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Fiche explicative de la leçon : La loi des gaz parfaits en fonction du nombre de moles Physique

Dans cette fiche explicative nous allons apprendre à établir la relation entre le nombre de moles d’un gaz parfait et les valeurs de ses autres variables d’état.

Les variables d’état d’un gaz parfait sont

  • le volume occupé par le gaz, 𝑉,
  • la température du gaz, 𝑇,
  • la pression exercée par le gaz, 𝑃.

Il est important de comprendre qu’ici le terme « gaz » ne se réfère pas à une substance gazeuse en général (comme par exemple l’oxygène) mais à un ensemble précis de molécules d’une certaine substance gazeuse (comme par exemple les molécules d’oxygène contenues dans un récipient en particulier).

Les variables d’état d’un gaz parfait sont reliées par l’expression 𝑃𝑉𝑇.

Cette expression peut aussi s’écrire 𝑃𝑉=𝑘𝑇,𝑘 est une constante. La valeur de 𝑘 dépend du nombre de molécules de gaz.

Considérons un récipient ayant un volume constant et contenant un gaz à température constante. Toutes les molécules de ce gaz sont identiques.

Comme la température du gaz est constante, la force moyenne exercée par les molécules de gaz sur les parois du récipient par collision est constante et cela quel que soit le nombre de molécules de gaz.

Le fait que la température du gaz soit constante implique aussi que les molécules se déplacent entre les différentes parois du récipient avec une vitesse moyenne constante et cela quel que soit le nombre de molécules de gaz.

Comme le volume du récipient est également constant, le temps moyen entre les collisions des molécules de gaz avec les parois du récipient doit être constant et cela quel que soit le nombre de molécules de gaz.

Nous pouvons alors voir que plus il y a de molécules, plus le nombre de collisions entre les molécules et les parois du récipient en un temps donné va être grand, et par conséquent, la pression exercée par le gaz sur les parois du récipient augmente avec le nombre de molécules de de gaz.

Plutôt que de déterminer le nombre de molécules dans un objet, il est souvent plus pratique de déterminer le nombre de moles d’une certaine substance qui constitue cet objet. On parle généralement du nombre de moles contenues dans un gaz plutôt que du nombre de molécules.

La valeur des variables d’état d’un gaz parfait peuvent être reliées à une quantité donnée de moles par la loi des gaz parfaits exprimée en fonction du nombre de moles.

Formule : Loi des gaz parfaits en fonction du nombre des moles

La loi des gaz parfaits exprimée en fonction du nombre de moles relie la pression 𝑃, le volume 𝑉 et la température 𝑇 d’un gaz parfait au nombre de moles contenues dans un gaz 𝑛, par l’équation 𝑃𝑉=𝑛𝑅𝑇,𝑅 est la constante des gaz parfaits dont la valeur est d’environ 8,31 J/K⋅mol.

L’unité J/K⋅mol s’écrit m2⋅kg/s2⋅K⋅mol en unités de base SI.

Regardons un exemple où nous pouvons utiliser cette expression de la loi des gaz parfaits.

Exemple 1: Déterminer la pression d’un gaz parfait en utilisant l’expression de la loi des gaz parfaits en fonction du nombre de moles

Un récipient ayant un volume de 0,225 m3 contient 2,24 moles d’oxygène gazeux à une température de 320 K. Déterminez la pression exercée sur les parois internes du récipient. Utilisez une valeur de 8,31 m2⋅kg/s2⋅K⋅mol pour la constante des gaz parfaits. Donnez la réponse en kilopascals arrondie à une décimale près.

Réponse

La loi des gaz parfaits en fonction du nombre de moles s’écrit 𝑃𝑉=𝑛𝑅𝑇,𝑃 est la pression, 𝑉 est le volume, 𝑇 est la température, 𝑛 est le nombre de moles et 𝑅 est la constante des gaz parfaits.

Dans la question, on nous demande de déterminer la pression du gaz, nous devons donc exprimer 𝑃 en fonction des autres grandeurs de l’équation. Pour cela, il faut diviser les deux côtés de l’équation par 𝑉, comme suit:𝑃𝑉𝑉=𝑛𝑅𝑇𝑉𝑃𝑉𝑉=𝑃𝑃=𝑛𝑅𝑇𝑉.

En se rappelant que des m2⋅kg/s2⋅K⋅mol peuvent aussi s’exprimer en J/K⋅mol, nous pouvons maintenant remplacer les valeurs que nous connaissons, ce qui donne 𝑃=2,24×8,31/×3200,225.molJKmolKm

Arrondi à une décimale près, 𝑃=26473,8.Pa

Mais dans la question, on nous demande d’exprimer la pression en kPa. Pour obtenir le résultat dans l’unité demandée, il faut ensuite convertir les Pa en kPa, comme suit:26473,8=26473,8100026473,8=26,4738.PakPaPakPa

Arrondi à une décimale près, 𝑃=26,5.kPa

Il faut noter qu’il n’est pas nécessaire de connaître la masse d’une molécule de gaz pour déterminer les variables d’état d’un gaz lorsqu’on utilise cette expression de la loi des gaz parfaits.

Regardons maintenant un autre exemple mettant en jeu la loi des gaz parfaits en fonction du nombre de moles.

Exemple 2: Déterminer le volume d’un gaz parfait en utilisant la loi des gaz parfaits en fonction du nombre de moles

Un nuage de gaz a une pression de 220 kPa et une température de 440 K. Le gaz contient 8,2 moles d’une certaine molécule dont la masse molaire est 10,5 g/mol. Déterminez le volume du nuage. Utilisez une valeur de 8,31 m2⋅kg/s2⋅K⋅mol pour la constante des gaz parfaits. Donnez la réponse arrondie à deux décimales près.

Réponse

La loi des gaz parfaits en fonction du nombre de moles s’exprime avec l’équation 𝑃𝑉=𝑛𝑅𝑇,𝑃 est la pression, 𝑉 est le volume, 𝑇 est la température, 𝑛 est le nombre de moles et 𝑅 est la constante des gaz parfaits.

Dans la question, on nous demande de déterminer le volume du gaz, nous devons donc exprimer 𝑉 en fonction des autres grandeurs. Pour cela, il faut diviser les deux côtés de l’équation par 𝑃, comme suit:𝑃𝑉𝑃=𝑛𝑅𝑇𝑃𝑃𝑉𝑃=𝑉𝑉=𝑛𝑅𝑇𝑃.

Nous pouvons maintenant remplacer les valeurs que nous connaissons.

Pour obtenir un volume en unités de base SI, qui est le m3, il faut utiliser des unités de base SI pour toutes les grandeurs de l’équation. Il faut donc convertir 220 kPa en Pa:220=(220×1000)220=2,2×10.kPaPakPaPa

En remplaçant cette valeur et les autres dans l’expression de la loi des gaz parfaits et en se rappelant que les m2⋅kg/s2⋅K⋅mol peuvent s’exprimer en J/K⋅mol, nous obtenons 𝑉=8,2×8,31/×4402,2×10.molJKmolKPa

Arrondi à deux décimales près, 𝑉=0,14.m

Notons qu’il n’était pas nécessaire de connaître la masse molaire des molécules de gaz pour déterminer 𝑉.

Regardons maintenant un autre exemple.

Exemple 3: Déterminer la température d’un gaz parfait en utilisant l’expression de la loi des gaz parfaits en fonction du nombre de moles

Un gaz constitué de 25,6 moles de carbone est contenu dans un volume de 0,128 m3 avec une pression de 135 kPa. Déterminez la température du gaz. Utilisez une valeur de 12,0107 g/mol pour la masse molaire du carbone et une valeur de 8,31 m2⋅kg/s2⋅K⋅mol pour la constante des gaz parfaits. Donnez la réponse arrondie au kelvin près.

Réponse

La loi des gaz parfaits en fonction du nombre de moles s’écrit avec l’équation 𝑃𝑉=𝑛𝑅𝑇,𝑃 est la pression, 𝑉 est le volume, 𝑇 est la température, 𝑛 est le nombre de moles et 𝑅 est la constante des gaz parfaits.

Dans la question, on nous demande de déterminer la température du gaz, il faut donc exprimer 𝑇 en fonction des autres grandeurs. Pour cela, il faut diviser les deux côtés de l’équation par 𝑛𝑅, comme suit:𝑃𝑉𝑛𝑅=𝑛𝑅𝑇𝑛𝑅𝑛𝑅𝑇𝑛𝑅=𝑇𝑇=𝑃𝑉𝑛𝑅.

Nous pouvons maintenant remplacer les valeurs que nous connaissons.

Pour obtenir une température en unités de base SI, qui est le K, il faut utiliser les unités de base SI pour toutes les grandeurs de l’équation. Il faut donc convertir 135 kPa en Pa:135=(135×1000)135=1,35×10.kPaPakPaPa

En remplaçant cette valeur et les autres dans l’expression de la loi des gaz parfaits en fonction du nombre de moles et en se rappelant que les m2⋅kg/s2⋅K⋅mol peuvent s’exprimer en J/K⋅mol, nous obtenons 𝑇=1,35×10×0,12825,6×8,31/.PammolJKmol

En arrondissant au kelvin près, 𝑇=81.K

Notons que la masse molaire du carbone n’était pas nécessaire pour déterminer 𝑇.

Regardons maintenant un autre exemple.

Exemple 4: Déterminer le nombre de moles d’un gaz parfait en utilisant la loi des gaz parfaits

Une bouteille de gaz ayant un volume de 0,245 m3 contient un gaz avec une température de 350 K et une pression de 120 kPa. Déterminez le nombre de moles de molécules de gaz contenues dans la bouteille. Utilisez une valeur de 8,31 m2⋅kg/s2⋅K⋅mol pour la constante des gaz parfaits. Donnez la réponse à une décimale près.

Réponse

Nous pouvons exprimer la loi des gaz parfaits en fonction du nombre de moles avec l’équation 𝑃𝑉=𝑛𝑅𝑇,𝑃 est la pression, 𝑉 est le volume, 𝑇 est la température, 𝑛 est le nombre de moles et 𝑅 est la constante des gaz parfaits.

Dans la question, on nous demande de déterminer le nombre de moles contenues dans le gaz, il faut donc exprimer 𝑛 en fonction des autres grandeurs de l’équation. Pour cela, il faut diviser les deux côtés de l’équation par 𝑅𝑇, comme suit:𝑃𝑉𝑅𝑇=𝑛𝑅𝑇𝑅𝑇𝑛𝑅𝑇𝑅𝑇=𝑛𝑛=𝑃𝑉𝑅𝑇.

Nous pouvons maintenant remplacer les valeurs que nous connaissons.

Pour déterminer le nombre de moles en unités de base SI, qui est le mol, il faut exprimer toutes les grandeurs de l’équation en unités de base SI. Il faut donc convertir 220 kPa en Pa:120=(120×1000)120=1,2×10.kPaPakPaPa

En remplaçant cette valeur et les autres dans l’expression de la loi des gaz parfaits en fonction du nombre de moles et en se rappelant que les m2⋅kg/s2⋅K⋅mol peuvent s’exprimer en J/K⋅mol, nous obtenons 𝑛=1,2×10×0,2458,31/×350.PamJKmolK

Arrondi à une décimale près, 𝑛=10,1.mol

Regardons maintenant un exemple dans lequel le nombre de moles de gaz n’est pas constant.

Exemple 5: Déterminer le pourcentage de variation du nombre de moles d’un gaz parfait en utilisant la loi des gaz parfaits

Un récipient cylindrique équipé d’un couvercle mobile a un volume initial de 0,125 m3 et contient un gaz à une température de 360 K et une pression de 1,5000×10Pa. Le couvercle du récipient n’est pas complètement étanche et une partie du gaz peut donc s’échapper lorsqu’on déplace le couvercle. On pousse le couvercle du récipient vers le bas, ce qui réduit le volume de gaz à 0,105 m3. Après avoir poussé le couvercle, la pression du gaz est de 1,5496×10Pa et la température de 355 K. Déterminez le pourcentage de moles de gaz qui s’est échappé du récipient lorsqu’on a déplacé le couvercle. Utilisez une valeur de 8,31 m2⋅kg/s2⋅K⋅mol pour la constante des gaz parfaits. Donnez la réponse arrondie à l’unité.

Réponse

Nous pouvons exprimer la loi des gaz parfaits en fonction du nombre de moles avec l’équation 𝑃𝑉=𝑛𝑅𝑇,𝑃 est la pression, 𝑉 est le volume, 𝑇 est la température, 𝑛 est le nombre de moles et 𝑅 est la constante des gaz parfaits.

Dans cette question, toutes les variables de l’équation changent de valeurs sauf 𝑅, nous avons donc deux équations, qui s’écrivent 𝑃𝑉=𝑛𝑅𝑇 et 𝑃𝑉=𝑛𝑅𝑇.

Ces deux équations représentent l’état du gaz dans le récipient avant qu’il soit comprimé et après qu’une partie du gaz se soit échappée.

À partir de là, nous pouvons exprimer la constante des gaz parfaits 𝑅 dans les deux équations pour avoir 𝑃𝑉𝑛𝑇=𝑅 et 𝑃𝑉𝑛𝑇=𝑅.

Nous avons donc que 𝑅=𝑃𝑉𝑛𝑇=𝑃𝑉𝑛𝑇.

Nous pouvons comparer le nombre de moles de gaz avant et après la compression en déterminant le rapport entre le nombre de moles de gaz dans le récipient après la compression 𝑛 et le nombre de moles de gaz dans le récipient avant la compression 𝑛, comme suit:𝑃𝑉𝑛𝑇=𝑃𝑉𝑛𝑇.

Il faut donc multiplier les deux côtés de l’équation par 𝑛:𝑛𝑃𝑉𝑛𝑇=𝑛𝑃𝑉𝑛𝑇, et simplifier les valeurs sur le côté droit de l’équation:𝑛𝑃𝑉𝑛𝑇=𝑃𝑉𝑇.

En mettant le rapport entre 𝑛 et 𝑛 entre parenthèses, nous obtenons 𝑛𝑛𝑃𝑉𝑇=𝑃𝑉𝑇.

En multipliant ensuite les deux côtés de l’équation par 𝑇, nous obtenons 𝑛𝑛𝑃𝑉𝑇𝑇=𝑃𝑉𝑇𝑇.

En simplifiant les valeurs sur le côté gauche de l’équation, 𝑛𝑛𝑃𝑉=𝑃𝑉𝑇𝑇.

En divisant les deux côtés de l’équation par 𝑃𝑉, 𝑛𝑛𝑃𝑉𝑃𝑉=𝑃𝑉𝑇𝑇𝑃𝑉.

En simplifiant les valeurs sur le côté droit de l’équation, 𝑛𝑛=𝑃𝑉𝑇𝑇𝑃𝑉.

Nous pouvons maintenant remplacer les valeurs connues dans l’équation que nous avons modifiée, comme cela:𝑛𝑛=1,5496×10×0,105×360355×1,5000×10×0,125𝑛𝑛=0,879998.PamKKPam

Pour obtenir le rapport en pourcentage, il faut le multiplier par 100%, ce qui donne 87,9998%. Initialement le récipient rempli de gaz contenait 100% de gaz, le pourcentage de gaz perdu est donc donné par 100%87,9998%.

En arrondissant à l’unité, nous obtenons 12%, qui est donc le pourcentage de moles de gaz qui s’est échappé du récipient lorsqu’on a déplacé le couvercle.

Résumons maintenant ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.

Points clés

  • L’expression de la loi des gaz parfaits en fonction du nombre de moles s’écrit avec l’équation 𝑃𝑉=𝑛𝑅𝑇,𝑃 est la pression, 𝑉 est le volume, 𝑇 est la température, 𝑛 est le nombre de moles et 𝑅 est la constante des gaz parfaits.
  • La constante des gaz parfaits vaut approximativement 8,31 J/K⋅mol.
  • Il n’est pas nécessaire de connaître la masse d’une molécule de gaz pour déterminer la valeurs des variables d’état lorsqu’on utilise la loi des gaz parfaits en fonction du nombre de moles.

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