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Fiche explicative de la leçon : Mouvement d’un projectile Physique

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à analyser le mouvement d’objets qui se déplacent horizontalement tout en subissant une accélération verticale constante.

Rappelons que les projectiles sont des objets qui ont une accélération verticale uniforme non nulle tout en se déplaçant horizontalement avec une vitesse constante. Le mouvement de projectile fait référence au mouvement de tout projectile - par exemple, une masse qui est lâchée d’une certaine hauteur ou une balle qui est projetée.

Si le projectile se déplace à grande vitesse, nous devrons considérer les effets de la résistance de l’air, mais la plupart des projectiles que nous traiterons se déplacent assez lentement de sorte que nous pouvons négliger ces effets. Cela signifie que la seule force agissant sur l’objet est la force de pesanteur, qui est dirigée vers le bas. La vitesse vectorielle horizontale de l’objet est donc constante lorsqu’il est en mouvement.

La figure ci-dessous présente un projectile de masse 𝑚 lancé avec une vitesse de départ de 𝑣 et un angle de 𝜃par rapport à l’horizontale.

La vitesse vectorielle horizontale du projectile, 𝑣, est égale à 𝑣𝜃cos. De même, la vitesse vectorielle verticale du projectile, 𝑣, est égale à 𝑣𝜃sin.

Les trois grandeurs importantes que nous calculerons sont:

  • le temps de vol du projectile;
  • la portée (la distance horizontale parcourue par le projectile);
  • la hauteur maximale, ou flèche (la distance verticale maximale parcourue par le projectile).

Ces trois grandeurs sont illustrées pour un projectile lancé à partir du même mouvement vertical que celui auquel il termine son mouvement dans le schéma ci-dessous.

Le temps de vol du projectile peut être déterminé à partir de l’équation du mouvement, 𝑠, avec une accélération constante, 𝑎 et vitesse initiale, 𝑢, au cours du temps, 𝑡:𝑠=𝑢𝑡+12𝑎𝑡.

Nous ne considérerons que le mouvement vertical, ce qui nous permettra de substituer notre vitesse initiale par la vitesse vectorielle verticale initiale, 𝑢=𝑣, et l’accélération constante par la pesanteur, 𝑎=𝑔. Notez que la pesanteur est dirigée vers le bas, donc dans nos calculs il apparait comme terme négatif dans la direction verticale. Cela nous donne une équation de mouvement vertical, 𝑠:𝑠=𝑣𝑡12𝑔𝑡.

Nous pouvons prendre 𝑡 comme facteur commun:𝑠=𝑡𝑣12𝑔𝑡.

Nous cherchons à savoir quand est ce que le mouvement vertical du projectile est nul, 𝑠=0:0=𝑡𝑣12𝑔𝑡.

Cela nous indique qu’il y a deux cas où le déplacement vertical est nul:un au début du mouvement du projectile, et un à la fin du mouvement du projectile.

À la fin du mouvement, le temps 𝑡=𝑇. La deuxième solution peut être obtenue lorsque 𝑣12𝑔𝑇=0.

Ensuite, on modifie l’ordre pour faire de 𝑇 le sujet de l’équation:𝑇=2𝑣𝑔.

Enfin, l’insertion de la vitesse vectorielle verticale initiale, 𝑣=𝑣𝜃sin, donne l’équation du temps de vol de la trajectoire:𝑇=2𝑣(𝜃)𝑔.sin

Définition : Temps de vol

Si le déplacement vertical final du projectile est égal au déplacement vertical initial, alors le temps de vol de la trajectoire, 𝑇, peut être calculé comme suit:𝑇=2𝑣(𝜃)𝑔,sin𝑣 est la vitesse initiale du projectile, 𝜃 désigne l’angle de projection mesuré au-dessus du plan horizontal, et 𝑔 est l’accélération de pesanteur.

Prenons un exemple où l’on nous demande de calculer le temps de vol d’un projectile.

Exemple 1: Calculer le temps de vol d’un projectile

Un projectile a une vitesse initiale de 25 m/s et est propulsé avec un angle de 48 au-dessus du plan horizontal. Quel est le temps nécessaire entre le moment où le projectile quitte le sol et celui où il y retourne à la même hauteur initiale?

Réponse

Commençons par dessiner un schéma de ce scénario.

On nous demande de calculer le temps de vol du projectile.

Pour calculer le temps de vol du projectile, nous utilisons la formule suivante:𝑇=2𝑣𝑔=2𝑣(𝜃)𝑔.sin

Comme indiqué dans la question, le projectile est lancé avec un angle de 𝜃=48 au-dessus de l’horizontale avec une vitesse initiale de 𝑣=25/ms, et la vitesse vectorielle verticale du projectile est donc calculée comme suit 𝑣=𝑣(𝜃)=25(48)sinsin ce qui conduit à une vitesse vectorielle verticale (à deux décimales près) de 𝑣=18,58/.ms

En substituant cela et l’accélération de pesanteur dans l’équation du temps de vol du projectile 𝑔=9,8/ms, nous obtenons 𝑇 (à deux décimales près):𝑇=2×18,589,8=3,79/.ms

Nous pouvons utiliser l’équation du temps de vol du projectile pour calculer la distance horizontale parcourue, également connue sous le nom de la portée. Comme aucune force n’agit sur l’objet sur le plan horizontal, l’équation du mouvement horizontal, 𝑠=𝑃, du projectile à la fin du mouvement est simplement la vitesse vectorielle horizontale du projectile, 𝑣 multipliée par son temps de vol, 𝑇:𝑃=𝑣𝑇.

En insérant la vitesse vectorielle horizontale, 𝑣=𝑣𝜃cos, et l’équation du temps de vol du projectile, 𝑇=2𝑣𝜃𝑔sin on obtient alors 𝑃=(𝑣𝜃)2𝑣𝜃𝑔.cossin

Cela nous donne notre équation finale de la portée du projectile:𝑃=2𝑣(𝜃)(𝜃)𝑔.sincos

En employant la formule sinsincos(2𝜃)=2(𝜃)(𝜃), la portée du projectile peut également s’écrire comme suit:𝑃=𝑣(2𝜃)𝑔.sin

Définition : Portée horizontale

La portée horizontale, 𝑃, d’un projectile lancé à partir du même déplacement vertical initial et final peut être calculée comme suit:𝑃=2𝑣(𝜃)(𝜃)𝑔,sincos𝑣 est la vitesse initiale du projectile, 𝜃 est l’angle de projection mesuré au-dessus de l’horizontale, et 𝑔 indique l’accélération de pesanteur.

Prenons un exemple où nous devons calculer la portée d’un projectile.

Exemple 2: Calcul de la portée d’un projectile

Un projectile a une vitesse initiale de 15 m/s avec un angle de 28 au-dessus de l’horizontale. Quel est le mouvement horizontal du projectile entre sa position de départ (lieu où le projectile est lancé) et son lieu d’atterrissage si son déplacement vertical à partir de sa position de départ est nul?

Réponse

Cette question nous amène à calculer la portée du projectile - le déplacement horizontal du projectile lorsqu’il retourne à son déplacement vertical de zéro par rapport à sa position de départ.

Nous pouvons commencer par notre équation de la portée:𝑃=2𝑣(𝜃)(𝜃)𝑔.sincos

Nous pouvons immédiatement substituer les valeurs qui nous sont données:𝑣=15/ms, 𝜃=28, et 𝑔=9,8/ms:𝑃=2×15×(28)×(28)9,8.sincos

Cela nous permet d’obtenir notre déplacement horizontal comme suit:𝑃=19,03.m

Nous pouvons calculer l’altitude maximale (flèche) du projectile en considérant le sommet de la trajectoire. Cela se produit lorsque la vitesse vectorielle verticale du projectile est nulle.

Ici, nous pouvons commencer avec une autre équation d’accélération constante qui relie la vitesse pendant le mouvement, 𝑣, à la vitesse initiale, 𝑢, l’accélération constante, 𝑎 et le trajet de l’objet depuis le début du mouvement, 𝑠:𝑣=𝑢+2𝑎𝑠.

En calculant l’altitude maximale, nous voudrions trouver le déplacement vertical, 𝑠=𝑠, du projectile avec une vitesse vectorielle verticale initiale de 𝑢=𝑣 lorsque la vitesse vectorielle verticale du projectile est égale à zéro, 𝑣=0. À ce point, la trajectoire verticale du projectile atteint sa hauteur maximale, que nous écrirons comme 𝑠=. Comme dans les calculs précédents, l’accélération de pesanteur est orientée dans le sens vertical négatif, alors 𝑎=𝑔:0=𝑣2𝑔.

Nous pouvons reformuler cette équation pour en faire 𝑠 son sujet en ajoutant d’abord 2𝑔 aux deux côtés:2𝑔=𝑣.

Ensuite, en divisant les deux côtés par 2𝑔 nous obtenons =𝑣𝑔.

Nous allons ensuite introduire notre expression de la vitesse vectorielle verticale initiale d’un projectile lancé à une vitesse 𝑣 avec un angle 𝜃 au-dessus de l’horizontale, 𝑣=𝑣𝜃sin. Ce qui nous donne notre équation finale de la hauteur maximale (flèche):=𝑣(𝜃)𝑔.sin

Définition : Hauteur maximale

La hauteur maximale (flèche), , d’un projectile peut être calculé comme suit =𝑣(𝜃)𝑔,sin𝑣 est la vitesse initiale du projectile, 𝜃 est l’angle de projection mesuré au-dessus du plan horizontal, et 𝑔 est l’accélération de pesanteur.

Prenons maintenant un exemple où nous devons déterminer l’angle au-dessus de l’horizontale auquel le projectile a été lancé à partir de la hauteur maximale (flèche).

Exemple 3: Calculer l’angle de projection d’un projectile à partir de sa hauteur maximale

Un projectile est propulsé à une vitesse initiale de 28 m/s et atteint une hauteur maximale par rapport à sa position de départ de 4,4 m. Quel est l’angle au-dessus de l’horizontale auquel le projectile est-il projeté?

Réponse

Cette question nous amène à trouver l’angle au-dessus de l’horizontale auquel le projectile a été propulsé l’altitude maximale vers le bas pour trouver

Nous pouvons commencer par notre équation de hauteur maximale (flèche), =𝑣(𝜃)𝑔.sin

Nous devons modifier cette équation afin d’obtenir une équation pour l’angle au-dessus de l’horizontale, 𝜃. Multiplions d’abord les deux côtés de l’équation par 2𝑔:2𝑔=𝑣(𝜃).sin

Ensuite, nous prenons la racine carrée des deux côtés:2𝑔=𝑣𝜃.sin

Ensuite, nous pouvons diviser les deux côtés par 𝑣:sin𝜃=2𝑔𝑣.

Enfin, nous multiplions les deux côtés par le sinus inverse 𝜃=2𝑔𝑠𝑣.sin

Nous pouvons maintenant nous servir de nos valeur de la hauteur maximale, 𝑠=4,4m, de la vitesse initiale, 𝑣=28/ms, et de l’accélération de pesanteur, 𝑔=9,8/ms:𝜃=2×9,8×4,428.sin

Cela nous donne notre angle de projection au-dessus du plan horizontal:𝜃=19,3.

Nous devrions également connaître les variations de l’énergie mécanique pendant le mouvement de projectile.

Sans résistance de l’air, l’énergie mécanique est conservée tout au long du mouvement. Cela signifie que la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle gravitationnelle en tout point du mouvement est constante:()+()=()+().ECEPECEP

Cependant, lorsque la résistance de l’air est importante - lorsque le projectile se déplace à grande vitesse - une partie de l’énergie mécanique est perdue pendant le mouvement.

La force de la résistance de l’air change avec la vitesse à laquelle le projectile se déplace, qui est non linéaire, de sorte que la perte d’énergie mécanique tout au long du mouvement est également non-linéaire.

Abordons maintenant une question sur l’énergie mécanique d’un projectile.

Exemple 4: L’énergie mécanique d’un projectile en mouvement

Le graphique illustre la variation du déplacement vertical et horizontal d’un projectile par rapport à sa position de départ. Lequel des graphiques suivants représente le mieux la variation de l’énergie mécanique du projectile entre l’instant où il est lancé et l’instant où il atterrit?

Réponse

Lorsque nous regardons le graphique du déplacement vertical et horizontal, nous pouvons immédiatement observer que le projectile a ralenti pendant le mouvement. Cela signifie qu’il a perdu une partie de son énergie mécanique à cause de la résistance de l’air. Ceci exclut le graphique V.

Ensuite, nous pouvons constater que le projectile est en mouvement quand il termine sa trajectoire;cela signifie qu’il lui reste une certaine énergie mécanique à la fin du mouvement. Cela signifie que les graphiques II et IV ne peuvent pas représenter correctement l’énergie mécanique du projectile.

Il nous reste donc les graphiques I et III:tous deux illustrent la diminution de l’énergie mécanique au fil du temps, mais toujours supérieure à zéro lorsque le projectile atterrit. Cependant, le graphique I est non linéaire, et le graphique III est linéaire.

Rappelons que la résistance de l’air est extrêmement non linéaire, ce qui entraîne une perte d’énergie mécanique non linéaire. Ceci signifie que le graphique III ne peut pas représenter correctement l’énergie mécanique du projectile.

Cela revient à dire que le graphique I représente parfaitement l’énergie mécanique du projectile depuis l’instant où il est lancé jusqu’à l’instant où il atterrit.

Lorsque le point de départ du projectile se trouve au-dessus ou en dessous de son point d’atterrissage, alors nous devons considérer l’équation générale du mouvement vertical du projectile:𝑠=𝑣𝑡12𝑔𝑡.

Comme auparavant, 𝑠 représente le déplacement vertical du projectile, 𝑣 désigne la vitesse vectorielle verticale initiale du projectile, 𝑡 indique le temps, et 𝑔 est l’accélération de pesanteur.

Le déplacement vertical du point d’atterrissage est différent de celui du point de départ. Nous écrirons cette différence comme ceci:𝑠=𝑑. Nous pouvons le substituer dans l’équation du déplacement vertical en correspondance du temps 𝑡=𝑇, le temps de vol du projectile:𝑑=𝑣𝑇12𝑔𝑇.

Notez que 𝑑 sera positif si le point d’atterrissage du projectile se trouve au-dessus de son point de départ et négatif si le point d’atterrissage se trouve en dessous du point de départ.

Pour déterminer le temps de vol, nous pouvons d’abord modifier l’équation pour qu’elle soit sous forme quadratique standard en fonction de 𝑇:12𝑔𝑇𝑣𝑇+𝑑=0.

Nous allons résoudre cette équation quadratique pour trouver le temps de vol, 𝑇.

La portée horizontale du projectile, 𝑃 est alors calculée comme auparavant:𝑃=𝑣𝑇,𝑣 désigne la vitesse vectorielle horizontale initiale du projectile et 𝑇 est le temps de vol.

Enfin, nous allons considérer une question un peu plus complexe, c’est-à-le cas où le point de départ du projectile est au-dessus par rapport à son point d’atterrissage.

Exemple 5: Calcul de la portée d’un projectile lancé à partir d’un sommet

Une pierre est lancée horizontalement depuis une hauteur de 9,6 m du sol à une vitesse de 5,2 m/s. Calculez la portée horizontale de la pierre. Utilisez 𝑔=10/ms.

  1. 9,6 m
  2. 2,4 m
  3. 7,2 m
  4. 16,8 m

Réponse

Dans cette question, nous devons calculer la portée horizontale d’un projectile lancé à partir d’un sommet.

Tout d’abord, nous devons calculer le temps de vol du projectile. Nous commencerons par notre équation initiale de mouvement vertical:𝑠=𝑣𝑡12𝑔𝑡.

Sachant que le point d’atterrissage se situe 9,6 m   au-dessous du point de départ et que la vitesse vectorielle verticale initiale est nulle, on peut substituer les valeurs 𝑠=9,6, 𝑣=0 et 𝑔=10. Ceci est atteint à la fin du mouvement, donc le temps 𝑡=𝑇:9,6=12×10×𝑇.

D’abord, nous réarrangons l’equation pour obtenir 𝑇:𝑇=9,6×210=1,92.

Ensuite, nous prenons la racine carrée pour obtenir le temps de vol du projectile (au centième près):𝑇=1,92=1,38.s

Nous pouvons maintenant calculer la portée du projectile, sachant que sa vitesse vectorielle horizontale reste constante tout au long du mouvement.

La portée du projectile est égale à 𝑃=𝑣𝑇.

Dans ce cas, le projectile a été lancé horizontalement, alors 𝑣=5,2/ms. En remplaçant les valeurs de 𝑣 et 𝑇, 𝑃=5,2×1,38=7,21.m

Par conséquent, la bonne réponse est C 7,2 m (au dixième près).

Points clés

  • En général, la seule force agissant sur un projectile est la gravité:
    • Cela signifie que la vitesse vectorielle verticale subit une accélération constante de 𝑔 verticalement vers le bas.
    • La vitesse vectorielle horizontale reste constante tout au long du mouvement.
  • Le mouvement vertical d’un projectile peut être déterminé en utilisant l’équation du mouvement avec une accélération constante de 𝑔:
    • 𝑠=𝑣𝑡12𝑔𝑡.
  • Le mouvement horizontal d’un projectile peut être calculé à partir de l’équation du mouvement avec une accélération constante nulle:
    • 𝑠=𝑣𝑡.
  • Le temps de vol est la durée totale du mouvement du projectile.
  • La portée est le déplacement horizontal du projectile à la fin de son mouvement.
  • La hauteur maximale est le déplacement vertical maximal du projectile.
  • L’énergie mécanique est conservée tout au long du mouvement du projectile (reste constante) à moins que la résistance de l’air ne soit pas négligeable, dans ce cas l’énergie mécanique est dissipée de façon non linéaire au cours du temps.

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