Fiche explicative de la leçon : Vitesse orbitale Physique

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer la vitesse orbitale d’un objet se déplaçant selon une orbite circulaire en fonction du rayon orbital et de la masse de l’objet autour duquel il orbite.

Pour commencer, rappelons quelques-unes des propriétés clés du mouvement orbital circulaire.

Rappelons que, pour les orbites circulaires, tout corps en orbite a un vecteur vitesse dont la valeur est constante mais dont le sens change constamment. La figure ci-dessous illustre la lune de Jupiter, Europe, en orbite autour de Jupiter. Le sens du vecteur vitesse de la lune est toujours orientée selon une tangente à sa trajectoire orbitale, comme indiqué par la flèche bleue. La gravité de Jupiter agit comme une force centripète, qui, comme on le sait, est toujours orientée radialement vers l’intérieur, comme indiqué par la flèche rouge.

Cette relation permet d’expliquer pourquoi la vitesse orbitale de la lune est constante:la force gravitationnelle ne possède pas de composante orientée selon le même sens que le vecteur vitesse de la lune. Ainsi, la valeur du vecteur vitesse est constante en raison de la gravité, mais son sens change constamment puisque la force gravitationnelle le redirige en permanence au cours du mouvement circulaire. En tout point de l’orbite, les sens des deux grandeurs forment toujours un angle droit, c’est-à-dire qu’elles sont séparées d’un angle de 90 entre eux.

Comme illustré ci-dessus, la force gravitationnelle d’un objet ayant une masse est toujours orientée vers l’intérieur, vers son propre centre de masse. Rappelons que l’accélération due à la gravité, 𝑎, en un point proche d’un objet ayant une masse importante, tel qu’une planète, s’exprime par 𝑎=𝐺𝑀𝑟,𝐺 est la constante gravitationnelle universelle, 𝑀 est la masse de la planète, et 𝑟 est la distance entre le point étudié et la planète.

Dans ce cas, l’accélération gravitationnelle, qui est toujours orientée vers l’intérieur et permet de maintenir la lune sur une orbite circulaire, agit comme une accélération centripète. Ainsi, pour un objet, tel qu’une lune, en orbite circulaire, l’accélération centripète s’exprime par 𝑎=𝑣𝑟,𝑣 est la vitesse linéaire de la lune et 𝑟 est le rayon de l’orbite.

Étant donné que la gravité engendre ici une accélération centripète, on peut supposer que les valeurs de 𝑎 et 𝑎 sont égales, ce qui nous donne:𝑣𝑟=𝐺𝑀𝑟.

Des deux côtés de l’équation, 𝑟 apparaît au dénominateur;on peut donc simplifier l’équation en multipliant les deux côtés par 𝑟:𝑟𝑣𝑟=𝑟𝐺𝑀𝑟𝑣=𝐺𝑀𝑟.

On peut ensuite prendre la racine carrée des deux côtés pour isoler 𝑣 dans cette équation:𝑣=𝐺𝑀𝑟.

Nous venons d’établir une équation de la vitesse orbitale d’un objet se déplaçant le long d’une orbite circulaire, en fonction de son rayon orbital et de la masse de l’objet autour duquel il orbite.

On notera que cette équation ne dépend pas de 𝑚, la masse de l’objet en orbite. Cela signifie que tous les objets, quelle que soit leur masse, qui se déplacent sur des orbites circulaires avec le même rayon orbital, autour de planètes ayant une même masse, auront tous la même vitesse orbitale. Rappelons que cette relation ne s’applique seulement que dans les cas d’orbites circulaires, où la vitesse orbitale est constante;les orbites non circulaires ne sont pas régies par cette équation.

Avant de s’exercer sur quelques exemples, il convient de noter que la constante gravitationnelle universelle est souvent rencontrée en astronomie et dans d’autres domaines de la physique et prend pour valeur 𝐺=6,67×10/mkgs.

Définition : Équation de la vitesse orbitale - orbite circulaire

Dans le cas particulier d’une orbite circulaire, la vitesse orbitale d’un objet, 𝑣, est donnée par l’équation 𝑣=𝐺𝑀𝑟,𝐺 est la constante gravitationnelle universelle, 𝑀 est la masse du gros objet au centre de l’orbite, et 𝑟 est le rayon orbital.

Maintenant qu’on a établi l’équation de la vitesse orbitale, appliquons-la à quelques exemples.

Exemple 1: Calcul de la vitesse orbitale

Quelle vitesse orbitale un satellite doit-il avoir pour suivre une orbite circulaire autour de la Terre ayant un rayon de 10‎ ‎000 km?Utilisez une valeur de 5,97×10kg pour la masse de la Terre et 6,67×10/mkgs pour la valeur de la constante gravitationnelle universelle. Donnez votre réponse à un mètre par seconde près.

Réponse

Ici, on nous donne les valeurs de 𝑀, 𝑟, et 𝐺. On note que 𝑟 est donné en kilomètres, on doit donc le convertir en mètres avant de pouvoir l’utiliser dans l’équation:𝑟=10000=1,0×10.kmm

On peut maintenant remplacer toutes ces valeurs dans l’équation de la vitesse orbitale:𝑣=𝐺𝑀𝑟=(6,67×10/)(5,97×10)1,0×10=6310,3/.mkgskgmms

Arrondi au mètre par seconde près, on trouve que le satellite doit être en orbite à une vitesse de 6310/ms.

On notera qu’il n’était pas nécessaire de connaître la masse du satellite pour trouver la réponse. En effet, l’équation de la vitesse orbitale ne dépend pas de la masse de l’objet en orbite, 𝑚.

Parfois, on nous donne des informations sur un système orbital autre que simplement 𝑀 et 𝑟. En fonction des informations fournies, il est possible de réorganiser l’équation de la vitesse orbitale pour trouver une grandeur autre que 𝑣. Par exemple, dans l’exercice suivant, on va devoir calculer le rayon orbital d’un système.

Exemple 2: Calcul du rayon orbital

Une planète a une orbite circulaire autour d’une étoile. Elle orbite autour de l’étoile avec une vitesse de 17,9/kms, et l’étoile a une masse de 2,18×10kg. Quel est le rayon de l’orbite de la planète?Utilisez une valeur de 6,67×10/mkgs pour la constante gravitationnelle universelle et de 1,5×10m pour la longueur de 1 UA. Donnez votre réponse à l’unité astronomique la plus proche.

Réponse

Ici, on nous donne les valeurs de 𝑣, 𝑀, et 𝐺 et on cherche à trouver 𝑟. Pour ce faire, on peut réorganiser l’équation de la vitesse orbitale de sorte que 𝑣=𝐺𝑀𝑟 devienne 𝑟=𝐺𝑀𝑣.

Avant de pouvoir effectuer le calcul, on doit convertir la valeur de 𝑣 en mètres par seconde:𝑣=17,9/=17900/.kmsms

À présent, en remplaçant les valeurs connues, on obtient 𝑟=6,67×10/2,18×10(17900/)=4,54×10.mkgskgmsm

Cependant, ceci n’est pas la réponse finale, car 𝑟 est ici exprimé en mètres et il nous faut le convertir en unités astronomiques:𝑟=4,54×10×11,5×10=3,03.mUAmUA

Arrondi à l’unité astronomique près, on trouve que la planète a un rayon orbital de 3 UA.

Après avoir vu ces exemples de calcul simple, passons à d’autres exemples plus conceptuels.

Exemple 3: Dépendance des variables dans l’équation de la vitesse orbitale

Quelle courbe sur le graphique ci-dessous illustre la relation entre la vitesse orbitale et le rayon orbital pour des objets se déplaçant le long d’orbites circulaires sous l’effet de la gravité?

Réponse

Tout d’abord, rappelons l’équation de la vitesse orbitale, qui établit la relation entre la vitesse orbitale, 𝑣 et le rayon orbital, 𝑟:𝑣=𝐺𝑀𝑟.

À partir de cette formule, on peut déduire une relation de proportionnalité entre la vitesse orbitale et le rayon orbital. Puisque 𝐺 et 𝑀 sont ici deux constantes, elles n’apparaîtront pas dans notre relation de proportionnalité. On obtient:𝑣1𝑟.

Ainsi, on peut dire que 𝑣 et 𝑟 sont inversement proportionnelles, c’est-à-dire que lorsqu’une grandeur augmente, l’autre diminue. En raison de cette relation inverse, on déduit que 𝑣 diminue lorsque que 𝑟 augmente, ce qui implique donc que la droite verte est incorrecte.

Par ailleurs, puisque 𝑟, la variable indépendante, apparaît au dénominateur, on déduit que la relation entre 𝑣 et 𝑟 ne peut pas être linéaire. Par conséquent, la droite rouge est également incorrecte.

Les courbes bleue et orange ont des allures semblables, mais elles se comportent différemment en se rapprochant de l’axe des 𝑦. La courbe orange coupe l’axe, alors que la courbe bleue admet une asymptote verticale. Pour pouvoir prédire à quoi devrait ressembler le graphique ici, réfléchissons à la manière dont l’équation de la vitesse orbitale se comporte pour 𝑟=0.

Comme mentionné précédemment, 𝑟 apparaît au dénominateur, et on sait qu’il n’est pas possible de diviser par zéro. Ainsi, lorsque 𝑟 tend vers zéro, la fonction tend vers l’infini et n’est pas définie au niveau de l’axe des 𝑦.

Par conséquent, la courbe bleue illustre correctement la relation entre la vitesse orbitale et le rayon orbital pour les objets en orbite circulaire.

Exemple 4: Dépendance des variables dans l’équation de vitesse orbitale

Un satellite est en orbite circulaire autour de la Terre à une distance radiale 𝑟 et avec une vitesse orbitale 𝑣. Si le satellite se rapprochait de la Terre, de sorte qu’il suive une orbite circulaire de rayon 𝑟9, à quelle vitesse, exprimée en fonction de 𝑣, devrait-il évoluer pour maintenir son orbite?

Réponse

Dans cet exemple, on va étudier la corrélation entre la vitesse orbitale et le rayon orbital en cherchant à établir leur relation de proportionnalité. Tout d’abord, on a besoin d’une équation qui implique ces deux grandeurs, on va donc utiliser l’équation de la vitesse orbitale:𝑣=𝐺𝑀𝑟.

Puis, on identifiera les valeurs constantes dans cette équation afin de pouvoir les éliminer pour arriver à déduire notre relation de proportionnalité car, en effet, les équations de proportionnalité indiquent la façon dont des variables évoluent les unes par rapport aux autres. On sait que 𝐺 représente une constante;elle n’apparaîtra donc pas dans la relation de proportionnalité. Et bien que 𝑀 apparaisse comme une variable dans l’équation de la vitesse orbitale, dans le cas de notre problème ici présent, 𝑀 représente la masse de la Terre, qui est essentiellement constante.

Ainsi, on peut définir une relation de proportionnalité qui montre comment 𝑣 et 𝑟 dépendent l’un de l’autre en utilisant le symbole de proportionnalité, . On ne peut pas utiliser le signe égal pour relier 𝑣 et 𝑟, car ces valeurs ne sont égales que si certaines grandeurs constantes supplémentaires pondèrent l’équation, or ces grandeurs ne sont pas utilisées ici pour établir la relation de proportionnalité. Ici, on inscrira un 1 au numérateur, pour remplacer les grandeurs constantes qui étaient dans l’équation d’origine:𝑣1𝑟.

Ainsi, on peut affirmer que 𝑣 est inversement proportionnelle à la racine carrée de 𝑟. La relation est qualifiée d’inverse car l’augmentation d’une grandeur engendre la diminution de l’autre - rappelons que lorsque le dénominateur d’une fraction augmente, la valeur totale de cette fraction diminue, et donc, diminuer le dénominateur revient à augmenter la valeur totale de la fraction. Si le satellite se rapproche de la Terre, alors le rayon orbital diminue, et donc, la vitesse orbitale augmente.

On peut trouver le facteur exact correspondant à la variation de 𝑣 en remplaçant le facteur qui s’applique à la variation de 𝑟 - une relation de proportionnalité se comporte de la même manière qu’une équation. On souhaite diminuer le rayon orbital du satellite de 𝑟 à 𝑟9, c’est-à-dire que 𝑟 est multiplié par un facteur de 19, que l’on va remplacer dans la relation de proportionnalité:𝑣1.

Si on simplifie, on a, 1=1=3.

Par conséquent, multiplier 𝑟 par un facteur de 19 implique que 𝑣 sera multipliée par 3.

Ainsi, en rapprochant le satellite a un nouveau rayon orbital de 𝑟9, la vitesse orbitale du satellite devient alors 3𝑣.

Dans l’exemple précédent, on a utilisé l’équation de la vitesse orbitale sans avoir de valeurs réelles exactes à remplacer, mais cette équation a malgré tout conduit à un résultat exploitable grâce à la relation entre les variables pertinentes.

Comme démontré dans l’exemple suivant, on peut utiliser d’autres équations pour nos calculs, en plus de l’équation de la vitesse orbitale. L’énoncé peut parfois nous fournir d’autres informations sur un système, telle que la période orbitale, 𝑇. Rappelons que l’équation de la période orbitale est 𝑇=2𝜋𝑟𝑣.

Pour trouver les caractéristiques propres au système étudié, cette équation devra potentiellement être utilisée en conjonction avec l’équation de la vitesse orbitale.

Exemple 5: Calcul de la masse d’un corps en orbite

Io est l’une des quatre lunes galiléennes de Jupiter. Io effectue une orbite complète autour de Jupiter en 1,77 jour. En supposant que l’orbite d’Io est circulaire et a un rayon de 422‎ ‎000 km, calculez la masse de Jupiter. Utilisez une valeur de 6,67×10/mkgs pour la constante gravitationnelle universelle. Donnez votre réponse en notation scientifique, au centième près.

Réponse

On cherche à trouver la masse, qui apparaît dans l’équation de la vitesse orbitale, 𝑣=𝐺𝑀𝑟.

On va résoudre cette équation de la vitesse orbitale pour trouver 𝑀. Pour commencer, on peut passer les deux côtés au carré pour se débarrasser de la racine carrée du côté droit:𝑣=𝐺𝑀𝑟.

Ensuite, on peut multiplier les deux côtés de l’équation par 𝑟𝐺:𝑟𝐺𝑣=𝑟𝐺𝐺𝑀𝑟𝑀=𝑟𝑣𝐺.

On a maintenant une équation qui va nous permettre de déduire la masse de Jupiter, mais on ne connaît cependant pas encore les valeurs de chacune des variables - on connaît les valeurs de 𝑟 et de 𝐺, mais on ne connaît pas la vitesse orbitale de Io;il nous faut donc trouver un moyen de calculer 𝑣. On nous donne la période orbitale de Io, 𝑇=1,77jour, et on a l’équation suivante qui permet de relier la période orbitale et la vitesse orbitale:𝑇=2𝜋𝑟𝑣.

On peut réécrire cette équation pour isoler 𝑣:𝑣=2𝜋𝑟𝑇.

On connaît 𝑟 et 𝑇, mais la valeur que l’on nous donne pour 𝑇 est exprimée en jours, qui n’est pas une unité du système international, et qu’il faut donc convertir en secondes, l’unité de temps du système international. La conversion est la suivante:241×601×601=86400.heuresjourminutesheuresecondesminutesecondesjour

En appliquant cela à 𝑇, on a, 𝑇=1,77×86400=152928.joursecondesjoursecondes

On va pouvoir remplacer cette valeur de 𝑇 dans l’équation de la période orbitale pour trouver 𝑣. Mais d’abord, comme la valeur de 𝑟 est exprimée en kilomètres, il nous faut convertir 𝑟 en mètres. Rappelons que 1=1000kmm , ainsi 𝑟=422000000m, mais il est plus souhaitable d’exprimer cette valeur en notation scientifique, c’est-à-dire, 𝑟=4,22×10m. Remplaçons maintenant ces valeurs dans l’équation de la période orbitale pour trouver 𝑣:𝑣=2𝜋𝑟𝑇=2𝜋4,22×10152928=17338/.msms

Maintenant que l’on connaît 𝑣, 𝑟, et 𝐺, on peut les remplacer dans l’équation de la vitesse orbitale réorganisée pour calculer 𝑀, la masse de Jupiter:𝑀=𝑟𝑣𝐺=4,22×10(17338/)6,67×10/=1,90×10.mmsmkgskg

Ainsi, la masse de Jupiter est de 1,90×10kg.

Pour finir, résumons quelques-uns des concepts importants vus dans cette fiche.

Points Clés

  • Pour qu’un objet se déplace en orbite circulaire autour d’un gros objet de masse 𝑀 à une distance radiale 𝑟, sa vitesse orbitale 𝑣 doit être telle que 𝑣=𝐺𝑀𝑟.
  • La vitesse orbitale ne dépend pas de la masse de l’objet en orbite.
  • On peut utiliser 𝑣=𝐺𝑀𝑟 pour calculer 𝑀 ou 𝑟𝑀=𝑟𝑣𝐺, et 𝑟=𝐺𝑀𝑣.

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