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Fiche explicative de la leçon : Représenter graphiquement des fonctions du second degré simples Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment représenter graphiquement et interpréter des fonctions du second degré de la forme 𝑦=𝑘𝑥+𝑐.

Le mot quadratus est latin et signifie « carré ». Il est l’origine du terme mathématique quadratique qui décrit quelque chose qui se rapporte aux carrés, à mettre au carré ou aux équations impliquant des termes où la variable est élevée à la puissance 2.

En particulier, une fonction du second degré, ou quadratique, est une fonction de la forme 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐, 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres réels et 𝑎0. Dans cette fiche explicative, nous nous allons principalement nous concentrer sur les fonctions pour lesquelles 𝑏=0, c’est-à-dire de la forme 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑐.

En gardant cela à l’esprit, rappelons comment étudier des fonctions.

Définition : Fonctions et tableaux de valeurs

Lorsqu’une relation associe exactement une image à chaque antécédent, on l’appelle une fonction. Comme 𝑥 est la variable de la fonction, l’image d’un nombre par la fonction peut être trouvée en substituant ce nombre à la variable 𝑥 dans l’expression de la fonction. Nous pouvons répéter cette opération autant de fois que nous le souhaitons et organiser les résultats dans un tableau de valeurs.

𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)

Pour créer un tableau de valeurs pour une fonction de la forme 𝑦=𝑘𝑥+𝑐, on substitue des valeurs de 𝑥 dans l’expression de la fonction et on calcule le résultat. On peut ensuite tracer les couples résultants sur un repère.

Dans le premier exemple, nous allons détailler cette méthode.

Exemple 1: Compléter un tableau de valeurs pour une fonction du second degré simple

Ceci est un tableau de valeurs pour la fonction d'expression 𝑓(𝑥)=𝑥+2. Complétez-le en calculant les valeurs de 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑.

𝑥21012
𝑓(𝑥)𝑎𝑏2𝑐𝑑

Réponse

On rappelle que pour compléter un tableau de valeurs pour une fonction de la forme 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑐, on substitue chaque valeur de 𝑥 dans l'expression de la fonction.

Ainsi, pour calculer la valeur de 𝑎, on substitue 𝑥=2 dans la fonction d’expression 𝑓(𝑥)=𝑥+2:𝑎=𝑓(2)=(2)+2=4+2=6.

Pour calculer ensuite la valeur de 𝑏, on pose 𝑥=1:𝑏=𝑓(1)=(1)+2=1+2=3.

Pour calculer la valeur de 𝑐, on pose 𝑥=1:𝑐=𝑓(1)=1+2=1+2=3.

Enfin, on substitue 𝑥=2 pour déterminer la valeur de 𝑑:𝑑=𝑓(2)=2+2=4+2=6.

Vérifions notre méthode en calculant 𝑓(0) et en vérifiant que notre méthode donne bien la valeur 2:𝑓(0)=0+2=0+2=2.

Comme la valeur de 𝑓(0) correspond à la valeur du tableau, nous pouvons être assez confiants sur notre méthode. Le tableau des valeurs est alors le suivant:

𝑥21012
𝑓(𝑥)63236

Par conséquent, les valeurs correctes sont 𝑎=6, 𝑏=3, 𝑐=3 et 𝑑=6.

Commençons par tracer les couples de coordonnées sur le graphique ci-dessous.

Comme les valeurs pour la fonction ne varient pas linéairement, nous ne joignons pas ces points par une droite. En fait, pour les fonctions polynomiales d’ordre supérieur ou égal à deux, les points doivent être reliés par une courbe.

Nous obtenons une courbe symétrique, appelée parabole. Dans le cas particulier des fonctions du second degré de la forme 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑐, l’axe de symétrie est en fait l’axe des ordonnées 𝑦, ou la droite 𝑥=0. Ce n’est pas forcément le cas des fonctions du second degré plus compliquées de la forme 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐, bien que l’axe de symétrie passe toujours par le sommet (extremum) de sa représentation graphique. Notez que pour des fonctions du second degré simples, on retrouve la symétrie de la courbe dans les tableaux de valeurs, ce qui nous donne un moyen de vérifier nos résultats.

Dans le prochain exemple, nous allons montrer comment compléter un tableau de valeurs pour une fonction du second degré puis identifier sa représentation graphique.

Exemple 2: Compléter le tableau de valeurs d’une fonction du second degré simple et identifier sa représentation graphique

  1. Complétez le tableau de valeurs suivant pour 𝑓(𝑥)=22𝑥 en déterminant les valeurs de 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑.
    𝑥21012
    𝑓(𝑥)𝑎𝑏𝑐𝑑6
  2. Quelle figure correspond à la représentation graphique de la fonction d’expression 𝑓(𝑥)?

Réponse

Partie 1

On rappelle que pour compléter un tableau de valeurs pour une fonction de la forme 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑐, on substitue chaque valeur de 𝑥 dans l’expression de la fonction. L’expression 𝑓(𝑥)=22𝑥 peut sembler légèrement différente, mais il s’agit bien de la même forme avec les termes dans un ordre différent.

On définit d’abord 𝑥=2 pour déterminer la valeur de 𝑎, sans oublier d’appliquer l’ordre des opérations:𝑎=𝑓(2)=22(2)=22×4=28=6.

Ensuite, en définissant 𝑥=1, 𝑏=𝑓(1)=22(1)=22×1=22=0.

On trouve la valeur de 𝑐 en substituant 𝑥=0:𝑐=𝑓(0)=22(0)=22×0=20=2.

Enfin, on trouve 𝑑 en calculant 𝑓(1):𝑑=𝑓(1)=22(1)=22×1=22=0.

Le tableau des valeurs de 𝑓(𝑥)=22𝑥 est le suivant.

𝑥21012
𝑓(𝑥)60206

Par conséquent, 𝑎=6, 𝑏=0, 𝑐=2 et 𝑑=0.

Partie 2

Pour identifier la représentation graphique de la fonction d’expression 𝑓(𝑥), nous pouvons écrire les valeurs du tableau comme une liste de couples de la forme (𝑥;𝑓(𝑥)).

Ils sont (2;6), (1;0), (0;2), (1;0) et (2;6). La représentation graphique de la fonction d’expression 𝑓(𝑥) sera une courbe passant par tous ces points.

Il s’agit de la figure A.

Dans cet exemple, la fonction 𝑓(𝑥)=22𝑥 a généré une parabole « inversée » ou vers le bas. Comparons-la avec la représentation graphique de la fonction d’expression 𝑔(𝑥)=2+2𝑥.

Bien que les représentations graphiques de ces fonctions partagent la même ordonnée 𝑦 à l’origine, la parabole est en forme de « n » lorsque le coefficient de 𝑥 est négatif et en forme de « u » lorsque le coefficient de 𝑥 est positif. Cela signifie que le sommet de la fonction d’expression 𝑓(𝑥) correspond à la valeur maximale pour la fonction, tandis que le sommet de la fonction d’expression 𝑔(𝑥) est son minimum.

Montrons cela dans un autre exemple.

Exemple 3: Identifier la représentation graphique d’une fonction du second degré simple

Laquelle des représentations graphiques suivantes correspond à la fonction du second degré d’expression 𝑓(𝑥)=𝑥+0,5 sur l’intervalle [2;2]?

Réponse

Pour tracer la représentation graphique d’une fonction d’expression 𝑓(𝑥), nous pouvons commencer par construire un tableau listant les valeurs de 𝑥 et 𝑓(𝑥). Comme chaque courbe est tracée sur l’intervalle 2𝑥2, nous calculons les valeurs de 𝑓(𝑥) sur cet intervalle.

𝑥21012
𝑓(𝑥)

Pour trouver la première valeur de la deuxième ligne de ce tableau, on calcule 𝑓(2) en substituant 𝑥=2 dans l’expression 𝑥+0,5:𝑓(2)=(2)+0,5=4+0,5=4,5.

On calcule ensuite 𝑓(1) en substituant 𝑥=1:𝑓(1)=(1)+0,5=1+0,5=1,5.

En continuant comme cela, 𝑓(0)=0+0,5=0,5,𝑓(1)=1+0,5=1,5,𝑓(2)=2+0,5=4,5.

Le tableau de valeurs de 𝑓(𝑥)=𝑥+0,5 est donc le suivant.

𝑥21012
𝑓(𝑥)4, 51, 50, 51, 54, 5

Les couples que nous allons tracer dans un repère sont (2;4,5), (1;1,5), (0;0,5), (1;1,5) et (2;4,5). Comme ils satisfont à une fonction du second degré, nous allons les relier par une courbe, comme ci-dessous.

Il s’agit de la représentation graphique B.

Jusqu’à présent, nous avons tracé la représentation graphique d’une fonction du second degré de la forme 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑐 en utilisant des tableaux pour créer des couples (𝑥;𝑓(𝑥)). Nous avons vu que les courbes représentatives de ces fonctions sont des paraboles qui ont un axe de symétrie et que, dans le cas particulier des fonctions du second degré de la forme 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑐, l’axe de symétrie est l’axe des 𝑥=0.

Nous pouvons en déduire une autre propriété de ces fonctions. On rappelle que l’on peut calculer l’ordonnée 𝑦 à l’origine d’une fonction d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) en substituant 𝑥=0 et en évaluant l’expression résultante:𝑓(0)=𝑘×0+𝑐=𝑐.

Par conséquent, l’ordonnée 𝑦 à l’origine de la représentation graphique de la fonction d’expression 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑐 est égale à 𝑐, le point a pour coordonnées (0;𝑐). Pour les équations de cette forme, l’ordonnée 𝑦 à l’origine est également la position du sommet de la parabole. Cela n’est généralement pas vrai pour des fonctions du second degré plus compliquées.

Dans le prochain exemple, nous allons montrer comment utiliser ces propriétés pour identifier la représentation graphique d’une fonction du second degré.

Exemple 4: Identifier les représentations graphiques de fonctions du second degré simples et étudier leurs différences

  1. Quelle représentation graphique correspond à la fonction du second degré d’expression 𝑓(𝑥)=𝑥+3?
  2. Quelle représentation graphique correspond à la fonction du second degré d’expression 𝑓(𝑥)=𝑥+4?
  3. Laquelle des affirmations suivantes à propos des deux représentations graphiques est vraie?
    1. Les deux courbes ont la même forme mais la deuxième est une translation verticale de la première.
    2. Les deux courbes ont la même forme mais la seconde est une translation horizontale de la première.
    3. La première courbe est une dilatation de la deuxième courbe.
    4. Les deux courbes sont identiques.
    5. Une des courbes est obtenue en pivotant l’autre de 90 par rapport à l’origine.

Réponse

Partie 1

On rappelle que les représentations graphiques des fonctions d’expressions de la forme 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑐 sont des paraboles qui ont pour axe de symétrie la droite d’équation 𝑥=0. L’ordonnée 𝑦 à l’origine de la représentation graphique pour 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑐 est 𝑐. Par conséquent, la représentation graphique de la fonction d’expression 𝑓(𝑥)=𝑥+3 est une parabole avec 𝑥=0 comme axe de symétrie et une ordonnée 𝑦 à l’origine de 3. La seule représentation graphique avec une ordonnée 𝑦 à l’origine de 3 est la courbe D.

Nous pouvons vérifier cette réponse en calculant les coordonnées de quelques points sur la courbe représentative. Calculons par exemple 𝑓(1) et 𝑓(2):𝑓(1)=(1)+3=4,𝑓(2)=2+3=7.

Les points (1;4) et (2;7) doivent donc se situer sur la courbe représentative de la fonction d’expression 𝑓(𝑥)=𝑥+3.

La courbe qui satisfait à ces critères est la D.

Partie 2

La représentation graphique de la fonction d’expression 𝑓(𝑥)=𝑥+4 est une parabole dont l’axe de symétrie est 𝑥=0 et l’ordonnée 𝑦 à l’origine est 4. La seule représentation graphique qui satisfait à ces critères est la C. Vérifions cela en calculant les coordonnées de certains points sur la courbe;nous pouvons par exemple calculer 𝑓(2) et 𝑓(1):𝑓(2)=(2)+4=8,𝑓(1)=1+4=5.

Les points (2;8) et (1;5) se situent sur la courbe représentant la fonction d’expression 𝑓(𝑥)=𝑥+4.

Il s’agit donc de la courbe C.

Partie 3

Nous pouvons répondre à cette question en appliquant les propriétés des courbes de la forme 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑐 à nos fonctions. Redéfinissons-les par 𝑓(𝑥)=𝑥+3 et 𝑓(𝑥)=𝑥+4. Leurs courbes représentatives sont des paraboles symétriques avec un axe de symétrie pour 𝑥=0 et des ordonnées 𝑦 à l’origine respectives de 3 et 4. Nous observons que les courbes représentatives des fonctions d’expressions 𝑓(𝑥)=𝑥+3 et 𝑓(𝑥)=𝑥+4 ont la même forme générale mais des ordonnées 𝑦 à l’origine différentes.

Par conséquent, la réponse est A. Les deux représentations graphiques ont la même forme, mais la deuxième est une translation verticale de la première.

Dans l’exemple précédent, nous avons vu l’effet de la variation de la constante 𝑐 dans l’équation 𝑦=𝑘𝑥+𝑐. Les variations de 𝑐 entraînent des translations verticales de la fonction vers le haut ou vers le bas. Par exemple, augmenter 𝑐 d’une unité entraînera une translation verticale de l’ensemble de la représentation graphique vers le haut de facteur égal à 1, tandis que diminuer 𝑐 de 1 entraînerait une translation verticale de l’ensemble de la représentation graphique vers le bas.

Que se passe-t-il alors si 𝑘 varie?La première chose à noter, comme nous l’avons rappelé dans notre commentaire à la suite de l’exemple 2, est que le signe de 𝑘 affecte la forme de la parabole:un 𝑘 positif se traduit par une courbe qui ressemble à un « u » et un 𝑘 négatif se traduit par une courbe qui ressemble à un « n ». Si nous prenons la valeur de 𝑘 entre les deux, c’est-à-dire lorsque 𝑘=0, nous obtenons la fonction constante d’équation 𝑦=𝑐. Pour indication, traçons les courbes représentatives de 𝑦=𝑘𝑥+1 pour des valeurs de 𝑘 égales à 2, 0 et 2.

Si nous envisageons maintenant d’autres valeurs de 𝑘, en commençant par celles se situant entre 2 et 0, nous aurons une idée plus précise de l’effet de la variation de 𝑘 sur la représentation graphique de la fonction du second degré.

Traçons la représentation graphique de la fonction d’expression 𝑦=𝑥+1.

Ici, nous pouvons voir que la parabole ressemble toujours à un « n » dont le sommet a pour coordonnées (0;1), mais la pente de la représentation graphique de chaque côté du sommet varie plus lentement que celle de la fonction d’équation 𝑦=2𝑥+1. Visuellement, nous pouvons voir que la largeur de la courbe en « n » augmente lorsque la valeur de 𝑘 augmente de 2 à 1. Si la valeur de 𝑘 augmentait encore de 1 à 0,5, nous pourrions voir que la largeur de la représentation graphique augmenterait encore.

Ce comportement continue de manière similaire pour des valeurs positives de 𝑘 mais une augmentation de la valeur de 𝑘 conduirait dans ce cas à une parabole dont les pentes de chaque côté du sommet changent plus rapidement, c’est-à-dire une courbe en « u » qui devient de plus en plus étroite.

En résumé, nous pouvons conclure que plus la valeur absolue de 𝑘 est élevée, plus la pente de la parabole augmente ou diminue rapidement.

Dans le dernier exemple, nous allons montrer comment identifier l’expression d’une fonction du second degré d’équation 𝑦=𝑘𝑥+𝑐 à partir de sa représentation graphique.

Exemple 5: Déterminer l’expression d’une fonction du second degré à partir de représentation graphique

Laquelle des expressions suivantes est celle de la fonction représentée sur le graphique?

  1. 𝑓(𝑥)=𝑥+8
  2. 𝑓(𝑥)=𝑥8
  3. 𝑓(𝑥)=𝑥8
  4. 𝑓(𝑥)=𝑥+8
  5. 𝑓(𝑥)=𝑥8

Réponse

Nous commençons par observer la forme générale de la représentation graphique. C’est une parabole, ce qui signifie qu’il s’agit de la représentation graphique d’une fonction du second degré et qu’elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées 𝑦. Son expression est alors de la forme 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑐, 𝑘0. Nous devons donc identifier les valeurs de 𝑘 et 𝑐.

Comme nous pouvons trouver la valeur de l’ordonnée 𝑦 à l’origine en calculant 𝑓(0) et que l’ordonnée 𝑦 à l’origine de la courbe est 8, 𝑓(0)=𝑘×0+𝑐=𝑐=8.

Par conséquent, 𝑐=8, ce qui signifie que la fonction peut être écrite à l’aide de l’expression 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥8. Nous pouvons ensuite calculer la valeur de 𝑘 en choisissant un point situé sur la courbe. On choisit (3;1). Cela nous indique que 𝑓(3)=1. En substituant cette égalité pour 𝑓(3), on peut écrire et résoudre une équation d’inconnue 𝑘:1=𝑘×381=9𝑘89𝑘=9𝑘=1.

En fait, nous aurions pu nous attendre à ce que 𝑘>0 car la parabole est en forme de « u » .

L’équation de la courbe est donc 𝑓(𝑥)=𝑥8, ce qui correspond à la réponse B.

Nous allons maintenant terminer par récapituler les concepts clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • Pour créer un tableau de valeurs pour une fonction, on substitue certaines valeurs de 𝑥 dans l’expression de la fonction. Nous pouvons ensuite tracer les couples résultants dans un repère.
  • Les courbes représentant des fonctions du second degré sont symétriques par rapport à une droite verticale qui passe par leur sommet.
  • La forme d’une courbe représentative d’une fonction du second degré s’appelle une parabole. Lorsque le coefficient de 𝑥 est positif, la courbe est en forme de « u » et lorsqu’il est négatif, la courbe est en forme de « n ». La valeur absolue du coefficient de 𝑥 affecte la vitesse à laquelle la pente de la parabole augmente ou diminue.
  • Les représentations graphiques des fonctions de la forme 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑐 sont des paraboles symétriques avec un axe de symétrie d’équation 𝑥=0.
  • L’ordonnée 𝑦 à l’origine de la courbe représentant une fonction de la forme 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑐 est située à son sommet et a les coordonnées (0;𝑐). Par conséquent, augmenter ou diminuer la valeur de 𝑐 entraîne une translation verticale de la parabole vers le haut ou vers le bas.

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