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Fiche explicative de la leçon : Résultante des mouvements et des forces Physique

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment montrer que des déplacements dans des directions perpendiculaires peuvent être représentés par un déplacement dans une direction.

Pour décrire complètement certaines grandeurs physiques telles que les déplacements, les vitesses, les accélérations et les forces, il faut donner deux informations, la direction ainsi que la norme. Par conséquent, ces grandeurs sont généralement représentées par des vecteurs, des objets mathématiques qui ont à la fois une norme et une direction. L’utilisation de vecteurs pour représenter des quantités vectorielles nous permet d’additionner ces grandeurs de manière cohérente et aussi d’effectuer de nombreux autres calculs mathématiques utiles.

Rappelons que les vecteurs peuvent être additionnés en utilisant une méthode graphique , en mettant bout à bout les vecteurs. Voilà comment cela fonctionne:pour additionner deux vecteurs (représentés par des flèches), il faut déplacer l’un des vecteurs de sorte que son origine corresponde avec l’extrémité de l’autre vecteur. Puis, il faut tracer un nouveau vecteur en partant de l’origine du vecteur qui n’a pas bougé vers l’extrémité du vecteur qui a été déplacé. Ce nouveau vecteur est la somme des deux vecteurs initiaux

Par exemple, nous pouvons additionner les vecteurs bleu et jaune représentés sur ce graphique.

D’abord, nous déplaçons le vecteur orange de sorte que son origine corresponde avec l’extrémité du vecteur bleu.

Maintenant, nous allons tracer en rose un nouveau vecteur, allant de l’origine du vecteur immobile (le vecteur bleu) à l’extrémité du vecteur déplacé (le vecteur orange).

Ce vecteur rose est égal à la somme du vecteur bleu et du vecteur orange. On peut dire de manière équivalente qu’il s’agit de la résultante de ces deux vecteurs.

Nous pouvons exprimer algébriquement la relation entre les vecteurs bleu, orange et rose en utilisant la notation vectorielle. Appelons le vecteur bleu 𝐴, le vecteur orange 𝐵 et le vecteur rose 𝐶.

Comme nous avons montré que le vecteur rose est la somme des deux autres vecteurs, nous pouvons écrire 𝐴+𝐵=𝐶.

Nous pourrions aussi obtenir le même résultat en additionnant les vecteurs dans l’autre sens avec la méthode graphique:𝐵+𝐴=𝐶.

Nous avons donc montré que si nous additionnons un vecteur dirigé vers la droite dont la norme est 3 𝐴 et un vecteur dirigé vers le haut de norme 5 𝐵, nous obtenons un nouveau vecteur. Ce nouveau vecteur, que nous avons appelé 𝐶, est dirigé selon un certain angle (il est dirigé vers le haut et vers la droite) et sa norme (c’est-à-dire sa longueur) semble être plus grande que celles de 𝐴 ou 𝐵, mais pas aussi grande que la somme des normes des deux vecteurs. Le fait que la norme de ce vecteur ne soit pas simplement la somme des normes de 𝐴 et 𝐵 montre qu’il n’est pas possible d’additionner les vecteurs comme des nombres normaux.

Cette fiche explicative a pour objectif principal de présenter le fait que les quantités vectorielles physiques suivent les règles d’addition vectorielle. Autrement dit, des grandeurs vectorielles qui sont de même type - des forces, par exemple - peuvent être additionnées exactement de la même manière que les flèches sur notre graphique.

Cela signifie que si nous avons un force de 3 N poussant un objet vers la droite (que nous pourrions représenter avec un vecteur 𝐴) et une force de 5 N poussant le même objet vers le haut (que nous pourrions représenter avec le vecteur 𝐵), la force totale qui agit sur l’objet (en d’autres termes, la force résultante) est représentée par un vecteur 𝐶.

Regardons ensuite comment nous pouvons additionner des quantités vectorielles de manière précise sans passer par la méthode graphique.

Additionner des vecteurs avec précision repose sur le concept de composantes. Rappelons que nous utilisons des composantes pour décrire des vecteurs et donner des indications sur la manière dont ils s’étendent selon les directions horizontale et verticale. Considérons deux nouveaux vecteurs, 𝐷 et 𝐸.

Nous pouvons exprimer ces vecteurs comme la somme de leurs composantes:𝐷=3+1,𝐸=2+2.horizontalverticalhorizontalvertical

La description des quantités vectorielles en fonction de leurs composantes, selon les directions horizontale et verticale, permet de les additionner très facilement. Si nous voulons additionner les vecteurs 𝐷 et 𝐸, il suffit d’additionner leurs composantes horizontales et verticales séparément:𝐷+𝐸=(32)+(1+2)=1+3.horizontalverticalhorizontalvertical

Nous avons déterminé que le vecteur résultant créé en ajoutant 𝐷 et 𝐸 a une composante horizontale égale à 1 et une composante verticale égale à 3.

Appelons ce vecteur résultant 𝐹 et ajoutons-le à notre graphique.

Il en va de même pour les grandeurs vectorielles en physique. Par exemple, un corps soumis à une force représentée par 𝐷 et une autre force représentée par 𝐸 subirait une force résultante correspondant à 𝐹.

Méthode : Comment additionner des vecteurs en utilisant leurs composantes

Pour additionner deux vecteurs 𝐴 et 𝐵,

  • déterminer les composantes horizontales et verticales de 𝐴 et 𝐵,
  • la composante horizontale de 𝐴+𝐵 est la somme des composantes horizontales de 𝐴 et 𝐵,
  • la composante verticale de 𝐴+𝐵 est la somme des composantes verticales de 𝐴 et 𝐵.

Nous avons maintenant vu deux manières différentes d’exprimer des vecteurs:

  • Écriture avec composantes:on peut exprimer un vecteur comme la somme de ses composantes horizontales et verticales.
  • Écriture avec norme et direction:on peut exprimer un vecteur en fonction de sa norme et de sa direction.

Nous avons vu que l’écriture sous forme de composantes est utile pour additionner des vecteurs. Cependant, il est souvent plus utile et intuitif d’exprimer des quantités vectorielles en fonction de leurs normes et de leurs directions . Pour utiliser efficacement des vecteurs en physique, la dernière étape est donc de savoir passer d’une écriture à l’autre. Commençons par le passage de l’ écriture avec composantes à l’ écriture avec norme et direction.

Considérons un objet dont le vecteur vitesse en mètres par seconde (m/s) est représenté par un vecteur 𝑣. Disons que la composante horizontale de 𝑣 vaut 4 et que sa composante verticale vaut 3.

Quelle est la norme et la direction du vecteur vitesse de l’objet?

Nous pouvons déterminer ces deux éléments par géométrie. Tout d’abord, dessinons les composantes horizontale et verticale 𝑣 et 𝑣 sur notre graphique.

Et rappelons maintenant que le vecteur 𝑣 est égal à la somme de ses composantes. C’est-à-dire que 𝑣=𝑣+𝑣.

Rappelons que dans cette équation, 𝑣, 𝑣 et 𝑣 sont tous des vecteurs. Cela signifie que nous ne pouvons pas simplement additionner les normes de 𝑣 et 𝑣 pour obtenir la norme de 𝑣.

Remarquez que 𝑣 et ses composantes forment un triangle rectangle. Cela va nous permettre d’utiliser la géométrie pour calculer la norme et la direction du vecteur vitesse de l’objet. D’abord, nous pouvons calculer la norme (ou longueur) de 𝑣, 𝑣 en utilisant le théorème de Pythagore. Considérons un triangle rectangle dont l’hypoténuse a une longueur de 𝑎 et les deux autres côtés des longueurs de 𝑏 et 𝑐, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.

Ces longueurs sont reliées par l’équation 𝑎=𝑏+𝑐.

Appliquons ceci au triangle formé par le vecteur 𝑣 et ses composants, nous avons 𝑣=𝑣+𝑣,𝑣 et 𝑣 sont les normes (ou longueurs) respectives des composantes horizontale et verticale. En remplaçant les valeurs dans équation, nous avons 𝑣=4+9=16+9=25=5.

Ainsi, la norme du vecteur vitesse de l’objet, c’est-à-dire sa vitesse, est de 5 m/s.

Équation: Déterminer la norme d’un vecteur à 2 dimensions à partir de ses composantes

La norme d’un vecteur à deux dimensions 𝐴 est donnée par 𝐴=𝐴+𝐴,𝐴 et 𝐴 sont respectivement les composantes horizontale et verticale de 𝐴.

Considérons un exemple pour appliquer cette formule.

Exemple 1: Déterminer la norme de deux vecteurs de déplacement perpendiculaires

Le point 𝐴 est situé à 8 m horizontalement de la base du mur d’une maison et le point 𝐵 est situé à 6 m verticalement au-dessus de la base du mur, comme représenté sur la figure. Quelle est la norme du déplacement entre le point 𝐴 et le point 𝐵?

Réponse

L’astuce pour répondre à cette question est de penser au vecteur déplacement de 𝐴 à 𝐵. Nous pouvons appeler ce vecteur 𝐴𝐵. Il décrit l’intensité et la direction du déplacement vers le point 𝐵 depuis (ou par rapport ) au point 𝐴.

Notez que dans ce cas, les composantes horizontale et verticale de 𝐴𝐵 sont indiquées sur la figure.

En suivant la convention habituelle avec des axes pointant horizontalement vers la droite et verticalement vers le haut, nous pouvons exprimer 𝐴𝐵 comme la somme de ses composantes 𝐴𝐵=8+6.horizontalvertical

Nous pouvons calculer la norme de n’importe quel vecteur en utilisant ses composantes. La norme de tout vecteur à deux dimensions 𝑣 est donnée par 𝑣=𝑣+𝑣,𝑣 et 𝑣 sont respectivement les composantes horizontale et verticale de 𝑣.

Dans cet exemple, nous voulons déterminer la norme du vecteur 𝐴𝐵. En remplaçant les composantes dans l’équation ci-dessus, nous avons 𝐴𝐵=|8|+|6|.

Nous pouvons alors calculer les normes des composantes (en supprimant les signes moins), puis calculer la norme comme suit:𝐴𝐵=8+6=64+36=100=10.

Comme les longueurs que nous avons utilisées sont exprimées en mètres, notre réponse est aussi exprimée en mètres. Nous obtenons donc comme valeur finale une norme du vecteur déplacement entre 𝐴 et 𝐵 de 10 m.

Revenons à notre vecteur vitesse 𝑣. Maintenant que nous avons calculé sa norme, déterminons sa direction. Nous pouvons le faire en utilisant la trigonométrie.

Rappelons que pour tout triangle rectangle, il existe la relation suivante entre l’angle 𝜃, la longueur du côté opposé à cet angle, appelée O, et la longueur du côté adjacent à cet angle, appelée A:tanOA𝜃=.

Nous pouvons appliquer cette équation à notre vecteur 𝑣.

Notez que la composante horizontale 𝑣 correspond au côté adjacent à l’angle 𝜃 et la composante verticale 𝑣 au côté opposé. Cela nous donne l’équation tan𝜃=𝑣𝑣.

Pour trouver l’angle de notre vecteur vitesse par rapport à l’horizontale, il suffit d’exprimer thêta en fonction des autres termes:𝜃=𝑣𝑣.arctan

En remplaçant les valeurs des normes (ou longueurs) de 𝑣 et 𝑣 dans l’équation, nous obtenons 𝜃=34=37,87.arctan

Donc, nous savons que 𝑣 fait un angle de 37,87 en-dessous de l’axe horizontal.

Considérons un exemple d’exercice où il faut calculer la direction d’un vecteur connaissant ses composantes.

Exemple 2: Déterminer la direction d’un vecteur déplacement

Un oiseau vole en ligne droite de sorte que son déplacement soit de 450 m vers l’est et de 350 m vers le nord par rapport à son point de départ, comme indiqué sur la figure. Si l’oiseau souhaite voler directement vers le nord, de quel angle doit-il changer sa direction?Donnez la réponse arrondie au degré prés.

Réponse

Sur le graphique, la flèche bleue représente le vecteur déplacement de l’oiseau. Les flèches noires indiquant 450 m vers l’est et 350 m vers le nord correspondent respectivement aux axes horizontal et vertical. Nous voyons donc que la composante horizontale du déplacement de l’oiseau vaut 450 m vers l’est et que la composante verticale du déplacement de l’oiseau vaut 350 m vers le nord.

Commençons par représenter sur notre graphique l’angle 𝜃 qui permettrait à l’oiseau de se diriger vers le nord.

C’est l’angle que nous devons déterminer. Notez que cet angle est le même que l’angle situé entre le vecteur déplacement de l’oiseau et l’axe vertical (nord).

Cela signifie que nous cherchons en fait à déterminer l’angle de la trajectoire de l’oiseau, mesuré dans le sens des aiguilles d’une montre à partir de l’axe vertical. Nous pouvons dire de manière équivalente que nous cherchons à déterminer la direction du vecteur déplacement de l’oiseau, mesurée dans le sens des aiguilles d’une montre à partir de l’axe vertical.

Il est possible de déterminer la direction d’un vecteur en utilisant la trigonométrie. D’abord, il faut représenter le vecteur déplacement de l’oiseau et ses composantes verticale et horizontale pour former un triangle rectangle.

La longueur de l’hypoténuse est la norme du vecteur déplacement de l’oiseau, la longueur du côté adjacent à 𝜃 est la norme de la composante verticale du vecteur déplacement et la longueur du côté opposé à 𝜃 est la norme de la composante horizontale du vecteur déplacement.

Appelons respectivement ces côtés H, A et O.

Nous connaissons O et A, et nous devons calculer l’angle 𝜃. Nous pouvons le faire en utilisant la relation trigonométrique suivante:tanOA(𝜃)=.

Pour trouver l’expression de 𝜃, il faut prendre la tangente inverse des deux côtés:𝜃=.arctanOA

Maintenant, il suffit de remplacer les valeurs des longueurs O et A:𝜃=450350=97=52,13.arctanmmarctan

C’est donc l’angle duquel l’oiseau doit tourner, dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, pour se retrouver face au nord. Tout ce que nous devons faire maintenant est d’arrondir la valeur obtenue, ce qui donne 52.

Maintenant, voyons comment nous pouvons faire les choses dans l’autre sens. Nous pouvons calculer les composantes d’un vecteurà partir de sa norme et de sa direction. Considérons une force sous la forme d’un vecteur 𝐹 dont la norme est 8 N et qui agit vers la gauche avec un angle de 30 au-dessus de l’horizontale.

Représentons ce vecteur sur un graphique avec ses composantes horizontale et verticale.

Nous pouvons maintenant voir que la composante horizontale de 𝐹, 𝐹, est négative et que sa norme semble être légèrement inférieure à 7. La composante verticale, 𝐹, est positive et sa norme semble être environ égale à 4 unités.

Pour déterminer les longueurs exactes de ces composantes, nous pouvons utiliser la trigonométrie.

Rappelons que pour tout triangle rectangle, il existe deux relations trigonométriques entre l’angle 𝜃, la longueur du côté opposé à cet angle, appelée O, la longueur du côté adjacent à cet angle, appelée A, et la longueur de l’hypoténuse, appelée H:sinOHcosAH𝜃=,𝜃=..

Nous pouvons appliquer ces formules à notre vecteur force, 𝐹, pour déterminer les normes de ses composantes. Sur notre graphique, H=𝐹, O=𝐹 et A=𝐹 En remplaçant ces valeurs dans les équations trigonométriques, nous obtenons sincos𝜃=𝐹𝐹,𝜃=𝐹𝐹.

En multipliant des deux côtés de chaque équation par la norme de 𝐹 nous avons 𝐹=𝐹𝜃,𝐹=𝐹𝜃.sincos

Et maintenant, il nous reste juste à remplacer les valeurs 𝐹=8 et 𝜃=30 pour obtenir les normes des composantes selon 𝑥 et 𝑦 de 𝐹:𝐹=830𝐹=830𝐹=4,𝐹=43.sincos

Nous avons ainsi déterminé que la norme de la composante verticale de 𝐹 vaut 4 et que la norme de la composante horizontale de 𝐹 vaut 43 (ou 6,93 en arrondissant à deux décimales).

En revenant sur le graphique précédent, on peut voir que la composante verticale de 𝐹 est dirigée dans le sens positif, alors que la composante horizontale de 𝐹 est dirigée dans le sens négatif. Nous indiquons cela en utilisant des signes positifs et négatifs pour exprimer 𝐹 comme la somme de ses composantes:𝐹=43+4.horizontalvertical

Autrement dit, la force de 8 N représentée par le vecteur 𝐹 est équivalente à une force de 43N agissant vers la gauche et à une force de 4 N force agissant vers le haut. Savoir exprimer des vecteurs sous forme de composantes est essentiel pour pouvoir additionner des vecteurs.

Exemple 3: Déterminer les composantes d’un vecteur déplacement

Un géomètre parcourt un champ, comme indiqué sur la figure. Quelle est la différence entre la distance parcourue vers l’est et la distance parcourue vers le nord par le géomètre?Donnez la réponse arrondie au mètre prés.

Réponse

Sur le graphique, le vecteur déplacement du géomètre est représenté par la flèche rouge. On voit qu’il s’est déplacé de 450 m avec un angle de 30, mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre par rapport à l’est.

La question est de savoir de combien de mètres le géomètre s’est déplacé vers l’est et vers le nord. Pour cela, nous devons déterminer les composantes du déplacement dans les directions est et nord.

Commençons par considérer le triangle rectangle formé par le vecteur déplacement et ses composantes. Nous appellerons le vecteur déplacement du géomètre 𝑠 et ses composantes verticale (nord) et horizontale (est) respectivement 𝑠 et 𝑠.

Dans un triangle rectangle de côtés A et O et d’hypoténuse H, et où 𝜃 est l’angle entre le côté A et l’hypoténuse H, la longueur de A est donnée par AHcosOHsin=𝜃,=𝜃.

Dans les deux cas, H est la longueur de l’hypoténuse.

Dans notre cas, H est la norme du vecteur déplacement du géomètre 𝑠 (450 m), A est la norme de la composante horizontale de ce vecteur et O est la composante verticale du vecteur déplacement. On sait aussi que l’angle, 𝜃, vaut 30. Donc, 𝑠=45030𝑠=45030𝑠=225,𝑠=389,71.sincosmm

Nous pouvons donc voir que la composante horizontale (c’est-à-dire le déplacement dans la direction est) est plus grande que la composante verticale (c’est-à-dire le déplacement dans la direction nord). Pour déterminer quelle est la différence entre la distance parcourue vers l’est et celle parcourue vers le nord par le géomètre, il suffit de faire la différence entre ces deux composantes:389,71225=164,71.mmm

En arrondissant au mètre prés, nous avons un résultat final de 165 m.

Considérons maintenant un exemple où nous devons additionner deux vecteurs caractérisés par des angles différents. Il faut d’abord convertir ces vecteurs sous forme de composantes afin de pouvoir les additionner, puis il faut convertir de nouveau le vecteur résultant sous forme de norme et de direction.

Exemple 4: Déterminer la résultante de deux forces agissant avec des angles différents

La force 𝐹 est la résultante des deux vecteurs force représentés sur la figure. Quelle est valeur de la norme de 𝐹 arrondie au newton?

Réponse

Sur la figure, nous pouvons voir que les deux vecteurs rouges ont été mis bout à bout. Le vecteur 𝐹 va de l’origine d’un vecteur à l’extrémité de l’autre vecteur. C’est une manière graphique de montrer que le vecteur 𝐹 est égal à la somme (ou est la « résultante ») des deux vecteurs rouges.

Si on appelle le vecteur force de 70 N𝑓 et le vecteur force de 60 N𝑓, alors nous pouvons exprimer cette relation comme une équation:𝐹=𝑓+𝑓.

Afin de déterminer la norme de 𝐹, nous devons additionner 𝑓 et 𝑓. Pour faire cela, nous devons d’abord exprimer 𝑓 et 𝑓 sous forme de composantes.

Commençons par 𝑓. Nous pouvons représenter sur un graphique 𝑓 et ses composantes horizontale et verticale (représentées respectivement par les flèches bleue et rose) de sorte qu’ils forment un triangle rectangle.

Nous pouvons utiliser la trigonométrie pour exprimer la norme du côté opposé à l’angle, appelé O, et la norme du côté adjacent à l’angle, appelé A, en fonction de la norme de l’hypoténuse H et de l’angle 𝜃:OHsinAHcos=𝜃,=𝜃.

Nous savons que la norme de l’hypoténuse, H, vaut 70 N et que l’angle 𝜃 vaut 20:OsinAcosOA=7020=7020=23,94,=65,78.

Ces longueurs correspondent aux normes de nos composantes horizontale et verticale exprimées en newtons. En arrondissant ces chiffres à deux décimales près, nous pouvons exprimer la force de 70 N comme la somme de ses composantes:𝑓=65,78+23,94.horizontalvertical

Gardons cela de côté. Nous devons ensuite déterminer les composantes horizontale et verticale de la force de 60 N𝑓.

Nous pouvons encore une fois représenter les composantes horizontale et verticale de cette force sur notre graphique.

Et nous pouvons utiliser les mêmes équations trigonométriques pour déterminer les normes des composantes horizontale et verticale. Cette fois, H vaut 60 et 𝜃 vaut 70:OHsinAHcosOsinAcosOA=𝜃=𝜃=6070=6070=56,38,=20,52.

Nous pouvons donc écrire 𝑓 comme la somme de ses composantes (en arrondissant à deux décimales près) comme suit:𝑓=20,52+56,38.horizontalvertical

Nous avons donc maintenant les composantes horizontale et verticale des deux vecteurs rouges.

Le fait d’avoir trouvé les composantes de ces deux vecteurs va nous permettre de déterminer facilement les composantes de la résultante, 𝐹. Notons que la composante horizontale de 𝐹 est la somme des composantes horizontales de 𝑓 et 𝑓. De même, la composante verticale de 𝐹 est la somme des composantes verticales de 𝑓 et 𝑓:𝐹=(65,78+20,52)+(23,94+56,38).horizontalvertical

En arrondissant à deux décimales près, nous obtenons 𝐹=86,30+80,32.horizontalvertical

Maintenant que nous avons déterminé les composantes de la force résultante 𝐹, nous pouvons calculer sa norme. Rappelons que la norme de tout vecteur à deux dimensions 𝑣 est donnée par 𝑣=𝑣+𝑣,𝑣 et 𝑣 sont respectivement les composantes horizontale et verticale de 𝑣.

Dans ce cas, nous avons 𝐹=86,30+80,32=13898,99=117,89.N

En arrondissant au newton près, nous obtenons un résultat final de 118 N.

Points clés

  • Pour décrire complètement certaines grandeurs physiques telles que les déplacements, les vitesses, les accélérations et les forces, il faut donner des informations concernant la norme et la direction. Les vecteurs sont donc l’outil mathématique parfait pour décrire ces grandeurs.
  • Tout vecteur à deux dimensions 𝑣 peut être exprimé comme la somme de sa composante horizontale 𝑣 et de sa composante verticale 𝑣:𝑣=𝑣+𝑣.
  • La norme et la direction d’un vecteur peuvent être exprimées en fonction de ses composantes avec les formules suivantes 𝑣=𝑣+𝑣𝜃=𝑣𝑣.arctan
  • Si l’on connaît la norme 𝑣 d’un vecteur et l’angle 𝜃 avec lequel il agit, nous pouvons déterminer les normes de sa composante horizontale 𝑣 et de sa composante verticale 𝑣 en utilisant la trigonométrie. Dans ce cas, 𝑣=𝑣𝜃,𝑣=𝑣𝜃.cossin

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