Hoja de actividades: Hallar la matriz de un giro combinado con una simetría axial

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo hallar la matriz de una transformación lineal obtenida combinando un giro y una simetría con respecto al eje X o el eje Y.

P1:

Halla la matriz, respecto a la base estándar, que representa la transformación lineal que rota cada vector de en un ángulo de 𝜋 3 y luego los refleja respecto al eje 𝑌 .

  • A 1 2 3 2 3 2 1 2
  • B 3 2 1 2 3 2 1 2
  • C 1 2 3 2 3 2 1 2
  • D 1 2 3 2 3 2 1 2
  • E 3 2 1 2 1 2 3 2

P2:

Cierta transformación lineal consiste en una reflexión de cada vector de 2 respecto al eje 𝑌 , seguida de una rotación del vector resultante en un ángulo de 𝜋 4 . Halla la matriz asociada a esta transformación lineal.

  • A 2 2 2 2 2 2 2 2
  • B 2 2 2 2 2 2 2 2
  • C 2 2 2 2 2 2 2 2
  • D 2 2 2 2 2 2 2 2
  • E 2 2 0 0 2 2

P3:

Cierta transformación lineal está formada por una rotación de cada vector de 2 en un ángulo de 𝜋 6 , luego una reflexión del vector resultante respecto al eje 𝑋 , y finalmente una reflexión de este vector respecto al eje 𝑌 . Halla la matriz asociada a esta transformación lineal.

  • A 3 2 1 2 1 2 3 2
  • B 3 2 1 2 1 2 3 2
  • C 3 2 1 2 1 2 3 2
  • D 3 2 1 2 1 2 3 2
  • E 3 2 0 0 3 2

P4:

Cierta transformación lineal consiste en una rotación de cada vector de en un ángulo de 2 𝜋 3 , y luego una reflexión del vector resultante respecto al eje 𝑥 . Halla la matriz asociada a esta transformación lineal.

  • A 1 2 3 2 3 2 1 2
  • B 1 2 3 2 3 2 1 2
  • C 1 2 0 0 1 2
  • D 1 2 3 2 3 2 1 2
  • E 1 2 3 2 3 2 1 2

P5:

Sobre cada vector de una transformación lineal se consigue realizando primero una simetría axial respecto al eje 𝑌 , y girando seguidamente un ángulo de 𝜋 6 alrededor del origen de coordenadas el vector resultante. Determina la matriz de esta transformación lineal.

  • A 3 2 1 2 1 2 3 2
  • B 3 2 1 2 1 2 3 2
  • C 3 2 1 2 1 2 3 2
  • D 3 2 1 2 1 2 3 2
  • E 3 2 0 0 3 2

P6:

Cierta transformación lineal consiste en una rotación de cada vector de 2 en un ángulo de 𝜋 3 , y luego una reflexión del vector resultante respecto al eje 𝑋 . Halla la matriz asociada a esta transformación lineal.

  • A 1 2 3 2 3 2 1 2
  • B 1 2 3 2 3 2 1 2
  • C 1 2 0 0 1 2
  • D 1 2 3 2 3 2 1 2
  • E 1 2 3 2 3 2 1 2

P7:

Cierta transformación lineal consiste en una reflexión de cada vector de 2 respecto al eje 𝑋 , y luego una rotación del vector resultante en un ángulo de 𝜋 6 . Halla la matriz asociada a esta transformación lineal.

  • A 3 2 1 2 1 2 3 2
  • B 3 2 1 2 1 2 3 2
  • C 3 2 1 2 1 2 3 2
  • D 3 2 1 2 1 2 3 2
  • E 3 2 0 0 3 2

P8:

Cierta transformación lineal consiste en una reflexión de cada vector de 2 respecto al eje 𝑋 , y luego una rotación del vector resultante en un ángulo de 𝜋 4 . Halla la matriz de esta transformación lineal.

  • A 2 2 2 2 2 2 2 2
  • B 2 2 2 2 2 2 2 2
  • C 2 2 2 2 2 2 2 2
  • D 2 2 2 2 2 2 2 2
  • E 2 2 0 0 2 2

P9:

Sea 𝐴 una matriz que representa una rotación en el plano por un ángulo de 𝜃 y sea 𝐵 una matriz que representa una reflexión respecto al eje 𝑋 .

¿Cuál es la matriz 𝐴 ?

  • A 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 s e n c o s c o s s e n
  • B 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 c o s s e n s e n c o s
  • C 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 s e n c o s c o s s e n
  • D 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 c o s s e n s e n c o s
  • E 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 c o s s e n s e n c o s

¿Cuál es la matriz 𝐵 ?

  • A 1 0 0 1
  • B 0 1 1 0
  • C 1 0 0 1
  • D 1 0 0 1
  • E 0 1 1 0

¿Cuál es la matriz 𝐴 𝐵 ?

  • A 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 s e n c o s c o s s e n
  • B 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 c o s s e n s e n c o s
  • C 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 c o s s e n s e n c o s
  • D 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 c o s s e n s e n c o s
  • E 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 s e n c o s c o s s e n

P10:

Considera la siguiente figura.

Los puntos 𝑂 ( 0 , 0 ) , 𝐴 ( 1 , 0 ) , 𝐵 ( 1 , 1 ) y 𝐶 ( 0 , 1 ) son las esquinas de un cuadrado unitario. Este cuadro es reflejado sobre la recta 𝑂 𝐷 con ecuación 𝑦 = 𝑘 𝑥 para formar la imagen 𝑂 𝐴 𝐵 𝐶 .

Como 𝐴 es la imagen de 𝐴 respecto a la recta que pasa por 𝑂 y 𝐷 tenemos que 𝐴 𝑂 𝐴 = 2 𝐷 𝑂 𝐴 . Usa esta información y la identidad t a n t a n t a n 2 𝜃 = 2 𝜃 1 𝜃 2 para encontrar la pendiente y por ende la ecuación de 𝑂 𝐴 a partir de la pendiente de 𝑂 𝐷 .

  • A 𝑦 = 𝑘 1 𝑘 𝑥 2
  • B 𝑦 = 2 𝑘 𝑘 1 𝑥 2
  • C 𝑦 = 𝑘 𝑘 1 𝑥 2
  • D 𝑦 = 2 𝑘 1 𝑘 𝑥 2
  • E 𝑦 = 2 𝑘 1 + 𝑘 𝑥 2

Usando el hecho que 𝑂 𝐶 es perpendicular a 𝑂 𝐴 , encuentra la ecuación de 𝑂 𝐶 .

  • A 𝑦 = 𝑘 1 2 𝑘 𝑥 2
  • B 𝑦 = 2 𝑘 𝑘 1 𝑥 2
  • C 𝑦 = 2 𝑘 1 𝑘 𝑥 2
  • D 𝑦 = 1 𝑘 2 𝑘 𝑥 2
  • E 𝑦 = 𝑘 1 2 𝑘 𝑥 2

Usando el hecho que 𝑂 𝐶 = 𝑂 𝐴 = 1 , encuentra las coordenadas de 𝐶 y 𝐴 .

  • A 𝐶 = 𝑘 1 + 𝑘 , 𝑘 1 1 + 𝑘 2 2 2 , 𝐴 = 1 𝑘 1 + 𝑘 , 𝑘 1 + 𝑘 2 2 2
  • B 𝐶 = 2 𝑘 1 + 𝑘 , 𝑘 1 1 + 𝑘 2 , 𝐴 = 1 𝑘 1 + 𝑘 , 2 𝑘 1 + 𝑘 2
  • C 𝐶 = 2 𝑘 1 + 𝑘 , 𝑘 1 1 + 𝑘 2 2 2 , 𝐴 = 1 𝑘 1 + 𝑘 , 2 𝑘 1 + 𝑘 2 2 2
  • D 𝐶 = 𝑘 1 1 + 𝑘 , 2 𝑘 1 + 𝑘 2 2 2 , 𝐴 = 2 𝑘 1 + 𝑘 , 1 𝑘 1 + 𝑘 2 2 2
  • E 𝐶 = 𝑘 1 1 + 𝑘 , 2 𝑘 1 + 𝑘 2 , 𝐴 = 2 𝑘 1 + 𝑘 , 1 𝑘 1 + 𝑘 2

Usando el hecho que una reflexión respecto a una recta que pasa por el origen es una transformación lineal, encuentra la matriz que representa una reflexión respecto a la recta 𝑦 = 𝑘 𝑥 .

  • A 1 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 𝑘 1 1 + 𝑘 2 2 2 2 2 2
  • B 1 + 𝑘 1 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 𝑘 1 2 2 2 2 2 2
  • C 1 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 1 𝑘 1 + 𝑘 2 2 2 2 2 2
  • D 1 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 𝑘 1 1 + 𝑘 2 2
  • E 1 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 2 𝑘 1 + 𝑘 1 𝑘 1 + 𝑘 2 2 2 2 2 2

P11:

Una transformación lineal en cada vector de se consigue rotando primero el vector un ángulo de 3 0 alrededor del eje 𝑧 (de forma positiva según el semieje 𝑧 positivo), y hallando seguidamente el vector simétrico respecto al plano 𝑥 𝑦 . Halla la matriz de esta transformación lineal.

  • A 3 2 1 2 0 1 2 3 2 0 0 0 1
  • B 1 2 3 2 0 3 2 1 2 0 0 0 1
  • C 1 2 3 2 0 3 2 1 2 0 0 0 1
  • D 3 2 1 2 0 1 2 3 2 0 0 0 1
  • E 3 2 1 2 0 1 2 3 2 0 0 0 1

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