Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser les lois des exposants négatifs et fractionnaires pour résoudre des problèmes d’algèbre.
Afin de vous aider à comprendre les lois des exposants négatifs et fractionnaires, nous allons d’abord rappeler les lois du produit et du quotient de puissances.
Lois des puissances : Produit et Quotient
Les lois du produit et du quotient de puissances sont les suivantes.
- La multiplication de puissances avec la même base : , où et peuvent prendre n’importe quelle valeur réelle.
- La division de puissances avec la même base : , où , et et peuvent prendre n’importe quelle valeur réelle.
Puisque et peuvent prendre n’importe quelle valeur réelle, ces lois s’appliquent pour des exposants négatifs et fractionnaires. Nous allons commencer par étudier ce qui se passe lorsque nous utilisons ces lois pour obtenir un exposant négatif.
En utilisant la loi d’un quotient de puissances où , on peut voir que si , l’exposant sera négatif.
Si, de plus, , on constate que
En rappelant que pour , on obtient la formule suivante :
Sous la forme d’une fraction, on obtient alors :
Cela nous amène ainsi à la loi suivante pour des exposants négatifs.
Lois des puissances : Exposants négatifs
La loi des exposants négatifs est la suivante : où et peut prendre n’importe quelle valeur réelle.
Lorsque des expressions littérales contiennent des exposants, la convention est de les simplifier tel que les exposants soient positifs. Dans le cas de , on le reformulerait par pour la réponse finale. Notez que cela peut ne pas être toujours le cas mais il est utile de le savoir.
Dans le prochain exemple, nous allons appliquer la loi des exposants négatifs.
Exemple 1: Reformuler une expression littérale en utilisant la loi des exposants négatifs
Laquelle des expressions suivantes est égale à ?
Réponse
Afin de reformuler l’expression nous devons utiliser la loi des exposants négatifs qui stipule que
Puisque et ont tous les deux des exposants négatifs, on applique la loi aux deux variables.
Pour , on peut substituer par et , ce qui donne
Pour , on peut substituer par et , ce qui donne
Maintenant que l’on a réécrit les deux variables avec des exposants positifs, on peut les remplacer dans l’expression initiale :
Par conséquent, la réponse est l’option C, .
Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser la loi des exposants négatifs ainsi que la loi d’un quotient de puissances.
Exemple 2: Identifier les expressions équivalentes en utilisant les lois des puissances pour des exposants négatifs
Vrai ou faux : la forme simplifiée de est .
Réponse
Afin de simplifier , on commence par utiliser la loi d’un quotient de puissances :
Dans ce cas, même si les deux exposants sont négatifs, on peut toujours appliquer cette loi avec et . Il peut également être utile de réécrire la fraction comme une division. On obtient ainsi
Ensuite, l’exposant étant toujours négatif, on utilise alors la loi des exposants négatifs qui stipule que
En remplaçant par et dans la formule, on obtient
Par conséquent, , donc l’affirmation est vraie.
En revenant sur l’exemple précédent, il existe d’autres façons de simplifier pour obtenir .
Une autre approche consiste à utiliser la loi des exposants négatifs en premier, qui stipule que
On substitue alors par et pour le terme au numérateur et par et pour le terme au dénominateur. Cela nous donne
On peut ensuite utiliser nos connaissances des fractions pour réécrire ceci comme
On utilise enfin la loi d’un quotient de puissances qui stipule que
Avec , et , on obtient
Cet exemple montre que l’on peut appliquer les lois dans un ordre différent et obtenir la même expression.
Dans le prochain exemple, nous allons simplifier une expression littérale en utilisant la loi de la puissance d’une puissance, la loi de la puissance d’un quotient ainsi que la loi des exposants négatifs. Rappelons d’abord quelques lois des puissances supplémentaires.
Lois des puissances : Lois additionnelles
Les puissances vérifient les lois suivantes :
- ;
- ;
- , ;
où et peuvent prendre n’importe quelle valeur réelle.
Exemple 3: Simplifier une expression littérale en utilisant les lois des puissances avec des exposants négatifs
Simplifiez .
Réponse
Afin de simplifier cette expression littérale, nous identifions quelles lois des puissances utiliser. Puisque l’expression contient des fractions élevées à une puissance, on utilise d’abord la loi de la puissance d’un quotient qui stipule que où et peut prendre n’importe quelle valeur réelle.
En appliquant cette loi à la première partie de l’expression, , on obtient
On peut simplifier davantage le dénominateur en utilisant la loi de la puissance d’une puissance, qui stipule que où et peuvent prendre n’importe quelle valeur réelle.
On obtient alors
On peut également appliquer la loi de la puissance d’un quotient à la deuxième partie de l’expression, , ce qui nous donne.
Comme pour la première partie de l’expression, on peut simplifier le dénominateur de la deuxième partie de l’expression en utilisant la loi de la puissance d’une puissance, pour le numérateur, on utilise ici la loi de la puissance d’un produit, qui stipule que où peut prendre n’importe quelle valeur réelle.
On obtient ainsi
En combinant les deux parties de l’expression, on obtient
On applique ensuite la loi d’un produit de puissances, qui stipule que où , et peuvent prendre n’importe quelle valeur réelle.
On peut alors simplifier le numérateur et le dénominateur car certains termes ont la même base :
On utilise enfin la loi des exposants négatifs pour simplifier . Cette loi stipule que où et peuvent être n’importe quels nombres réels.
On obtient ainsi
Par conséquent, .
Nous n’avons pour le moment rencontré que des exposants entiers négatifs. Nous allons à présent étudier des exposants fractionnaires.
Considérons l’expression .
On sait que ainsi que
Supposons qu’il existe un exposant tel que
D’après la loi de la puissance d’une puissance, on sait que
On sait également que
Par conséquent,
En posant les exposants égaux, on obtient alors
Donc,
Puisque , on peut en déduire que
On constate donc que tout nombre élevé à la puissance un demi est égal à la racine carrée de . C’est-à-dire,
On peut alors suivre les mêmes étapes pour la racine générale dans l’équation .
On sait que pour tout entier positif : et de même
Supposons qu’il existe alors un exposant tel que
D’après la loi de la puissance d’une puissance, on sait que
On sait également que
Par conséquent,
En posant les exposants égaux, on obtient alors
Donc,
Puisque , on en déduit que
On peut ainsi conclure que pour tout nombre élevé à la puissance est égal à la racine de . C’est-à-dire, pour tout entier positif et .
Maintenant que nous avons déterminé la formule générale d’une racine , nous pouvons utiliser la loi de la puissance d’une puissance pour trouver une formule de .
On sait que la loi de la puissance d’une puissance est où et et peuvent prendre n’importe quelle valeur réelle.
Puisque , on peut donc écrire où , est un entier positif et est une valeur réelle.
Nous allons maintenant résumer les lois que nous venons de déterminer.
Lois des puissances : Exposants fractionnaires
Les lois des exposants fractionnaires sont les suivantes :
- , pour toute valeur et tout entier positif ;
- , pour toute valeur et tout entier positif .
Notez que dans les lois ci-dessus, peut être négatif mais cela dépasse le cadre de cette fiche explicative car cela implique alors les propriétés des nombres complexes. De plus, on peut obtenir différents résultats pour des valeurs négatives de en fonction de l’ordre des opérations des racines et des puissances si l’exposant n’est pas simplifié. Il est par conséquent recommandé de simplifier complètement un exposant fractionnaire avant d’évaluer l’expression.
Dans l’exemple suivant, nous allons simplifier une expression contenant des exposants fractionnaires et négatifs.
Exemple 4: Simplifier une expression contenant des exposants fractionnaires et négatifs
Simplifiez l’expression .
Réponse
Afin de simplifier cette expression, on commence par appliquer la loi de la puissance d’un quotient, qui stipule que où , et et peuvent prendre n’importe quelle valeur réelle.
On a donc
Ce qui donne
On utilise ensuite la loi des exposants négatifs qui stipule que
On obtient
Par conséquent, .
Dans l’exemple suivant, nous allons simplifier une expression avec des exposants fractionnaires négatifs.
Exemple 5: Simplifier une expression avec des exposants fractionnaires négatifs
Simplifiez l’expression .
Réponse
Afin de simplifier cette expression, on commence par appliquer la loi de la puissance d’un quotient, qui stipule que où , et et peuvent prendre n’importe quelle valeur réelle.
On a donc
On utilise ensuite la loi de la puissance d’un produit au numérateur et au dénominateur, qui stipule que où , et peuvent prendre n’importe quelle valeur réelle.
Pour le numérateur, on obtient
Et pour le dénominateur, on a
En replaçant ces termes dans l’expression d’origine, on obtient
On utilise alors la loi d’un quotient de puissances, qui stipule que
Pour faciliter la simplification et éviter les erreurs, on reformule alors l’expression en regroupant les termes semblables.
Cela donne,
Simplifier le terme de l’expression en fonction de donne
De même, simplifier le terme de l’expression en fonction de donne
En replaçant les deux termes dans l’expression, on obtient
Par conséquent, .
Dans cette fiche explicative, nous avons découvert les exposants négatifs et fractionnaires et comment appliquer les différentes lois des puissances afin de simplifier des expressions littérales.
Points clés
- Les lois de la multiplication, la division et les puissances des indices s'appliquent également aux exposants fractionnaires et négatifs, ces lois sont
- ;
- ;
- ;
- ;
- , .
- La loi des exposants négatifs est
- Les lois des exposants fractionnaires sont
- , pour toute valeur et tout entier positif ;
- , pour et tout entier positif .
