Fiche explicative de la leçon: Rapports | Nagwa Fiche explicative de la leçon: Rapports | Nagwa

Fiche explicative de la leçon: Rapports Mathématiques • Troisième préparatoire

Dans cette fiche explicative, nous apprendrons à utiliser notre compréhension des rapports pour résoudre des problèmes de proportions.

Un rapport est un moyen de comparer deux quantités ou plus. Plus précisément, un rapport compare une partie à une autre. Par exemple, considérons une boîte de chocolats qui contient 8 chocolats noirs et 6 chocolats au lait. Le rapport entre les chocolats noirs et les chocolats au lait est représenté par une paire ordonnée de nombres écrits comme suit:86=43.

De même, le rapport entre les chocolats au lait et les chocolats noirs est de 68=34.

Dans chaque cas, le rapport a été réduit à sa forme la plus simple en divisant les deux parties par leur plus grand diviseur commun. Il doit être clair que, de la même façon qu’on peut diviser par un même nombre chaque partie, on peut aussi augmenter proportionnellement chaque partie du rapport en les multipliant par un même nombre. Cette technique peut être utile pour comparer deux rapports ou plus.

Dans notre premier exemple, nous montrerons plus en détail comment cela fonctionne.

Exemple 1: Déterminer un rapport à partir de deux autres rapports

Le rapport entre la taille de Bastien et celle de Jacques est de 31 et le rapport entre la taille de Jacques et celle de Clovis est de 25. Déterminez le rapport entre la taille de Bastien et celle de Clovis.

Réponse

Les rapports peuvent être manipulés pour créer des équivalents en multipliant ou en divisant chaque partie par un même nombre. Afin de trouver le rapport entre la taille de Bastien et celle de Clovis, nous devrons trouver un moyen d’utiliser la taille de la personne qu’ils ont en commun, c’est-à-dire Jacques. En fait, nous devons faire en sorte que le terme qui représente la taille de Jacques soit égal dans chacun des deux rapports en déterminant le plus petit commun multiple.

Dans le premier cas, le rapport entre la taille de Bastien(𝑡)Bastien et celle de Jacques𝑡Jacques est de 31. Dans le deuxième cas, le rapport entre la taille de Jacques et celle de Clovis(𝑡)Clovis est de 25. Par conséquent, nous devons trouver le plus petit multiple commun entre 2 et 1:ppcm(2,1)=2.

Pour rendre le terme qui représente la taille de Jacques égal dans les deux rapports, nous multiplions chaque partie du premier rapport par 2:31=62.

Comme le rapport entre la taille de Bastien, la taille de Jacques et celle deClovis est de 625, on peut maintenant déterminer le rapport entre la taille de Bastien et celle de Clovis en utilisant uniquement ces parts.

Le ratio est de 65.

Dans notre exemple précédent, nous avons vu comment nous pouvons mettre à l’échelle des rapports en multipliant ou en divisant par une constante chaque partie pour nous permettre de comparer une paire de rapports. Nous pouvons également exprimer de manière équivalente ces relations en utilisant la notation de fraction, où le rapport entre la taille de Bastien et celle de Clovis est de 65, bien qu’il soit beaucoup plus courant de voir la représentation fractionnaire comme un rapport d’une partie d’un ensemble sur cet ensemble. Dans notre deuxième exemple, nous utiliserons cette représentation.

Exemple 2: Déterminer la mesure des angles d’un triangle à partir de leur rapport

Le rapport entre les mesures des angles d’un triangle est de 161019. Déterminez la mesure du plus grand angle de ce triangle.

Réponse

Rappelons que la somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle vaut 180. Pour déterminer la mesure du plus grand angle d’un triangle où le rapport entre ses angles est de 16109, on peut utiliser plusieurs méthodes.

On peut dire que la méthode la plus efficace consiste à convertir le rapport en une fraction d’une partie sur l’ensemble. Le plus grand angle est l’angle représenté par 19 parties et il y a un total de 16+10+19=45 parts dans le rapport. Par conséquent, le plus grand angle est 1945 de 180:1945180=(180÷45)×19=4×19=76.de

Cette méthode équivaut à calculer d’abord la mesure d’une part unitaire du rapport en partageant 180 en 45 parts puis à utiliser le résultat pour trouver la mesure de 19 parts.

Dans notre prochain exemple, nous montrerons une fois de plus comment partager une quantité à l’aide d’un rapport, cette fois en utilisant une méthode alternative, mais équivalente.

Exemple 3: Partager une quantité à l’aide d’un rapport à trois parties

Une école a 588 LE à dépenser pour les décorations. L’argent sera divisé entre les classes 𝐴, 𝐵 et 𝐶 suivant le rapport 246. Combien d’argent chaque classe peut-elle dépenser pour des décorations?

Réponse

Pour partager un montant à l’aide d’un rapport, on peut considérer le rapport comme la division de ce montant en un certain nombre de parts. Pour le rapport 246, le nombre total de parts est donné par 2+4+6=12.parts

Ainsi, pour partager 588 LE entre les classes, on va commencer par partager l’ensemble équitablement en 12 parts:588÷12=49.LE

Chaque part unitaire du rapport est égal à 49 LE. De ce fait, nous pouvons maintenant calculer le montant d’argent que chaque classe reçoit.

Comme le nombre de parts données à la classe 𝐴 est 2, la classe 𝐴 recoit 2×49=98.LE

De même, la classe 𝐵 reçoit 4 parts:4×49=196.LE

Enfin, la classe 𝐶 reçoit 6 parts:6×49=294.LE

Observez que la somme de ces valeurs est, comme prévu, 588 LE.

Donc, on a 𝐴=98LE, 𝐵=196LE et 𝐶=294LE.

Dans notre quatrième exemple, nous montrerons comment partager une quantité étant donnée une relation établie entre les parties du rapport.

Exemple 4: Déterminer deux valeurs connaissant leur rapport et leur différence

Sachant que 𝑎𝑏=32 et 𝑎𝑏=49, calculez la valeur de 𝑎.

Réponse

Pour déterminer la valeur de 𝑎, nous utiliserons la relation entre 𝑎 et 𝑏. On nous donne 𝑎𝑏=49. Observons que, dans le rapport, la différence entre le nombre de parts représentées par 𝑎 et le nombre de parts représentées par 𝑏 est 32=1.

Ainsi, 1 part = 49.

Le rapport nous indique que 𝑎 représente 3 parts, donc 𝑎=3×49=147.

Exemple 5: Résoudre un problème de rapport impliquant le partage d’une quantité étant donné une relation entre les parts

Hugo, Raphaël et Simon partagent de l’argent suivant le rapport 458. Le double de la part reçue par Hugo dépasse celle de Raphaël de 12 LE au total. Combien d’argent Hugo, Raphaël et Simon ont-il chacun?

Réponse

Nous commencerons par utiliser l’information que le double de la part de Hugo dépasse celle de Raphaël de 12 LE au total. Suivant le rapport, le montant d’argent reçu par Hugo est donné par 4 parts, tandis que le montant d’argent reçu par Raphaël est donné par 5 parts.

Le double de la part de Hugo est 4×2=8, donc deux fois la part de Hugo dépasse celle de Raphaël de 85=3=12.partsLE

Comme 3 parts sont égales à 12 LE au total, 1 part vaut 12÷3=4LE.

Ainsi, nous multiplierons chaque partie du ratio par 4:458162032.LELELE

Hugoa 16 LE au total, Raphaël a 20 LE au total et Simon a 32 LE au total.

Nous avons maintenant les compétences requises pour nous permettre de comparer des rapports, de partager une quantité à l’aide d’un rapport donné et d’utiliser des informations sur la différence entre deux parties d’un rapport pour résoudre des problèmes. Parfois, l’énumération des multiples des parties du rapports peut nous aider à résoudre des problèmes. Cela peut ne pas sembler une méthode particulièrement efficace, mais cela peut nous aider à éviter de manipuler des expressions algébriques complexes. Dans notre prochain exemple, nous examinerons un tel procédé.

Exemple 6: Déterminer un nouveau rapport après avoir soustrait un même nombre à chaque terme du ratio

Le rapport entre deux entiers est de 25. Si l’on soustrait 33 à chacun des ces entiers, alors le rapport deviant 32. Quels sont ces deux entiers?

Réponse

Bien que cela ne soit pas entièrement nécessaire, on peut commencer par noter ces deux entiers 𝑎 et 𝑏. On nous donne 𝑎𝑏=25, alors listons les premières options possibles pour ces deux entiers en multipliant chacune des parties par 1, 2, 3 et ainsi de suite.

𝑎𝑏
25
410
615
820
1025
12 30
1435

On nous dit que le rapport deviant 32 quand 33 est soustrait à chaque nombre, alors nous allons maintenant soustraire 33 à chaque valeur du tableau.

𝑎𝑏𝑎33𝑏33
253128
4102923
6152718
820 2513
1025238
1230213
1435192

Enfin, nous localisons le couple de nombres dans les deux colonnes qui répondent au rapport 32:÷9271832.÷9

Étant donné que ce rapport est calculé d’après les deux nombres de depart 𝑎=6 et 𝑏=15, les entiers sont 6 et 15.

Dans l’exemple précédent, nous avons vu comment nous pouvons utiliser des rapports pour résoudre certains énoncés. Il convient de noter que nous aurions également pu résoudre ce problème particulier de manière algébrique. Bien que cela puisse compliquer les choses, cela reste très efficace.

Pour illustrer cela, nous utilisons le fait que le rapport peut être augmenté proportionnellement en multipliant chaque partie par un même nombre. On prend une variable 𝑥 de sorte que le rapport peut être écrit comme 2𝑥5𝑥.

En soustrayant 33 à chaque partie, cela donne 2𝑥335𝑥33.

Nous pouvons maintenant écrire une seule équation d’inconnue 𝑥 en remarquant que cela équivaut à 32;par conséquent, 2𝑥335𝑥33=322𝑥335𝑥33=32.

On résout l’équation d’inconnue 𝑥, 2(2𝑥33)=3(5𝑥33)4𝑥66=15𝑥9911𝑥=33𝑥=3.

Étant donné que le rapport initial était 2𝑥5𝑥, on remplace 𝑥=3 dans chaque expression pour trouver que les entiers sont 6 et 15, comme prévu.

Dans notre dernier exemple, nous montrerons comment utiliser une méthode algébrique pour trouver le nombre qui a été ajouté aux deux parties d’un rapport lorsqu’on lui donne le nouveau rapport.

Exemple 7: Utilisation de proportions pour former et résoudre des équations linéaires

Anastasia commence par les nombres 5 et 12. Si elle ajoute un nombre k $ à chacun de ses nombres, le rapport des nombres résultants est de 2324. Trouvez la valeur de 𝑘.

Réponse

Pour résoudre cette équation, nous devons former une équation en k$. Étant donné que Anastasia ajoute ce nombre, 𝑘, aux deux nombres d’origine, 5 et 12, nous pouvons définir chacun de ces nombres résultants comme beginalign*5+kquadtextetquad12+k.endalign*

On nous dit que le rapport de ces nouveaux nombres est de 2324. La reconnaissance de l’équivalence entre ce rapport et le rapport de nos nombres résultants donne (5+𝑘)(12+𝑘)=2324.

Pour former une équation linéaire dans 𝑘, nous pouvons diviser la première valeur du rapport par la seconde:𝑓𝑟𝑎𝑐5+𝑘12+𝑘=𝑓𝑟𝑎𝑐2324.

Résolution de 𝑘, 24(5+𝑘)=23(12+𝑘),120+24𝑘=276+23𝑘,𝑘=156.

Par conséquent, la valeur de 𝑘 est de 156.

Récapitulons les concepts clés de cette explication.

Points Clés

  • Un rapport est un moyen de comparer deux quantités ou plus.
  • Les rapports sont écrits comme un groupe ordonné de nombres.
  • Un rapport est réduit à sa forme la plus simple en divisant les deux parties par leur plus grand diviseur commun.
  • Les rapports peuvent également être augmentés proportionnellment en multipliant chaque partie par un même nombre.
  • Le fait d’énumérer les multiples d’un rapport peut nous aider à résoudre des problèmes et à éviter d’utiliser des équations algébriques complexes, bien que résoudre des problèmes de manière algébrique puisse conduire à une solution plus efficace.

Rejoindre Nagwa Classes

Assistez à des séances en direct sur Nagwa Classes pour stimuler votre apprentissage avec l’aide et les conseils d’un enseignant expert !

  • Séances interactives
  • Chat et messagerie électronique
  • Questions d’examen réalistes

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site web. Apprenez-en plus à propos de notre Politique de confidentialité