dessus, nous pouvons observer la propriété suivante.

Propriété : Dérivés de fonctions trigonométriques pour des angles complémentaires

À partir de la dérivée d’une fonction trigonométrique, la dérivée de sa fonction correspondante pour un angle complémentaire est obtenue en multipliant la dérivée d’origine par 1 et en échangeant chaque fonction trigonométrique de la dérivée par sa fonction correspondante pour un angle complémentaire.

Par exemple, si on sait que (𝑥)=𝑥𝑥secsectan, alors la dérivée de sa fonction correspondante pour un angle complémentaire, csc𝑥, est obtenue en plaçant un signe négatif à l’avant de l’expression et en remplaçant sec𝑥 et tan𝑥 par leurs fonctions correspondantes pour des angles complémentaires, csc𝑥 et cot𝑥 respectivement, ce qui donne (𝑥)=𝑥𝑥csccsccot.

Grâce à cette propriété, il suffit de connaître trois dérivées au lieu de six. En mémorisant les dérivées des fonctions sinus, tangente et sécante, nous pouvons facilement déterminer les dérivées des six fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses.

Dans notre dernier exemple, nous allons utiliser plusieurs dérivées des fonctions trigonométriques inverses pour déterminer une dérivée.

Exemple 6: Déterminer la dérivée d’une fonction trigonométrique élevée à une puissance négative

Sachant que 𝑦=(75𝑥+36𝑥)cotcsc, déterminez dd𝑦𝑥.

Réponse

La fonction que nous souhaitons dériver implique les fonctions cotangente et cosécante, nous pouvons donc commencer par rappeler leurs dérivées:ddcotcscddcsccsccot𝑥𝑥=𝑥,𝑥𝑥=𝑥𝑥.

Pour trouver la dérivée dd𝑦𝑥, nous devons dériver la fonction (75𝑥+36𝑥)cotcsc. Nous pouvons approcher cette dérivation avec deux méthodes différentes. La première méthode consiste à appliquer la formule de la dérivée d’une composée à cette fonction, où la fonction externe est 𝑢 et la fonction interne est 75𝑥+36𝑥cotcsc. La deuxième méthode consiste à réécrire cette expression sous la forme d’un quotient et à appliquer la formule de la dérivée d’un quotient. Nous allons ici présenter la deuxième méthode, en écrivant cette expression comme un quotient. Nous devons donc déterminer ddddcotcsc𝑦𝑥=𝑥175𝑥+36𝑥.

On rappelle alors la formule de la dérivée d’un quotient:pour deux fonctions dérivables 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥), ddsi𝑥𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)(𝑔(𝑥))𝑔(𝑥)0.

En appliquant la formule de la dérivée d’un quotient, on peut écrire ddcotcsccotcsccotcsc𝑦𝑥=(1)(75𝑥+36𝑥)1(75𝑥+36𝑥)(75𝑥+36𝑥).

Comme la dérivée d’une constante est nulle, on sait que (1)=0. Pour la dérivée (75𝑥+36𝑥)cotcsc, on peut appliquer la formule de la dérivée d’une somme pour séparer la somme, puis factoriser par 7 et 3 devant les dérivées:(75𝑥+36𝑥)=(75𝑥)+(36𝑥)=7(5𝑥)+3(6𝑥).cotcsccotcsccotcsc

Nous devons maintenant calculer les dérivées (5𝑥)cot et (6𝑥)csc. Ces deux fonctions sont des compositions, ce qui nécessite la formule de la dérivée d’une composée;on rappelle alors la formule de la dérivée d’une composée:pour deux fonctions dérivables 𝑓(𝑢) et 𝑔(𝑥), dd𝑥𝑓(𝑔(𝑥))=𝑓(𝑔(𝑥))𝑔(𝑥).

Pour cot5𝑥, la fonction externe est 𝑓(𝑢)=𝑢cot et la fonction interne est 𝑔(𝑥)=5𝑥. Comme 𝑓(𝑢)=𝑢csc et 𝑔(𝑥)=5, d’après la formule de la dérivée d’une puissance, on peut écrire ce qui suit en utilisant la formule de la dérivée d’une composée:(5𝑥)=5𝑥×5=55𝑥.cotcsccsc

Pour csc6𝑥, la fonction externe est 𝑓(𝑢)=𝑢csc et la fonction interne est 𝑔(𝑥)=6𝑥. En utilisant 𝑓(𝑢)=𝑢𝑢csccot et 𝑔(𝑥)=6, (6𝑥)=6𝑥6𝑥×6=66𝑥6𝑥.csccsccotcsccot

En substituant ces expressions, on a (75𝑥+36𝑥)=755𝑥+3(66𝑥6𝑥)=355𝑥186𝑥6𝑥.cotcsccsccsccotcsccsccot

Enfin, nous pouvons substituer cette expression dans la formule de la dérivée d’un quotient ci-dessus pour obtenir ddcotcsccsccsccotcotcsccsccsccotcotcsccsccotcsccotcsc𝑦𝑥=0(75𝑥+36𝑥)1355𝑥186𝑥6𝑥(75𝑥+36𝑥)=355𝑥+186𝑥6𝑥(75𝑥+36𝑥)=186𝑥6𝑥+355𝑥(75𝑥+36𝑥).

Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • On peut obtenir les dérivées des fonctions trigonométriques inverses en appliquant la formule de la dérivée d’un quotient aux fonctions sinus, cosinus et tangente.
  • Les dérivées des fonctions trigonométriques inverses sont ddsecsectansipourtoutddcsccsccotsipourtoutddcotcscsipourtout𝑥𝑥=𝑥𝑥𝑥𝜋2+𝑛𝜋𝑛,𝑥𝑥=𝑥𝑥𝑥𝑛𝜋𝑛,𝑥𝑥=𝑥𝑥𝑛𝜋𝑛.
  • À partir de la dérivée d’une fonction trigonométrique, la dérivée de sa fonction correspondante pour un angle complémentaire est obtenue en multipliant la dérivée d’origine par 1 et en échangeant chaque fonction trigonométrique de la dérivée par sa fonction correspondante pour un angle complémentaire. Cette propriété peut être observée dans la liste des dérivées suivante:ddsincosddcossinddtansecddcotcscddsecsectanddcsccsccot𝑥𝑥=𝑥,𝑥𝑥=𝑥;𝑥𝑥=𝑥,𝑥𝑥=𝑥;𝑥𝑥=𝑥𝑥,𝑥𝑥=𝑥𝑥.

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