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Fiche explicative de la leçon : Travail fourni par une force constante Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer le travail fourni par une force constante agissant sur une particule.

Définissons d’abord l’accélération due à une force.

Définition : Accélération due à une force

Lorsqu’une force résultante agit sur un corps, celui-ci accélère dans la direction de la force. L’intensité de l’accélération dépend de l’intensité de la force et de la masse du corps selon la formule 𝐹=𝑚𝑎,𝑚 est la masse du corps et 𝑎 est l’accélération du corps.

Le travail effectué sur un corps, 𝑊, est égal au produit de la force exercée sur le corps et du déplacement du corps parallèle à la direction de la force lorsque la force agit sur lui:𝑊=𝐹𝑑.

La force qui agit sur un corps n’agit pas nécessairement dans la direction du déplacement du corps pendant le temps que la force agit sur celui-ci. Un corps en mouvement peut être soumis à une force dont la direction est différente du vecteur vitesse du corps.

Cette relation permet de définir le travail fourni par une force.

Définition : Travail effectué sur un corps par une force

Le travail effectué sur un corps par une force dépend de la force qui agit sur le corps et de la distance que le corps parcours dans le sens de cette force selon la formule 𝑊=𝐹𝑑𝜃,cos𝐹 est l’intensité de la force, 𝑑 est l’intensité du déplacement du corps pendant que la force agit sur lui, et 𝜃 est l’angle entre les directions de 𝐹 et 𝑑.

Considérons un exemple dans lequel une force effectue du travail sur un corps pour modifier son énergie cinétique.

Exemple 1: Déterminer le travail effectué sur un corps étant données son accélération et la distance parcourue

Un corps de masse 0,9 kg parcourt une distance de 25 cm avec une accélération de 8 cm/s2. Déterminez le travail effectué, 𝑊.

Réponse

Le corps accélère. On convertit l’accélération de 8 cm/s2 à 0,08 m/s2 afin d’exprimer la force en newtons. On connait l’accélération et la masse du corps, donc on peut calculer la force qui agit sur le corps pour l’accélérer 𝐹=𝑚𝑎𝐹=0,9(0,08)=0,072.N

Le corps accélère dans le sens de la force, donc le travail fourni par la force est défini par 𝑊=𝐹𝑑=0,072(0,25)=0,018.joule

On peut exprimer le travail sous forme d’un nombre entier dans l’unité ergs, 10ergs est égal à 1 joule:𝑊=0,018×10=1,8×10.ergs

Considérons maintenant un exemple dans lequel une force agit sur un corps dans le sens opposé au vecteur vitesse du corps.

Exemple 2: Déterminer le travail fourni par une force de résistance constante

Un corps se déplace en mouvement rectiligne contre une force de résistance de 360 N. Déterminez le travail fourni par cette force pendant le déplacement 𝑑, 𝑑=390m.

Réponse

La seule force qui agit sur le corps pendant qu’il se déplace est la force de résistance. Une force de résistance agissant sur un corps doit agir dans le sens opposé au mouvement de celui-ci, de sorte que l’angle entre la direction du mouvement et la force soit 180 degrés. Le travail fourni par la force de résistance est obtenu en utilisant 𝑊=𝐹𝑑𝜃,cos𝜃=180.

Donc, cos𝜃=1.

L’intensité du travail effectué sera donc multipliée par 1. Cela ne change pas l’intensité absolue du travail effectué, mais celui-ci sera négatif. Le travail fourni par la force de résistance est donné par 360(390)(1)=140400.J

Considérons un exemple d’une force agissant sur un corps, où le vecteur vitesse du corps change de direction pendant le mouvement du corps.

Exemple 3: Déterminer le travail effectué par un objet projeté vers le haut après un intervalle de temps donné

Un corps de masse 900 g est projeté verticalement vers le haut à une vitesse de 6,4 m/s. Déterminez le travail effectué par le poids du corps pendant les premières 5 secondes du mouvement du corps. On considère que 𝑔=9,8/ms.

Réponse

Dans cet exemple, un corps a une vitesse initiale verticalement vers le haut. Il n’y a cependant pas de force verticale vers le haut agissant sur le corps. La seule force exercée sur le corps est le poids du corps. Le poids du corps agit verticalement vers le bas avec une intensité constante définie par 𝐹=0,9(9,8)=8,82.N

La masse de 900 g du corps est convertie à 0,9 kg pour que l’unité du poids soit newtons.

Le corps se déplace pendant au moins 5 secondes. Pendant ce temps, le poids du corps agit sur le corps et effectue du travail sur celui-ci.

Pour déterminer le travail effectué sur le corps par son poids, on doit déterminer la distance que le corps parcourt dans la ligne d’action de son poids:verticalement vers le bas. Si le corps se déplace verticalement vers le haut pendant 5 secondes, le déplacement est dans le sens opposé à celui du poids, donc la valeur du travail effectué dépend de si le mouvement résultant du corps est verticalement vers le haut ou vers le bas.

Le déplacement résultant du corps avec une accélération constante 𝑔 est donné par 𝑑=𝑢𝑡+12𝑎𝑡.

Il est important de noter que la vitesse initiale et l’accélération de l’objet sont de sens opposé. Les signes de 𝑢 et 𝑎 doivent être opposés. Si on considère que 𝑎 est négatif et on introduit les valeurs donnees dans l’énoncé dans l’équation on obtient 𝑑=6,4𝑡129,8𝑡𝑑=6,4(5)129,8(5)𝑑=90,5.m

Le déplacement résultant du corps est 90,5 m verticalement vers le bas.

Lorsqu’on utilise 𝑊=𝐹𝑑, on peut voir que 𝑊=8,82(90,5)=798,21.J

Considérons un exemple dans lequel une force agit sur un corps selon un angle arbitraire avec le vecteur vitesse du corps.

Exemple 4: Déterminer le travail fourni par une force inclinée

Quelle quantité de travail est effectué par une force d’intensité 200 newtons et à une inclinaison de 30 degrés de l’horizontale qui coulisse une caisse sur 20 mètres horizontalement le long d’un quai?Donnez votre réponse au centième près.

Réponse

Les composantes perpendiculaires de la force de 200 N agissant sur la caisse, où l’une des composantes est parallèle au déplacement de la caisse, sont représentés sur la figure suivante.

Le travail effectué par la force de 200 N sur la caisse est donné par 𝑊=𝐹𝑑𝜃𝑊=200(20)((30))𝑊=400032.coscos

Si on prend la valeur de 𝑊 au centième près, on a 𝑊=3464,10,joules1=1×1.joulenewtonmètre

Ainsi, le résultat peut être exprimé comme 𝑊=3464,10.newtons-mètres

Considérons un autre exemple dans lequel la force agissant est inclinée à un angle arbitraire par rapport au déplacement du corps sur lequel la force agit.

Exemple 5: Calculer le travail fourni par une force

La figure montre une force 𝐹 d’intensité 2 N et le déplacement d’intensité 𝑑=16m effectué par un corps soumis à la force. Déterminez le travail fourni par la force.

Réponse

Comme le montre la figure, la force agissant sur le corps n’agit pas dans le sens du déplacement du corps. Il y a un angle entre la direction de la force et le déplacement qui n’est pas illustré.

L’angle par rapport à la ligne d’action de 𝐹 est 180 , étant donné que la ligne d’action est une droite. Cet angle est constitué de deux angles, dont l’un est inconnu et l’autre est représenté sur la figure comme étant 60. Ainsi, l’angle inconnu, a, est donné par 𝑎=18060=120.

La formule pour le travail effectué par la force sur le corps est 𝑊=𝐹𝑑𝜃𝑊=2(16)((120))𝑊=3212=16.coscosJ

Le travail effectué par la force sur le corps est négatif. On peut comprendre la valeur négative du travail en considérant les sens des composantes perpendiculaires de 𝐹, où l’une des composants est parallèle à 𝑑, comme indiqué sur la figure suivante.

La composante de 𝐹 qui est parallèle à 𝑑 est dans le sens opposé à 𝑑.

Points clés

  • Le travail effectué sur un corps par une force agissant sur lui est le produit de la force agissant sur lui et du déplacement du corps dans le sens de la force selon la formule 𝑊=𝐹𝑑,𝐹 est l’intensité de la force et 𝑑 est l’intensité du déplacement du corps dans le sens de la force.
  • Le travail effectué sur un corps par une force qui n’agit pas dans le sens du déplacement du corps est égal au travail effectué par la composante de la force qui agit dans le sens du déplacement du corps selon la formule 𝑊=𝐹𝑑𝜃,cos𝐹 est l’intensité de la force, 𝑑 est l’intensité du déplacement du corps lorsque la force agit sur lui, et 𝜃 est l’angle entre les directions de 𝐹 et 𝑑.

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