Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer la probabilité de la différence entre deux événements.
Tout d’abord, rappelons les opérations sur les événements que nous avons vues jusqu’à présent.
Définition : Contraire, intersection et réunion d’événements
Les opérations sur les événements et sont les suivantes, l’aire colorée dans le diagramme de Venn représentant chaque opération respective.
- Le contraire d’un événement est noté et contient les éléments qui ne sont pas dans .
- L’intersection des événements et , notée , contient les éléments qui sont à la fois dans et .
- La réunion des événements et est notée et contient les éléments qui se trouvent dans , ou les deux.
La nouvelle opération que nous allons étudier dans cette fiche explicative est la différence entre deux événements et que nous définissons ci-dessous.
Définition : Différence entre deux événements
La différence entre deux événements et est notée et est illustrée par l’aire colorée dans le diagramme de Venn ci-dessous. Elle contient les éléments qui sont dans mais pas dans .
En utilisant notre compréhension des diagrammes de Venn, nous pouvons en déduire la formule de la différence entre deux événements.
L’aire de la région colorée de est équivalente à l’aire de moins l’aire de , comme on le voit ci-dessous.
Par conséquent, . Nous pouvons ensuite utiliser cela pour en déduire la formule de la probabilité de la différence entre deux événements.
Formule de la probabilité de la différence entre deux événements
La probabilité de la différence entre deux événements et est
Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser la formule de probabilité ci-dessus pour déterminer la probabilité de la différence entre deux événements.
Exemple 1: Déterminer la probabilité de la différence entre deux événements
On suppose que et sont deux événements. Sachant que et , déterminez .
Réponse
Pour calculer la probabilité de la différence entre deux événements et , nous utilisons la formule suivante :
Nous pouvons la représenter à l’aide d’un diagramme de Venn :
En substituant et dans la formule ci-dessus, on obtient
De même, nous pouvons utiliser un diagramme de Venn pour illustrer cela.
Par conséquent, .
Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment déterminer la probabilité de la différence entre deux événements dans un contexte réel.
Exemple 2: Déterminer la probabilité de la différence entre deux événements
Une balle est tirée au hasard dans un sac contenant 12 balles ayant chacune un numéro unique de 1 à 12. On suppose que est l’événement consistant à tirer un nombre impair et est l’événement consistant à tirer un nombre premier. Calculez .
Réponse
Pour calculer , nous utilisons la formule de la probabilité de la différence entre deux événements et , qui est
Pour cela, nous devons trouver et .
Pour trouver , on identifie d’abord l’ensemble . On sait que est l’événement consistant à tirer un nombre impair dans un sac contenant des balles numérotées de 1 à 12. Par conséquent, est l’ensemble .
Comme le nombre d’issues dans est 6 et que le nombre total d’issues est 12 (car il y a 12 balles dans le sac), la probabilité de est définie par
Afin de calculer , on identifie d’abord les ensembles , et . Nous savons que est l’ensemble (comme indiqué ci-dessus). L’ensemble est l’événement consistant à tirer un nombre premier dans un sac avec des balles numérotées de 1 à 12. Par conséquent, est l’ensemble .
Nous pouvons voir que , l’intersection de et , est l’ensemble qui contient les éléments présents dans et . Dans ce cas, . La probabilité de est
On peut à présent substituer et dans la formule afin de calculer :
Par conséquent, .
Nous pouvons utiliser plusieurs formules de probabilité des opérations sur les événements afin de résoudre des problèmes. Nous allons maintenant étudier deux de ces formules de probabilité : le contraire et la réunion d’événements. Commençons par rappeler ces formules.
Définition : Formules de la probabilité du contraire et de la réunion d’événements
- La probabilité du contraire d’un événement est ou
- La probabilité de la réunion des événements et est
L’exemple suivant utilise les formules de probabilité de la réunion de deux événements et de la différence entre deux événements.
Exemple 3: Déterminer la probabilité de la différence entre deux événements en utilisant la formule de la probabilité d’une réunion
Soient et deux événements de probabilités et . Sachant que , déterminez .
Réponse
Comme nous devons calculer , nous devons utiliser la formule de la probabilité de la différence entre deux événements, qui est la suivante :
Nous ne connaissons pas , nous devons donc utiliser une autre formule pour la déterminer. Comme nous connaissons ainsi que et , nous pouvons utiliser la formule de la probabilité de la réunion d’événements :
En substituant , et , on obtient une équation en fonction de :
En réarrangeant pour déterminer , on obtient
Maintenant que nous avons , nous pouvons la substituer, ainsi que , dans la formule
En substituant, nous trouvons donc la valeur de :
Par conséquent, .
L’exemple suivant utilise les formules de la probabilité du contraire d’un événement, de la réunion d’événements et de la différence entre deux événements.
Exemple 4: Déterminer la probabilité de la différence entre deux événements en utilisant la formule de la réunion et la formule du contraire
Soient et des événements dans une expérience aléatoire. Sachant que , et , déterminez .
Réponse
Comme nous devons déterminer , nous devons utiliser la formule de la probabilité de la différence entre deux événements, qui est la suivante :
Comme les événements et sont inversés dans cette formule, on peut la réécrire comme sachant que .
Comme nous connaissons , et , mais pas et , nous devons utiliser les formules de la probabilité du contraire d’un événement et de la réunion de deux événements. Nous allons d’abord utiliser la formule de la probabilité du contraire d’un événement pour calculer .
On sait que
Donc pour trouver , on substitue et on obtient une expression de :
Ayant déterminé , nous pouvons utiliser la formule de la probabilité de la réunion d’événements pour déterminer . Cela est
Si on remplace , et , et que l’on réarrange ensuite pour isoler , on obtient
Maintenant que nous avons trouvé , nous pouvons l’utiliser avec pour obtenir . Pour cela, on substitue dans la formule et on détermine :
Par conséquent, .
Dans le dernier exemple, nous allons voir comment déterminer la probabilité qu’exactement un événement sur deux se produise. Nous utiliserons pour cela ce que nous savons sur la différence entre deux événements.
Exemple 5: Utiliser la formule de la probabilité de la réunion d’événements pour déterminer la probabilité qu’exactement un événement sur deux se produise
La probabilité que Victor réussisse en mathématiques est de 0,33 et la probabilité qu’il échoue en physique est de 0,32. Sachant que la probabilité qu’il réussisse au moins dans l’une des deux matières est 0,71, déterminez la probabilité qu’il réussisse dans UNE SEULE des deux matières.
Réponse
Pour déterminer la probabilité de réussir dans une seule matière, nous allons calculer la probabilité de réussir uniquement en mathématiques et celle de réussir uniquement en physique, puis nous additionnerons les deux.
Pour déterminer la probabilité de réussir uniquement en mathématiques, nous calculons la probabilité de réussir en mathématiques mais pas en physique, ce que nous pouvons faire en utilisant la formule de la différence :
Si on représente l’événement « réussir en mathématiques » par et l’événement « réussir en physique » par , alors en remplaçant et dans la formule ci-dessus, la probabilité de réussir en mathématiques mais pas en physique est
La question indique que la probabilité de réussir en mathématiques est de 0,33, donc , et que la probabilité d’échouer en physique est de 0,32, donc . Pour déterminer la probabilité de réussir en physique, on utilise la formule du contraire, qui stipule que ou dans ce cas,
Ainsi, si on substitue pour déterminer , on obtient
Nous savons également que la probabilité de réussir dans au moins une des deux matières est de 0,71, ce qui est équivalent à réussir en mathématiques, en physique ou les deux. On peut représenter cela en utilisant la réunion de et , donc .
Comme nous devons trouver pour calculer et que nous savons que , nous utilisons la formule de la probabilité d’une réunion qui stipule que
Dans ce cas, on utilise et pour représenter les événements, donc
On sait que , et , donc en substituant pour déterminer , on obtient
Ayant trouvé , nous pouvons l’introduire avec dans la formule de , ce qui nous donne qui est la probabilité de réussir en mathématiques mais pas en physique.
Nous devons ensuite déterminer la probabilité de réussir en physique mais pas en mathématiques. Nous pouvons la calculer de manière très similaire à ci-dessus, mais en inversant les événements et dans la formule qui est égale à car la probabilité de réussir en physique et en mathématiques est la même que celle de réussir en mathématiques et en physique.
On sait que et , donc si on substitue, on obtient qui est la probabilité de réussir en physique mais pas en mathématiques.
Maintenant que nous savons que la probabilité de réussir en mathématiques mais pas en physique est et que la probabilité de réussir en physique mais pas en mathématiques est , la probabilité de réussir dans une seule matière est égale à la somme de celles-ci, soit
Par conséquent, la probabilité de réussir dans une seule matière est 0,41.
Dans cette fiche explicative, nous avons appris ce qu’est la différence entre deux événements, comment la représenter sur un diagramme de Venn et la formule pour la calculer.
Points clés
- La différence entre deux ensembles et est notée et est représentée sur le diagramme de Venn ci-dessous :
- La formule de la probabilité de la différence entre deux événements et est
