Dans cette fiche explicative, nous apprendrons à utiliser notre compréhension des rapports pour résoudre des problèmes de proportions.
Un rapport est un moyen de comparer deux quantités ou plus. Plus précisément, un rapport compare une partie à une autre. Par exemple, considérons une boîte de chocolats qui contient 8 chocolats noirs et 6 chocolats au lait. Le rapport entre les chocolats noirs et les chocolats au lait est représenté par une paire ordonnée de nombres écrits comme suit :
De même, le rapport entre les chocolats au lait et les chocolats noirs est de
Dans chaque cas, le rapport a été réduit à sa forme la plus simple en divisant les deux parties par leur plus grand diviseur commun. Il doit être clair que, de la même façon qu’on peut diviser par un même nombre chaque partie, on peut aussi augmenter proportionnellement chaque partie du rapport en les multipliant par un même nombre. Cette technique peut être utile pour comparer deux rapports ou plus.
Dans notre premier exemple, nous montrerons plus en détail comment cela fonctionne.
Exemple 1: Déterminer un rapport à partir de deux autres rapports
Le rapport entre la taille de Bastien et celle de Jacques est de et le rapport entre la taille de Jacques et celle de Clovis est de . Déterminez le rapport entre la taille de Bastien et celle de Clovis.
Réponse
Les rapports peuvent être manipulés pour créer des équivalents en multipliant ou en divisant chaque partie par un même nombre. Afin de trouver le rapport entre la taille de Bastien et celle de Clovis, nous devrons trouver un moyen d’utiliser la taille de la personne qu’ils ont en commun, c’est-à-dire Jacques. En fait, nous devons faire en sorte que le terme qui représente la taille de Jacques soit égal dans chacun des deux rapports en déterminant le plus petit commun multiple.
Dans le premier cas, le rapport entre la taille de Bastien et celle de Jacques est de . Dans le deuxième cas, le rapport entre la taille de Jacques et celle de Clovis est de . Par conséquent, nous devons trouver le plus petit multiple commun entre 2 et 1 :
Pour rendre le terme qui représente la taille de Jacques égal dans les deux rapports, nous multiplions chaque partie du premier rapport par 2 :
Comme le rapport entre la taille de Bastien, la taille de Jacques et celle deClovis est de , on peut maintenant déterminer le rapport entre la taille de Bastien et celle de Clovis en utilisant uniquement ces parts.
Le ratio est de .
Dans notre exemple précédent, nous avons vu comment nous pouvons mettre à l’échelle des rapports en multipliant ou en divisant par une constante chaque partie pour nous permettre de comparer une paire de rapports. Nous pouvons également exprimer de manière équivalente ces relations en utilisant la notation de fraction, où le rapport entre la taille de Bastien et celle de Clovis est de , bien qu’il soit beaucoup plus courant de voir la représentation fractionnaire comme un rapport d’une partie d’un ensemble sur cet ensemble. Dans notre deuxième exemple, nous utiliserons cette représentation.
Exemple 2: Déterminer la mesure des angles d’un triangle à partir de leur rapport
Le rapport entre les mesures des angles d’un triangle est de . Déterminez la mesure du plus grand angle de ce triangle.
Réponse
Rappelons que la somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle vaut . Pour déterminer la mesure du plus grand angle d’un triangle où le rapport entre ses angles est de , on peut utiliser plusieurs méthodes.
On peut dire que la méthode la plus efficace consiste à convertir le rapport en une fraction d’une partie sur l’ensemble. Le plus grand angle est l’angle représenté par 19 parties et il y a un total de parts dans le rapport. Par conséquent, le plus grand angle est de :
Cette méthode équivaut à calculer d’abord la mesure d’une part unitaire du rapport en partageant en 45 parts puis à utiliser le résultat pour trouver la mesure de 19 parts.
Dans notre prochain exemple, nous montrerons une fois de plus comment partager une quantité à l’aide d’un rapport, cette fois en utilisant une méthode alternative, mais équivalente.
Exemple 3: Partager une quantité à l’aide d’un rapport à trois parties
Une école a 588 LE à dépenser pour les décorations. L’argent sera divisé entre les classes , et suivant le rapport . Combien d’argent chaque classe peut-elle dépenser pour des décorations ?
Réponse
Pour partager un montant à l’aide d’un rapport, on peut considérer le rapport comme la division de ce montant en un certain nombre de parts. Pour le rapport , le nombre total de parts est donné par
Ainsi, pour partager 588 LE entre les classes, on va commencer par partager l’ensemble équitablement en 12 parts :
Chaque part unitaire du rapport est égal à 49 LE. De ce fait, nous pouvons maintenant calculer le montant d’argent que chaque classe reçoit.
Comme le nombre de parts données à la classe est 2, la classe recoit
De même, la classe reçoit 4 parts :
Enfin, la classe reçoit 6 parts :
Observez que la somme de ces valeurs est, comme prévu, 588 LE.
Donc, on a , et .
Dans notre quatrième exemple, nous montrerons comment partager une quantité étant donnée une relation établie entre les parties du rapport.
Exemple 4: Déterminer deux valeurs connaissant leur rapport et leur différence
Sachant que et , calculez la valeur de .
Réponse
Pour déterminer la valeur de , nous utiliserons la relation entre et . On nous donne . Observons que, dans le rapport, la différence entre le nombre de parts représentées par et le nombre de parts représentées par est .
Ainsi, 1 part 49.
Le rapport nous indique que représente 3 parts, donc
Exemple 5: Résoudre un problème de rapport impliquant le partage d’une quantité étant donné une relation entre les parts
Hugo, Raphaël et Simon partagent de l’argent suivant le rapport . Le double de la part reçue par Hugo dépasse celle de Raphaël de 12 LE au total. Combien d’argent Hugo, Raphaël et Simon ont-il chacun ?
Réponse
Nous commencerons par utiliser l’information que le double de la part de Hugo dépasse celle de Raphaël de 12 LE au total. Suivant le rapport, le montant d’argent reçu par Hugo est donné par 4 parts, tandis que le montant d’argent reçu par Raphaël est donné par 5 parts.
Le double de la part de Hugo est , donc deux fois la part de Hugo dépasse celle de Raphaël de
Comme 3 parts sont égales à 12 LE au total, 1 part vaut .
Ainsi, nous multiplierons chaque partie du ratio par 4 :
Hugoa 16 LE au total, Raphaël a 20 LE au total et Simon a 32 LE au total.
Nous avons maintenant les compétences requises pour nous permettre de comparer des rapports, de partager une quantité à l’aide d’un rapport donné et d’utiliser des informations sur la différence entre deux parties d’un rapport pour résoudre des problèmes. Parfois, l’énumération des multiples des parties du rapports peut nous aider à résoudre des problèmes. Cela peut ne pas sembler une méthode particulièrement efficace, mais cela peut nous aider à éviter de manipuler des expressions algébriques complexes. Dans notre prochain exemple, nous examinerons un tel procédé.
Exemple 6: Déterminer un nouveau rapport après avoir soustrait un même nombre à chaque terme du ratio
Le rapport entre deux entiers est de . Si l’on soustrait 33 à chacun des ces entiers, alors le rapport deviant . Quels sont ces deux entiers ?
Réponse
Bien que cela ne soit pas entièrement nécessaire, on peut commencer par noter ces deux entiers et . On nous donne , alors listons les premières options possibles pour ces deux entiers en multipliant chacune des parties par 1, 2, 3 et ainsi de suite.
2 | 5 |
4 | 10 |
6 | 15 |
8 | 20 |
10 | 25 |
12 | 30 |
14 | 35 |
On nous dit que le rapport deviant quand 33 est soustrait à chaque nombre, alors nous allons maintenant soustraire 33 à chaque valeur du tableau.
2 | 5 | ||
4 | 10 | ||
6 | 15 | ||
8 | 20 | ||
10 | 25 | ||
12 | 30 | ||
14 | 35 | 2 |
Enfin, nous localisons le couple de nombres dans les deux colonnes qui répondent au rapport :
Étant donné que ce rapport est calculé d’après les deux nombres de depart et , les entiers sont 6 et 15.
Dans l’exemple précédent, nous avons vu comment nous pouvons utiliser des rapports pour résoudre certains énoncés. Il convient de noter que nous aurions également pu résoudre ce problème particulier de manière algébrique. Bien que cela puisse compliquer les choses, cela reste très efficace.
Pour illustrer cela, nous utilisons le fait que le rapport peut être augmenté proportionnellement en multipliant chaque partie par un même nombre. On prend une variable de sorte que le rapport peut être écrit comme
En soustrayant 33 à chaque partie, cela donne
Nous pouvons maintenant écrire une seule équation d’inconnue en remarquant que cela équivaut à ; par conséquent,
On résout l’équation d’inconnue ,
Étant donné que le rapport initial était , on remplace dans chaque expression pour trouver que les entiers sont 6 et 15, comme prévu.
Dans notre dernier exemple, nous montrerons comment utiliser une méthode algébrique pour trouver le nombre qui a été ajouté aux deux parties d’un rapport lorsqu’on lui donne le nouveau rapport.
Exemple 7: Utilisation de proportions pour former et résoudre des équations linéaires
Anastasia commence par les nombres 5 et 12. Si elle ajoute un nombre $ à chacun de ses nombres, le rapport des nombres résultants est de . Trouvez la valeur de .
Réponse
Pour résoudre cette équation, nous devons former une équation en $. Étant donné que Anastasia ajoute ce nombre, , aux deux nombres d’origine, 5 et 12, nous pouvons définir chacun de ces nombres résultants comme
On nous dit que le rapport de ces nouveaux nombres est de . La reconnaissance de l’équivalence entre ce rapport et le rapport de nos nombres résultants donne
Pour former une équation linéaire dans , nous pouvons diviser la première valeur du rapport par la seconde :
Résolution de ,
Par conséquent, la valeur de est de 156.
Récapitulons les concepts clés de cette explication.
Points Clés
- Un rapport est un moyen de comparer deux quantités ou plus.
- Les rapports sont écrits comme un groupe ordonné de nombres.
- Un rapport est réduit à sa forme la plus simple en divisant les deux parties par leur plus grand diviseur commun.
- Les rapports peuvent également être augmentés proportionnellment en multipliant chaque partie par un même nombre.
- Le fait d’énumérer les multiples d’un rapport peut nous aider à résoudre des problèmes et à éviter d’utiliser des équations algébriques complexes, bien que résoudre des problèmes de manière algébrique puisse conduire à une solution plus efficace.