Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer les moyennes arithmétiques de deux termes non consécutifs dans une suite arithmétique.
La moyenne arithmétique de deux nombres est en fait un concept que vous devez déjà connaître ; on l’utilise pour déterminer la moyenne d’une série statistique.
Définition : Moyenne arithmétique de deux nombres
La moyenne arithmétique de deux nombres, et , est donnée par
Commençons par un exemple d’application de cette formule.
Exemple 1: Résoudre un problème à deux inconnues en utilisant des informations sur leur moyenne arithmétique
Si la moyenne arithmétique entre et est 9 et que la moyenne arithmétique entre et est 15, alors .
Réponse
On rappelle que la moyenne arithmétique de deux nombres et , est donnée par
On sait que la moyenne arithmétique de et vaut 9, alors
De même, la moyenne arithmétique de et vaut 15, alors
Pour résoudre ce système d’équations par élimination, on multiplie la première équation par :
Ajouter cette équation à la seconde équation éliminera la variable :
Puisque ,
Rappelez-vous que notre objectif est de calculer la valeur de . En remplaçant et dans l’expression on obtient
On a donc, .
On peut généraliser le principe de la moyenne arithmétique aux termes d’une suite arithmétique.
Définition : 𝑛 moyennes arithmétiques
Étant donnés deux nombres et , les moyennes arithmétiques entre et sont les valeurs d’une suite arithmétique allant de à avec exactement termes entre ces deux valeurs.
On considère la suite arithmétique . Dans ce cas, les termes sont les 4 moyennes arithmétiques entre 4 et 24.
En particulier, la moyenne arithmétique des 2e et 4e termes est donnée par
Le troisième terme est la moyenne arithmétique des 2e et 4e termes d’une suite arithmétique. En fait, si on prend trois termes consécutifs quelconques dans une suite arithmétique, le terme du milieu est la moyenne arithmétique des deux autres termes. On généralise ce concept en définissant les termes situés entre deux termes quelconques d’une suite arithmétique comme étant les moyennes arithmétiques.
On remarque la relation qui existe entre le rang du terme et le rang des moyennes arithmétiques : la première moyenne est le deuxième terme dans une suite arithmétique, la quatrième moyenne arithmétique est le cinquième terme de la suite, etc. En général, la moyenne arithmétique de rang correspond au terme de rang de la suite arithmétique.
Nous allons maintenant voir comment utiliser cette définition pour trouver des moyennes arithmétiques comprises entre deux nombres.
Exemple 2: Déterminer plusieurs moyennes arithmétiques comprises entre deux nombres
Déterminez 5 moyennes arithmétiques comprises entre 7 et 19.
Réponse
Pour trouver les 5 moyennes arithmétiques comprises entre 7 et 19, nous devons identifier la suite arithmétique allant de 7 à 19 et comprenant exactement 5 termes entre ces deux valeurs.
On rappelle que le terme général d’une suite arithmétique de premier terme et de raison est
Afin de trouver les termes compris entre 7 et 19, la première étape consiste à déterminer la raison, . Puisqu’il y a 5 termes entre 7 et 19, nous savons que 7 est le premier terme et que 19 est le 7e terme de la suite arithmétique. En remplaçant , et dans la formule pour le terme de rang , on obtient
Comme le premier terme est 7 et que la raison est 2, la suite arithmétique est donc 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. On remarque qu’il y a bien exactement 5 termes entre 7 et 19, comme prévu.
Ainsi, les 5 moyennes arithmétiques comprises entre 7 et 19 sont .
Dans l’exemple suivant, nous allons montrer comment utiliser des informations sur les moyennes arithmétiques dans des suites pour définir un système d’équations. La résolution de ce système d’équations nous permettra alors de définir une suite arithmétique.
Exemple 3: Déterminer une suite arithmétique en utilisant des informations sur les moyennes arithmétiques
Si la somme des deuxième et quatrième moyennes d’une suite arithmétique est égale à 16 et que la septième moyenne est supérieure de 8 à la troisième moyenne, alors la suite est .
Réponse
Le terme général d’une suite arithmétique de premier terme et de raison est donné par . Puisque la moyenne arithmétique ne peut pas être le premier terme de la suite, la deuxième moyenne correspond en fait au troisième terme de la suite, :
De même, on peut écrire les expressions en fonction de et pour la troisième moyenne , la quatrième moyenne et la septième moyenne , ce qui donne
On définit maintenant un système d’équations en utilisant les informations données. Comme la somme des deuxième et quatrième moyennes est 16, cela nous donne l’équation , ce qui donne
Comme la septième moyenne est supérieure de 8 à la troisième moyenne, on peut écrire une seconde équation en utilisant :
On remplace dans la première équation
Ainsi, le premier terme de cette suite est 2. La suite arithmétique définie par un premier terme égal à 2 et une raison de 2 est
Dans notre prochain exemple, nous utiliserons les informations données sur les moyennes arithmétiques pour identifier le nombre de moyennes arithmétiques comprises entre deux valeurs données.
Exemple 4: Déterminer le nombre de moyennes arithmétiques comprises entre deux nombres en utilisant la somme de deux moyennes
Déterminez le nombre de moyennes arithmétiques comprises entre 8 et 238 sachant que la somme des deuxième et sixième moyennes est égale à 96.
Réponse
On rappelle que le nombre de moyennes arithmétiques comprises entre deux valeurs correspond au nombre de termes d’une suite arithmétique compris entre ces deux termes. Rappelons que la forme générale d’une suite arithmétique est , où est le premier terme et est la raison. Nous savons aussi que le premier terme de la suite n’est pas une moyenne arithmétique, donc la moyenne de rang correspond au terme de rang , . Ainsi, la deuxième moyenne est le troisième terme, , et la sixième moyenne est le septième terme, . Les deuxième et sixième moyennes peuvent donc être écrites en fonction du premier terme, 8, et de la raison, ,
Comme la somme des deuxième et sixième moyennes est égale à 96,, on a
Pour trouver le nombre de termes entre 8 et 238, on remplace et dans la formule du terme de rang d’une suite arithmétique :
Comme le dernier terme de la suite vaut 238, on peut remplacer :
Il y a donc 24 termes dans la suite, ce qui signifie qu’il y a termes compris entre 8 et 238.
Le nombre de moyennes arithmétiques comprises entre 8 et 238 est donc 22.
Dans notre dernier exemple, nous allons de nouveau calculer le nombre de moyennes arithmétiques comprises entre deux valeurs données.
Exemple 5: Déterminer le nombre de moyennes arithmétiques comprises entre deux nombres en utilisant des informations sur la somme des moyennes arithmétiques
Déterminez le nombre de moyennes arithmétiques comprises entre 2 et 254 sachant que le rapport entre la somme des deux premières moyennes et la somme des deux dernières moyennes est .
Réponse
Le nombre de moyennes arithmétiques entre deux valeurs est le nombre de termes compris entre les premier et dernier termes d’une suite arithmétique, dont le terme général est . Si on pose , on peut écrire les deux premières moyennes en fonction du premier terme, , et de la raison, . La première moyenne est le deuxième terme de la suite. Par conséquent,
La deuxième moyenne est le troisième terme de la suite. Par conséquent,
On connaît le rapport entre la somme des deux premières moyennes et la somme des deux dernières moyennes. On peut combiner les deux expressions des première et deuxième moyennes afin de trouver l’expression suivante de la somme des deux premières moyennes :
Il en est de même pour les deux dernières moyennes. Mais on ne connaît pas le rang des deux dernières moyennes, alors écrivons-les en fonction du dernier terme et de la raison. L’avant-dernier terme sera la dernière moyenne arithmétique. Elle peut également être exprimée en fonction du dernier terme de cette façon
L’avant-dernière moyenne est le terme précédant la dernière moyenne. Elle peut s’écrire
L’expression de la somme des deux dernières moyennes est
Nous utilisons ces expressions pour établir un rapport équivalent :
Pour trouver , on fait le produit en croix et puis on développe, ce qui donne
Pour trouver le nombre de termes compris entre 2 et 254, on remplace et dans la formule donnant le terme de rang d’une suite arithmétique :
Comme le dernier terme de la suite est 254, on a :
Puisqu’il y a 43 termes dans la suite, le nombre de termes compris entre 2 et 254 est .
Ainsi, le nombre de moyennes arithmétiques comprises entre 2 et 254 est égal à 41.
Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Étant donnés deux nombres donnés et , les moyennes arithmétiques comprises entre et sont les valeurs d’une suite arithmétique allant de à avec exactement termes entre ces deux valeurs.
- Dans une suite arithmétique de terme général , les valeurs allant de à sont appelées moyennes arithmétiques. La moyenne arithmétique de rang est le terme de rang .
- Comme les moyennes arithmétiques sont tous les termes d’une suite arithmétique, à l’exception des premier et dernier termes, pour une suite comportant termes, il y a moyennes arithmétiques comprises entre et .
