Hoja de actividades: Raíces arbitrarias de números complejos

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo usar la fórmula de Moivre para hallar las raíces enésimas de un número complejo y explorar sus propiedades.

P1:

Determina las raΓ­ces cuadradas de 𝑧 sabiendo que 𝑧=βˆ’8𝑖.

  • A{1,βˆ’1}
  • B{𝑖,βˆ’π‘–}
  • C√32+12𝑖,βˆ’βˆš32βˆ’12𝑖
  • D{2βˆ’2𝑖,βˆ’2+2𝑖}
  • E1√2βˆ’1√2𝑖,βˆ’1√2+1√2𝑖

P2:

Sabiendo que 𝑧=βˆ’8𝑖, determina las raΓ­ces cuadradas de 𝑧 sin convertirlo primero a forma trigonomΓ©trica.

  • A{1,βˆ’1}
  • Bο―βˆ’12+√32𝑖,12βˆ’βˆš32𝑖
  • C{𝑖,βˆ’π‘–}
  • D1√2βˆ’1√2𝑖,βˆ’1√2+1√2𝑖
  • E{2βˆ’2𝑖,βˆ’2+2𝑖}

P3:

Determina el conjunto de soluciones de la ecuaciΓ³n 𝑧=2+2√3π‘–οŠ¨ en β„‚.

  • A√3βˆ’π‘–,βˆ’βˆš3+𝑖
  • B√32+12𝑖,βˆ’βˆš32βˆ’12𝑖
  • Cο―βˆ’βˆš32+12𝑖,√32βˆ’12𝑖
  • D√3+𝑖,βˆ’βˆš3βˆ’π‘–ο·

P4:

Sabiendo que 𝑧=βˆ’28+96𝑖, determina las raΓ­ces cuadradas de 𝑧 sin convertirlo primero a la forma trigonomΓ©trica.

  • Aο€Όβˆ’725+2425π‘–οˆ,βˆ’ο€Όβˆ’725+2425π‘–οˆ
  • B(6+8𝑖),βˆ’(6+8𝑖)
  • C(8+6𝑖),βˆ’(8+6𝑖)
  • Dο€Ό2425βˆ’725π‘–οˆ,βˆ’ο€Ό2425βˆ’725π‘–οˆ
  • Eο€Όβˆš2βˆ’12π‘–οˆ,βˆ’ο€Όβˆš2βˆ’12π‘–οˆ

P5:

Sin convertir 𝑧 a forma trigonomΓ©trica, determina las raΓ­ces cuadradas de 𝑧, donde 𝑧=βˆ’8+2𝑖1+4𝑖.

  • A𝑖, βˆ’π‘–
  • B1βˆ’π‘–, 1+𝑖
  • C1, βˆ’1
  • D1+𝑖, βˆ’1βˆ’π‘–

P6:

Determina las dos raΓ­ces cuadradas de 2(βˆ’7βˆ’7𝑖)βˆ’7+7𝑖 sin convertirlo primero a la forma trigonomΓ©trica.

  • AΒ±(1βˆ’π‘–)
  • BΒ±(1+𝑖)
  • CΒ±1
  • DΒ±ο€Ώ1√2βˆ’βˆš3𝑖
  • E±𝑖

P7:

Halla las raΓ­ces cuadradas de βˆ’181βˆ’βˆš3𝑖 y expresa las respuestas en forma trigonomΓ©trica.

  • A3(30+𝑖30)cossen∘∘, 3(210+𝑖210)cossen∘∘
  • B3(60+𝑖60)cossen∘∘, 3(210+𝑖210)cossen∘∘
  • C9(30+𝑖30)cossen∘∘, 9(210+𝑖210)cossen∘∘
  • D(30+𝑖30)cossen∘∘, (210+𝑖210)cossen∘∘
  • E3(30+𝑖30)cossen∘∘, 3(150+𝑖150)cossen∘∘

P8:

Sabiendo que π‘₯=7βˆ’9𝑖4βˆ’2π‘–βˆ’βˆ’8βˆ’5π‘–βˆ’1+3𝑖, halla las dos raΓ­ces cuadradas de π‘₯ sin expresar primero π‘₯ en forma trigonomΓ©trica.

  • AΒ±(2βˆ’π‘–)
  • BΒ±ο€Ώβˆš32βˆ’1√2𝑖
  • CΒ±ο€Όβˆ’45+35π‘–οˆ
  • DΒ±ο€Ό35βˆ’45π‘–οˆ
  • EΒ±(βˆ’1βˆ’2𝑖)

P9:

Sabiendo que π‘₯=3+4𝑖, calcula π‘₯.

  • AΒ±ο€Ό45+35π‘–οˆ
  • BΒ±ο€½1+2𝑖3
  • CΒ±(2+𝑖)
  • DΒ±ο€Ώβˆ’1√2+1√2𝑖
  • EΒ±ο€½2βˆ’π‘–5

P10:

Sabiendo que π‘₯+𝑦𝑖=ο€½4+2𝑖1βˆ’2π‘–ο‰οŽ οŽ‘, halla los posibles valores reales de π‘₯ y 𝑦.

  • A{(βˆ’3,βˆ’4),(3,4)}
  • Bο¬ο€Όβˆ’βˆš3,βˆ’12,ο€Όβˆš3,12
  • C14,βˆ’1,ο€Όβˆ’14,1
  • D{(0,2),(0,βˆ’2)}
  • E{(1,1),(βˆ’1,βˆ’1)}

P11:

Halla las dos raΓ­ces cuadradas de π‘₯=8+π‘–βˆ’1βˆ’2𝑖+βˆ’9+2π‘–βˆ’4βˆ’π‘– en β„‚, sin expresar π‘₯ primero en la forma trigonomΓ©trica.

  • AΒ±(1+𝑖)
  • BΒ±(1βˆ’π‘–)
  • C±𝑖
  • DΒ±1

P12:

Usa la fΓ³rmula de Moivre para hallar las dos raΓ­ces cuadradas de 16ο€Ό5πœ‹3βˆ’π‘–5πœ‹3cossen.

  • AΒ±ο€»2√3+2𝑖
  • BΒ±ο€Ώβˆš32+12𝑖
  • CΒ±ο€Ώ12βˆ’1√2𝑖
  • DΒ±4𝑖

P13:

Halla las raΓ­ces cΓΊbicas de 64, y expresa las respuestas en forma trigonomΓ©trica.

  • A𝑧=4, 𝑧=4ο€Όο€Ό4πœ‹3οˆβˆ’π‘–ο€Ό4πœ‹3sencos, 𝑧=4ο€Όο€Όβˆ’4πœ‹3οˆβˆ’π‘–ο€Όβˆ’4πœ‹3sencos
  • B𝑧=8, 𝑧=8ο€Όο€Ό4πœ‹3οˆβˆ’π‘–ο€Ό4πœ‹3sencos, 𝑧=8ο€Όο€Όβˆ’4πœ‹3οˆβˆ’π‘–ο€Όβˆ’4πœ‹3sencos
  • C𝑧=8, 𝑧=8ο€Όο€Ό2πœ‹3+𝑖2πœ‹3cossen, 𝑧=8ο€Όο€Όβˆ’2πœ‹3+π‘–ο€Όβˆ’2πœ‹3cossen
  • D𝑧=4, 𝑧=4ο€Όο€Ό2πœ‹3+𝑖2πœ‹3cossen, 𝑧=4ο€Όο€Όβˆ’2πœ‹3+π‘–ο€Όβˆ’2πœ‹3cossen

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