Fiche explicative de la leçon: النسبة | Nagwa Fiche explicative de la leçon: النسبة | Nagwa

Fiche explicative de la leçon: النسبة Mathématiques

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نستخدم فهمنا للنسب في حل المسائل الكلامية.

النسبة طريقة للمقارنة بين قيمتين أو أكثر. بشكل أكثر تحديدًا، تقارن النسبة بين جزء وآخر. على سبيل المثال، لنفترض أن عُلبة من الشوكولاتة تحتوي على ٨ قطع شوكولاتة داكنة و٦ قطع شوكولاتة بالحليب. تُمثَل نسبة الشوكولاتة الداكنة إلى الشوكولاتة بالحليب في صورة زوج مرتب من الأعداد كما يلي: ٨٦=٤٣.

وبالمثل، نسبة الشوكولاتة بالحليب إلى الشوكولاتة الداكنة هي ٦٨=٣٤.

في كل حالة، اختزلت النسبة إلى أبسط صورة لها بقسمة الجزأين على العامل المشترك الأكبر لهما. ينبغي أن يكون واضحًا أنه بما أنه يمكننا القسمة على عدد مشترك، إذن يمكننا أيضًا زيادة النسبة بضرب كل جزء في عدد مشترك. يمكن أن تكون هذه الطريقة مفيدة في المقارنة بين نسبتين أو أكثر.

في المثال الأول، سنوضح كيف تُجرى هذه العملية بمزيد من التفصيل.

مثال ١: إيجاد نسبة بمعلومية نسبتين أخريين

النسبة بين طول باسم إلى طول شادي٣١ والنسبة بين طول شادي إلى طول رامي٢٥. أوجد النسبة بين طول باسم إلى طول رامي.

الحل

يمكن تعديل النسب لإيجاد قيم مكافئة بضرب أو قسمة كل جزء على عدد ثابت معين. لإيجاد النسبة بين طول باسم إلى طول رامي علينا إيجاد طريقة لاستخدام طول الشخص المشترك بينهما، أي، شادي. في الواقع، سنجعل الحد الذي يمثل طول شادي متساوٍ في النسبتين بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لهما.

في النسبة الأولى، طول باسم󰂔𞸋󰂓 إلى طول شادي󰂔𞸋󰂓دي يساوي ٣١. وفي النسبة الثانية، طول شادي إلى طول رامي󰂔𞸋󰂓را يساوي ٢٥. ومن ثم علينا إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للعددين ٢، ١: ممأ(٢،١)=٢.

لجعل الحد الذي يمثل طول شادي متساوٍ في النسبتين، نضرب النسبة الأولى في ٢: ٣١=٦٢.

بما أن النسبة بين طول باسم إلى طول شادي إلى طول رامي تساوي ٦٢٥، إذن يمكننا الآن إيجاد النسبة بين طول باسم إلى طول رامي باستخدام هذين الجزأين فقط.

ومن ثم تكون النسبة ٦٥.

في المثال السابق، رأينا كيف يمكننا قياس النسب بالضرب أو القسمة على ثابت ما يتيح لنا المقارنة بين نسبتين. يمكننا أيضًا التعبير عن هذه العلاقات على نحو مكافئ باستخدام رمز الكسر، حيث تكون النسبة بين طول باسم إلى طول رامي٦٥، على الرغم من أن الأكثر شيوعًا هو رؤية التمثيل الكسري في صورة نسبة بين جزء وكل. في المثال الثاني، سنوضح كيفية استخدام هذا التمثيل.

مثال ٢: إيجاد قياس زوايا مثلث بمعلومية النسبة بينها

النسبة بين قياسات زوايا مثلث هي ٦١٠١٩١. أوجد قياس أكبر زاوية في هذا المثلث.

الحل

تذكر أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في مثلث يساوي ٠٨١. لإيجاد قياس أكبر زاوية في مثلث تساوي فيه النسبة بين الزوايا ٦١٠١٩، يمكننا اتباع طريقة من عدة طرق.

يمكن القول إن الطريقة الأكثر فاعلية هي تحويل النسبة إلى كسر يمثل جزء واحد من الكل. أكبر زاوية هي الزاوية التي يمثلها ١٩ جزءًا، وهناك مجموع يساوي ٦١+٠١+٩١=٥٤ جزءًا في النسبة. ومن ثم، نجد أن أكبر زاوية هي ٩١٥٤ من ٠٨١: ٩١٥٤٠٨١=(٠٨١÷٥٤)×٩١=٤×٩١=٦٧.

هذه الطريقة تكافئ حساب قياس جزء واحد من النسبة أولًا بتقسيم ٠٨١ إلى ٤٥ جزءًا ثم استخدام هذه العملية الحسابية لإيجاد قياس ١٩ جزءًا.

في المثال التالي، سنوضح مرة أخرى كيف نُقسِّم كمية إلى نسبة، باستخدام طريقة بديلة هذه المرة لكنها مكافئة.

مثال ٣: تقسيم كمية إلى نسبة تتكون من ثلاثة حدود

خصصت مدرسة مبلغ ٥٨٨ جنيهًا مصريًّا لشراء الزينة. يُقسَّم المبلغ المالي على الفصول 󰏡، 𞸁، 𞸢 بنسبة ٢٤٦. ما المبلغ المخصص لكل فصل؟

الحل

لتقسيم كمية إلى نسبة، يمكننا التفكير في النسبة على أنها تقسيم كل إلى عدد من الأجزاء. فيما يخص النسبة ٢٤٦، يُعطى إجمالي عدد الأجزاء بالعلاقة: ٢+٤+٦=٢١.أاء

ومن ثم، لتقسيم مبلغ ٥٨٨ جنيهًا مصريًّا بين الفصول، سنبدأ بتقسيمه بالتساوي إلى ١٢ جزءًا: ٨٨٥÷٢١=٩٤.ً

كل جزء في النسبة يساوي ٤٩ جنيهًا مصريًّا. وبهذه الحقيقة، يمكننا الآن حساب مبلغ المال الذي يحصل عليه كل فصل.

وبما أن عدد أجزاء الفصل 󰏡 هو ٢، إذن يحصل الفصل 󰏡 على ٢×٩٤=٨٩.ً

وبالمثل، يحصل الفصل 𞸁 على ٤ أجزاء: ٤×٩٤=٦٩١.ً

وأخيرًا يحصل الفصل 𞸢 على ٦ أجزاء: ٦×٩٤=٤٩٢.ً

لاحظ أن مجموع هذه القيم، يساوي ٥٨٨ جنيهًا مصريًّا كما هو متوقع.

إذن، لدينا 󰏡=٨٩ً، 𞸁=٦٩١جنيهًامصريًّا، 𞸢=٤٩٢جنيهًامصريًّا.

في المثال الرابع، سنوضح كيف نقسِّم كمية بمعلومية علاقة بين أجزاء النسبة.

مثال ٤: إيجاد قيمتين بمعلومية النسبة بينهما والفرق بينهما

إذا كان 󰏡𞸁=٣٢، 󰏡𞸁=٩٤ فاحسب قيمة 󰏡.

الحل

لإيجاد قيمة 󰏡، سنستخدم المعلومات المتعلقة بالعلاقة بين 󰏡، 𞸁. علمنا أن 󰏡𞸁=٩٤. لاحظ أن الفرق بين عدد الأجزاء التي يمثلها 󰏡 وعدد الأجزاء التي يمثلها 𞸁، في النسبة، يساوي ٣٢=١.

ومن ثم، جزء واحد = ٤٩.

تخبرنا النسبة بأن 󰏡 يساوي ٣ أجزاء، إذن 󰏡=٣×٩٤=٧٤١.

مثال ٥: حل مسألة نسبة تتضمن تقسيم كمية بمعلومية العلاقة بين الأنصبة

يتشارك سيف وفارس وماجد بعض المال بنسبة ٤٥٨. ضعف نصيب سيف يزيد عن نصيب فارس بمقدار ١٢ جنيهًا مصريًّا. ما مقدار نصيب كلٍ من سيف وفارس وماجد؟

الحل

سنبدأ باستخدام المعلومة التي تقول إن ضعف نصيب سيف يزيد عن نصيب فارس بمقدار ١٢ جنيهًا مصريًّا. في النسبة، يساوي مبلغ المال الذي يحصل عليه سيف ٤ أجزاء، بينما يساوي مبلغ المال الذي يحصل عليه فارس ٥ أجزاء.

ضعف نصيب سيف يساوي ٤×٢=٨ أجزاء، إذن ضعف نصيب سيف يزيد عن نصيب فارس بمقدار ٨٥=٣=٢١.أاءً

بما أن ٣ أجزاء تساوي ١٢ جنيهًا مصريًّا إذن جزء واحد يساوي ٢١÷٣=٤جنيهاتمصرية.

ومن ثم، سنضرب كل جزء من النسبة في ٤: ٤٥٨٦١٠٢٢٣.ًًً

إذن، نصيب سيف هو ١٦ جنيهًا مصريًّا، ونصيب فارس هو ٢٠ جنيهًا مصريًّا، ونصيب ماجد هو ٣٢ جنيهًا مصريًّا.

لدينا الآن المهارات اللازمة التي تمكننا من المقارنة بين النسب، وتقسيم كمية إلى نسبة معطاة، واستخدام المعلومات المتعلقة بالفرق بين جزأي نسبة لحل المسائل. هناك أيضًا أوقات يمكن أن يساعدنا فيها سرد مضاعفات النسبة على حل المسائل. قد لا تبدو هذه الطريقة فعالة بشكل خاص، لكنها يمكن أن تساعدنا على تجنب الاضطرار إلى التعامل مع المقادير الجبرية المعقدة. وسنتناول في المثال التالي هذه العملية.

مثال ٦: إيجاد نسبة جديدة بعد طرح عدد من كل حد في النسبة

النسبة بين عددين صحيحين هي ٢٥. فإذا طُرِح من كل من العددين ٣٣، فإن النسبة بينهما تكون ٣٢. فما هذان العددان الصحيحان؟

الحل

على الرغم من أن هذا ليس ضروريًا تمامًا، فإنه يمكن أن يساعدنا في البدء في تحديد العددين الصحيحين على صورة 󰏡، 𞸁. لدينا 󰏡𞸁=٢٥، لذا دعونا نسرد أول بضعة خيارات ممكنة لهذين العددين الصحيحين بضرب كل منهما في ١، ٢، ٣، وهكذا.

󰏡𞸁
٢٥
٤١٠
٦١٥
٨٢٠
١٠٢٥
١٢٣٠
١٤٣٥

علمنا أن النسبة تُصبح ٣٢ عند طرح ٣٣ من كل عدد، لذا سنطرح الآن ٣٣ من كل قيمة في الجدول.

󰏡𞸁󰏡٣٣𞸁٣٣
٢٥١٣٨٢
٤١٠٩٢٣٢
٦١٥٧٢٨١
٨٢٠٥٢٣١
١٠٢٥٣٢٨
١٢٣٠١٢٣
١٤٣٥٩١٢

وأخيرًا، نحدد موقع العددين الموجودين في هذين العمودين اللذين يمثلان النسبة ٣٢: ÷٩٧٢٨١٣٢.÷٩

بما أن هذه النسبة تنتج عن العددين الابتدائيين 󰏡=٦، 𞸁=٥١، إذن العددان الصحيحان هما ٦، ١٥.

في المثال السابق، رأينا كيف يمكننا استخدام فهمنا لتساوي النسب في حل المسائل. والجدير بالذكر أنه كان بإمكاننا أيضًا حل هذه المسألة تحديدًا جبريًا. وعلى الرغم من أن هذا يمكن أن يجعل الأمور أكثر تعقيدًا، فإنه يزيد من فاعلية الحل أيضًا.

لتوضيح ذلك، نستخدم حقيقة أن النسبة يمكن زيادتها بضرب كل جزء في أي عدد. لقد عينّا متغيرًا 𞸎𞹇 بحيث يمكن كتابة النسبة على الصورة ٢𞸎٥𞸎.

بطرح ٣٣ من الطرفين نحصل على: ٢𞸎٣٣٥𞸎٣٣.

يمكننا الآن تكوين معادلة واحدة في المتغير 𞸎 بإدراك أن هذه المعادلة تساوي ٣٢؛ ومن ثم نحصل على: ٢𞸎٣٣٥𞸎٣٣=٣٢٢𞸎٣٣٥𞸎٣٣=٣٢.

بإيجاد قيمة 𞸎، نحصل على: ٢(٢𞸎٣٣)=٣(٥𞸎٣٣)٤𞸎٦٦=٥١𞸎٩٩١١𞸎=٣٣𞸎=٣.

بما أن النسبة الابتدائية كانت ٢𞸎٥𞸎، إذن نعوض بـ 𞸎=٣ في كل مقدار لنجد أن العددين الصحيحين هما ٦، ١٥، كما هو متوقع.

لنلخص الآن النقاط الرئيسية في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • النسبة طريقة للمقارنة بين قيمتين أو أكثر.
  • تُكتب النسب في صورة مجموعة أعداد مرتبة.
  • تُختزل النسبة إلى أبسط صورة لها بقسمة الجزأين على العامل المشترك الأكبر.
  • يمكن أيضًا زيادة النسب بضرب كل جزء في عدد مشترك.
  • يمكن أن يساعدنا سرد مضاعفات النسبة في حل المسائل وتجنب استخدام المعادلات الجبرية المعقدة، على الرغم من أن حل المسائل جبريًا قد يؤدي إلى حل أكثر فاعلية.

Télécharger l’application Nagwa Classes

Assistez à des séances, chattez avec votre enseignant ainsi que votre classe et accédez à des questions spécifiques à la classe. Téléchargez l’application Nagwa Classes dès aujourd’hui !

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site web. Apprenez-en plus à propos de notre Politique de confidentialité