Fiche explicative de la leçon: Angle critique pour la réflexion interne totale Physique • Deuxième année secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment relier les trajectoires des rayons lumineux réfractés et réfléchis intérieurement aux indices de réfraction des milieux dans lesquels ils se déplacent.

Les rayons lumineux se réfractent souvent, ou s’incurvent, lorsqu'ils se déplacent entre différents milieux, mais il y a certains cas où un rayon lumineux ne se transmettra pas à travers une frontière comme d'habitude. Nous allons apprendre à déterminer si ce phénomène se produira ou non en calculant l'angle critique, qui dépend de la trajectoire du rayon lumineux et des propriétés de réfraction des milieux de chaque côté de la frontière.

Lorsque nous nous référons à une frontière optique, nous parlons d'une surface qui sépare deux milieux ayant des indices de réfraction différents. L'indice de réfraction d'un milieu, , indique comment la lumière se déplace rapidement ou lentement à travers elle et, à son tour la quantité de lumière, qui s’incurve lorsqu’elle pénètre dans le milieu. Lorsqu'un rayon de lumière se déplace entre deux milieux ayant le même indice de réfraction, il n'y a pas de changement dans la trajectoire du rayon ; il n'y a donc rien de particulièrement intéressant à apprendre sur ce système. C'est pourquoi nous ne nous intéresserons qu'aux rayons lumineux qui se déplacent entre des milieux ayant des propriétés optiques différentes. Il convient de noter que, généralement, la plupart des rayons sont à la fois réfléchis et réfractés lorsqu'ils rencontrent une frontière, comme illustré ci-dessous. Toutefois, pour l'instant, nous nous concentrons uniquement sur la partie d'un rayon qui transmet et réfracte : 

En outre, nous nous intéressons à l'angle sous lequel la lumière s'approche et quitte une frontière. Rappelons que nous devons mesurer tous les angles par rapport à la normale de la surface, qui est juste perpendiculaire à la surface elle-même. Dans le schéma ci-dessous, la surface normale est représentée par la ligne en pointillés. La relation entre les indices de réfraction de deux milieux et les angles des rayons lumineux (par rapport à la normale de la surface) est définie par la loi de Snell : 

Il est courant de classer le rayon entrant et l’angle qu’il crée comme « incident », ainsi et peuvent également être appelés et , où signifie « Incident ». De même, le milieu et l’angle de l’autre côté de la limite, où le rayon est réfracté, sont souvent appelés et , où signifie « réfracté ».

Rappelons-nous que lorsqu'un rayon passe entre deux milieux ayant les mêmes propriétés optiques, la lumière se déplace simplement en ligne droite. Mais nous nous intéressons à des milieux optiquement différents dont les frontières courbent les rayons lumineux. Dans ce cas, quand un rayon se réfracte, il peut se courber soit vers la normale de la surface, soit s'en éloigner, selon les propriétés des milieux de chaque côté de la frontière. Par exemple, si est inférieur à , la loi de Snell stipule que sera supérieur à , de sorte que le rayon réfracté se courbe vers la normale, comme illustré ci-dessous à gauche. Par contre, si est supérieur à , sera inférieur à , de sorte que le rayon réfracté s’éloigne de la normale, comme illustré à droite.

Dans cette fiche explicative, nous nous concentrerons sur le cas où , où le rayon réfracté s’éloigne de la normale. Dans ce cas, l’angle de réfraction est toujours supérieure à l’angle d’incidence . Notez que plus devient grand, plus ( ) devient grand. Ceci est illustré dans le schéma ci-dessous : 

Comme tous les angles pertinents sont mesurés entre la surface et la normale à la surface, leur valeur ne peut varier qu'entre zéro et 90 degrés. Par conséquent, si nous augmentons de plus en plus l'angle incident, l'angle réfracté finira par atteindre une limite telle que . C'est un cas particulier qui ne se produit que lorsque l'angle d'incidence atteint une certaine valeur appelée angle critique. Lorsque l'angle d'incidence est égal à l'angle critique, le rayon ne transmettra plus ou ne passera plus dans le second milieu ; au lieu de cela, il ne fera que frôler la limite de la surface. Ce phénomène est illustré ci-dessous : 

Si nous rendons l’angle d’incidence encore plus grand que l’angle critique, nous débloquons le cas particulier de la réflexion interne totale. Lors de la réflexion interne totale, aucun rayon ne traverse la limite. Les rayons se réfléchissent complètement sur la surface, comme indiqué ci-dessous : 

L'angle critique définit une limite pour qu'un angle d'incidence provoque une réflexion interne totale. La mesure de l’angle critique dépend des propriétés des milieux de chaque côté de la limite du milieu. Prenons un exemple pour mieux comprendre comment sa valeur est déterminée.

Exemple 1: Dérivation de la formule de l’angle critique

Laquelle des formules suivantes illustre correctement la relation entre l’angle critique de réflexion interne totale pour un rayon lumineux, l’indice de réfraction de la substance dans laquelle la lumière se propage, et l’indice de réfraction de la substance lorsque la lumière est réfléchie par sa surface ? 

Réponse

Nous voulons déterminer une équation pour mettre en relation l'angle critique et les indices de réfraction de deux milieux différents. Pour commencer, considérons un diagramme qui montre une surface séparant deux milieux optiquement différents : 

Dans ce cas, le milieu à gauche de la frontière est l'endroit d'où le rayon sera incident, et il a un indice de réfraction . Le milieu du côté droit de la frontière a un indice de réfraction . Nous voulons trouver une relation entre ces indices de réfraction et un rayon qui est incident à l’angle critique : 

Lorsqu’un rayon lumineux est incident à l’angle critique , mesuré par rapport à la normale à la surface, le rayon ne se transmet pas et ne se réfracte pas dans l'autre milieu, mais il ne se réfléchit pas non plus dans le milieu incident. Au lieu de cela, il passe le long de la frontière, comme indiqué sur le schéma ci-dessus. Bien que le rayon ne soit pas techniquement réfractaire, on peut quand même mesurer son angle de réfraction pour être ici, qui est la valeur maximale possible.

Afin de concevoir une relation mathématique, rappelons la loi de Snell, la formule qui indique comment la lumière se réfracte entre deux milieux différents : 

On peut y ajouter des valeurs pour commencer à résoudre une relation. Puisque le rayon est incident à l'angle critique, remplaçons pour , et en outre, nous pouvons placer à l’angle de réfraction : 

Nous savons que , donc l'équation se simplifie par : 

Réorganisons l'équation pour que et soient du même côté. Pour ce faire, nous divisons les deux côtés de l’équation par  : 

Cette équation relie correctement l’angle critique aux indices de réfraction des milieux de chaque côté de la frontière de la surface, donc C est la bonne réponse.

Cet exemple illustre la relation mathématique que nous pouvons utiliser pour déterminer l'angle critique pour la réflexion interne totale, compte tenu des indices de réfraction des milieux de chaque côté de la frontière. Si nous voulons aller plus loin, nous pouvons résoudre l’angle critique en prenant le sinus inverse, ou , des deux côtés de l’équation, qui annulera l’opération sinus sur . Ainsi, nous avons : 

Définissons formellement cette relation.

Notez que, dans cette définition, nous avons utilisé la notation de et , par opposition à et , que nous avons utilisé dans le premier exemple. Il est généralement admis que « 1 » représente les quantités associées au rayon incident et que « 2 » représente les quantités associées au rayon réfracté. Faisons quelques exemples pour nous entraîner à appliquer la formule.

Rappelons que la définition de l'angle critique inclut la condition que doit être inférieur à . Pour explorer ce concept, revoyons l'exemple ci-dessus et essayons de le résoudre d'une autre manière. Nous pouvons commencer par la formule résolue pour l'angle critique : 

Pour l'instant, il suffit de saisir les valeurs de et . Rappelons que nous examinons un rayon qui voyage à travers l’eau s'approchant de la frontière de la surface de l'air. Il pourrait sembler que l'un ou l'autre des milieux peut être représenté dans l'équation avec l'une ou l'autre des valeurs de mais c'est faux car il importe de savoir quel milieu est représenté par quelle variable. Pour comprendre pourquoi, nous pouvons essayer de faire le calcul avec de l’air, plutôt que de l’eau, comme milieu incident. Dans ce cas, nous utiliserons (air) et (eau) : 

Si nous essayons de l’entrer dans une calculatrice, le résultat sera soit un message « erreur », soit un nombre imaginaire, et aucun résultat n’est utile ici. La raison pour laquelle cette expression ne peut pas être calculée de manière significative est que la fraction est supérieur à un, et il n’y a pas d’angle dont la valeur du sinus est supérieure à un. Pour cette raison, doit être supérieur à .

Pour que l'angle critique existe, nous devons avoir affaire à un rayon lumineux qui est incident dans un milieu d'indice de réfraction supérieur, s'approchant de la surface d'un milieu d'indice de réfraction inférieur. Sachant cela, nous pouvons conclure que l'angle critique doit exister dans le milieu ayant la valeur la plus élevée, qui est dans ce cas, l'eau.

Passons à un autre exemple en utilisant l'équation de l'angle critique.

Maintenant que nous avons travaillé plusieurs fois sur l'équation de l'angle critique, concentrons-nous sur un exemple qui explore plusieurs angles dans un système avec trois milieux optiquement différents.

Exemple 4: Relation Des Angles Dans Plusieurs Milieux Optiquement Différents

Le schéma montre un rayon lumineux qui est transmis du milieu I au milieu II sous un angle par rapport à la frontière entre les substances. Le rayon est totalement réfléchi intérieurement vers le milieu II à la frontière du milieu III. Pour tout angle de supérieur à , le rayon lumineux est transmis au milieu II. Détermine l’angle au degré près degré.

Réponse

Le rayon subit une réflexion interne totale à la frontière entre les milieux II et III, de sorte qu’il doit être incident sur la frontière d’un angle qui n’est pas inférieur à l’angle critique. Nous savons également que le rayon traverse cette frontière lorsqu'il est incident sur la première frontière entre les milieux I et II à un angle supérieur à , réfléchissons donc à ce que cela implique. Si l’angle de est agrandie, l’angle d’incidence à la frontière des milieux II et III est réduit. Nous savons que si cet angle est réduit, la lumière ne subira pas de réflexion interne totale ; ainsi, est fixé à une valeur spéciale de sorte que l’angle d'incidence entre les milieux II et III soit proche de l'angle critique. Comme nous connaissons les indices de réfraction des milieux de chaque côté de la frontière, nous pouvons calculer l'angle critique pour en apprendre davantage sur cette configuration. Afin de calculer l'angle critique ici, nous pouvons réarranger la formule de l'angle critique (de la loi de Snell) pour résoudre pour et introduire les valeurs et  : 

Sachant cela, nous pouvons utiliser les propriétés d'un triangle rectangle pour déterminer l'angle de réfraction lorsque le rayon passe du milieu I au milieu II. Le schéma ci-dessous permet de relier ces angles entre eux à l'aide d'un triangle rectangle, représenté en vert. Remarquons que la branche verticale du triangle vert est parallèle à la normale de la frontière entre les milieux II et III. Grâce au théorème des angles internes alternés, nous savons que l'angle interne supérieur du triangle droit, qui est l'angle de réfraction du rayon passant de la substance I à II, est congruent, ou égal, à . Ceci est illustré par le schéma ci-dessous : 

Ainsi, à cette frontière, , et en connaissant également les indices de réfraction des milieux de chaque côté de la limite, nous pouvons utiliser la loi de Snell pour résoudre l’angle d’incidence : 

Comme est complémentaire de , on peut déterminer la valeur de en utilisant .

En arrondissant au degréle plus proche, nous avons déterminé que .

Au-delà de l’utilisation des valeurs pour déterminer l’angle critique, il est important de pouvoir utiliser l’équation de l’angle critique pour résoudre différentes valeurs, telles que l’indice de réfraction d’un milieu donné. Nous allons appliquer cela dans l’exemple suivant.

Exemple 5: Calculer un indice de réfraction en utilisant l'angle critique

Les rayons lumineux traversent une couche de kérosène flottant à la surface de l’eau qui a un indice de réfraction de 1,33. Les rayons lumineux qui sont incidents sur l’interface du kérosène et de l’eau à des angles de à partir de la surface ou moins sont totalement réfléchis à l'intérieur. Quel est l’indice de réfraction du kérosène ? Donne ta réponse au centième près.

Réponse

On nous a donné la valeur d’un angle, mais il n’est pas égal à l’angle critique car il est mesuré par rapport à la surface plutôt qu’à la normale à la surface. Cependant, l’angle critique peut être facilement calculé à partir de l’angle donné car ils sont complémentaires : 

Ainsi, nous savons que . Maintenant que nous avons une valeur pour l’angle critique, et puisque nous savons que , nous avons deux des trois variables qui apparaissent dans notre équation pour l’angle critique : 

Nous pouvons réarranger cette équation pour obtenir une des valeurs de . Étant donné que le rayon lumineux se déplace du kérosène vers l’eau, nous savons que , et nous devons résoudre pour , l’indice de réfraction du kérosène. Pour ce faire, on peut multiplier les deux côtés de l’équation par  : 

Nous sommes maintenant prêts à insérer et  : 

Le kérosène a donc un indice de réfraction de 1,39.

La réflexion interne totale peut être utilisée pour expliquer certains phénomènes de la vie quotidienne que nous connaissons peut-être déjà. Par exemple, la fibre optique est l’une des applications les plus répandues du concept. Les fibres optiques sont de longs et minces brins de milieux disposés en couches autour d'un noyau central. La couche la plus interne a un indice de réfraction plus élevé que la couche environnante. La lumière est envoyée dans le brin à une extrémité, et la lumière subit une réflexion interne totale plusieurs fois lorsqu'elle se déplace dans la fibre. La lumière rebondit sur la limite entourant le noyau jusqu’à ce qu’elle émerge à l’autre extrémité. Un schéma de ce processus est illustré ci-dessous. La fibre optique a de nombreuses utilisations pratiques dans des domaines tels que la médecine et l'ingénierie - par exemple, des systèmes de longues fibres optiques ont été posés sur le fond des mers pour transporter des signaux de communication sur de grandes distances. Les fibres optiques sont même utilisées dans les jouets et la décoration en raison de leur aspect intéressant car la lumière s'échappe aux extrémités des fibres, comme le montre le schéma ci-dessous : 

Nous pouvons envisager une autre application de la réflexion interne totale qui provoque une illusion d'optique. Le mirage est un phénomène qui se produit lors des journées chaudes, au cours desquelles l'image d'un objet apparaît réfléchie par le sol, donnant ainsi l'impression qu'une masse d'eau peut refléter cette image. Cela se produit parce que lorsque le soleil chauffe une surface, comme le sable ou le pavé, l'air proche de la surface est également réchauffé. Cet air chaud a une densité et un indice de réfraction inférieurs à ceux de l’air plus froid ci-dessus, et il existe donc un angle critique entre les couches d’air. Lorsque les rayons lumineux sont incidents sur cette limite à certains angles, les rayons subissent une réflexion interne totale, qui redirige la lumière vers le haut et crée une image inversée, comme illustré ci-dessous. Cela donne l’illusion que la lumière rebondit sur une surface réfléchissante, comme l’eau : 

Terminons en résumant quelques concepts importants.