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Fiche explicative de la leçon : Pouvoir dispersif du prisme Physique

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer le pouvoir dispersif d’un prisme en fonction des indices de réfraction des différentes couleurs de la lumière qui le traverse.

Le terme dispersion est utilisé pour décrire le phénomène de distribution ou d’étalement de quelque chose sur une grande surface. Nous allons parler plus particulièrement de la dispersion de la lumière lors de son passage à travers un prisme. Lorsqu’un rayon lumineux passe dans un prisme, sa trajectoire d’origine est modifiée lorsqu’il entre dans le prisme, puis de nouveau lorsqu’il quitte le prisme.

Le phénomène de dispersion est illustré sur le schéma ci-dessous. Nous avons un faisceau de lumière passant dans un prisme et ce faisceau contient à la fois de la lumière rouge et de la lumière violette. À l’intérieur du prisme, les rayons lumineux sont séparés en deux, un faisceau de lumière rouge et un faisceau de lumière violette.

Dans cette fiche explicative nous allons voir une méthode quantitative permettant d’expliquer cette séparation des faisceaux dans les prismes. Nous verrons aussi comment l’indice de réfraction affecte la répartition des couleurs contenues dans la lumière. Par exemple, la lumière violette est réfractée selon un angle plus grand que la lumière rouge, comme représenté ici.

Tout matériau dans lequel les longueurs d’onde de la lumière sont affectées de manière différente est appelé matériau « dispersif ». Un prisme est un exemple de matériau dispersif car les longueurs d’onde de la lumière sont réfractées selon des angles différents.

Pourquoi un prisme réagit différemment selon les longueurs d’ondes de la lumière?

Pour comprendre cela, nous pouvons rappeler la loi de Snell:

Loi : La loi de Snell

Supposons qu’un rayon lumineux traverse une interface entre deux milieux dont l’indice de réfraction est différent, et supposons également que l’indice de réfraction du premier milieu (le milieu depuis lequel le rayon lumineux rencontre l’interface) soit 𝑛 et l’indice de réfraction de l’autre milieu (le milieu dans lequel passe le rayon lumineux) soit 𝑛. On appelle 𝜃 l’angle d’incidence du rayon lumineux et 𝜃 l’angle de réfraction. Rappelons que l’angle d’incidence est l’angle formé par le rayon lumineux et la normale à l’interface au point où il passe d’un milieu à l’autre, tandis que l’angle de réfraction est l’angle formé par le rayon lumineux et la normale à l’interface lorsque le rayon passe dans le second milieu. Ces deux angles sont liés par la relation suivante 𝑛𝜃=𝑛𝜃.sinsin

Il faut noter que l’angle d’incidence et l’angle de réfraction sont mesurés à partir de la normale à l’interface et non pas à partir de l’interface.

Comment la loi de Snell nous montre-t-elle que l’angle de réfraction est différent pour les différentes longueurs d’onde de la lumière dans un prisme?

Imaginons un rayon lumineux contenant toutes les longueurs d’onde de la lumière et pénétrant dans un prisme, comme représenté sur la figure suivante.

Le rayon lumineux entre dans le prisme par la gauche. Comme le rayon contient toutes les longueurs d’onde de la lumière, les rayons associés à toutes ces couleurs vont entrer dans le prisme avec le même angle d’incidence.

Cependant, si l’indice de réfraction à l’extérieur du prisme 𝑛 est différent de l’indice de réfraction à l’intérieur du prisme, alors il se passe quelque chose d’intéressant.

D’après la loi de Snell, nous avons la relation 𝑛𝜃=𝑛𝜃sinsin.

Rappelons que l’indice de réfraction d’un matériau donné caractérise la vitesse avec laquelle la lumière traverse ce matériau. Si l’indice de réfraction d’un matériau est égal à 1, alors la lumière traverse le matériau avec la même vitesse (très élevée) qu’elle traverse le vide. Lorsque l’indice de réfraction est inférieur à 1, cela veut dire que la lumière se déplace plus lentement à travers le matériau.

Supposons que l’indice de réfraction à l’extérieur du prisme soit le même pour toutes les longueurs d’onde de la lumière. Un exemple d’un matériau dans lequel cela est vrai est l’air. Si nous traduisons cela dans la loi de Snell, cela signifie que 𝑛 a la même valeur pour toutes les longueurs d’onde de la lumière.

Cependant, nous savons que les prismes réfractent les différentes longueurs d’onde de la lumière selon des angles différents. Par exemple, la lumière rouge est moins réfractée que la lumière violette. Cela signifie que l’angle de déviation de la lumière rouge, que nous appellerons 𝛼r, est plus petit que l’angle de déviation de la lumière violette, que nous appellerons 𝛼v.

La raison pour laquelle cela se produit est que le prisme a un indice de réfraction différent pour chacune des longueurs d’onde de la lumière. Nous pouvons le voir en comparant le cas de la lumière rouge et de la lumière violette. La figure suivante représente les angles de réfraction des différentes couleurs composant la lumière. Nous avons appelé l’indice de réfraction à l’extérieur du prisme 𝑛 et l’angle d’incidence 𝜃. Nous avons également repéré les angles de réfraction de la lumière rouge et violette, respectivement 𝜃r et 𝜃v.

Avant que chacune des longueurs d’onde rouge et violette ne pénètre dans le prisme, l’indice de réfraction et l’angle d’incidence sont les mêmes. Cela signifie que le membre de gauche de la loi de Snell, 𝑛𝜃sin, est le même pour les deux longueurs d’onde.

Pour le membre de droite de la loi de Snell, nous savons que l’angle de réfraction est différent pour les deux longueurs d’onde. Pour avoir 𝑛𝜃=𝑛𝜃sinsinr et 𝑛𝜃=𝑛𝜃sinsinv, 𝑛 ne doit pas être le même pour les deux longueurs d’onde différentes!

Cela signifie que nous avons un indice de réfraction pour la lumière rouge, 𝑛r, et un indice de réfraction différent pour la lumière violette, 𝑛v. La loi de Snell pour les deux longueurs d’onde devrait donc s’écrire 𝑛𝜃=𝑛𝜃sinsinrr et 𝑛𝜃=𝑛𝜃sinsinvv.

En fait, comme chaque longueur d’onde de la lumière a un angle de réfraction différent dans un prisme, nous savons que chaque longueur d’onde a un indice de réfraction différent.

On peut utiliser cette propriété pour définir un matériau dispersif.

Définition : Matériau dispersif

Un matériau dispersif est un matériau dont l’indice de réfraction varie avec la longueur d’onde.

Nous allons maintenant essayer de déterminer un moyen de quantifier la capacité d’un prisme donné à disperser la lumière.

Revenons à notre prisme, mais considérons simplement les trajectoires des rayons lumineux rouge et violet. Nous choisissons de considérer ces deux longueurs d’onde car la lumière rouge possède la plus grande longueur d’onde de la lumière visible et le violet la plus courte. Nous nous intéressons donc aux deux cas les plus extrêmes et nous étudions la plus grande gamme de longueurs d’onde possibles.

Sur la figure ci-dessous, nous pouvons voir que les rayons correspondants à ces deux longueurs d’onde ont été déviés à cause du prisme. S’ils n’avaient pas été déviés, ils auraient suivi la flèche noire représentée ici.

On peut appeler l’angle entre le rayon lumineux rouge et la trajectoire noire 𝛼min, car c’est l’angle de déviation minimum de toute lumière visible. Cette lettre est la lettre grecque « alpha ».

De même, on peut appeler l’angle de déviation de la lumière violette 𝛼max, car c’est l’angle de déviation maximum de toute lumière visible.

Nous pouvons quantifier la capacité d’un prisme à disperser la lumière en utilisant ces deux angles de déviation:𝛼min et 𝛼max.

Pour cela, nous allons définir une grandeur appelée « pouvoir dispersif » d’un prisme, notée 𝜔, 𝜔 est la lettre grecque « oméga ». Ce pouvoir dispersif est donné par la formule 𝜔=𝛼𝛼.maxminmaxmin

Cette équation peut sembler un peu compliquée, mais si on la décompose, il est assez simple de comprendre le calcul réalisé.

Au numérateur, nous avons la différence entre l’angle de déviation maximum et l’angle de déviation minimum:𝛼𝛼maxmin. Cela correspond à l’étendue des angles de déviation pour une lumière pénétrant dans le prisme.

Au dénominateur, nous avons la valeur moyenne de 𝛼max et 𝛼min, c’est-à-dire l’angle de déviation moyen causé par le prisme. C’est ce qu’on obtient lorsqu’on calcule 𝛼+𝛼2maxmin. Cela correspond également à l’angle de déviation de la longueur d’onde « moyenne » d’une lumière entrant dans le prisme. Si une lumière blanche traverse un prisme, cette longueur d’onde moyenne correspond à des rayons lumineux jaune et vert.

Pour déterminer le pouvoir dispersif d’un prisme, nous devons déterminer ces deux éléments, puis les diviser comme dans la formule ci-dessus. Notons aussi que le pouvoir dispersif d’un prisme n’a pas d’unités. Il s’agit donc d’un « nombre sans dimension ». Les angles 𝛼min et 𝛼max sont exprimés en degrés, mais dans l’équation du pouvoir dispersif, toutes ces unités s’annulent, ce qui donne donc un nombre sans unité.

Définition: Pouvoir dispersif

Le pouvoir dispersif d’un prisme, 𝜔, est une mesure de la différence de réfraction des rayons lumineux entrant dans le prisme, entre ceux ayant la plus grande longueur d’onde et ceux ayant la plus courte longueur d’onde. Le pouvoir dispersif est donné par 𝜔=𝛼𝛼maxminmaxmin𝛼max est l’angle de déviation de la plus courte longueur d’onde de la lumière pénétrant dans le prisme et 𝛼min l’angle de déviation de la plus grande longueur d’onde de la lumière pénétrant dans le prisme.

Il faut noter que si 𝛼max et 𝛼min sont identiques, alors 𝜔=0. Cela signifie que l’angle de déviation le plus grand et l’angle de déviation le plus petit sont identiques et donc que le prisme n’est pas du tout dispersif. La plus petite valeur de 𝜔 est donc zéro (pour les matériaux non dispersifs) et sa valeur augmente pour les prismes qui dispersent davantage la lumière. Cependant, les valeurs de pouvoir dispersif de la plupart des prismes en verre, ou de matériaux similaires, sont comprises entre 0,01 et 0,1.

Il est important de se rappeler que, même si la dénomination « pouvoir dispersif » comporte le mot « pouvoir », ceci n'a pas la signification habituelle en physique, qui désigne une quantité d'énergie sur une période de temps donnée. Il s'agit simplement d'un nom que nous utilisons et qui reprend le mot « pouvoir ». Le pouvoir dispersif permet donc de décrire quantitativement la manière dont un prisme va diffuser la lumière.

Plus la valeur de 𝜔 est grande, plus la largeur du faisceau diffracté par le prisme sera grande. Plus la valeur de 𝜔 est faible, plus la largeur du faisceau diffracté par le prisme sera petite.

Ceci est représenté sur la figure ci-dessous. Le prisme de gauche a un pouvoir dispersif plus faible, par conséquent, les rayons lumineux des différentes couleurs de lumière ne sont pas très écartés. Le prisme de droite a un pouvoir dispersif plus grand et les rayons lumineux sont donc beaucoup plus étalés.

Cela signifie que ces prismes doivent être constitués de matériaux différents car ils ont des indices de réfraction différents. Ceci est représenté ici par le fait que les deux prismes ont des couleurs différentes.

Les prismes ayant des pouvoirs dispersifs plus grand diffusent davantage la lumière, tandis que les prismes ayant des pouvoirs dispersifs plus faibles diffusent moins la lumière.

Exemple 1: Calcul du pouvoir dispersif à partir des angles de déviation

Une lumière blanche dispersée par un prisme a des longueurs d’onde comprises entre 400 nm et 700 nm. Les rayons de longueur d’onde 400 nm ont un angle de déviation minimum de 22,9, les rayons de longueur d’onde 700 nm ont un angle de déviation minimum de 22,1 et les rayons de longueur d’onde 550 nm ont un angle de déviation minimum de 22,5. Quel est le pouvoir dispersif du prisme?Donnez la réponse arrondie à trois décimales près.

Réponse

Ici, nous avons un prisme dispersant une lumière blanche, et on nous donne les angles de déviation minimum subis par certaines longueurs d’onde de la lumière blanche.

On nous dit que la plus grande longueur d’onde de la lumière pénétrant dans le prisme est 700 nm et cette longueur d’onde subit un angle de déviation valant au moins 22,1. Cette longueur d’onde correspond à la lumière rouge et c’est la plus grande longueur d’onde ici, donc nous savons qu’elle subit le plus petit angle de déviation et nous pouvons dire que 𝛼=22,1min.

La plus courte longueur d’onde de la lumière pénétrant dans le prisme est 400 nm et cette longueur d’onde subit un angle de déviation valant au moins 22,9. Cette longueur d’onde correspond à la lumière violette et c’est la plus courte longueur d’onde ici, donc nous pouvons dire que 𝛼=22,9max.

Nous pouvons répondre à cette question en utilisant uniquement cette information. On nous demande de calculer le pouvoir dispersif de ce prisme, alors rappelons que la formule du pouvoir dispersif est 𝜔=𝛼𝛼.maxminmaxmin

Nous devons maintenant remplacer les valeurs de 𝛼min et 𝛼max. En faisant cela, nous obtenons 𝜔=22,922,1.

Regardons d’abord le numérateur, qui est la différence entre les angles de déviation maximum et minimum. C’est-à-dire 22,922,1=0,8.

Au dénominateur, nous avons l’angle de déviation moyen subi par un rayon lumineux en passant dans le prisme. Et cette valeur vaut 22,9+22,12=452=22,5.

Nous pouvons maintenant combiner ces deux résultats pour déterminer le pouvoir dispersif 𝜔=0,822,5=0,03555.

Il faut noter que, dans la dernière ligne, les unités en degrés s’annulent et nous avons donc un nombre sans unité. On nous demande d’arrondir notre réponse à trois décimales près donc notre réponse finale est 𝜔=0,036.

Notons que nous n’avons pas utilisé l’information selon laquelle les rayons lumineux de longueur d’onde 550 nm ont un angle de déviation minimum de 22,5. Nous n’avons pas eu besoin de cette information pour répondre à la question, mais nous aurions pu l’utiliser pour faire le calcul plus rapidement.

Sachant que la longueur d’onde la plus courte est 400 nm et la plus grande est 700 nm, 550 nm est donc la longueur d’onde moyenne. On nous dit aussi que la déviation subie par les rayons de cette longueur d’onde moyenne est de 22,5. Nous pouvons voir que cela correspond exactement au résultat que nous avons trouvé pour l’angle de déviation moyen, que nous avons calculé au dénominateur de la fraction dans la formule du pouvoir dispersif.

Nous aurions pu utiliser cette donnée directement pour répondre à la question, sachant que l’angle de déviation de la longueur d’onde moyenne correspond à la moyenne des angles de déviation des longueurs d’onde les plus grandes et les plus courtes. Nous n’aurions donc pas eu à calculer la moyenne, ce qui nous aurait permis de gagner un peu de temps.

Mais le résultat trouvé est exactement le même.

Rappelons-nous que nous avons également dit qu’un matériau dispersif peut être défini comme un matériau dont l’indice de réfraction varie en fonction de la longueur d’onde de la lumière. Nous allons maintenant voir qu’il est possible de réécrire la formule du pouvoir dispersif d’un prisme en fonction des indices de réfraction du prisme.

Nous pouvons faire cela car il existe un certain indice de réfraction correspondant à la longueur d’onde de la lumière déviée d’un angle 𝛼max et un certain indice de réfraction de valeur différente correspondant à la longueur d’onde de la lumière déviée d’un angle 𝛼min.

Si la lumière violette subit le plus grand angle de déviation 𝛼max, c’est parce que la lumière violette subit la plus grande variation d’indice de réfraction lorsqu’elle pénètre dans le prisme. Cela signifie que la lumière violette possède le plus grand indice de réfraction parmi toutes les valeurs possibles d’indices de réfraction de la lumière visible pénétrant dans le prisme. Pour représenter cela, nous allons appeler l’indice de réfraction de la lumière violette 𝑛max. Cela signifie que le plus grand angle de déviation 𝛼max correspond à l’indice de réfraction le plus grand.

De même, la lumière rouge subit le plus petit angle de déviation 𝛼min car la lumière rouge subit la plus petite variation d’indice de réfraction lorsqu’elle pénètre dans le prisme. Cela signifie que la lumière rouge possède le plus petit indice de réfraction parmi toutes les valeurs possibles d’indices de réfraction de la lumière visible pénétrant dans le prisme. Nous allons appeler l’indice de réfraction de la lumière rouge 𝑛min, de sorte que le plus petit angle de déviation corresponde au plus petit indice de réfraction. Le schéma suivant illustre cela avec différentes couleurs de lumière ayant des indices de réfraction différents.

Pour réécrire l’équation du pouvoir dispersif en fonction de l’indice de réfraction plutôt qu’en fonction de l’angle de déviation, c’est presque aussi simple que de remplacer 𝛼max par 𝑛max et 𝛼min par 𝑛min. Mais il y a une petite étape supplémentaire à laquelle il faut faire attention.

Le pouvoir dispersif d’un prisme peut s’écrire en fonction des indices de réfraction minimum et maximum de la manière suivante 𝜔=𝑛𝑛1.maxminmaxmin

Nous pouvons voir que cette équation est très similaire à l’expression du pouvoir dispersif vue précédemment. La seule différence est qu’il faut inclure un 1 au dénominateur. C’est une convention qui permet de tenir compte du fait que les prismes sont généralement entourés d’air dont l’indice de réfraction est très proche de 1.

Cela signifie qu’il est possible de déterminer le pouvoir dispersif d’un prisme en connaissant les angles de déviation maximum et minimum du prisme, ou bien en connaissant les indices de réfraction maximum et minimum de ce prisme. Ce pouvoir de dispersion caractérise de quelle manière les prismes vont « étaler » les rayons lumineux qui les traversent.

Exemple 2: Identifier la relation entre la longueur d’onde et l’angle de déviation

La figure représente une lumière contenant des rayons rouges, verts et bleus déviée d’un angle 𝛼 par un prisme. Parmi les relations suivantes, laquelle décrit le mieux la relation entre la longueur d’onde de la lumière 𝜆 et l’angle 𝛼?

  1. Lorsque 𝜆 augmente, 𝛼 diminue.
  2. Lorsque 𝜆 augmente, 𝛼 augmente.
  3. 𝜆 et 𝛼 sont indépendants.

Réponse

Nous savons que la lumière rouge possède la plus grande longueur d’onde de toutes les couleurs de la lumière visible. Parmi les couleurs représentées sur la figure, celle qui possède la longueur d’onde la plus courte est le bleu.

Cela signifie que 𝜆 est plus grande pour la lumière rouge et que 𝜆 est plus petit pour la lumière bleue. Donc, pour passer du rouge au vert puis au bleu, 𝜆 diminue.

Nous pouvons également voir que la lumière rouge est la couleur la moins déviée sur la figure, alors que la lumière verte est un peu plus déviée que la lumière bleue. Cela signifie que 𝛼, l’angle de déviation, est le plus petit pour la lumière rouge. Cet angle 𝛼 est plus grand pour la lumière verte et 𝛼 augmente encore pour la lumière bleue.

Nous avons donc vu que, lorsque nous passons de la lumière rouge à la lumière verte, puis à la lumière bleue, la longueur d’onde 𝜆 diminue, mais l’angle de déviation 𝛼 devient de plus en plus grand. Donc si nous raisonnons dans l’autre sens, de la lumière bleue à la lumière verte, puis à la lumière rouge, la longueur d’onde 𝜆 augmente mais l’angle de déviation 𝛼 devient de plus en plus petit.

Nous pouvons résumer tout cela de la manière suivante, qui sera donc notre réponse:Lorsque 𝜆 augmente, 𝛼 diminue.

Notons que nous savons aussi que l’indice de réfraction 𝑛 augmente (ou diminue) de la même manière que 𝛼. Donc nous savons aussi que lorsque 𝜆 augmente, 𝑛 diminue.

Exemple 3: Calculer le pouvoir dispersif à partir de l’indice de réfraction

Une lumière blanche est dispersée par un prisme. Pour ce prisme, l’indice de réfraction est de 1,48 pour la lumière de plus courte longueur d’onde et de 1,44 pour la lumière de plus grande longueur d’onde. Quel est le pouvoir dispersif du prisme?Donnez la réponse à trois décimales près.

Réponse

Dans cette question, on nous demande de déterminer le pouvoir dispersif d’un prisme, connaissant l’indice de réfraction de la longueur d’onde la plus grande et la plus courte de la lumière incidente.

On nous dit que pour la longueur d’onde la plus grande, le prisme a un indice de réfraction de 1,44. On nous dit aussi que pour la longueur d’onde la plus courte, le prisme a un indice de réfraction de 1,48.

Dans une lumière blanche, nous savons que la lumière rouge possède la plus grande longueur d’onde et le plus petit indice de réfraction, et que la lumière violette possède la plus courte longueur d’onde et le plus grand indice de réfraction. Nous pouvons donc identifier les indices de réfraction maximum et minimum de la même manière ici.

La plus grande longueur d’onde de la lumière aura le plus petit indice de réfraction, donc nous pouvons écrire 𝑛=1,44min. Nous savons également que la longueur d’onde la plus courte de la lumière aura l’indice de réfraction le plus grand, donc 𝑛=1,48max.

Rappelons ensuite que le pouvoir dispersif d’un prisme en fonction des indices de réfraction est donné par 𝜔=𝑛𝑛1.maxminmaxmin

Commençons par calculer le numérateur de la fraction, qui vaut 𝑛𝑛=1,481,44=0,04.maxmin

Calculons ensuite le dénominateur de la fraction, donné par 𝑛+𝑛21=1,48+1,4421=2,9221=1,461=0,46.maxmin

Nous pouvons maintenant combiner ces deux résultats pour calculer le pouvoir dispersif du prisme 𝜔=0,040,46=0,0869565.

Dans la question, on nous demande d’arrondir la réponse à trois décimales près, la réponse finale est donc que le pouvoir dispersif du prisme est de 𝜔=0,087.

Introduisons maintenant les notations correspondantes à l’angle de déviation moyen et à l’indice de réfraction moyen d’un prisme:𝛼=𝛼+𝛼2,𝑛=𝑛+𝑛2.moyenmaxminmoyenmaxmin

Rappelons que l’angle au sommet d’un prisme correspond à l’angle supérieur ou à la pointe du prisme. Sur la figure suivante, nous avons deux prismes avec deux angles au sommet différents notés 𝐴 et 𝐴. Ces deux prismes ont les mêmes indices de réfraction.

Le prisme de gauche a un angle au sommet 𝐴 plus petit, tandis que le prisme de droite a un angle au sommet 𝐴 plus grand. Plus l’angle au sommet d’un prisme est grand, plus l’angle de déviation est grand pour chaque longueur d’onde de la lumière. Autrement dit, si l’angle au sommet augmente, alors l’angle moyen de déviation, 𝛼moyen, augmente aussi.

Sur la figure suivante, nous avons maintenant deux prismes ayant le même angle au sommet 𝐴 mais des indices de réfraction différents. Cela est représenté par le fait que les prismes ont deux couleurs différentes.

Nous pouvons voir que si l’indice de réfraction du prisme augmente, alors l’angle de déviation du rayon lumineux augmente également. Si le prisme est fait d’un matériau dispersif, plus l’indice de réfraction moyen 𝑛moyen augmente, plus l’angle de déviation moyen 𝛼moyen, augmente.

Considérons maintenant les « prismes minces », qui sont des prismes dont l’angle au sommet 𝐴 est relativement petit. On considère qu’un angle au sommet mesurant 𝐴 environ 10 ou moins est petit.

Considérons le terme 𝛼𝑛1moyenmoyen pour un prisme fin. Si nous voulons augmenter la valeur de cette grandeur, que faudrait-il modifier dans le prisme?

Nous savons que si 𝑛moyen augmente, alors cela a pour effet d’augmenter 𝛼moyen. Mais ici nous considérons la fraction 𝛼𝑛1moyenmoyen et pas seulement 𝛼moyen. Cela signifie que si la valeur de 𝑛moyen augmente, 𝛼moyen augmente également, mais la valeur de la fraction globale n’augmente pas parce que plus le dénominateur d’une fraction augmente, plus la valeur de cette fraction globale diminue. Donc la réponse n’est pas d’augmenter 𝑛moyen.

La réponse est en fait d’augmenter l’angle au sommet 𝐴. Si on augmente la valeur de 𝐴 alors la grandeur 𝛼𝑛1moyenmoyen augmentera aussi. En fait, pour un prisme fin, on peut considérer que ces deux grandeurs sont égales, donc nous avons 𝐴=𝛼𝑛1.moyenmoyen

Vérifions si les unités de cette équation sont cohérentes. Sur le côté gauche, 𝐴 est un angle, dont l’unité est le degrés. Sur le côté droit, nous avons une fraction. Le numérateur de cette fraction est l’angle de déviation moyen, qui est un angle, dont l’unité est aussi le degrés. Le dénominateur du côté droit est l’indice de réfraction moyen, qui est un nombre sans dimension ou sans unité. Cela signifie que, dans l’ensemble, l’unité du côté droit de l’équation est également le degrés;les unités de notre équation sont donc cohérentes.

Nous avons également vu deux expressions différentes pour le pouvoir dispersif d’un prisme, une en fonction des angles de déviation et une autre en fonction des indices de réfraction. Comme ces expressions sont équivalentes, nous pouvons les combiner pour trouver une expression reliant les angles de déviation à l’indice de réfraction.

Nous avons donc la relation suivante:𝜔=𝛼𝛼=𝑛𝑛1.maxminmaxminmaxminmaxmin

Réécrivons cette équation avec notre nouvelle notation pour l’angle de déviation moyen et l’indice de réfraction moyen. Cela nous donne 𝜔=𝛼𝛼𝛼=𝑛𝑛𝑛1.maxminmoyenmaxminmoyen

Prenons maintenant la deuxième égalité ici, 𝛼𝛼𝛼=𝑛𝑛𝑛1,maxminmoyenmaxminmoyen et multiplions des deux côtés de l’équation par 𝛼moyen. Cela nous donne 𝛼𝛼=𝛼×𝑛𝑛𝑛1.maxminmoyenmaxminmoyen

Le côté droit de l’équation peut également s’écrire de la manière suivante:𝛼𝛼=𝛼𝑛1(𝑛𝑛)=𝐴(𝑛𝑛).maxminmoyenmoyenmaxminmaxmin

Pour la deuxième ligne ici, nous avons utilisé l’équation donnant l’angle au sommet 𝐴 en fonction de 𝛼moyen et 𝑛moyen, ce qui n’est vrai que pour les prismes fins, nous supposons donc que 𝐴 est petit.

Voyons comment nous pourrions utiliser cette nouvelle équation pour les prismes fins:𝛼𝛼=𝐴(𝑛𝑛)maxminmaxmin.

Supposons que nous ayons un prisme avec un angle au sommet de 8, ce qui est un angle suffisamment petit pour que le prisme soit considéré comme un prisme fin. Ce prisme possède différents indices de réfraction correspondants aux différentes longueurs d’onde de la lumière passant par le prisme. Cet indice de réfraction est de 1,512 pour la plus grande longueur d’onde et de 1,535 pour la plus courte longueur d’onde de la lumière considérée. La « dispersion angulaire » d’un prisme correspond à la différence entre l’angle de déviation des rayons les plus déviés et des rayons les moins déviés. Elle peut être calculée comme suit.

La figure suivante représente le phénomène de réfraction de la lumière à travers ce mince prisme.

La dispersion angulaire est la différence entre l’angle de déviation maximum et l’angle de déviation minimum du prisme. On note la dispersion angulaire Δ𝛼, Δ est la lettre grecque delta. Il faut noter que Δ𝛼 doit être lu comme une seule quantité, et non pas comme la multiplication de Δ et 𝛼. Cela signifie que Δ𝛼=𝛼𝛼maxmin.

Utilisons l’équation reliant l’indice de réfraction à l’angle de dispersion, qui est 𝛼𝛼=𝐴(𝑛𝑛)maxminmaxmin. Nous pouvons remplacer le côté gauche de cette équation par la dispersion angulaire et nous avons donc Δ𝛼=𝐴(𝑛𝑛).maxmin

Nous pouvons maintenant utiliser les valeurs données dans l’énoncé, qui sont 𝐴=8, 𝑛=1,535max et 𝑛=1,512min. Cela nous donne Δ𝛼=8×(1,5351,512)=8×(0,023)=0,184.

La dispersion angulaire du prisme est donc de Δ𝛼=0,184.

Résumons maintenant ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.

Points clés

  • Les prismes dispersent la lumière blanche selon les longueurs d’onde des différentes couleurs contenues dans la lumière.
  • Ce phénomène de dispersion est dû au fait que l’indice de réfraction du matériau constituant le prisme varie en fonction de la longueur d’onde.
  • La capacité d’un prisme à disperser la lumière peut être quantifiée par une grandeur appelée le « pouvoir dispersif » du prisme, noté 𝜔.
  • Si 𝛼max et 𝛼min sont les angles de déviation maximum et minimum subis par les différentes longueurs d’onde de la lumière lorsqu’elles traversent le prisme, alors 𝜔=𝛼𝛼.maxminmaxmin
  • Si 𝑛max et 𝑛min sont les indices de réfraction maximum et minimum des différentes longueurs d’onde de la lumière dans un prisme, alors 𝜔=𝑛𝑛1.maxminmaxmin
  • Pour les prismes minces dont l’angle au sommet 𝐴 est relativement petit, on peut relier la dispersion angulaire d’un prisme à l’angle au sommet du prisme et aux indices de réfraction du prisme en utilisant l’équation 𝛼𝛼=𝐴(𝑛𝑛).maxminmaxmin

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