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Fiche explicative de la leçon : Représentations graphiques des fonctions trigonométriques Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à représenter graphiquement des fonctions trigonométriques, telles que sinus, cosinus et tangente, et à en déduire leurs propriétés.

Commençons par examiner les angles remarquables sur le cercle trigonométrique.

On sait que les coordonnées en 𝑦 de ces points représentent les valeurs du sinus des angles correspondants. Si on utilise lesdegrés, on peut établir la table de valeurs remarquables de la fonction sin𝑥.

𝑥030456090120135150180210
sin𝑥01222321322212012

Une caractéristique clé de la fonction sin𝑥, qu’on peut remarquer en observant sa courbe représentative, est qu’elle commence par la valeur 0 lorsque 𝑥=0, et augmente jusqu’à sa valeur maximale 1 lorsque 𝑥=90. Lorsqu’on trace les points de la table de valeurs ci-dessus, on obtient la courbe représentative de sin𝑥.

Comme indiqué précédemment, la représentation graphique de sin𝑥 commence à zéro lorsque 𝑥=0, et augmente jusqu’à la valeur maximale 1 lorsque 𝑥=90.

Étant donné que 𝑥 représente l’angle sur le cercle trigonométrique, on sait que chacune de ces valeurs se répète tous les360 ou 2𝜋 radians. Cela mène à la conclusion que la fonction sin𝑥 est périodique, avec une période de360 ou 2𝜋 radians. Il est possible d’étendre la représentation graphique de sin𝑥 au-delà de l’intervalle [0,360] en créant des copies de la courbe représentative de cet intervalle. Par exemple, la représentation graphique de sin𝑥 sur l’intervalle [1080,1080] est illustré ci-dessous.

D’après ce graphique, on peut constater que sin𝑥 a des racines tous les180 à partir de0. On note également que la fonction sinus est impaire, ce qui signifie que sa courbe est symétrique par rotation autour de l’origine. Cette propriété est exprimée algébriquement comme suit:sinsin(𝑥)=𝑥, pour tout nombre réel 𝑥.

Propriétés : La fonction sinus et sa représentation graphique

La représentation graphique de la fonction sinus illustre les caractéristiques suivantes:

  • L’ordonnée à l’origine 𝑦 de sin𝑥 est égale à 0, et augmente jusqu’à la valeur maximale 1.
  • Les racines de sin𝑥 sont 180𝑛 ou 𝑛𝜋, pour tout 𝑛.
  • La valeur maximale de la fonction est 1 et sa valeur minimale est 1.
  • La fonction est périodique, avec une période de360 ou 2𝜋 radians.
  • La fonction sin𝑥 est impaire;ce qui implique que sinsin(𝑥)=𝑥.

Il est possible de représenter la fonction cosinus graphiquement en utilisant un processus similaire. On sait que les coordonnées en 𝑥 des points sur le cercle trigonométrique représentent les valeurs du cosinus des angles correspondants. On peut ainsi obtenir la table de valeurs remarquables.

𝑥030456090120135150180210
cos𝑥13222120122232132

Si on trace ces points, on peut obtenir la représentation graphique de la fonction cosinus.

Contrairement à la courbe de la fonction sinus, celle de la fonction cosinus commence à la valeur maximale 1 lorsque 𝑥=0 et diminue jusqu’à la valeur minimale 1 lorsque 𝑥=180. Comme le sinus, le cosinus est une fonction périodique avec une période de360 ou 2𝜋 radians, et on peut étendre cette courbe à un plus grand intervalle en faisant des copies de la courbe sur l’intervalle [0,360]. La représentation graphique de cos𝑥 sur l’intervalle [1080,1080] est illustré ci-dessous.

Les racines de cos𝑥 commencent à90 et se répètent tous les180. Contrairement au sinus, on peut voir que la fonction cosinus est une fonction paire, ce qui signifie qu’elle a une symétrie de réflexion par rapport à 𝑎𝑥𝑒𝑑𝑒𝑠𝑦. Algébriquement, cela signifie quecoscos(𝑥)=𝑥.

Propriétés : La fonction cosinus et sa représentation graphique

La représentation graphique de la fonction cosinus présente les caractéristiques suivantes:

  • L’ordonnée à l’origine 𝑦 de la fonction est 1, et diminue jusqu’à la valeur minimale 1.
  • Les racines de cos𝑥 sont (90+180𝑛) ou 𝜋2+𝑛𝜋, pour tout 𝑛.
  • La valeur maximale de la fonction est 1 et la valeur minimale est 1.
  • La fonction est périodique, avec une période de360 ou 2𝜋 radians.
  • La fonction cos𝑥 est paire;ce qui implique que coscos(𝑥)=𝑥.

Pour notre premier exemple, entraînons-nous à identifier la représentation graphique de la fonction cosinus en rappelant ses propriétés.

Exemple 1: Identifier la représentation graphique de la fonction cosinus

Lequel des graphiques suivants représente la fonction 𝑦=𝑥cos?

Réponse

Essayons de répondre à cette question sans faire référence à un graphique de cos𝑥 mais en utilisant plutôt notre connaissance des propriétés de la fonction cosinus. Commençons par nous focaliser sur la propriété:

  • L’ordonnée à l’origine 𝑦 de la fonction cosinus est 1, et elle diminue à la valeur minimale 1.

En particulier, cette propriété signifie quecoscos0=1,180=1.

Cette propriété est très importante pour distinguer les courbes des fonctions cosinus des courbes des fonctions sinus, car sin0=0, ce qui signifie que l’ordonnée à l’origine 𝑦 est différente. Si nous examinons les cinq graphiques donnés, nous pouvons voir que seules les options A et C ont leur ordonnée à l’origine 𝑦 en 1 (on note aussi que cos180=1 pour ces graphiques). Cela signifie que les options B, D et E ne peuvent pas être correctes.

Considérons maintenant une autre propriété utile:

  • La fonction cosinus est périodique, avec une période de360 ou 2𝜋 radians.

Rappelons qu’une fonction périodique se répète en cycles, et que la période d’une fonction correspond au temps nécessaire pour terminer un cycle complet et revenir à sa position d’origine. Nous pouvons déterminer cela en considérant le point (0;1) et de voir combien de temps il faut au graphique pour revenir à 𝑦=1, car il n’atteint que 𝑦=1 une fois par cycle. Si nous le faisons pour l’option C, nous avons

On voit que la période de ce graphique est inférieure à360 (en particulier, il est120), donc cela ne peut pas être correct.

En revanche, si l’on considère la période de l’option A, on trouve

Ici, on peut voir que la période est360;par conséquent, l’option A est la seule option restante, et doit donc être correcte.

Bien que cela ne soit pas strictement nécessaire, nous pouvons comparer ce graphique aux autres propriétés des fonctions cosinus pour voir si elles sont toutes vraies. Rappelez-vous ce qui suit:

  • Les racines de cos𝑥 sont (90+180𝑛) ou 𝜋2+𝑛𝜋, pour tout 𝑛.
  • La valeur maximale de la fonction est 1 et la valeur minimale est 1.
  • cos𝑥est une fonction paire;c’est-à-dire coscos(𝑥)=𝑥.

Pour la première propriété ici, nous devons regarder les racines du graphique (c’est-à-dire, où il coupe l’ 𝑎𝑥𝑒𝑑𝑒𝑠𝑥). La première racine positive est en90, la seconde est en270, qui est +180 plus, et la première racine négative est en 90, qui est 180 moins, ce qui indique que les racines sont bien en (90+180𝑛) pour 𝑛.

La deuxième propriété peut être vérifiée en traçant des lignes horizontales en 𝑦=1 et 𝑦=1 et en montrant que le graphique touche les deux droites mais ne les coupe pas. Nous montrons que c’est le cas ci-dessous.

Enfin, nous pouvons vérifier que le graphique est pair en vérifiant s’il est symétrique par rapport à l’ 𝑎𝑥𝑒𝑑𝑒𝑠𝑦. Comme c’est le cas, nous pouvons conclure que le graphique est une fonction paire.

En conclusion, la solution est l’option A.

Comme nous venons de le voir, il est possible d’identifier le graphique de cos𝑥 centré sur l’origine de ses caractéristiques telles que son ordonnée à l’origine 𝑦, sa périodicité, et ses valeurs maximale et minimale, et il en va de même pour sin𝑥.

Ces mêmes principes s’appliquent aux courbes de cosinus et de sinus, vues aux valeurs de 𝑥 éloignées de l’origine. En particulier, nous pouvons utiliser les propriétés de périodicité de ces fonctions (c’est-à-dire qu’elles se répètent tous les360 ou 2𝜋 radians) pour nous aider à déterminer l’emplacement des principales caractéristiques du graphique.

Dans nos deux exemples suivants, nous déterminerons laquelle des fonctions trigonométriques correspond au graphique donné, et considérons quelle partie de la représentation graphique d’une fonction trigonométrique résulte de chaque quadrant du cercle trigonométrique.

Exemple 2: Reconnaître des fonctions trigonométriques à partir de leurs représentations graphiques

Considérez les figures suivantes.

  1. Quelle fonction le graphique (a) représente-t-il?
    1. Cosinus
    2. Sinus
  2. Assignez chaque région de la courbe de la figure (a) au quadrant correspondant du cercle trigonométrique de la figure (b).

Réponse

Partie 1

Comparons les valeurs indiquées sur le graphique avec les valeurs des fonctions sinus et cosinus.

Les coordonnées des points du cercle trigonométrique sont définies par (𝜃;𝜃)cossin, 𝜃 est l’angle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre entre le rayon et le point par rapport à l’axe des 𝑎𝑥𝑒𝑑𝑒𝑠𝑥 positifs. Sur le graphique donné, on peut voir que la valeur de la fonction est égale à 0 lorsque l’angle est à 2𝜋 radians. On sait que 2𝜋 est l’équivalent d’un tour complet, ce qui ramène le point à l’axe des 𝑎𝑥𝑒𝑑𝑒𝑠𝑥 positifs.

La coordonnée du point sur le cercle trigonométrique correspondant à l’angle 2𝜋 est (1;0), ce qui nous donne quecossin2𝜋=1,2𝜋=0.

Le graphique donné indique que cette fonction est égale à 0 à 2𝜋, donc cela correspond à la fonction sinus.

Ceci qui correspond à l’option B.

Partie 2

On sait que les valeurs de la fonction sinus sont définies par les coordonnées 𝑦 des points sur le cercle trigonométrique. Pour trouver la région du cercle trigonométrique correspondant à chaque partie du graphique donné, on trace ces angles sur le cercle trigonométrique. La région A comprend les angles entre 3𝜋2 et 2𝜋. On sait que 2𝜋 est un tour complet dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Dans le cercle trigonométrique, ces angles peuvent être tracés comme ci-dessous.

Ainsi, les angles entre ces deux valeurs se situent dans le quatrième quadrant, ce qui signifie que la région A est assignée au quadrant IV.

De même, on peut tracer les angles dans la région B.

Donc, ces angles se situent sur le premier quadrant. Ainsi, a région B est assignée au quadrant I.

Considérons les autres régions.

On peut voir que la région C correspond au quadrant II, et que la région D correspond au quadrant III. En conclusion, on a les correspondances suivantes ssIVbIcIIetdIII,,,.

Considérons un autre exemple dans lequel nous allons déterminer la fonction trigonométrique représentée par un graphique donné et associer les régions du graphique à des parties du cercle trigonométrique.

Exemple 3: Reconnaître des fonctions trigonométriques à partir de leurs représentations graphiques

Considérez les figures suivantes.

  1. Quelle fonction le graphique (a) représente-t-il?
    1. Cosinus
    2. Sinus
  2. Assignez chaque région de la courbe de la figure (a) au quadrant correspondant du cercle trigonométrique de la figure (b).

Réponse

Partie 1

Comparons les valeurs indiquées sur le graphique avec les valeurs des fonctions sinus et cosinus.

Les coordonnées des points du cercle trigonométrique sont définies par (𝜃;𝜃)cossin, 𝜃 est l’angle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre du rayon au point par rapport à l’axe des 𝑎𝑥𝑒𝑑𝑒𝑠𝑥 positifs. Sur le graphique donné, on peut voir que la valeur de la fonction est égale à 0 lorsque l’angle est à 7𝜋2 radians. On sait que les angles négatifs sont des angles dans le sens des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des 𝑎𝑥𝑒𝑑𝑒𝑠𝑥 positifs. Sachant que 7𝜋2=3𝜋𝜋2, cet angle est obtenu en faisant dans le sens des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des 𝑎𝑥𝑒𝑑𝑒𝑠𝑥 positifs par 3𝜋 (un tour et demi) et un quart de tour supplémentaire dans le sens des aiguilles d’une montre.

Les coordonnées du point sur le cercle trigonométrique correspondant à l’angle 7𝜋2 sont (0;1), ce qui nous dit que cossin7𝜋2=0,7𝜋2=1.

Le graphique ci-dessous indique que cette fonction prend la valeur 0 à 7𝜋2, donc cela correspond à la fonction cosinus.

Ceci correspond à l’option A.

Partie 2

On sait que les valeurs de la fonction cosinus sont données par les coordonnées en 𝑥 des points sur le cercle trigonométrique. Pour trouver la région du cercle trigonométrique correspondant à chaque partie du graphique donné, on dessine ces angles sur le cercle trigonométrique. La région A comprend les angles entre 11𝜋2 et 5𝜋. On sait que les angles négatifs sont mesurés dans le sens des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des 𝑎𝑥𝑒𝑑𝑒𝑠𝑥 positifs et que 2𝜋 est un tour complet dans le sens des aiguilles d’une montre. On peut écrire11𝜋2=2𝜋2𝜋𝜋𝜋2.

Donc, cet angle représente deux tours et demi dans le sens des aiguilles d’une montre suivis d’un quart de tour supplémentaire. Aussi5𝜋=2𝜋2𝜋𝜋, donc cet angle représente deux tours et demi dans le sens des aiguilles d’une montre. Ces angles sont représentés ci-dessous.

Ainsi, les angles entre ces deux valeurs se situent dans le deuxième quadrant, ce qui signifie que la région A est assignée au quadrant II.

De même, on peut tracer les angles dans les autres régions.

On peut voir que la région B correspond au quadrant III, la région C correspond au quadrant IV, et la région D correspond au quadrant I. En conclusion, on a les correspondances suivantesssIIbIIIcIVetdI,,,.

Jusqu’à présent, nous avons considéré le comportement des graphiques de sin𝑥 et cos𝑥 à la fois à l’origine et loin de celle-ci. En plus des versions de base de ces fonctions, nous pouvons également considérer leur comportement lors de la multiplication par une valeur constante.

Par exemple, supposons que nous ayons la fonction𝑦=2𝑥.cos

Pour comprendre comment cela affecte le graphique de la fonction, il est utile de voir comment les valeurs maximale et minimale sont affectées. Pour une fonction cosinus standard, la valeur maximale est 1 (par exemple, lorsque cos0=1 ou cos2𝜋=1) et la valeur minimale est 1 (par exemple, quand cos𝜋=1). Si l’on considère 2𝑥cos, alors les valeurs minimale et maximale sont doublées;nous le mettons en évidence dans les graphiques ci-dessous.

Comme nous l’avons indiqué par la direction des flèches, les valeurs maximale et minimale ont augmenté et diminué respectivement, entraînant un changement de forme du graphique. Néanmoins, de nombreuses autres caractéristiques du graphique restent les mêmes:la période est toujours la même, les racines sont les mêmes et la fonction est encore paire. Il convient de garder à l’esprit ces similitudes lors de la comparaison des variations des fonctions sinus et cosinus.

Tout comme il est possible de multiplier une équation trigonométrique par 2, d’autres constantes, y compris des constantes négatives, peuvent être utilisées. Dans le prochain exemple, nous identifierons une fonction où certaines possibilités comportent des fonctions trigonométriques multipliées par une constante.

Exemple 4: Identifier la représentation graphique d’une fonction trigonométrique

Considérez le graphique ci-dessous.

Quelle fonction le graphique représente-t-il?

  1. 𝑦=𝑥cos
  2. 𝑦=2𝑥cos
  3. 𝑦=𝑥sin
  4. 𝑦=𝑥sin
  5. 𝑦=𝑥cos

Réponse

Dans cet exemple, nous avons un graphique et devons décider laquelle des options le représente. Étant donné que toutes les options incluent sin ou cos ou leurs multiples constants, nous devrions commencer par examiner les qualités de ces fonctions.

Rappelons d’abord les ordonnées à l’origine 𝑦 de sinus et de cosinus (c’est-à-dire leurs valeurs lorsque 𝑥=0). Nous avonscossin0=1,0=0.

En comparant cela au graphique donné, on voit que l’ordonnée à l’origine 𝑦 est à 0, ce qui signifie que 𝑦=𝑥cos (option A) ne peut être une option. En fait, on peut voir que cela s’applique également aux autres options qui sont des multiples de cos𝑥. En effet, pour les options B et E, nous pouvons voir que20=210=11=2,=1.coscos

C’est-à-dire qu’aucune des ordonnées à l’origine 𝑦 sont égales à 0, et comme nous savons déjà que l’ordonnée à l’origine 𝑦 est à 0, aucune de ces options ne peut être correcte.

Nous avons maintenant deux options restantes, 𝑦=𝑥sin et 𝑦=𝑥sin. Les deux options ont leur ordonnée à l’origine 𝑦 en 0, donc nous devons considérer d’autres propriétés de sin𝑥. Une chose que nous pouvons considérer en particulier est le comportement de sin𝑥 comme 𝑥 augmente de 0. Cela peut être vu en considérant un tableau de certaines des premières valeurs (dansradians).

𝑥0𝜋6𝜋4𝜋3𝜋2
sin𝑥00,522321

À partir de là, nous pouvons voir que sin𝑥 augmente de 0 à 1 lorsque 𝑥 augmente de 0 à 𝜋2. En considérant le graphique ci-dessous, nous pouvons voir que le contraire se produit;comme 𝑥 augmente de 0 à 𝜋2, la valeur du graphique va à 1. En revanche, si l’on considère certaines des premières valeurs de 𝑥sin, on peut voir ce qui suit.

𝑥0𝜋6𝜋4𝜋3𝜋2
𝑥sin00,522321

Comme on peut le voir, les entrées sont les mêmes que la première table, sauf qu’elles ont été multipliées par 1. En réalité, ce comportement correspond bien à ce que nous pouvons voir sur le graphique. En particulier, la valeur du graphique en 𝜋2 est en effet 1. Par conséquent, l’option C, 𝑦=𝑥sin, est la solution.

Dans notre dernier exemple, nous allons appliquer les transformations de fonction à la fonction sinus pour obtenir une nouvelle courbe.

Exemple 5: Déterminer la valeur maximale d’une fonction sinus donnée

Déterminez la valeur maximale de la fonction. 𝑓(𝜃)=11𝜃sin.

Réponse

On rappelle que la courbe représentative de sin𝜃 commence à 0 lorsque 𝜃=0, et oscille entre la valeur maximale 1 et la valeur minimale 1.

On sait que multiplier par une constante positive 𝑎>0 produit une dilatation verticale (étirage ou contraction) avec le facteur d’échelle 𝑎. Ici, on multiplie sin𝜃 par 11, donc la nouvelle courbe représentative de cette fonction peut être obtenu en étirant la courbe ci-dessus par un facteur de 11.

Ici, la courbe bleue représente la fonction initiale sin𝜃, et la courbe pointillée représente la fonction 11𝜃sin. Les flèches bidirectionnelles rouges indiquent la dilatation verticale. On peut voir à partir de ce graphique que la fonction 11𝜃sin oscille entre 11 et 11.

On peut également arriver à cette conclusion algébriquement. On sait que 1𝜃1.sin

Si on multiplie cette inéquation par 11, on obtient 1111𝜃11.sin

Cela nous conduit à une valeur maximale de 11.

Ainsi, la valeur maximale de 𝑓(𝜃)=11𝜃sin est 11.

Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • La courbe représentative de la fonction sinus illustre les caractéristiques suivantes:
    • L’ordonnée à l’origine 𝑦 de sin𝑥 est 0, et augmente jusqu’à la valeur maximale 1.
    • Les racines de sin𝑥 sont 180𝑛 ou 𝑛𝜋, pour tout 𝑛.
    • La valeur maximale de la fonction est 1 et sa valeur minimale est 1.
    • La fonction est périodique, avec une période de360 ou 2𝜋 radians.
    • La fonction sin𝑥 est impaire;c’est-à-dire sinsin(𝑥)=𝑥.
  • La courbe représentative de la fonction cosinus illustre les caractéristiques suivantes:
    • L’ordonnée à l’origine 𝑦 de la fonction est 1, et diminue jusqu’à la valeur minimale 1.
    • Les racines de cos𝑥 sont (90+180𝑛) ou 𝜋2+𝑛𝜋, pour tout 𝑛.
    • La valeur maximale de la fonction est 1 et sa valeur minimale est 1.
    • La fonction est périodique, avec une période de360 ou 2𝜋 radians.
    • La fonction cos𝑥est paire;c’est-à-dire coscos(𝑥)=𝑥.

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