Hoja de actividades: Matrices ortogonales

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo determinar si una matriz es ortogonal y cómo hallar valores de las incógnitas en una matriz sabiendo que es una matriz ortogonal.

P1:

Sabiendo que la matriz siguiente es ortogonal, calcula los valores de π‘Ž, 𝑏, 𝑐 y 𝑑. βŽ›βŽœβŽœβŽœβŽœβŽœβŽ13βˆ’2√5π‘Ž230𝑏𝑐𝑑4√515⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

  • Aπ‘Ž=23√5, 𝑏=βˆ’53√5, 𝑐=23, 𝑑=βˆ’1√5
  • Bπ‘Ž=23√5, 𝑏=53√5, 𝑐=βˆ’23, 𝑑=1√5
  • Cπ‘Ž=βˆ’23√5, 𝑏=53√5, 𝑐=23, 𝑑=1√5
  • Dπ‘Ž=βˆ’23√5, 𝑏=βˆ’53√5, 𝑐=23, 𝑑=βˆ’1√5
  • Eπ‘Ž=23√5, 𝑏=βˆ’53√5, 𝑐=23, 𝑑=1√5

P2:

Sabiendo que la matriz siguiente es ortogonal, determina los valores de π‘Ž, 𝑏, 𝑐 y 𝑑: βŽ›βŽœβŽœβŽœβŽ23√22√2623π‘Žπ‘π‘0π‘‘βŽžβŽŸβŽŸβŽŸβŽ 

  • Aπ‘Ž=βˆ’βˆš22, 𝑏=13√2, 𝑐=βˆ’13, 𝑑=βˆ’43√2
  • Bπ‘Ž=√22, 𝑏=13√2, 𝑐=13, 𝑑=43√2
  • Cπ‘Ž=√22, 𝑏=13√2, 𝑐=βˆ’13, 𝑑=βˆ’43√2
  • Dπ‘Ž=βˆ’βˆš22, 𝑏=13√2, 𝑐=13, 𝑑=43√2
  • Eπ‘Ž=βˆ’βˆš22, 𝑏=βˆ’13√2, 𝑐=13, 𝑑=43√2

P3:

Sabiendo que la siguiente matriz es ortogonal, encuentra los valores de π‘Ž, 𝑏, 𝑐 y 𝑑. βŽ›βŽœβŽœβŽœβŽœβŽœβŽβˆ’1√2βˆ’1√61√31√2π‘Žπ‘π‘βˆš63π‘‘βŽžβŽŸβŽŸβŽŸβŽŸβŽŸβŽ 

  • Aπ‘Ž=βˆ’1√6, 𝑏=1√3, 𝑐=0, 𝑑=1√3
  • Bπ‘Ž=βˆ’1√6, 𝑏=βˆ’1√3, 𝑐=0, 𝑑=βˆ’1√3
  • Cπ‘Ž=1√6, 𝑏=βˆ’1√3, 𝑐=0, 𝑑=βˆ’1√3
  • Dπ‘Ž=βˆ’1√6, 𝑏=βˆ’1√3, 𝑐=0, 𝑑=1√3
  • Eπ‘Ž=1√6, 𝑏=1√3, 𝑐=0, 𝑑=1√3

P4:

Completa los elementos que faltan de la matriz siguiente de forma que sea ortogonal: βŽ›βŽœβŽœβŽœβŽœβŽœβŽœβŽβˆ’1√21√6√1261√2β‹―β‹―β‹―βˆš63β‹―βŽžβŽŸβŽŸβŽŸβŽŸβŽŸβŽŸβŽ 

  • AβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽœβŽœβŽœβŽβˆ’1√21√6√1261√2βˆ’1√6βˆ’βˆš1260√63√126⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
  • BβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽœβŽœβŽœβŽβˆ’1√21√6√1261√21√6√1261√63βˆ’βˆš126⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
  • CβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽœβŽœβŽœβŽβˆ’1√21√6√1261√2βˆ’1√6βˆ’βˆš1261√63√126⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
  • DβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽœβŽœβŽœβŽβˆ’1√21√6√1261√2βˆ’1√6√1260√63βˆ’βˆš126⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
  • EβŽ›βŽœβŽœβŽœβŽœβŽœβŽœβŽβˆ’1√21√6√1261√21√6√1260√63βˆ’βˆš126⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

P5:

Se dice que una matriz es ortogonal si 𝐴𝐴=𝐼. Por lo tanto, la inversa de una matriz ortogonal es su transpuesta. ¿CuÑles son los valores posibles de det(𝐴) si 𝐴 es una matriz ortogonal?

  • Adet(𝐴)=1√2 o det(𝐴)=βˆ’1√2
  • Bdet(𝐴)=0
  • Cdet(𝐴)=1 o det(𝐴)=βˆ’1
  • Ddet(𝐴)=√2 o det(𝐴)=βˆ’βˆš2
  • Edet(𝐴)=2

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