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Fiche explicative de la leçon : Équation d'une droite dans l'espace : équations cartésienne et vectorielle Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous apprendrons comment trouver les formes cartésiennes et vectorielles de l’équation d’une droite dans l’espace.

Lorsque nous considérons des équations dans l’espace, nous avons des coordonnées en trois dimensions, comme (𝑥;𝑦;𝑧), plutôt qu’en deux dimensions comme (𝑥;𝑦).

Sous forme vectorielle, on considère qu’une droite est définie par un point quelconque de la droite et une direction. Pour trouver une équation représentant une droite, 𝐷 en trois dimensions, on choisit un point, 𝑃, sur la droite et un vecteur non nul, 𝑑, parallèle à la droite, où 𝑟 est le vecteur position de 𝑃.

Puisque 𝑑 est parallèle à 𝐷, alors en ajoutant un multiple de 𝑑 à 𝑟, on obtient le vecteur position d’un point sur la droite. Ainsi, un vecteur position, 𝑟, sur la droite se trouve par le déplacement de l’origine jusqu’au point 𝑃(𝑥;𝑦;𝑧) de la droite suivant le vecteur 𝑟 puis en suivant un multiple du vecteur 𝑑.

On peut alors déterminer la forme vectorielle d’une droite comme suit.

Définition : Forme vectorielle d’une droite

Le vecteur position, 𝑟, d’un point quelconque sur une droite qui contient le point 𝑃(𝑥;𝑦;𝑧) de vecteur position 𝑟 est donné par 𝑟=𝑟+𝑡𝑑,𝑑 est un vecteur directeur de la droite et 𝑡 est un scalaire.

Nous allons maintenant voir un exemple sur la façon d’écrire une équation vectorielle d’une droite, à partir d’un point de la droite et d’un vecteur directeur.

Exemple 1: Déterminer l’équation vectorielle d’une droite étant donné un point et un vecteur directeur de cette droite

Donner l’équation vectorielle de la droite passant par le point (3;7;7) de vecteur directeur (0;5;7).

Réponse

On rappelle qu’un vecteur décrivant la droite peut s’écrire sous la forme 𝑟=𝑟+𝑡𝑑,𝑟 est le vecteur position d’un point quelconque de la droite de vecteur directeur 𝑑 et contenant un point dont le vecteur position est 𝑟. La valeur 𝑡 représente un scalaire.

On nous donne un vecteur directeur (0;5;7).

Puisque le point (3;7;7) se trouve sur la droite, on peut définir 𝑟 comme le vecteur position de ce point, (3;7;7).

Ainsi, en substituant le vecteur position 𝑟=(3;7;7) et le vecteur directeur donné par 𝑑=(0;5;7) dans l’équation vectorielle d’une droite, on obtient la solution 𝑟=(3,7,7)+𝑡(0,5,7).

On peut trouver le vecteur directeur 𝐴𝐵 d’une droite entre deux points 𝐴 et 𝐵 en soustrayant le vecteur position du point initial, 𝐴, au vecteur position du point final, 𝐵. Pour ce faire, on soustrait chacune des composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 du vecteur position de 𝐴 à celles du vecteur position de 𝐵. Voyons ceci sur un exemple.

Exemple 2: Déterminer un vecteur directeur d’une droite à partir de deux points

Déterminer un vecteur directeur de la droite passant par 𝐴(1;2;7) et 𝐵(4;1;3).

Réponse

Le vecteur directeur d’une droite est un vecteur non nul parallèle à la droite. Afin de trouver le vecteur directeur, 𝑑, de la droite passant par les points 𝐴 et 𝐵, on remarque que cette droite doit avoir la même direction que le vecteur allant de 𝐴 à 𝐵. On peut trouver ce vecteur en soustrayant chacune des composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 de 𝑂𝐴 à celles de 𝑂𝐵.

Par conséquent, nous avons 𝑑=(41,1(2),37)=(3,1,4).

On peut donner comme solution pour le vecteur directeur de la droite passant par 𝐴(1;2;7) et 𝐵(4;1;3) le vecteur (3,1,4).

On remarque que le vecteur directeur ne nous a pas été donné spécifiquement comme 𝐴𝐵;ainsi, le vecteur 𝐵𝐴=(3;1;4) aurait également été un vecteur valide. En effet, tout multiple non nul de l’un ou l’autre de ces vecteurs directeur serait correct.

On a souvent besoin de trouver le milieu d’une droite joignant deux points dans l’espace. Nous pouvons le faire en utilisant le même processus pour trois dimensions que pour une droite en deux dimensions. Déterminer la moyenne de chacune des coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧 des deux extrémités nous permet d’identifier les coordonnées du milieu d’un segment tridimensionnel.

Récapitulatif de la définition

Le milieu 𝑀 de deux points quelconques, (𝑥;𝑦;𝑧) et (𝑥;𝑦;𝑧), est donné par 𝑀=𝑥+𝑥2,𝑦+𝑦2,𝑧+𝑧2.

Nous verrons comment cette formule peut être utilisée dans la question suivante pour déterminer la médiane d’un triangle tracé dans l’espace.

Exemple 3: Déterminer l’équation vectorielle d’une médiane d’un triangle

Les points 𝐴(8;9;2), 𝐵(0;7;6) et 𝐶(8;1;4) forment un triangle. Déterminer, sous forme vectorielle, l’équation de la médiane issue de 𝐶.

Réponse

La médiane d’un triangle est un segment joignant un sommet au milieu du côté opposé. On peut considérer la représentation bidimensionnelle du milieu, 𝑀, de la médiane issue de 𝐶.

On se souvient que l’équation vectorielle d’une droite peut s’écrire sous la forme suivante:𝑟=𝑟+𝑡𝑑,𝑟 est le vecteur position d’un point général sur une droite avec un vecteur directeur 𝑑 contenant un point de vecteur position 𝑟. La valeur 𝑡 représente un scalaire.

Pour trouver la forme vectorielle de l’équation de la médiane, on peut commencer par trouver le milieu 𝑀 de 𝐴𝐵.

Le milieu 𝑀 de deux points, (𝑥;𝑦;𝑧) et (𝑥;𝑦;𝑧), est trouvé par la formule 𝑀=𝑥+𝑥2,𝑦+𝑦2,𝑧+𝑧2.

Donc, pour 𝐴(8;9;2) et 𝐵(0;7;6), nous avons 𝑀=8+02,9+(7)2,2+62.

Évaluer cela nous donne 𝑀=(4,8,2).

Le vecteur 𝐶𝑀 sera le vecteur directeur de la médiane. Pour trouver 𝐶𝑀, on soustrait les composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 de 𝑂𝐶, (8;1;4), à celles de 𝑂𝑀, (4;8;2), ce qui donne 𝐶𝑀=(4(8),8(1),2(4))=(4,7,6).

On peut maintenant appliquer la forme vectorielle de l’équation 𝑟=𝑟+𝑡𝑑,𝑡 est un scalaire, tel que 𝑟=𝑂𝐶+𝑡𝐶𝑀.

Remplaçant par 𝑂𝐶=(8;1;4) et 𝐶𝑀=(4;7;6), on obtient pour la forme vectorielle de la médiane issue de 𝐶 la solution 𝑟=(8,1,4)+𝑡(4,7,6).

Une solution alternative peut être trouvée en utilisant le vecteur directeur 𝑀𝐶 de la médiane. Dans ce cas, la forme vectorielle de l’équation utiliserait le vecteur position 𝑂𝑀 pour donner l’équation sous la forme 𝑟=𝑂𝑀+𝑡𝑀𝐶,𝑡 est un scalaire.

Remplaçant 𝑂𝑀=(4;8;2) et 𝑀𝐶=(4;7;6) donne 𝑟=(4,8,2)+𝑡(4,7,6).

Il y a un certain nombre de façons d’écrire l’équation d’une droite. On a l’équation vectorielle d’une droite écrite sous la forme 𝑟=𝑟+𝑡𝑑,𝑟 est le vecteur position d’un point général de la droite de vecteur directeur 𝑑 contenant un point au vecteur position 𝑟. La valeur 𝑡 représente un scalaire.

On peut aussi représenter le vecteur 𝑟 comme (𝑥,𝑦,𝑧) et le vecteur directeur 𝑑 comme (𝑎,𝑏,𝑐). Ainsi, on peut écrire la forme vectorielle alternativement comme 𝑟=(𝑥,𝑦,𝑧)+𝑡(𝑎,𝑏,𝑐).

Représentant 𝑟 comme (𝑥,𝑦,𝑧), et en simplifiant les composantes sur le côté droit, on peut écrire cette équation comme (𝑥,𝑦,𝑧)=(𝑥+𝑎𝑡,𝑦+𝑏𝑡,𝑧+𝑐𝑡).

Lorsque deux vecteurs sont égaux, leurs composantes sont égales. Cela signifie que nous avons 𝑥=𝑥+𝑎𝑡𝑦=𝑦+𝑏𝑡𝑧=𝑧+𝑐𝑡.

Cet ensemble d’équations nous donne les équations paramétriques de la droite. Pour trouver un point sur la droite sous cette forme, nous pouvons sélectionner une valeur de 𝑡 et la substituer dans chacune des équations.

On pourrait aussi réarranger cet ensemble d’équations pour déterminer la valeur de 𝑡 dans chaque cas, en supposant que 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont non nuls:𝑡=𝑥𝑥𝑎,𝑡=𝑦𝑦𝑏,𝑡=𝑧𝑧𝑐.

Comme la valeur de 𝑡 sera la même dans chaque équation, nous pouvons mettre ces expressions des côtés droits égales les unes aux autres:𝑥𝑥𝑎=𝑦𝑦𝑏=𝑧𝑧𝑐.

C’est l’équation cartésienne d’une droite.

Définition : Équation cartésienne d’une droite

L’équation d’une droite avec un vecteur directeur 𝑑=(𝑎,𝑏,𝑐), 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres réels non nuls, qui passe par le point (𝑥;𝑦;𝑧) est donnée par 𝑥𝑥𝑎=𝑦𝑦𝑏=𝑧𝑧𝑐.

On peut encore utiliser la forme cartésienne de l’équation d’une droite si une ou deux des variables, 𝑎, 𝑏 ou 𝑐, sont égales à 0. Par exemple, supposons que 𝑎=0 et 𝑏 et 𝑐 sont non nuls. Dans ce cas, 𝑡 n’existera pas dans l’équation paramétrique pour 𝑥, de sorte que nous ne pouvons résoudre les équations paramétriques que pour 𝑦 et 𝑧. Nous mettons celles-ci égales entre elles et écrivons l’équation paramétrique pour 𝑥;ainsi, nous avons deux équations:𝑥=𝑥,𝑦𝑦𝑏=𝑧𝑧𝑐.

Nous allons maintenant voir un exemple de transformation d’une droite donnée sous forme vectorielle en une droite donnée sous forme cartésienne.

Exemple 4: Déterminer l’équation cartésienne d’une droite donnée par son équation vectorielle

Donner l’équation cartésienne de la droite 𝑟=(3;2;2)+𝑡(4;2;4).

Réponse

Comme nous avons l’équation d’une droite sous forme vectorielle, nous pouvons observer que nous avons le vecteur position d’un point (3;2;2). On a aussi le vecteur directeur (4;2;4).

On peut utiliser le fait que l’équation d’une droite avec un vecteur directeur 𝑑=(𝑎,𝑏,𝑐), 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres réels non nuls, qui passe par le point (𝑥;𝑦;𝑧) est donnée par 𝑥𝑥𝑎=𝑦𝑦𝑏=𝑧𝑧𝑐.

On substitue ensuite les valeurs de (𝑥;𝑦;𝑧)=(3;2;2) et (𝑎,𝑏,𝑐)=(4;2;4) dans cette forme.

Cela donne 𝑥𝑥𝑎=𝑦𝑦𝑏=𝑧𝑧𝑐𝑥(3)4=𝑦(2)2=𝑧(2)4.

En simplifiant les numérateurs, la solution pour l’équation cartésienne de cette droite est la suivante:𝑥+34=𝑦+22=𝑧+24.

Dans le dernier exemple, nous pouvons voir comment nous utilisons deux points sur une droite dans l’espace pour trouver son équation cartésienne.

Exemple 5: Déterminer l’équation cartésienne d’une droite donnée par deux points

Déterminer la forme cartésienne de l’équation de la droite passant par les points (7;3;7) et (3;10;4).

Réponse

Une méthode que nous pouvons utiliser pour déterminer l’équation cartésienne d’une droite tracée dans l’espace est de la considérer de la même manière que pour la forme vectorielle;c’est-à-dire une droite décrite par un point sur la droite et un vecteur directeur.

Étant donnés les deux points 𝐴(7;3;7) et 𝐵(3;10;4), on peut trouver le vecteur directeur 𝐴𝐵 en soustrayant les composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 du vecteur position de 𝐴, à celles du vecteur position de 𝐵.

Cela nous donne 𝐴𝐵=(3,10,4)(7,3,7)=(3(7),10(3),4(7))=(4,7,3).

On peut utiliser le fait que l’équation d’une droite avec un vecteur directeur 𝑑=(𝑎,𝑏,𝑐), 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres réels non nuls, qui passe par le point (𝑥;𝑦;𝑧) est donnée par 𝑥𝑥𝑎=𝑦𝑦𝑏=𝑧𝑧𝑐.

On peut substituer les coordonnées du point (7;3;7) et les composantes du vecteur directeur (4;7;3) dans cette équation. Cela donne 𝑥(7)4=𝑦(3)7=𝑧(7)3.

En simplifiant les numérateurs, la solution pour l’équation cartésienne de cette droite est la suivante:𝑥+74=𝑦+37=𝑧+73.

Points clés

  • On peut trouver le vecteur directeur d’une droite passant par les points 𝐴 et 𝐵 en déterminant le vecteur 𝐴𝐵.
  • Le vecteur position, 𝑟, de tout point quelconque sur une droite qui contient le point 𝑃(𝑥;𝑦;𝑧) de vecteur position 𝑟, est donné par 𝑟=𝑟+𝑡𝑑,𝑑 est le vecteur directeur de la droite et 𝑡 est un scalaire.
  • La forme cartésienne d’une droite avec un vecteur directeur 𝑑=(𝑎,𝑏,𝑐), 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres réels non nuls, qui passe par le point (𝑥;𝑦;𝑧) est donnée par 𝑥𝑥𝑎=𝑦𝑦𝑏=𝑧𝑧𝑐.
  • Si un nombre parmi 𝑎, 𝑏 et 𝑐 est égale à 0 et les autres deux sont non-nuls (par exemple, si seulement 𝑎=0), alors il y a deux équations dans la forme cartésienne:𝑥=𝑥,𝑦𝑦𝑏=𝑧𝑧𝑐.

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