Fiche explicative de la leçon: Mouvement d’un projectile Physique • Première année secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à analyser le mouvement d’objets qui se déplacent horizontalement tout en subissant une accélération verticale constante.

Rappelons que les projectiles sont des objets qui ont une accélération verticale uniforme non nulle tout en se déplaçant horizontalement avec une vitesse constante. Le mouvement de projectile fait référence au mouvement de tout projectile - par exemple, une masse qui est lâchée d’une certaine hauteur ou une balle qui est projetée.

Si le projectile se déplace à grande vitesse, nous devrons considérer les effets de la résistance de l’air, mais la plupart des projectiles que nous traiterons se déplacent assez lentement de sorte que nous pouvons négliger ces effets. Cela signifie que la seule force agissant sur l’objet est la force de pesanteur, qui est dirigée vers le bas. La vitesse vectorielle horizontale de l’objet est donc constante lorsqu’il est en mouvement.

La figure ci-dessous présente un projectile de masse lancé avec une vitesse de départ de et un angle de par rapport à l’horizontale.

La vitesse vectorielle horizontale du projectile, , est égale à . De même, la vitesse vectorielle verticale du projectile, , est égale à .

Les trois grandeurs importantes que nous calculerons sont : 

• le temps de vol du projectile ; 
• la portée (la distance horizontale parcourue par le projectile) ; 
• la hauteur maximale, ou flèche (la distance verticale maximale parcourue par le projectile).

Ces trois grandeurs sont illustrées pour un projectile lancé à partir du même mouvement vertical que celui auquel il termine son mouvement dans le schéma ci-dessous.

Le temps de vol du projectile peut être déterminé à partir de l’équation du mouvement, , avec une accélération constante, et vitesse initiale, , au cours du temps,  : 

Nous ne considérerons que le mouvement vertical, ce qui nous permettra de substituer notre vitesse initiale par la vitesse vectorielle verticale initiale, , et l’accélération constante par la pesanteur, . Notez que la pesanteur est dirigée vers le bas, donc dans nos calculs il apparait comme terme négatif dans la direction verticale. Cela nous donne une équation de mouvement vertical,  : 

Nous pouvons prendre comme facteur commun : 

Nous cherchons à savoir quand est ce que le mouvement vertical du projectile est nul,  : 

Cela nous indique qu’il y a deux cas où le déplacement vertical est nul : un au début du mouvement du projectile, et un à la fin du mouvement du projectile.

À la fin du mouvement, le temps . La deuxième solution peut être obtenue lorsque

Ensuite, on modifie l’ordre pour faire de le sujet de l’équation : 

Enfin, l’insertion de la vitesse vectorielle verticale initiale, , donne l’équation du temps de vol de la trajectoire : 

Prenons un exemple où l’on nous demande de calculer le temps de vol d’un projectile.

Exemple 1: Calculer le temps de vol d’un projectile

Un projectile a une vitesse initiale de 25 m/s et est propulsé avec un angle de au-dessus du plan horizontal. Quel est le temps nécessaire entre le moment où le projectile quitte le sol et celui où il y retourne à la même hauteur initiale ? 

Réponse

Commençons par dessiner un schéma de ce scénario.

On nous demande de calculer le temps de vol du projectile.

Pour calculer le temps de vol du projectile, nous utilisons la formule suivante : 

Comme indiqué dans la question, le projectile est lancé avec un angle de au-dessus de l’horizontale avec une vitesse initiale de , et la vitesse vectorielle verticale du projectile est donc calculée comme suit ce qui conduit à une vitesse vectorielle verticale (à deux décimales près) de

En substituant cela et l’accélération de pesanteur dans l’équation du temps de vol du projectile , nous obtenons (à deux décimales près) : 

Nous pouvons utiliser l’équation du temps de vol du projectile pour calculer la distance horizontale parcourue, également connue sous le nom de la portée. Comme aucune force n’agit sur l’objet sur le plan horizontal, l’équation du mouvement horizontal, , du projectile à la fin du mouvement est simplement la vitesse vectorielle horizontale du projectile, multipliée par son temps de vol,  : 

En insérant la vitesse vectorielle horizontale, , et l’équation du temps de vol du projectile, on obtient alors

Cela nous donne notre équation finale de la portée du projectile : 

En employant la formule , la portée du projectile peut également s’écrire comme suit : 

Prenons un exemple où nous devons calculer la portée d’un projectile.

Nous pouvons calculer l’altitude maximale (flèche) du projectile en considérant le sommet de la trajectoire. Cela se produit lorsque la vitesse vectorielle verticale du projectile est nulle.

Ici, nous pouvons commencer avec une autre équation d’accélération constante qui relie la vitesse pendant le mouvement, , à la vitesse initiale, , l’accélération constante, et le trajet de l’objet depuis le début du mouvement,  : 

En calculant l’altitude maximale, nous voudrions trouver le déplacement vertical, , du projectile avec une vitesse vectorielle verticale initiale de lorsque la vitesse vectorielle verticale du projectile est égale à zéro, . À ce point, la trajectoire verticale du projectile atteint sa hauteur maximale, que nous écrirons comme . Comme dans les calculs précédents, l’accélération de pesanteur est orientée dans le sens vertical négatif, alors  : 

Nous pouvons reformuler cette équation pour en faire son sujet en ajoutant d’abord aux deux côtés : 

Ensuite, en divisant les deux côtés par nous obtenons

Nous allons ensuite introduire notre expression de la vitesse vectorielle verticale initiale d’un projectile lancé à une vitesse avec un angle au-dessus de l’horizontale, . Ce qui nous donne notre équation finale de la hauteur maximale (flèche) : 

Prenons maintenant un exemple où nous devons déterminer l’angle au-dessus de l’horizontale auquel le projectile a été lancé à partir de la hauteur maximale (flèche).

Nous devrions également connaître les variations de l’énergie mécanique pendant le mouvement de projectile.

Sans résistance de l’air, l’énergie mécanique est conservée tout au long du mouvement. Cela signifie que la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle gravitationnelle en tout point du mouvement est constante : 

Cependant, lorsque la résistance de l’air est importante - lorsque le projectile se déplace à grande vitesse - une partie de l’énergie mécanique est perdue pendant le mouvement.

La force de la résistance de l’air change avec la vitesse à laquelle le projectile se déplace, qui est non linéaire, de sorte que la perte d’énergie mécanique tout au long du mouvement est également non-linéaire.

Abordons maintenant une question sur l’énergie mécanique d’un projectile.

Exemple 4: L’énergie mécanique d’un projectile en mouvement

Le graphique illustre la variation du déplacement vertical et horizontal d’un projectile par rapport à sa position de départ. Lequel des graphiques suivants représente le mieux la variation de l’énergie mécanique du projectile entre l’instant où il est lancé et l’instant où il atterrit ? 

Réponse

Lorsque nous regardons le graphique du déplacement vertical et horizontal, nous pouvons immédiatement observer que le projectile a ralenti pendant le mouvement. Cela signifie qu’il a perdu une partie de son énergie mécanique à cause de la résistance de l’air. Ceci exclut le graphique V.

Ensuite, nous pouvons constater que le projectile est en mouvement quand il termine sa trajectoire ; cela signifie qu’il lui reste une certaine énergie mécanique à la fin du mouvement. Cela signifie que les graphiques II et IV ne peuvent pas représenter correctement l’énergie mécanique du projectile.

Il nous reste donc les graphiques I et III : tous deux illustrent la diminution de l’énergie mécanique au fil du temps, mais toujours supérieure à zéro lorsque le projectile atterrit. Cependant, le graphique I est non linéaire, et le graphique III est linéaire.

Rappelons que la résistance de l’air est extrêmement non linéaire, ce qui entraîne une perte d’énergie mécanique non linéaire. Ceci signifie que le graphique III ne peut pas représenter correctement l’énergie mécanique du projectile.

Cela revient à dire que le graphique I représente parfaitement l’énergie mécanique du projectile depuis l’instant où il est lancé jusqu’à l’instant où il atterrit.

Lorsque le point de départ du projectile se trouve au-dessus ou en dessous de son point d’atterrissage, alors nous devons considérer l’équation générale du mouvement vertical du projectile : 

Comme auparavant, représente le déplacement vertical du projectile, désigne la vitesse vectorielle verticale initiale du projectile, indique le temps, et est l’accélération de pesanteur.

Le déplacement vertical du point d’atterrissage est différent de celui du point de départ. Nous écrirons cette différence comme ceci : . Nous pouvons le substituer dans l’équation du déplacement vertical en correspondance du temps , le temps de vol du projectile : 

Notez que sera positif si le point d’atterrissage du projectile se trouve au-dessus de son point de départ et négatif si le point d’atterrissage se trouve en dessous du point de départ.

Pour déterminer le temps de vol, nous pouvons d’abord modifier l’équation pour qu’elle soit sous forme quadratique standard en fonction de  : 

Nous allons résoudre cette équation quadratique pour trouver le temps de vol, .

La portée horizontale du projectile, est alors calculée comme auparavant :  où désigne la vitesse vectorielle horizontale initiale du projectile et est le temps de vol.

Enfin, nous allons considérer une question un peu plus complexe, c’est-à-le cas où le point de départ du projectile est au-dessus par rapport à son point d’atterrissage.