Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Fiche explicative de la leçon : Conservation de l'énergie Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment appliquer le principe de conservation de l’énergie pour résoudre des problèmes impliquant des corps en mouvement.

Le principe de conservation de l’énergie est intéressant lorsque l’on traite de l’énergie cinétique, de l’énergie potentielle de pesanteur et de l’énergie dissipée par frottement.

Définissons l’énergie cinétique.

Définition : Energie cinétique

L’énergie cinétique d’un corps dépend de la masse et de la vitesse du corps selon la formule 𝐸=12𝑚𝑣,𝑚 est la masse du corps et 𝑣 est la vitesse du corps.

Définissons l’énergie potentielle de pesanteur.

Définition : Energie potentielle de pesanteur

L’énergie potentielle de pesanteur d’un corps dépend de la masse du corps et de la hauteur où il se trouve, selon la formule 𝐸=𝑚𝑔,𝑚 est la masse du corps, est la hauteur où se situe le corps et 𝑔 est l’accélération due à la pesanteur, qui est généralement considérée égale à 9,8 m/s2 près de la surface de la Terre.

Un système isolé est un ensemble de corps qui n’échangent de l’énergie qu’entre eux et qui n’en transfèrent donc à aucun corps non inclus dans le système. Dans certaines questions, la Terre peut être considérée comme l’un des corps inclus dans le système. La somme de l’énergie potentielle et de l’énergie cinétique d’un système isolé est conservée et est donc constante. L’énergie cinétique peut être transformée en énergie potentielle, et inversement.

L’énergie peut également être transférée entre des systèmes. De tels systèmes sont appelés systèmes ouverts. Un exemple de transfert d’énergie entre systèmes est celui où un corps d’un système travaille sur un corps d’un système différent.

Définissons le travail d’une force agissant sur un corps.

Définition : Travail d’une force agissant sur un corps

Le travail effectué par une force agissant sur un corps dépend de la force qui agit sur le corps et de la distance que le corps parcourt dans la direction de cette force, selon la formule 𝑊=𝐹𝑑𝜃,cos𝐹 est la force, 𝑑 est le déplacement du corps pendant que la force agit sur celui-ci et 𝜃 est l’angle entre les directions de 𝐹 et 𝑑.

Les forces peuvent être définies comme conservatives ou non conservatives.

Une force est conservative si le travail fourni par la force dépend uniquement des positions initiale et finale du corps et est donc indépendant du chemin emprunté par le corps pendant son mouvement. Les forces gravitationnelles sont un exemple des forces conservatives.

Pour une force conservative agissant sur un corps, le travail fourni par la force est lié à la variation d’énergie potentielle du corps. La relation entre le travail fourni par la force et la variation d’énergie potentielle du corps est donnée par 𝑊=Δ𝐸,𝑊 est le travail fourni par la force et Δ𝐸 est la variation d’énergie potentielle du corps.

Le théorème de l’énergie cinétique stipule que le travail d’une force conservative ou non agissant sur un corps est égal à la variation de l’énergie cinétique de l’objet. Cela peut être exprimé par 𝑊=Δ𝐸,𝑊 est le travail fourni par la force et Δ𝐸 est la variation de l’énergie cinétique du corps.

On voit alors que pour une force conservative agissant sur un corps, Δ𝐸=Δ𝐸.

Cela peut être exprimé par Δ𝐸+Δ𝐸=0.

Cela peut aussi être exprimé par 𝐸=𝐸+𝐸,𝐸 est l’énergie du système, qui est une quantité conservée. La somme des énergies de systèmes ouverts qui interagissent est également une quantité conservée.

Une force est non conservative si le travail effectué sur un corps par la force dépend du chemin parcouru par le corps pendant son mouvement. Les forces de frottement sont un exemple de forces non conservatives.

Le travail d’une force non conservative agissant sur un corps ne s’effectue pas forcément sur le corps en question. Considérons, par exemple, une force horizontale agissant sur un corps sur un plan horizontal rugueux. L’action d’une telle force peut entraîner le mouvement uniforme du corps le long du plan. Pendant un intervalle où la force agit sur le corps et le corps se déplace de manière uniforme, la force fournit un travail mais l’énergie cinétique du corps ne varie pas. Le travail fourni par la force qui n’augmente pas l’énergie du corps est dit dissipé. Un système dans lequel de l’énergie est dissipée est un système dissipatif. Pour un système dissipatif, l’énergie du système peut être exprimée comme 𝐸=𝐸+𝐸+𝑊,𝑊 est l’énergie dissipée.

On peut voir que le principe de conservation de l’énergie a de nombreuses similarités avec le théorème de l’énergie cinétique. Pour les systèmes non dissipatifs, ces principes sont équivalents.

Étudions un exemple de conservation d’énergie dans un système isolé.

Exemple 1: Calculer l’énergie d’un corps en chute libre

Un corps de masse 20 kg est tombé d’une hauteur de 42,3 m au-dessus du sol. Déterminez la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle par rapport au sol 2 secondes après qu’il a commencé à tomber. Supposez que 𝑔=9,8/ms.

Réponse

Le corps est décrit comme tombant d’une certaine hauteur. Cela implique que le corps est au repos avant qu’il ne commence à tomber donc il n’a pas d’énergie cinétique initiale.

L’énergie du système lorsque le corps est au repos est donc égale à son énergie potentielle de pesanteur initiale, 𝐸=20×9,8×42,3=8290,8,initialejoules car 𝐸 est initialement égale à zéro.

Après une durée 𝑡 de chute, sa hauteur par rapport au sol a diminué et l’énergie potentielle de pesanteur diminue donc de Δ𝐸:𝐸=𝐸Δ𝐸.initiale

L’énergie du système est conservée, donc l’énergie potentielle de pesanteur du système est transformée en énergie cinétique. Le transfert d’énergie potentielle en énergie cinétique signifie qu’à l’instant 𝑡, 𝐸=0+Δ𝐸,Δ𝐸=Δ𝐸.

La somme de 𝐸 et 𝐸 est donc 𝐸+𝐸=𝐸Δ𝐸+Δ𝐸=𝐸=8290,8.initialeinitialejoules

Il est important de remarquer que la durée pendant laquelle l’objet est tombé n’est pas pertinente pour déterminer la somme de 𝐸 et 𝐸. L’énergie d’un système isolé est conservée donc 𝐸 a la même valeur à tout moment.

Étudions un autre exemple de transfert d’énergie potentielle de pesanteur en énergie cinétique.

Exemple 2: Appliquer le principe de conservation de l’énergie pour calculer une vitesse

Un corps a commencé à glisser vers le bas d’un plan lisse et incliné de hauteur 504 cm depuis son sommet. Déterminez sa vitesse lorsqu’il atteint le bas du plan. Supposez que 𝑔=9,8/ms.

Réponse

Le corps est décrit comme commençant à glisser depuis une certaine hauteur. Cela implique que le corps est au repos avant qu’il ne commence à glisser et qu’il n’a donc pas d’énergie cinétique initiale. La figure suivante représente le corps dans ses positions initiale et finale.

L’énergie du système lorsque le corps est au repos est égale à son énergie potentielle de pesanteur initiale, 𝐸=𝑚×9,8×5,04,initiale car 𝐸 est initialement égale à zéro. On convertit la hauteur en centimètres en une hauteur en mètres pour la rendre cohérente avec l’unité m/s2 de 𝑔=9,8/ms.

Le plan est lisse donc aucune dissipation d’énergie ne se produit. Lorsque le corps est en bas du plan, 𝐸 est égale à zéro. Toute l’énergie potentielle de pesanteur s’est transformée en énergie cinétique. Lorsque cela s’est produit, 𝐸=𝐸,initiale donc 12𝑚𝑣=𝑚×9,8×5,04.

Le facteur commun 𝑚 des deux membres de l’équation peut être annulé pour obtenir 12𝑣=9,8×5,04,𝑣=2×495×12625,𝑣=2×495×12625=12348125𝑣=9898125.

Prendre la racine carrée des deux membres donne 𝑣=42575𝑣=423525/.ms

Il est important de remarquer que l’angle d’inclinaison du plan n’est pas important pour déterminer l’énergie du système. Le chemin que le corps parcourt depuis sa hauteur initiale jusqu’au bas du plan n’affecte pas la diminution de 𝐸. L’augmentation de 𝐸 due à la diminution de 𝐸 est la même pour tout chemin emprunté par le corps.

Intuitivement, on pourrait s’attendre à ce qu’un objet qui tombe verticalement atteigne une vitesse plus grande que le même objet glissant vers le bas le long d’une pente à partir de la même hauteur en raison de la plus grande accélération de l’objet qui tombe verticalement. Cet a priori est cependant trompeur car un corps qui glisse le long d’un plan accélère pendant une plus grande durée que le corps qui tombe verticalement et l’augmentation de la durée d’accélération compense exactement la diminution de l’accélération.

Étudions maintenant un exemple impliquant la vitesse du corps à un instant donné.

Exemple 3: Calculer la variation d’énergie potentielle d’un corps sur un plan incliné lisse

Une particule de masse 281 g a été projetée à une vitesse de 37 cm/s vers le haut, selon la ligne de plus grande pente d’un plan lisse incliné par rapport à l’horizontale d’un angle dont le sinus est 1011. Déterminez la variation d’énergie potentielle de pesanteur de la particule entre le moment où elle a été projetée et le moment où sa vitesse atteint 29 cm/s.

Réponse

Pour la particule, initialement, 𝐸=0. Le plan incliné sur lequel la particule se déplace est lisse donc aucune énergie n’est dissipée et l’augmentation de 𝐸, Δ𝐸, est égale à la diminution de 𝐸, Δ𝐸.

La valeur de Δ𝐸 peut être déterminée en soustrayant la valeur de 𝐸 lorsque la particule se déplace à 37 cm/s à la valeur de 𝐸 lorsque la particule se déplace à 29 cm/s. Elle peut être exprimée par Δ𝐸=12(281)2937=74184.

Ce n’est cependant pas la valeur de Δ𝐸 en joules car la masse n’est pas en kilogrammes et les vitesses ne sont pas en mètres par seconde. Convertir cette valeur en une valeur en joules nécessite de diviser par 1 000 pour changer les unités de masse et par 100 pour changer les unités de vitesse. Après avoir divisé par 10, le résultat est -0,0074184 joules.

La valeur de Δ𝐸 peut être écrite comme une valeur entière en utilisant l’unité ergs. Un erg est défini comme 1 gramme-centimètre carré par seconde carrée:1 erg est égal à 10joules. Cela donne le résultat final de Δ𝐸=74184.ergs

Il est important de noter que l’angle du plan incliné sur lequel la particule se déplace n’est pas pertinent pour déterminer les variations d’énergie cinétique et potentielle du système. Si l’angle avait été différent, le temps pendant lequel la vitesse de la particule a diminué jusqu’à 29 cm/s aurait également été différent mais le transfert d’énergie qui s’est produit pendant cette durée n’aurait pas différé.

Pour un système ouvert, l’énergie peut être transférée par dissipation due au frottement. Un tel système est appelé système dissipatif. L’énergie dissipée par un tel système est égale à la somme des travaux effectués sur les corps du système pour compenser les forces de frottement agissant sur eux.

L’énergie qui est dissipée ne se transfère pas à l’énergie cinétique ou potentielle du système dissipatif, ni aux systèmes qui interagissent avec celui-ci. Cela implique que la somme de l’énergie cinétique et potentielle n’est pas conservée dans un système dissipatif.

Étudions maintenant un exemple où l’énergie est dissipée par la force de frottement.

Exemple 4: Calculer le travail fourni par la force de frottement sur un plan incliné rugueux

Un corps a été projeté vers le haut d’un plan incliné rugueux à partir de sa base. Son énergie cinétique initiale était de 242 joules. Le corps a continué à se déplacer jusqu’à ce qu’il atteigne sa hauteur maximale, puis il a à nouveau glissé vers le bas. Quand il a atteint le bas du plan, son énergie cinétique était de 186 joules. Déterminez le travail 𝑊 fourni pour compenser la force de frottement pendant l’ascension et le gain en énergie potentielle de pesanteur 𝐸 lorsque le corps était à sa hauteur maximale.

Réponse

En appliquant la formule 𝐸=𝐸+𝐸+𝑊, on peut voir qu’initialement, lorsque 𝐸 et le travail fourni par la force frottement sont nuls, 242=242+0+0.

Dans la situation finale, lorsque 𝐸 est à nouveau nul, 242=186+0+𝑊.

La valeur de 𝑊 est 56. La question demande cependant l’énergie dissipée uniquement lorsque le corps monte et 56 joules sont dissipées pendant la totalité du mouvement du corps.

En se référant à la formule 𝑊=𝐹𝑑𝜃,cos on peut considérer que la distance 𝑑 que le corps parcourt pendant qu’il dissipe l’énergie due au frottement est la même lorsqu’il monte et lorsqu’il descend.

On suppose que la force agissant sur le corps agit parallèlement à la direction de l’inclinaison du plan.

On suppose également que l’intensité de la force de frottement 𝐹 est la même lorsque le corps monte et lorsqu’il descend.

Avec ces suppositions, les valeurs de 𝑊 de la montée et de la descente sont égales, donc la valeur de 𝑊 pour la montée est égal à la moitié de la valeur de 𝑊 totale, donc 𝑊=2421862=28.joules

Si 28 joules d’énergie sont dissipées lors de la montée, alors la valeur de 𝐸 à la fin de la montée est égale à la valeur initiale de 𝐸 diminuée de l’énergie dissipée lors de l’ascension:𝐸=24228=214.joules

Dans cet exemple, on a supposé que la dissipation était la même pendant la montée et la descente du corps. Supposer que les forces de résistance responsables de la dissipation sont d’intensité constante tout au long du mouvement d’un corps est une simplification car ces forces de résistance changent généralement d’intensité en réponse au vecteur vitesse d’un corps et ne sont donc constantes que pour les objets qui ne changent pas d’énergie cinétique pendant leur déplacement.

Étudions un autre exemple où une force de résistance est supposée constante.

Exemple 5: Déterminer la vitesse d’un corps en mouvement sur un plan incliné avec une force de résistance

Une voiture est partie du repos et a descendu 195 m sur une pente, ce déplacement étant équivalent à une distance verticale de 14 m. Sachant que 27 de l’énergie potentielle a été perdue en raison de la résistance et que la résistance est restée constante pendant le mouvement de la voiture, déterminez la vitesse de la voiture après qu’elle a parcouru la distance de 195 m. Supposez que 𝑔=9,8/ms.

Réponse

La question indique qu’il y a dissipation d’énergie potentielle de pesanteur, donc uniquement une portion de la diminution de 𝐸 est transférée à 𝐸. Le transfert d’énergie à 𝐸, Δ𝐸, est donné par Δ𝐸=𝐸27𝐸=57𝐸.initialeinitialeinitiale

En utilisant la formule de 𝐸 et de 𝐸 et en remarquant que l’énergie cinétique initiale est nulle, on peut voir que 12𝑚𝑣=0+57𝐸12𝑚𝑣=57𝑚𝑔.initiale

On peut annuler le facteur commun 𝑚 des deux membres de l’équation pour obtenir 12𝑣=57𝑔.

Substituer les valeurs connues de 𝑔 et et réarranger donne 𝑣=107×9,8×14.

Prendre la racine carrée des deux membres donne 𝑣=107×9,8×14=14/.ms

Points clés

  • Le travail fourni par une force agissant sur un corps est égal à la variation de l’énergie cinétique du corps.
  • Le travail fourni par une force conservative agissant sur un corps est indépendant du chemin emprunté par le corps.
  • La somme du travail fourni par une force conservative agissant sur un corps et de la variation de l’énergie potentielle du corps est nulle.
  • L’énergie d’un système isolé est égale à la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle des corps dans le système.
  • Le travail fourni par une force non conservative agissant sur un corps dépend du chemin emprunté par le corps.
  • Un système dissipatif est un système dans lequel une partie du travail des forces agissant sur les corps du système n’augmente pas l’énergie de celui-ci.
  • L’énergie d’un système dissipatif est égale à la somme de l’énergie cinétique des corps du système, de leur énergie potentielle et du travail fourni par le système pour compenser les forces de résistance.
  • Lorsque le mouvement d’un corps est purement dû à un transfert entre énergie potentielle et énergie cinétique, la trajectoire du mouvement du corps ne peut pas être déterminée à partir du transfert d’énergie.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.