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Fiche explicative de la leçon : Simplifier des expressions littérales : exposants négatifs et fractionnaires Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser les lois des exposants négatifs et fractionnaires pour résoudre des problèmes d’algèbre.

Afin de vous aider à comprendre les lois des exposants négatifs et fractionnaires, nous allons d’abord rappeler les lois du produit et du quotient de puissances.

Lois des puissances : Produit et Quotient

Les lois du produit et du quotient de puissances sont les suivantes.

  • La multiplication de puissances avec la même base:𝑎×𝑎=𝑎, 𝑚 et 𝑛 peuvent prendre n’importe quelle valeur réelle.
  • La division de puissances avec la même base:𝑎÷𝑎=𝑎, 𝑎0, et 𝑚 et 𝑛 peuvent prendre n’importe quelle valeur réelle.

Puisque 𝑚 et 𝑛 peuvent prendre n’importe quelle valeur réelle, ces lois s’appliquent pour des exposants négatifs et fractionnaires. Nous allons commencer par étudier ce qui se passe lorsque nous utilisons ces lois pour obtenir un exposant négatif.

En utilisant la loi d’un quotient de puissances𝑎÷𝑎=𝑎,𝑎0, on peut voir que si 𝑚<𝑛, l’exposant sera négatif.

Si, de plus, 𝑚=0, on constate que𝑎÷𝑎=𝑎,𝑎0.pour

En rappelant que 𝑎=1 pour 𝑎0, on obtient la formule suivante:1÷𝑎=𝑎,𝑎0.pour

Sous la forme d’une fraction, on obtient alors:1𝑎=𝑎,𝑎0.pour

Cela nous amène ainsi à la loi suivante pour des exposants négatifs.

Lois des puissances : Exposants négatifs

La loi des exposants négatifs est la suivante:𝑎=1𝑎,𝑎0 et 𝑛 peut prendre n’importe quelle valeur réelle.

Lorsque des expressions littérales contiennent des exposants, la convention est de les simplifier tel que les exposants soient positifs. Dans le cas de 𝑥, on le reformulerait par 1𝑥 pour la réponse finale. Notez que cela peut ne pas être toujours le cas mais il est utile de le savoir.

Dans le prochain exemple, nous allons appliquer la loi des exposants négatifs.

Exemple 1: Reformuler une expression littérale en utilisant la loi des exposants négatifs

Laquelle des expressions suivantes est égale à109𝑥𝑦?

  1. 910𝑥𝑦
  2. 109𝑥𝑦
  3. 109𝑥𝑦
  4. 10𝑥𝑦9

Réponse

Afin de reformuler l’expression109𝑥𝑦, nous devons utiliser la loi des exposants négatifs qui stipule que𝑎=1𝑎,𝑎0.pour

Puisque 𝑥 et 𝑦 ont tous les deux des exposants négatifs, on applique la loi aux deux variables.

Pour 𝑥, on peut substituer par 𝑛=2 et 𝑎=𝑥, ce qui donne𝑥=1𝑥.

Pour 𝑦, on peut substituer par 𝑛=7 et 𝑎=𝑦, ce qui donne𝑦=1𝑦.

Maintenant que l’on a réécrit les deux variables avec des exposants positifs, on peut les remplacer dans l’expression initiale:109𝑥𝑦=109×1𝑥×1𝑦=10×1×19×𝑥×𝑦=109𝑥𝑦.

Par conséquent, la réponse est l’option C, 109𝑥𝑦.

Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser la loi des exposants négatifs ainsi que la loi d’un quotient de puissances.

Exemple 2: Identifier les expressions équivalentes en utilisant les lois des puissances pour des exposants négatifs

Vrai ou faux:la forme simplifiée de 𝑥𝑥 est 1𝑥.

Réponse

Afin de simplifier 𝑥𝑥, on commence par utiliser la loi d’un quotient de puissances:𝑎÷𝑎=𝑎,𝑎0.pour

Dans ce cas, même si les deux exposants sont négatifs, on peut toujours appliquer cette loi avec 𝑚=4 et 𝑛=2. Il peut également être utile de réécrire la fraction comme une division. On obtient ainsi𝑥𝑥=𝑥÷𝑥=𝑥=𝑥.()

Ensuite, l’exposant étant toujours négatif, on utilise alors la loi des exposants négatifs qui stipule que𝑎=1𝑎,𝑎0.pour

En remplaçant par 𝑛=2 et 𝑎=𝑥 dans la formule, on obtient𝑥=1𝑥.

Par conséquent, 𝑥𝑥=1𝑥, donc l’affirmation est vraie.

En revenant sur l’exemple précédent, il existe d’autres façons de simplifier 𝑥𝑥 pour obtenir 1𝑥.

Une autre approche consiste à utiliser la loi des exposants négatifs en premier, qui stipule que𝑎=1𝑎,𝑎0.pour

On substitue alors par 𝑛=4 et 𝑎=𝑥 pour le terme au numérateur et par 𝑛=2 et 𝑎=𝑥 pour le terme au dénominateur. Cela nous donne𝑥𝑥=.

On peut ensuite utiliser nos connaissances des fractions pour réécrire ceci comme=1𝑥÷1𝑥=1𝑥×𝑥=𝑥𝑥.

On utilise enfin la loi d’un quotient de puissances qui stipule que𝑎÷𝑎=𝑎,𝑎0.pour

Avec 𝑎=𝑥, 𝑚=2 et 𝑛=4, on obtient𝑥𝑥=𝑥÷𝑥=𝑥=𝑥=1𝑥.

Cet exemple montre que l’on peut appliquer les lois dans un ordre différent et obtenir la même expression.

Dans le prochain exemple, nous allons simplifier une expression littérale en utilisant la loi de la puissance d’une puissance, la loi de la puissance d’un quotient ainsi que la loi des exposants négatifs. Rappelons d’abord quelques lois des puissances supplémentaires.

Lois des puissances : Lois additionnelles

Les puissances vérifient les lois suivantes:

  • (𝑎)=𝑎;
  • (𝑎𝑏)=𝑎𝑏;
  • 𝑎𝑏=𝑎𝑏, 𝑏0;

𝑚 et 𝑛 peuvent prendre n’importe quelle valeur réelle.

Exemple 3: Simplifier une expression littérale en utilisant les lois des puissances avec des exposants négatifs

Simplifiez 𝑚𝑛2𝑚𝑛.

Réponse

Afin de simplifier cette expression littérale, nous identifions quelles lois des puissances utiliser. Puisque l’expression contient des fractions élevées à une puissance, on utilise d’abord la loi de la puissance d’un quotient qui stipule que𝑎𝑏=𝑎𝑏,𝑏0 et 𝑚 peut prendre n’importe quelle valeur réelle.

En appliquant cette loi à la première partie de l’expression, 𝑚𝑛, on obtient𝑚𝑛=𝑚(𝑛).

On peut simplifier davantage le dénominateur en utilisant la loi de la puissance d’une puissance, qui stipule que (𝑎)=𝑎,𝑚 et𝑛 peuvent prendre n’importe quelle valeur réelle.

On obtient alors𝑚(𝑛)=𝑚𝑛=𝑚𝑛.×

On peut également appliquer la loi de la puissance d’un quotient à la deuxième partie de l’expression, 2𝑚𝑛, ce qui nous donne. 2𝑚𝑛=2𝑚(𝑛).

Comme pour la première partie de l’expression, on peut simplifier le dénominateur de la deuxième partie de l’expression en utilisant la loi de la puissance d’une puissance, pour le numérateur, on utilise ici la loi de la puissance d’un produit, qui stipule que (𝑎𝑏)=𝑎𝑏,𝑚 peut prendre n’importe quelle valeur réelle.

On obtient ainsi2𝑚(𝑛)=2×𝑚𝑛=2×𝑚𝑛=2×𝑚𝑛.×××

En combinant les deux parties de l’expression,𝑚𝑛=𝑚𝑛2𝑚𝑛=2×𝑚𝑛,et on obtient𝑚𝑛2𝑚𝑛=𝑚𝑛×2𝑚𝑛=𝑚×2𝑚𝑛×𝑛.

On applique ensuite la loi d’un produit de puissances, qui stipule que𝑎×𝑎=𝑎,𝑎, 𝑚 et 𝑛 peuvent prendre n’importe quelle valeur réelle.

On peut alors simplifier le numérateur et le dénominateur car certains termes ont la même base:𝑚×2𝑚𝑛×𝑛=2×𝑚×𝑚𝑛×𝑛=2𝑚𝑛=2𝑚𝑛.

On utilise enfin la loi des exposants négatifs pour simplifier 2. Cette loi stipule que𝑎=1𝑎,𝑎0 et 𝑛 peuvent être n’importe quels nombres réels.

On obtient ainsi2𝑚𝑛=2×𝑚𝑛=12×𝑚𝑛=18×𝑚𝑛=𝑚8𝑛.

Par conséquent, 𝑚𝑛2𝑚𝑛=𝑚8𝑛.

Nous n’avons pour le moment rencontré que des exposants entiers négatifs. Nous allons à présent étudier des exposants fractionnaires.

Considérons l’expression 𝑥.

On sait que𝑥=𝑥,𝑥0pour ainsi que𝑥=𝑥,𝑥0.pour

Supposons qu’il existe un exposant 𝑚 tel que𝑥=𝑥.

D’après la loi de la puissance d’une puissance, on sait que𝑥=𝑥.

On sait également que𝑥=𝑥.

Par conséquent,𝑥=𝑥.

En posant les exposants égaux, on obtient alors2𝑚=1,𝑚=12.

Donc,𝑥=𝑥,𝑥0.pour

Puisque 𝑥=𝑥, on peut en déduire que𝑥=𝑥,𝑥0.pour

On constate donc que tout nombre 𝑎0 élevé à la puissance un demi est égal à la racine carrée de 𝑎. C’est-à-dire,𝑎=𝑎,𝑎0.pour

On peut alors suivre les mêmes étapes pour la racine 𝑛-ième générale dans l’équation 𝑎=𝑎.

On sait que pour tout entier positif 𝑛:𝑥=𝑥,𝑥0,pour et de même𝑥=𝑥,𝑥0.pour

Supposons qu’il existe alors un exposant 𝑚 tel que(𝑥)=𝑥𝑥0.pour

D’après la loi de la puissance d’une puissance, on sait que(𝑥)=𝑥.

On sait également que𝑥=𝑥.

Par conséquent,𝑥=𝑥.

En posant les exposants égaux, on obtient alors𝑚𝑛=1,𝑚=1𝑛.

Donc,(𝑥)=𝑥,𝑥0.pour

Puisque 𝑥=𝑥, on en déduit que(𝑥)=𝑥,𝑥0.pour

On peut ainsi conclure que pour tout nombre 𝑎0 élevé à la puissance 1𝑛 est égal à la racine 𝑛-ième de 𝑎. C’est-à-dire,𝑎=𝑎, pour tout entier positif 𝑛 et 𝑎0.

Maintenant que nous avons déterminé la formule générale d’une racine 𝑛-ième, nous pouvons utiliser la loi de la puissance d’une puissance pour trouver une formule de 𝑎.

On sait que la loi de la puissance d’une puissance est(𝑎)=𝑎,𝑎0 et 𝑚 et 𝑛 peuvent prendre n’importe quelle valeur réelle.

Puisque 𝑎=𝑎, on peut donc écrire𝑎=𝑎=𝑎=𝑎,×𝑎0, 𝑛 est un entier positif et 𝑚 est une valeur réelle.

Nous allons maintenant résumer les lois que nous venons de déterminer.

Lois des puissances : Exposants fractionnaires

Les lois des exposants fractionnaires sont les suivantes:

  • 𝑎=𝑎, pour toute valeur 𝑎0 et tout entier positif 𝑛;
  • 𝑎=𝑎=𝑎, pour toute valeur 𝑎0 et tout entier positif 𝑛.

Notez que dans les lois ci-dessus, 𝑎 peut être négatif mais cela dépasse le cadre de cette fiche explicative car cela implique alors les propriétés des nombres complexes. De plus, on peut obtenir différents résultats pour des valeurs négatives de 𝑎 en fonction de l’ordre des opérations des racines et des puissances si l’exposant n’est pas simplifié. Il est par conséquent recommandé de simplifier complètement un exposant fractionnaire avant d’évaluer l’expression.

Dans l’exemple suivant, nous allons simplifier une expression contenant des exposants fractionnaires et négatifs.

Exemple 4: Simplifier une expression contenant des exposants fractionnaires et négatifs

Simplifiez l’expression 𝑥𝑦.

Réponse

Afin de simplifier cette expression, on commence par appliquer la loi de la puissance d’un quotient, qui stipule que𝑎𝑏=𝑎𝑏,𝑏0, et 𝑎 et 𝑚 peuvent prendre n’importe quelle valeur réelle.

On a donc𝑥𝑦=𝑥𝑦.××

Ce qui donne𝑥𝑦=𝑥𝑦.××

On utilise ensuite la loi des exposants négatifs qui stipule que𝑎=1𝑎,𝑎0.pour

On obtient𝑥𝑦=𝑥=𝑥÷1𝑦=𝑥×𝑦1=𝑥𝑦.

Par conséquent, 𝑥𝑦=𝑥𝑦.

Dans l’exemple suivant, nous allons simplifier une expression avec des exposants fractionnaires négatifs.

Exemple 5: Simplifier une expression avec des exposants fractionnaires négatifs

Simplifiez l’expression 𝑦𝑥𝑦𝑥.

Réponse

Afin de simplifier cette expression, on commence par appliquer la loi de la puissance d’un quotient, qui stipule que𝑎𝑏=𝑎𝑏,𝑏0, et 𝑎 et 𝑚 peuvent prendre n’importe quelle valeur réelle.

On a donc𝑦𝑥𝑦𝑥=𝑦𝑥𝑦𝑥.

On utilise ensuite la loi de la puissance d’un produit au numérateur et au dénominateur, qui stipule que(𝑎𝑏)=𝑎𝑏,𝑎, 𝑏 et 𝑚 peuvent prendre n’importe quelle valeur réelle.

Pour le numérateur, on obtient𝑦𝑥=𝑦×𝑥=𝑦×𝑥=𝑦×𝑥=𝑦×𝑥.×××××()×()

Et pour le dénominateur, on a𝑡𝑥=𝑦×𝑥=𝑦×𝑥=𝑦×𝑥=𝑦×𝑥.×××××()×()

En replaçant ces termes dans l’expression d’origine, on obtient𝑡𝑥𝑦𝑥=𝑦×𝑥𝑦×𝑥.

On utilise alors la loi d’un quotient de puissances, qui stipule que𝑎÷𝑎=𝑎,𝑎0.pour

Pour faciliter la simplification et éviter les erreurs, on reformule alors l’expression en regroupant les termes semblables.

Cela donne,𝑦𝑥𝑦𝑥=𝑦𝑦×𝑥𝑥.

Simplifier le terme de l’expression en fonction de 𝑦 donne𝑦𝑦=𝑦÷𝑦=𝑦=𝑦=𝑦=𝑦.()

De même, simplifier le terme de l’expression en fonction de 𝑥 donne𝑥𝑥=𝑥÷𝑥=𝑥=𝑥=𝑥=𝑥.()

En replaçant les deux termes dans l’expression, on obtient𝑦𝑦×𝑥𝑥=𝑦×𝑥=𝑦𝑥.

Par conséquent, 𝑦𝑥𝑦𝑥=𝑦𝑥.

Dans cette fiche explicative, nous avons découvert les exposants négatifs et fractionnaires et comment appliquer les différentes lois des puissances afin de simplifier des expressions littérales.

Points clés

  • Les lois de la multiplication, la division et les puissances des indices s'appliquent également aux exposants fractionnaires et négatifs, ces lois sont
    • 𝑎×𝑎=𝑎;
    • 𝑎÷𝑎=𝑎,𝑎0pour;
    • (𝑎)=𝑎;
    • (𝑎𝑏)=𝑎𝑏;
    • 𝑎𝑏=𝑎𝑏, 𝑏0.
  • La loi des exposants négatifs est1𝑎=𝑎,𝑎0.pour
  • Les lois des exposants fractionnaires sont
    • 𝑎=𝑎, pour toute valeur 𝑎 et tout entier positif 𝑛;
    • 𝑎=𝑎=𝑎, pour 𝑎0 et tout entier positif 𝑛.

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