Fiche explicative de la leçon: Introduction aux nombres complexes Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment travailler avec des nombres imaginaires, tout en sachant que les nombres complexes sont constitués d’une partie réelle et d’une partie imaginaire.

Lorsque l’on commence à apprendre les nombres, on commence par le principe des entiers naturels : . Avec les entiers naturels, on peut effectuer des opérations d’addition et de multiplication. Cependant, lorsque l’on introduit la soustraction, certaines opérations ne sont pas possibles si on se limite uniquement aux entiers naturels. Par exemple, l’expression ne peut pas être évaluée avec des entiers naturels. C’est à ce moment que l’on introduit la notion des nombres négatifs. Avec les nombres positifs et négatifs (les entiers), toute opération de soustraction est possible et on peut résoudre un plus grand ensemble d’équations impliquant l’addition et la soustraction.

De la même manière, lorsque l’on essaie d’introduire la division dans les entiers, on rencontre un problème similaire : on trouve des équations qui n’ont pas de solutions entières. Par exemple, n’a pas de solution entière. À ce stade, on étend notre concept des nombres pour inclure les fractions. En combinant les entiers et les fractions, on forme les nombres rationnels. Maintenant, l’opération de la division (pour les diviseurs non nuls) est possible et on peut résoudre un plus grand ensemble d’équations impliquant la multiplication et la division.

Cependant, on constate rapidement qu’il existe d’autres équations qui n’ont pas de solution même lorsque l’on a tous les nombres rationnels à disposition. Par exemple, on peut résoudre l’équation , mais l’équation analogue n’a pas de solution rationnelle. On introduit ainsi la notion de nombre irrationnel. En combinant les nombres rationnels et irrationnels, on forme les nombres réels. À ce stade, on pourrait penser que les nombres réels sont suffisants ; les opérations d’addition, de soustraction, de multiplication et de division sont toutes possibles et on peut même prendre la racine carrée de tout nombre positif.

On trouve cependant toujours des équations qui n’ont pas de solution de nombre réel. Par exemple, si on considère l’équation . On sait que mettre un nombre au carré donne toujours un résultat non négatif. Par conséquent, pour tout nombre réel ,

Par conséquent, l’équation n’a pas de solution réelle. En outre, lorsque l’on regarde le graphique, on peut voir que la courbe ne coupe nulle part l’axe des .

Par conséquent, on confirme que l’équation n’a pas de solution réelle. Cependant, on peut, peut-être, étendre la définition d’un nombre (comme on l’a fait lorsque l’on a introduit les nombres négatifs ou irrationnels) de telle manière qu’il soit possible de parler des solutions d’équations telles que . Comment pourrait-on faire cela ? Tout d’abord, on reformule l’équation en soustrayant 1 aux deux membres : 

Maintenant, on introduit un « nouveau nombre » que l’on désignera par et qui est défini par la propriété . Cela peut sembler une idée un peu folle, mais comme on le verra, ce « nouveau nombre » ouvre un tout nouveau concept de ce que sont les nombres. En outre, il se révèle être extrêmement important dans de nombreux domaines des mathématiques avancées et a des applications dans des domaines aussi variés que le traitement du signal, l’ingénierie électrique, la mécanique quantique et la dynamique des fluides.

Ce « nouveau nombre » que l’on a introduit est ce que les mathématiciens appellent le nombre imaginaire . Comme pour l’introduction des nombres négatifs, l’adoption généralisée des nombres imaginaires a pris du temps. En fait, le terme même « imaginaire », qui a été inventé par René Descartes en 1637, a été utilisé de manière quelque peu péjorative par opposition aux nombres « réels ».

Comme nous l'avons mentionné précédemment, est une solution à l'équation . Ce n'est pas la seule solution, cependant ; elle est similaire à ayant les deux solutions 1 et , a les deux solutions et . Ainsi, nous pouvons considérer comme étant l'une des deux racines carrées de .

Comme indiqué dans la définition, tout multiple réel de (c'est-à-dire pour un certain nombre réel ) est également un nombre imaginaire. Ces nombres imaginaires peuvent être utilisés pour déterminer les solutions des équations de la forme , puisque nous avons .

Ainsi, est une solution de l'équation (tout comme ).

Les nombres imaginaires ont beaucoup des mêmes propriétés que les nombres réels. Par exemple, nous pouvons les additionner, les soustraire, les multiplier et les diviser. En particulier, les nombres imaginaires peuvent être ajoutés aux nombres réels, et nous désignons le résultat comme un nombre complexe. Définissons concrètement ce concept.

On note que la valeur de est et non . Par conséquent, est toujours un nombre réel. On étudie maintenant quelques exemples pour mieux comprendre la notion de nombres complexes.

Dans le premier exemple, déterminons la valeur d'une expression impliquant un nombre imaginaire en utilisant les règles de l'algèbre.

Maintenant, considérons un exemple où nous déterminons la racine carrée d'un nombre négatif en fonction d'unité imaginaire .

Attention : lorsque l’on prend les racines carrées du produit de nombres complexes, on doit faire attention. Pour tous les nombres réels positifs et , on sait que . Cependant, cela n’est pas le cas pour les nombres complexes en général. Lors du calcul de la racine carrée d’un nombre négatif, il est légitime d’écrire .

Maintenant, considérons un exemple où nous allons former un nombre complexe en utilisant l'arithmétique.

Dans l'exemple suivant, nous allons considérer la relation entre les nombres réels et complexes en général.

Enfin, considérons un exemple où nous déterminons la partie imaginaire d'un nombre complexe donné.

Terminons en résumant les principaux éléments que nous avons appris sur les nombres complexes dans cette fiche explicative.