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Fiche explicative de la leçon : Résonance dans les circuits à courant alternatif Physique

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer la fréquence de résonance de simples circuits résistifs-capacitifs-inductifs.

La figure suivante illustre un circuit contenant une résistance (R), une inductance (L) et un condensateur (C) connectés à une source de tension alternative.

La source de tension alternative alterne à une fréquence donnée, 𝑓.

L’impédance du circuit est influencée par la fréquence de la tension alternative. L’augmentation de la fréquence de la tension alternative augmente la réactance inductive et diminue la réactance capacitive (mais dans des proportions inégales). L’impédance d’un circuit dépend de la différence absolue entre la réactance inductive et la réactance capacitive de ce circuit.

L’impédance d’un circuit à courant alternatif configuré en série avec une inductance et une capacité électrique est donnée par une formule.

Formule : Impédance

L’impédance, 𝑍 , d’un circuit est donnée par 𝑍=𝑅+(𝑋𝑋),𝑅 est la résistance du circuit, 𝑋 est la réactance inductive du circuit, et 𝑋 est la réactance capacitive du circuit.

La fréquence de résonance d’un circuit correspond à la fréquence d’une tension alternative qui lui est appliquée et qui génère le courant le plus élevé dans le circuit.

Les fréquences de la tension alternative proches de la fréquence de résonance génèrent des courants dont la valeur est proche de celle du courant à la fréquence de résonance, tandis que les fréquences plus éloignées de la fréquence de résonance génèrent des courants moins intenses.

La figure suivante illustre la variation de l’intensité du courant dans un circuit en fonction de la fréquence.

D’après la formule suivante pour l’impédance, 𝑍=𝑅+(𝑋𝑋), on déduit que lorsque 𝑋𝑋=0, on a alors 𝑍=𝑅, ce qui correspond à l’impédance minimum du circuit. Le courant atteint sa valeur maximale pour cette impédance.

La valeur de la réactance capacitive est donnée par une formule.

Formule : Réactance Capacitive

La réactance capacitive, 𝑋 , d’un circuit de capacité 𝐶 dans lequel circule un courant alternatif de fréquence 𝑓 est donnée par 𝑋=12𝜋𝑓𝐶.

La valeur de la réactance inductive est donnée par une formule.

Formule : Réactivité inductive

La réactance inductive, 𝑋 , d’un circuit d’inductance 𝐿 dans lequel circule un courant alternatif de fréquence 𝑓 est donnée par 𝑋=2𝜋𝑓𝐿.

À l’impédance minimum, on a 2𝜋𝑓𝐿12𝜋𝑓𝐶=0.

Cette équation peut être réorganisée de la façon suivante:2𝜋𝑓𝐿=12𝜋𝑓𝐶2𝜋𝑓=12𝜋𝑓𝐿𝐶(2𝜋𝑓)=1𝐿𝐶2𝜋𝑓=1𝐿𝐶,𝑓 est la fréquence de résonance du circuit.

On obtient ainsi la formule de la fréquence de résonance.

Formule : fréquence de résonance

La fréquence de résonance, 𝑓 , d’un circuit d’inductance 𝐿 et de capacité 𝐶 est donnée par 2𝜋𝑓=1𝐿𝐶.

Étudions maintenant quelques exemples.

Exemple 1: Trouver la fréquence de résonance d’un circuit

Quelle est la fréquence de résonance du circuit illustré sur le schéma suivant?Donnez la réponse arrondie à une décimale près.

Réponse

La fréquence de résonance, 𝑓 , est donnée par 2𝜋𝑓=1𝐿𝐶.

En remplaçant dans l’équation les valeurs données dans le schéma, nous obtenons 2𝜋𝑓=17,5×3,5×10.HF

Arrondie à la decimale près, 𝑓 est égale à 3,1 Hz.

Exemple 2: Trouver le courant de crête dans un circuit oscillant à sa fréquence de résonance

Un circuit contenant une résistance, un condensateur et une inductance connectés en série a une fréquence de résonance de 372 Hz. La résistance vaut 440 Ω et le condensateur a une capacité électrique de 112 mF. La tension de crête aux bornes du circuit est de 28 V. Que vaut le courant de crête dans le circuit lorsque le courant alternatif dans le circuit a une fréquence de 372 Hz?Donnez la réponse arrondie à deux décimales près.

Réponse

On nous donne la fréquence de résonance du circuit comme étant de 372 Hz.

La question nous demande de calculer le courant de crête.

La différence de potentiel de crête aux bornes du circuit est donnée comme étant de 28 V. Pour pouvoir trouver le courant de crête, il faut d’abord trouver l’impédance du circuit.

L’impédance, 𝑍 , d’un circuit est donnée par 𝑍=𝑅+(𝑋𝑋),𝑅 est la résistance du circuit, 𝑋 est la réactance inductive du circuit, et 𝑋 est la réactance capacitive du circuit.

Les valeurs de 𝑋 et 𝑋 ne sont pas données. Nous pouvons trouver ces valeurs grâces aux formules de la réactance capacitive et inductive d’un circuit, 𝑋=12𝜋𝑓𝐶,𝑋=2𝜋𝑓𝐿, et la fréquence de résonance du circuit, 2𝜋𝑓=1𝐿𝐶.

Cependant, étant donné que le circuit oscille à sa fréquence de résonance, nous avons alors 𝑋𝑋=0 et, par conséquent 𝑍=𝑅.

Pour trouver le courant maximum, il suffit de diviser la différence de potentiel maximum par 𝑅:𝐼=28440.VΩ

Arrondi à deux décimales près, 𝐼 est égale à 0,06 A.

Exemple 3: Trouver la capacité d’un circuit oscillant à sa fréquence de résonance

Un circuit comportant un condensateur et une inductance en série a une fréquence de résonance de 575 kHz. L’inductance du circuit vaut 1,25 H. Quelle est la valeur de la capacité du condensateur?Donnez la réponse en notation scientifique, arrondie à deux décimales près.

Réponse

La capacité du condensateur est reliée à la fréquence de résonance du circuit, qui est donnée par 2𝜋𝑓=1𝐿𝐶,𝐿 vaut 1,25 H et 𝑓 vaut 575 kHz , soit 5,75×10Hz.

Si nous réorganisons la formule afin d’isoler 𝐶, nous obtenons:(2𝜋𝑓)=1𝐿𝐶𝐶=1(2𝜋𝑓)𝐿.

En remplaçant les valeurs connues dans la formule nous obtenons 𝐶=1(2𝜋×5,75×10)×1,25.HzH

En notation scientifique, arrondie à deux decimales près, 𝐶 est égale à 6,13×10F.

Exemple 4: Trouver la réactance inductive d’un circuit oscillant à sa fréquence de résonance

Un circuit contenant un condensateur et une inductance en série a une fréquence de résonance de 155 kHz. Le condensateur du circuit a une capacité de 215 µF. Quelle est la réactance inductive du circuit?Donnez la réponse en notation scientifique, arrondie à deux décimales près.

Réponse

La réactance inductive du circuit est donnée par 𝑋=2𝜋𝑓𝐿,𝑓 vaut 155 kHz , soit 1,55×10Hz , et 𝐿 est l’inductance.

La valeur de 𝐿 n’est pas donnée. Elle peut cependant être trouvée à partir de la fréquence de résonance du circuit, donnée par 2𝜋𝑓=1𝐿𝐶,𝐶 vaut 215 µF , soit 2,15×10F.

Si nous réorganisons la formule de la fréquence de résonance afin d’isoler 𝐿, on obtient:(2𝜋𝑓)=1𝐿𝐶𝐿=1(2𝜋𝑓)𝐶.

En remplaçant les valeurs connues dans la formule, nous obtenons 𝐿=1(2𝜋×1,55×10)×2,15×10𝐿4,9×10.HzFH

Nous pouvons maintenant remplacer cette valeur dans 𝑋=2𝜋𝑓𝐿.

En notation scientifique, arrondie à deux décimales près, 𝑋 est égale à 4,78×10Ω.

Cette question peut également être résolue en rappelant qu’à la fréquence de résonance d’un circuit, les réactances inductives et capacitives sont égales, et que nous pouvons calculer la réactance capacitive au lieu de la réactance inductive. La réactance capacitive peut être trouvée simplement à partir de la fréquence et de la capacité électrique du circuit, en réorganisant la formule 𝑋=12𝜋𝑓𝐶, puisque les valeurs de 𝑓 et 𝐶 sont toutes deux données.

Résumons maintenant ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.

Points Clés

  • La fréquence de résonance d’un circuit à courant alternatif configuré en série comportant une inductance et une capacité électrique correspond à la fréquence à laquelle une tension alternative qui lui est appliquée génère le courant le plus élevé.
  • À la fréquence de résonance d’un circuit à courant alternatif, l’impédance du circuit est égale à la résistance du circuit.
  • La fréquence de résonance, 𝑓 , d’un circuit à courant alternatif est donnée par 2𝜋𝑓=1𝐿𝐶,𝐿 est l’inductance du circuit et 𝐶 est la capacité du circuit.

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