Hoja de actividades: Determinar una base ortonormal de vectores propios

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo determinar los valores propios y una base ortonormal de vectores propios de una matriz.

P1:

Halla una base ortonormal de vectores propios para la matriz 3 0 0 0 3 2 1 2 0 1 2 3 2 .

  • A 1 0 0 , 1 5 0 2 1 , 1 5 0 1 2
  • B 1 0 0 , 0 1 1 , 0 1 1
  • C 1 0 0 , 0 2 1 , 0 1 2
  • D 1 0 0 , 1 2 0 1 1 , 1 2 0 1 1
  • E 1 3 1 1 1 , 1 2 1 0 1 , 1 6 1 2 1

P2:

Encuentra una base ortonormal de vectores propios para la matriz 2 0 0 0 5 1 0 1 5 .

  • A 1 0 0 , 1 5 0 2 1 , 1 5 0 1 2
  • B 1 0 0 , 0 1 1 , 0 1 1
  • C 1 0 0 , 0 2 1 , 0 1 2
  • D 1 0 0 , 1 2 0 1 1 , 1 2 0 1 1
  • E 1 3 1 1 1 , 1 2 1 0 1 , 1 6 1 2 1

P3:

Encuentra una base ortonormal de vectores propios de la matriz 1 7 7 4 7 1 7 4 4 4 1 4 .

  • A 1 3 1 1 1 , 1 6 1 1 2 , 1 2 1 1 0
  • B 1 1 1 , 1 1 2 , 1 1 0
  • C 1 1 1 , 1 0 1 , 1 2 1
  • D 1 3 1 1 1 , 1 6 1 1 2 , 1 2 1 1 0
  • E 1 3 1 1 1 , 1 2 1 0 1 , 1 6 1 2 1

P4:

Encuentra una base ortonormal de vectores propios para la matriz 1 1 1 4 1 1 1 4 4 4 1 4 .

  • A 1 3 1 1 1 , 1 2 1 1 0 , 1 6 1 1 2
  • B 1 1 1 , 1 1 0 , 1 1 2
  • C 1 1 1 , 1 0 1 , 1 2 1
  • D 1 3 1 1 1 , 1 2 1 1 0 , 1 6 1 1 2
  • E 1 3 1 1 1 , 1 2 1 0 1 , 1 6 1 2 1

P5:

Encuentra los valores propios y una base ortonormal de vectores propios para la matriz 𝐴 . 𝐴 = 1 3 1 4 1 1 3 4 4 4 1 0 ,

  • Avalores propios: 2, 6, y 12, vectores propios: 1 6 1 1 2 2 , 1 2 1 1 0 1 2 , 1 3 1 1 1 6
  • Bvalores propios: 6, 12, y 18, vectores propios: 1 6 1 1 2 1 2 , 1 2 1 1 0 6 , 1 3 1 1 1 1 8
  • Cvalores propios: 6, 12, y 18, vectores propios: 1 6 1 1 2 6 , 1 2 1 1 0 1 2 , 1 3 1 1 1 1 8
  • Dvalores propios: 6, 12, y 18, vectores propios: 1 6 1 1 2 6 , 1 2 1 1 0 1 2 , 1 3 1 1 1 1 8
  • Evalores propios: 2, 6, y 12, vectores propios: 1 6 1 1 2 2 , 1 2 1 1 0 6 , 1 3 1 1 1 1 2

P6:

Encuentra una base ortonormal de vectores propios de la matriz 5 3 3 0 1 5 8 5 1 5 3 0 1 5 1 4 5 6 1 5 8 5 1 5 6 1 5 7 1 5 .

  • A 1 0 5 , 1 0 3 2 , 5 2 4 1
  • B 1 0 5 , 5 6 2 1 , 5 2 6 1
  • C 1 2 6 1 0 5 , 1 1 1 3 1 0 3 2 , 1 6 0 2 5 2 4 1
  • D 1 6 1 0 5 , 3 0 1 5 5 6 2 1 , 1 3 0 5 2 6 1
  • E 1 3 1 1 1 , 1 2 1 0 1 , 1 6 1 2 1

P7:

Las superficies de nivel 2 𝑥 + 3 𝑦 𝑧 + 𝑤 = 0 y 3 𝑥 𝑦 + 𝑧 + 2 𝑤 = 0 se intersecan en un subespacio de 4 . Halla una base para este subespacio. Luego, encuentra una base ortonormal para este subespacio.

  • ALa base es 2 5 1 1 0 , 7 1 0 1 1 , una base ortonormal es 1 1 5 6 1 6 6 1 1 3 0 6 0 , 4 6 3 1 3 5 6 2 0 9 1 1 2 5 4 6 2 0 9 1 3 3 0 6 2 0 9 5 2 0 9 6 2 0 9 .
  • BLa base es 2 5 1 1 0 , 7 1 0 1 1 , una base ortonormal es 1 1 5 6 1 6 6 1 1 3 0 6 0 , 4 6 3 1 3 5 6 2 0 9 1 1 2 5 4 6 2 0 9 1 3 3 0 6 2 0 9 5 2 0 9 6 2 0 9 .
  • CLa base es 2 5 1 1 0 , 7 1 0 1 1 , una base ortonormal es 1 1 5 6 1 6 6 1 1 3 0 6 0 , 4 6 3 1 3 5 6 2 0 9 1 1 2 5 4 6 2 0 9 1 3 3 0 6 2 0 9 5 2 0 9 6 2 0 9 .
  • D La base es 2 5 1 1 0 , 7 1 0 1 1 , una base ortonormal es 1 1 5 6 1 6 6 1 1 3 0 6 0 , 4 6 3 1 3 5 6 2 0 9 1 1 2 5 4 6 2 0 9 1 3 3 0 6 2 0 9 5 2 0 9 6 2 0 9 .
  • ELa base es 2 5 1 1 0 , 7 1 0 1 1 , una base ortonormal es 1 6 6 1 1 5 6 1 1 3 0 6 0 , 4 6 3 1 3 5 6 2 0 9 1 1 2 5 4 6 2 0 9 1 3 3 0 6 2 0 9 5 2 0 9 6 2 0 9 .

P8:

Aplica el método de Gram-Schmidt a los vectores ( 1 , 2 , 1 ) , ( 2 , 1 , 3 ) y ( 1 , 0 , 0 ) y halla una base ortonormal del subespacio que generan.

  • A 6 6 6 3 6 6 , 3 2 1 0 2 2 5 2 2 , 7 3 1 5 3 1 5 3 3
  • B 6 6 6 3 6 6 , 3 2 1 0 2 2 5 2 2 , 7 3 1 5 3 1 5 3 3
  • C 6 6 6 3 6 6 , 3 2 1 0 2 2 5 2 2 , 7 3 1 5 3 1 5 3 3
  • D 6 6 6 3 6 6 , 3 2 1 0 2 2 5 2 2 , 7 3 1 5 3 1 5 3 3
  • E 6 6 6 3 6 6 , 3 2 1 0 2 2 5 2 2 , 7 3 1 5 3 1 5 3 3

P9:

Aplica el método de Gram–Schmidt a los vectores ( 3 , 4 , 0 ) , ( 7 , 1 , 0 ) y ( 1 , 7 , 1 ) , y halla una base ortonormal del espacio que generan.

  • A 3 5 4 5 0 , 3 5 4 5 0 , 0 0 1
  • B 4 5 3 5 0 , 4 5 3 5 0 , 0 0 1
  • C 4 5 3 5 0 , 3 5 4 5 0 , 0 0 1
  • D 3 5 4 5 0 , 4 5 3 5 0 , 0 0 1
  • E 3 5 4 5 0 , 3 5 4 5 0 , 0 0 1

P10:

Usa el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt en los vectores ( 1 , 2 , 1 , 0 ) , ( 2 , 1 , 3 , 1 ) y ( 1 , 0 , 0 , 1 ) para encontrar una base ortonormal para el espacio generado por ellos.

  • A 6 6 6 3 6 6 0 , 6 6 2 6 9 5 6 1 8 6 9 , 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 7 1 1 1 3 3 3 2 2 1 1 1 3 3 3
  • B 6 6 6 3 6 6 0 , 6 6 2 6 9 5 6 1 8 6 9 , 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 7 1 1 1 3 3 3 2 2 1 1 1 3 3 3
  • C 6 6 6 3 6 6 0 , 6 6 2 6 9 5 6 1 8 6 9 , 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 7 1 1 1 3 3 3 2 2 1 1 1 3 3 3
  • D 6 6 6 3 6 6 0 , 6 6 2 6 9 5 6 1 8 6 9 , 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 7 1 1 1 3 3 3 2 2 1 1 1 3 3 3
  • E 6 6 6 3 6 6 0 , 6 6 2 6 9 5 6 1 8 6 9 , 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 7 1 1 1 3 3 3 2 2 1 1 1 3 3 3

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