Hoja de actividades: Hallar la matriz de un giro combinado con una simetría axial

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo hallar la matriz de una transformación lineal obtenida combinando un giro y una simetría con respecto al eje X o el eje Y.

P1:

Halla la matriz, respecto a la base estándar, que representa la transformación lineal que rota cada vector de en un ángulo de 𝜋3 y luego los refleja respecto al eje 𝑦.

  • A12323212
  • B12323212
  • C12323212
  • D32121232
  • E32123212

P2:

Cierta transformación lineal consiste en una reflexión de cada vector de respecto al eje 𝑦, seguida de una rotación del vector resultante en un ángulo de 𝜋4. Halla la matriz asociada a esta transformación lineal.

  • A22222222
  • B22222222
  • C220022
  • D22222222
  • E22222222

P3:

Cierta transformación lineal está formada por una rotación de cada vector de en un ángulo de 𝜋6, luego una reflexión del vector resultante respecto al eje 𝑋, y finalmente una reflexión de este vector respecto al eje 𝑌. Halla la matriz asociada a esta transformación lineal.

  • A32121232
  • B32121232
  • C32121232
  • D320032
  • E32121232

P4:

Cierta transformación lineal consiste en una rotación de cada vector de en un ángulo de 2𝜋3, y luego una reflexión del vector resultante respecto al eje 𝑥. Halla la matriz asociada a esta transformación lineal.

  • A12323212
  • B120012
  • C12323212
  • D12323212
  • E12323212

P5:

Sobre cada vector de una transformación lineal se consigue realizando primero una simetría axial respecto al eje 𝑌, y girando seguidamente un ángulo de 𝜋6 alrededor del origen de coordenadas el vector resultante. Determina la matriz de esta transformación lineal.

  • A32121232
  • B32121232
  • C320032
  • D32121232
  • E32121232

P6:

Cierta transformación lineal consiste en una rotación de cada vector de en un ángulo de 𝜋3, y luego una reflexión del vector resultante respecto al eje 𝑥. Halla la matriz asociada a esta transformación lineal.

  • A120012
  • B12323212
  • C12323212
  • D12323212
  • E12323212

P7:

Cierta transformación lineal consiste en una reflexión de cada vector de respecto al eje 𝑥 y luego una rotación del vector resultante en un ángulo de 𝜋6. Halla la matriz asociada a esta transformación lineal.

  • A32121232
  • B32121232
  • C32121232
  • D320032
  • E32121232

P8:

Cierta transformación lineal consiste en una reflexión de cada vector de respecto al eje 𝑋, y luego una rotación del vector resultante en un ángulo de 𝜋4. Halla la matriz de esta transformación lineal.

  • A22222222
  • B220022
  • C22222222
  • D22222222
  • E22222222

P9:

Sea 𝐴 una matriz que representa una rotación en el plano por un ángulo de 𝜃 y sea 𝐵 una matriz que representa una reflexión respecto al eje 𝑋.

¿Cuál es la matriz 𝐴?

  • A𝜃𝜃𝜃𝜃cossensencos
  • B𝜃𝜃𝜃𝜃cossensencos
  • C𝜃𝜃𝜃𝜃cossensencos
  • D𝜃𝜃𝜃𝜃sencoscossen
  • E𝜃𝜃𝜃𝜃sencoscossen

¿Cuál es la matriz 𝐵?

  • A1001
  • B1001
  • C0110
  • D0110
  • E1001

¿Cuál es la matriz 𝐴𝐵?

  • A𝜃𝜃𝜃𝜃sencoscossen
  • B𝜃𝜃𝜃𝜃cossensencos
  • C𝜃𝜃𝜃𝜃cossensencos
  • D𝜃𝜃𝜃𝜃sencoscossen
  • E𝜃𝜃𝜃𝜃cossensencos

P10:

Una transformación lineal en cada vector de se consigue rotando primero el vector un ángulo de 30 alrededor del eje 𝑧 (de forma positiva según el semieje 𝑧 positivo), y hallando seguidamente el vector simétrico respecto al plano 𝑥𝑦. Halla la matriz de esta transformación lineal.

  • A1232032120001
  • B3212012320001
  • C3212012320001
  • D3212012320001
  • E1232032120001

P11:

Cierta transformación lineal consiste en una rotación de cada vector de en un ángulo de 𝜋4, y luego una reflexión del vector resultante respecto al eje 𝑋. Halla la matriz asociada a esta transformación lineal.

  • A22222222
  • B22222222
  • C22222222
  • D220022
  • E22222222

P12:

Un vector en ha sido rotado en sentido contrario a las manecillas del reloj en un ángulo de 2𝜋3, luego, es reflejado respecto al eje 𝑋. Determina, respecto a la base estándar, la matriz que representa esta transformación combinada.

  • A32121232
  • B12323212
  • C12323212
  • D12323212
  • E32123212

P13:

Supongamos que 𝐴 y 𝐵 son matrices de 2×2, donde 𝐴 representa una rotación (en sentido antihorario) de 30 respecto al origen y 𝐵 representa una reflexión en el eje 𝑋. ¿Qué es lo que representa la matriz 𝐵𝐴?

  • Auna reflexión respecto a la recta que pasa por el origen con una inclinación de 45
  • Buna reflexión respecto a la recta que pasa por el origen con una inclinación de 15
  • Cuna reflexión respecto a la recta que pasa por el origen con una inclinación de 75
  • Duna reflexión respecto a la recta que pasa por el origen con una inclinación de 15
  • Euna reflexión respecto a la recta que pasa por el origen con una inclinación de 75

P14:

Describe la transformación cuya matriz asociada es 0330.

  • Auna homotecia de centro el origen y razón 3 seguida por una simetría con respecto a la recta 𝑦=𝑥
  • Buna homotecia de centro el origen y razón 3 seguida por un giro de 90 alrededor del origen
  • Cuna homotecia de centro el origen y razón 3 seguida por una simetría con respecto a la recta 𝑦=𝑥
  • Duna homotecia de centro el origen y razón 3 seguida por un giro de 180 alrededor del origen
  • Euna homotecia de centro el origen y razón 3 seguida por un giro de 90 alrededor del origen

P15:

Cierta transformación lineal consiste de una homotecia con centro en el origen seguida de una rotación respecto al origen. Esta transformación manda el vector 34 en 3356.

Encuentra la matriz que representa la transformación lineal descrita anteriormente.

  • A512125
  • B512125
  • C110014
  • D512125
  • E12.921.441.4412.92

Encuentra el factor de escala de la homotecia que se describió anteriormente.

  • Afactor de escala = 169
  • Bfactor de escala = 13
  • Cfactor de escala = 154
  • Dfactor de escala = 13
  • Efactor de escala = 119

P16:

El cuadrado unitario con vértices en 𝑂(0,0),𝐴(1,0),𝐵(1,1) y 𝐶(0,1) es transformado aplicando una rotación y una homotecia. La imagen resultante al aplicar estas transformaciones es 𝑂𝐴𝐵𝐶 como se muestra en la siguiente figura.

¿Cuáles son las coordenadas de 𝐴?

  • A23,23
  • B32,32
  • C32,32
  • D23,23
  • E32,32

¿Cuál es la matriz de la transformación compuesta?

  • A32323233
  • B32323232
  • C23232323
  • D32323232
  • E23232323

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