Hoja de actividades: Extremos de una función de varias variables

En esta hoja de actividades, vamos a practicar cómo hallar los puntos críticos de una función de varias variables, y cómo hallar el máximo relativo, el mínimo relativo y los puntos de silla de la función.

P1:

Encuentra los máximos y mínimos de la función 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)=𝑥+𝑦+2𝑧 sujeta a la restricción 4𝑥+9𝑦36𝑧=36.

  • Amáximo en 89,0,4, mínimo en 89,0,4
  • Bmáximo en 98,594,14, mínimo en 95,0,25
  • Cmáximo en 95,0,25, mínimo en 98,594,14
  • Dmáximo en 89,0,4, mínimo en 89,0,4
  • Emáximo en 98,594,14, mínimo en 95,0,25

P2:

Halla los puntos críticos de la función 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥3𝑥+𝑦 y determina su tipo.

  • Amínimo relativo en (1,0), punto de silla en (1,0).
  • Bmáximo relativo en (1,0), punto de silla en (1,0).
  • Cmínimo relativo en (1,0), punto de silla en (1,0).
  • Dmínimo relativo en (0,1), punto de silla en (0,1).
  • Emáximo relativo en (0,1), punto de silla en (0,1).

P3:

Halla todos los puntos estacionarios de la función 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥+2𝑦, y luego determina de qué tipo son.

  • ALa función tiene un mínimo relativo en (1,2).
  • BLa función tiene un punto de silla en (1,2).
  • CLa función no tiene puntos estacionarios.
  • DLa función tiene un máximo relativo en (1,2).

P4:

Halla todos los puntos estacionarios de la función 𝑓(𝑥,𝑦)=4𝑥4𝑥𝑦+2𝑦+10𝑥6𝑦 y determina su tipo.

  • A1,12 es un punto de silla.
  • B1,12 es un mínimo relativo.
  • C1,12 es un mínimo relativo.
  • D1,12 es un máximo relativo.
  • E1,12 es un máximo relativo.

P5:

Encuentra todos los puntos críticos de la función 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥3𝑥+𝑦3𝑦.

  • A(1,1) es un mínimo local, (1,1) es un máximo local, y (1,1) y (1,1) son puntos silla.
  • B(1,1) es un mínimo local, (1,1) es un máximo local, y (1,1) y (1,1) son puntos silla.
  • C(1,1) y (1,1) son mínimos locales, (1,1) es un máximo local y (1,1) es un punto silla.
  • D(1,1) es un mínimo local, (1,1) y (1,1) son máximos locales y (1,1) es un punto silla.
  • E(1,1) es un mínimo local, (1,1) es un máximo local, y (1,1) y (1,1) son puntos silla.

P6:

Halla todos los máximos y mínimos relativos de la función 𝑓(𝑥,𝑦)=4𝑥+4𝑥𝑦2𝑦+16𝑥12𝑦.

  • ATiene un punto de silla en (1,2).
  • BTiene un mínimo relativo en (1,2).
  • CTiene un mínimo relativo en (1,2) .
  • DTiene un máximo relativo en (1,2).
  • ETiene un máximo relativo en (1,2).

P7:

Encuentra todos los puntos críticos de la función 𝑓(𝑥,𝑦)=2𝑥6𝑥𝑦+𝑦.

  • A(3,9) es un mínimo local y (0,0) es un punto silla.
  • B(0,0) y (3,9) son máximos locales.
  • C(0,0) y (3,9) son máximos locales.
  • D(0,0) y (3,9) son puntos silla.
  • E(0,0) es un máximo local y (3,9) es un punto silla.

P8:

Encuentra todos los puntos críticos de la función 𝑓(𝑥,𝑦)=2𝑥+6𝑥𝑦+3𝑦.

  • A(1,1) es un mínimo local y (0,0) es un punto silla.
  • B(0,0) es un mínimo local y (1,1) es un punto silla.
  • C(1,1) es un máximo local y (0,0) es un punto silla.
  • D(0,0) es un máximo local y (1,1) es un punto silla.
  • E(1,1) es un mínimo local y (0,0) es un punto silla.

P9:

Encuentra todos los puntos críticos de la función 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥+3𝑥+𝑦3𝑦.

  • A(0,2) y (2,2) son mínimos locales, (2,0) es un máximo local y (0,0) es un punto silla.
  • B(0,2) es un mínimo local, (2,0) es un máximo local, y (0,0) y (1,1) son puntos silla.
  • C(2,0) es un mínimo local, (0,2) es un máximo local, y (0,0) y (2,2) son puntos silla.
  • D(0,2) es un mínimo local, (2,0) es un máximo local, y (0,0) y (2,2) son puntos silla.
  • E(0,2) es un mínimo local, (2,0) y (0,0) son máximos locales y (2,2) es un punto silla.

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