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Fiche explicative de la leçon : Introduction aux nombres complexes Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment travailler avec des nombres imaginaires, tout en sachant que les nombres complexes sont constitués d’une partie réelle et d’une partie imaginaire.

Lorsque l’on commence à apprendre les nombres, on commence par le principe des entiers naturels:1;2;3,. Avec les entiers naturels, on peut effectuer des opérations d’addition et de multiplication. Cependant, lorsque l’on introduit la soustraction, certaines opérations ne sont pas possibles si on se limite uniquement aux entiers naturels. Par exemple, l’expression 35 ne peut pas être évaluée avec des entiers naturels. C’est à ce moment que l’on introduit la notion des nombres négatifs. Avec les nombres positifs et négatifs (les entiers), toute opération de soustraction est possible et on peut résoudre un plus grand ensemble d’équations impliquant l’addition et la soustraction.

De la même manière, lorsque l’on essaie d’introduire la division dans les entiers, on rencontre un problème similaire:on trouve des équations qui n’ont pas de solutions entières. Par exemple, 2𝑥=1 n’a pas de solution entière. À ce stade, on étend notre concept des nombres pour inclure les fractions. En combinant les entiers et les fractions, on forme les nombres rationnels. Maintenant, l’opération de la division (pour les diviseurs non nuls) est possible et on peut résoudre un plus grand ensemble d’équations impliquant la multiplication et la division.

Cependant, on constate rapidement qu’il existe d’autres équations qui n’ont pas de solution même lorsque l’on a tous les nombres rationnels à disposition. Par exemple, on peut résoudre l’équation 𝑥=4, mais l’équation analogue 𝑥=2 n’a pas de solution rationnelle. On introduit ainsi la notion de nombre irrationnel. En combinant les nombres rationnels et irrationnels, on forme les nombres réels. À ce stade, on pourrait penser que les nombres réels sont suffisants;les opérations d’addition, de soustraction, de multiplication et de division sont toutes possibles et on peut même prendre la racine carrée de tout nombre positif.

On trouve cependant toujours des équations qui n’ont pas de solution de nombre réel. Par exemple, si on considère l’équation 𝑥+1=0. On sait que mettre un nombre au carré donne toujours un résultat non négatif. Par conséquent, pour tout nombre réel 𝑥, 𝑥+11.

Par conséquent, l’équation n’a pas de solution réelle. En outre, lorsque l’on regarde le graphique, on peut voir que la courbe ne coupe nulle part l’axe des 𝑥.

Par conséquent, on confirme que l’équation n’a pas de solution réelle. Cependant, on peut, peut-être, étendre la définition d’un nombre (comme on l’a fait lorsque l’on a introduit les nombres négatifs ou irrationnels) de telle manière qu’il soit possible de parler des solutions d’équations telles que 𝑥+1=0. Comment pourrait-on faire cela?Tout d’abord, on reformule l’équation en soustrayant 1 aux deux membres:𝑥=1.

Maintenant, on introduit un « nouveau nombre » que l’on désignera par 𝑖 et qui est défini par la propriété 𝑖=1. Cela peut sembler une idée un peu folle, mais comme on le verra, ce « nouveau nombre » ouvre un tout nouveau concept de ce que sont les nombres. En outre, il se révèle être extrêmement important dans de nombreux domaines des mathématiques avancées et a des applications dans des domaines aussi variés que le traitement du signal, l’ingénierie électrique, la mécanique quantique et la dynamique des fluides.

Ce « nouveau nombre » que l’on a introduit est ce que les mathématiciens appellent le nombre imaginaire 𝑖. Comme pour l’introduction des nombres négatifs, l’adoption généralisée des nombres imaginaires a pris du temps. En fait, le terme même « imaginaire », qui a été inventé par René Descartes en 1637, a été utilisé de manière quelque peu péjorative par opposition aux nombres « réels ».

Définition : Nombres imaginaires

Un nombre imaginaire est un nombre de la forme 𝑏𝑖, 𝑏 est un nombre réel et 𝑖 est défini par 𝑖=1..

Comme nous l'avons mentionné précédemment, 𝑖 est une solution à l'équation 𝑥=1. Ce n'est pas la seule solution, cependant;elle est similaire à 𝑥=1 ayant les deux solutions 1 et 1, 𝑥=1 a les deux solutions 𝑖 et 𝑖. Ainsi, nous pouvons considérer 𝑖 comme étant l'une des deux racines carrées de 1.

Comme indiqué dans la définition, tout multiple réel de 𝑖 (c'est-à-dire 𝑏𝑖 pour un certain nombre réel 𝑏) est également un nombre imaginaire. Ces nombres imaginaires peuvent être utilisés pour déterminer les solutions des équations de la forme 𝑥=𝑏, puisque nous avons (𝑏𝑖)=𝑏𝑖=𝑏(1)=𝑏..

Ainsi, 𝑥=𝑏𝑖 est une solution de l'équation 𝑥=𝑏 (tout comme 𝑥=𝑏𝑖).

Les nombres imaginaires ont beaucoup des mêmes propriétés que les nombres réels. Par exemple, nous pouvons les additionner, les soustraire, les multiplier et les diviser. En particulier, les nombres imaginaires peuvent être ajoutés aux nombres réels, et nous désignons le résultat comme un nombre complexe. Définissons concrètement ce concept.

Définition : Nombres complexes

Un nombre complexe est un nombre de la forme 𝑎+𝑏𝑖, 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels. L’ensemble de tous les nombres complexes est noté .

Pour un nombre complexe 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, on définit la partie réelle de 𝑧 comme 𝑎 et on écrit Re(𝑧)=𝑎.

De même, on définit la partie imaginaire de 𝑧 comme 𝑏 et on écrit Im(𝑧)=𝑏.

Certains livres et articles utilisent les notations (𝑧) et (𝑧) pour faire référence aux parties réelle et imaginaire de 𝑧.

On note que la valeur de Im(𝑧) est 𝑏 et non 𝑏𝑖. Par conséquent, Im(𝑧) est toujours un nombre réel. On étudie maintenant quelques exemples pour mieux comprendre la notion de nombres complexes.

Dans le premier exemple, déterminons la valeur d'une expression impliquant un nombre imaginaire en utilisant les règles de l'algèbre.

Exemple 1: Arithmétique avec des nombres imaginaires

Quelle est la valeur de (5𝑖)?

Réponse

En utilisant les règles de l’algèbre (soit les règles des exposants ou la commutativité de la multiplication), on peut réécrire (5𝑖)=5𝑖=25𝑖.

On rappelle maintenant que 𝑖 est défini comme la solution à l’équation 𝑥=1. Par conséquent, on a 𝑖=1. En le substituant dans l’équation, cela donne 25𝑖=25(1)=25.

Par conséquent, (5𝑖)=25.

Maintenant, considérons un exemple où nous déterminons la racine carrée d'un nombre négatif en fonction d'unité imaginaire 𝑖.

Exemple 2: Racines carrées de nombres négatifs

Exprimez 54 en fonction de 𝑖.

Réponse

On peut réécrire 54 comme 54×(1). Par conséquent, 54=54×(1).

On peut l’évaluer en prenant la racine carrée de chaque partie séparément. Par définition, la racine carrée de -1 est 𝑖, donc on a 54=54×𝑖.

On peut exprimer 54 comme le produit des facteurs premiers 54=2×3. Par conséquent, 54=2×3×3×𝑖=36𝑖.

On note qu’il est de bonne pratique d’écrire les radicaux imaginaires sous la forme 36𝑖 ou 3𝑖6;si on écrit 36𝑖, cela peut facilement être confondu avec 36𝑖.

Attention:lorsque l’on prend les racines carrées du produit de nombres complexes, on doit faire attention. Pour tous les nombres réels positifs 𝑎 et 𝑏, on sait que 𝑎𝑏=𝑎𝑏. Cependant, cela n’est pas le cas pour les nombres complexes en général. Lors du calcul de la racine carrée d’un nombre négatif, il est légitime d’écrire 𝑎=(1)×𝑎=1×𝑎=𝑖𝑎.

Maintenant, considérons un exemple où nous allons former un nombre complexe en utilisant l'arithmétique.

Exemple 3: Former des nombres complexes

Ajoutez 4 à 𝑖.

Réponse

On rappelle que la définition d’un nombre complexe est un nombre sous la forme 𝑎+𝑏𝑖, 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels. On peut donc simplement ajouter 4 à 𝑖 pour obtenir 4+(𝑖). C’est une forme parfaitement acceptable pour un nombre complexe où 𝑎=4 et 𝑏=1. Cependant, on préfère l’écrire plus succinctement comme 4𝑖.

Dans l'exemple suivant, nous allons considérer la relation entre les nombres réels et complexes en général.

Exemple 4: Relation entre les nombres réels et complexes

L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse:tout nombre réel est aussi un nombre complexe?

Réponse

On rappelle que la définition d’un nombre complexe est un nombre de la forme 𝑎+𝑏𝑖 , où 𝑎,𝑏. Comme 0 est un nombre réel, tous les nombres de la forme 𝑎+0𝑖 sont des nombres complexes. Cependant, 𝑎+0𝑖 peut être simplement exprimé par le nombre réel 𝑎. Par conséquent, on conclut que l’affirmation « tout nombre réel est aussi un nombre complexe » est vraie.

Enfin, considérons un exemple où nous déterminons la partie imaginaire d'un nombre complexe donné.

Exemple 5: La partie imaginaire d’un nombre complexe

Quelle est la partie imaginaire du nombre complexe 22𝑖?

Réponse

On rappelle que pour un nombre complexe 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, la partie imaginaire est Im(𝑧)=𝑏. Le nombre qui est donné est 22𝑖, donc on a 𝑎=2 et 𝑏=2 (attention à ne pas manquer le signe moins). Par conséquent, la partie imaginaire de 22𝑖 est 2. Attention à ne pas faire l’erreur de donner la réponse 2𝑖;la partie imaginaire d’un nombre complexe est toujours un nombre réel!

Terminons en résumant les principaux éléments que nous avons appris sur les nombres complexes dans cette fiche explicative.

Points clés

  • On peut étendre les nombres réels en introduisant le concept du nombre imaginaire 𝑖, défini comme la solution à l’équation 𝑥=1.
  • L’addition des nombres réels et imaginaires forme les nombres complexes .
  • Chaque nombre complexe 𝑧 est un nombre de la forme 𝑎+𝑏𝑖, 𝑎,𝑏.
  • Pour un nombre complexe 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, on définit les parties réelle et imaginaire comme Re(𝑧)=𝑎 et Im(𝑧)=𝑏.

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